Variabili casuali multidimensionali

Variabili casuali multidimensionali ∗
• Variabili casuali multidimensionali: k-ple ordinate di variabili
casuali unidimensionali definite sullo stesso spazio di probabilità
X 0 = (X1, . . . , Xk )
• Funzione di distribuzione (o di ripartizione) congiunta
F (x) = F (x1, . . . , xk ) = Pr(X1 ≤ x1, . . . , Xk ≤ xk )
∗ A.
Pollice - Statistica Multivariata
• Funzione di distribuzione marginale
F (x1 , . . . , xh ) =
lim
xh+1 ,...,xk →∞
F (x1 , . . . , xk ) = F (x1 , . . . , xh , ∞, . . . , ∞)
Variabili casuali multidimensionali discrete
• Una variabile aleatoria k-dimensionale si dice discreta se può
assumere un numero finito o un’infinità numerabile di k-ple
di valori
• Funzione di probabilità congiunta
p(x1, . . . , xk ) = Pr(X1 = x1, . . . , Xk = xk )
• Supporto o insieme di definizione
X = {(x1, . . . , xk )|p(x1, . . . , xk ) > 0}
X è un insieme finito o al più infinitamente numerabile
• Funzione di probabilità marginale
p(x1, . . . , xh) =
X
xh+1
...
X
xk
p(x1, . . . , xh, . . . , xk )
• Funzione di probabilità condizionata
p(x1 , . . . , xh |xh+1 , . . . , xk ) =
= Pr(X1 = x1 , . . . , Xh = xh |Xh+1 = xh+1 , . . . , Xk = xk ) =
p(x1 , . . . , xk )
p(xh+1 , . . . , xk )
Variabili casuali multidimensionali continue
• Funzione di densità congiunta del vettore aleatorio X associato alla funzione di ripartizione F
F (x) = F (x1, . . . , xk ) =
Z x
1
−∞
...
Z x
k
−∞
f (t1, . . . , tk )dt1 · · · dtk
Proprietà
(i) f (x) ≥ 0
R
(i) Rk f (x)dx = 1
R
k
(iii) ∀C ⊂ R , Pr(X ∈ C) = C f (x)dx
(iv) per qualsiasi x = (x1, . . . , xk ) punto di continuità di f ,
∂ k F (x1 ,...,xk )
f (x1, . . . , xk ) = ∂x ...∂x
1
k
• Il supporto X di un vettore aleatorio continuo X corrisponde
al più piccolo insieme a cui la densità assegna probabilità 1
• Funzione di densità marginale
f (x1, . . . , xh) =
Z ∞
−∞
...
Z ∞
−∞
f (x1, . . . , xh, . . . , xk )dxh+1 . . . dxk
• Funzione di densità condizionata
f (x1, . . . , xk )
f (x1, . . . , xh|xh+1, . . . , xk ) =
f (xh+1, . . . , xk )
Indipendenza stocastica
• F (x1, . . . , xk ) funzione di distribuzione congiunta di (X1, . . . , Xk )0,
Fi(xi) distribuzioni marginali delle componenti unidimensionali Xi (i = 1, . . . , k) stocasticamente indipendenti se
F (x) =
k
Y
i=1
Fi(xi)
Valori attesi
• Valore atteso del vettore aleatorio k-dimensionale X
µ = E(X) = (E(X1), . . . , E(Xk ))0 = (µ1, . . . , µk )0
Proprietà
(i)
E(X 0) = [E(X)]0
(ii) Linearità: X vettore casuale k -dimensionale, A e b rispettivamente matrice e vettore di costanti in Rh×k ed Rh
E(A X + b) = A E(X) + b
(iii) Additività: X1 e X2 vettori casuali in Rk ed A e B matrici
di costanti in Rh×k
E(A X1 + B X2) = A E(X1) + B E(X2)
• Matrice di varianze e covarianze di un vettore aleatorio kdimensionale X
Cov(X) = Σ = E{(X − E(X))(X − E(X))0} =
0 ) − E(X)E(X)0 =
= E(XX


2
σ
σ12 . . . σ1k

 1
 σ21 σ 2 . . . σ2k 
= 
...2 . . .
... 

 ...


σk1 σk2 . . . σk2
Proprietà
– Qualsiasi matrice di varianze e covarianze è semidefinita
positiva
• Matrice di covarianze tra il vettore aleatorio k- dimensionale
X e il vettore aleatorio h-dimensionale Y
Cov(X, Y ) = ΣXY
= E{(X − E(X))(Y − E(Y ))0} =
= 
E(XY 0) − E(X)E(Y )0 =
σ
σX1Y2 . . . σX1Yh
 X 1 Y1
 σX Y σX Y . . . σX Y
= 
...2 1
...2 2
...2 h


σXk Y1 σXk Y2 . . . σXk Yh






Proprietà
– X ed Y vettori casuali in Rk , Z = AX + b e K = CY + d,
con A e C matrici di costanti in Rh×k , b e d vettori di
costanti in Rh
Cov(Z, K) = ACov(X, Y )C 0
Casi particolari:
(i) X = Y −→ Cov(Z, K) = ACov(X)C 0
(ii) K = Z = AX + b −→ Cov(Z) = ACov(X)A0
(iii) K = Z = X + b −→ Cov(Z) = Cov(X)
(iv) K = Z = AX −→ Cov(Z) = ACov(X)A0
• Funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria
k-dimensionale X
M (t) = E[exp(t0X)] = E[exp(t1X1 + · · · + tk Xk )]
Trasformazioni biunivoche di vettori casuali
continui
• X vettore casuale k-dimensionale dotato di densità fX (x),
Y = g(X) con g biunivoca e regolare,
fY (y) = mod|J|fX (g −1(y))
dove mod|J| indica il valore assoluto del determinante della
matrice jacobiana della trasformazione inversa g −1
Valori attesi condizionati
• Proprietà
n
o
EY EX|Y [g(X, Y )] = EX,Y [g(X, Y )]
• Proprietà
h
Cov(X) = EY [Cov(X|Y )] + Cov EX|Y (X)
i