Lezione 2

Astronomia
2016-17
Parte I
Proprietà fondamentali delle stelle
2
Definizioni
Flusso: energia/secondo per unità di superficie
b [erg s-1 cm-2]
Densità (spettrale) di flusso: flusso per unità di intervallo
di frequenza (o lunghezza d’onda)
Sν
[erg s-1 cm-2 Hz-1]
Sλ
[erg s-1 cm-2 µm-1]
[ erg s-1 cm-2 Å-1]
Brillanza superficiale: densità di flusso per unità di angolo
solido della sorgente
Iν
[erg s-1 cm-2 Hz-1 sr-1]
Iλ
[erg s-1 cm-2 µm-1 sr-1]
[erg s-1 cm-2 Å-1 sr-1]
Intervallo [ν, ν + d ν]
Energia per unità di tempo,
per unità di area,
per unità di angolo solido
Intervallo [λ, λ + dλ]
I (ν )dν = I (λ )dλ
Energia per unità di tempo,
per unità di area,
per unità di angolo solido
Definizioni
Consideriamo una sorgente con brillanza superficiale Iν
Potenza elettromagnetica dW (energia/tempo)
che fluisce attraverso l’area di raccolta dA
proveniente dall'angolo solido dΩ
nell'intervallo di frequenza (ν, ν+dν)
Iν
dΩ
dA
θ
dW = Iν (dA cos θ ) d Ω dν
Brillanza superficiale
dW
Iν =
dA cos θ d Ω dν
Consideriamo la brillanza superficiale integrata su tutto l’angolo
solido della sorgente
S
Sν = ∫ Iν d Ω
θ
dA
ΩS
Densità di flusso della sorgente
Caso tipico: Sorgenti puntiformi
(Angolo solido < Campo di vista dello strumento)
Unità di misura di densità di flusso di sorgenti astronomiche:
1 Jy = 10−23 erg s−1 cm -2 Hz −1= 10−26 Wm −2 Hz −1
Spettro
Distribuzione della densità di flusso della sorgente
in funzione di frequenza/lunghezza d’onda
Consideriamo intervalli dν oppure dλ
(non si può parlare di “energia monocromatica”!)
Tipico spettro stellare
righe di emissione
continuo
righe di assorbimento
Il colore delle stelle
• Lo spettro continuo
determina il colore delle stelle
• Il colore dipende dalla
temperatura
• Fisica della relazione
colore-temperatura:
Legge di corpo nero
La misura del continuo
consente di determinare T
Il corpo nero
• Sorgente ideale (equilibrio termodinamico)
– Tutta l’energia incidente sul corpo nero è assorbita
– L’energia è scambiata liberamente con l’ambiente
– Il flusso netto di energia è nullo (Ein = Eout)
bb
• Lo spettro della radiazione emessa
dal corpo nero dipende solo dalla sua
temperatura
• Per T crescenti:
- la potenza irradiata per cm2
aumenta rapidamente:
wS ∝ T 4
(Stefan-Boltzmann)
- la lunghezza d’onda del picco
diminuisce:
λmaxT = 0.29 cm K
(Wien’s displacement law)
Corpo nero: buona approssimazione del continuo degli spettri stellari
Tipico spettro stellare vs Blackbody a diverse T
Il corpo nero
• Esempio (1)
Qual è la temperatura superficiale (approssimativa) di una
stella che ha il picco del suo spettro nel visibile,
intorno a 500nm?
λmax = 500 nm
0.29
0.29
T=
=
K = 5800 K
−7
λmax [cm]
500 ⋅10
vicino alla temperatura
superficiale del Sole
• Esempio (2)
A quale lunghezza d’onda la Terra emette il massimo della
sua radiazione e.m.?
T = 300 K
0.29
0.29
λmax =
cm =
cm = 10−3 cm = 10µm
T
300
(Infrarosso)
La legge di Planck
Fine 1800: Previsioni teoriche per la radiazione di corpo nero in
disaccordo con i dati sperimentali
– Deduzione classica (Rayleigh-Jeans):
2kT 2
I (ν , T ) = 2 ν
c
k = 1.38 ×10 −16 erg K -1
Proporzionale all’energia
cinetica della particella
La legge di RJ concorda con i dati
sperimentali a basse frequenze
Diverge ad alte frequenze!
“catastrofe ultravioletta”
Costante di Boltzman
La legge di Planck
Max Planck, 1900: deduzione legge “empirica”
in accordo con i dati sperimentali
2hν 3
1
I (ν , T ) = 2 hν / kT
c e
−1
[erg s-1 cm-2 Hz-1 sr-1]
h = 6.63 ×10 −27 erg ⋅ s
Costante di Planck
Legge di importanza decisiva per la
fisica moderna
Max Planck (1858 – 1947)
• Ci aspettiamo che questa si riduca alla legge di Rayleigh-Jeans
a basse frequenze:
(hν / kT ) ≡ x << 1
ex ≈ 1 + x
2hν 3 kT
2kTν 2
2hν 3 1
2hν 3 1
≈ 2
= 2
=
I (ν , T ) = 2 x
c x
c hν
c2
c e −1
Legge di Rayleigh-Jeans
Il corpo nero
Energia totale emessa
Al crescere della temperatura l’energia totale emessa (per unità di
tempo e di superficie emittente) aumenta molto rapidamente
Relazione di Stefan-Boltzman (dapprima trovata empiricamente):
∞
Potenza irradiata per
unità di superficie
∞
wS = ∫ I λ d λ = ∫ Iν dν = σ T 4
0
0
σ = 5.7 ×10 −5 erg cm - 2 K −4s −1
costante di Stefan-Boltzman
Raddoppiando la temperatura, la
potenza irraggiata aumenta di
un fattore 16
Aumentando T di un fattore
10, la potenza aumenta di 104
Legge di Planck
I (ν , T ) =
2kT 2
ν
2
c
2 hν 3
1
I (ν , T ) = 2 hν / kT
c e
−1
∞
wS = ∫ Iν dν = σ T 4
0
2hν 3
1
2 kT ν 2
→
2
h ν / kT
c
e
−1
c2
per
h ν / kT << 1
La Temperatura è l’unico parametro libero!
Luminosità totale
• Luminosità totale di una stella
= potenza totale emessa da tutta la superficie
L = (4πR 2 ) wS = (4πR 2 )(σT 4 )
Potenza irradiata per
unità di superficie
Approssimazione di
black body
Approssimazione sferica
• Esempio
Calcolare la luminosità del Sole
R⊙ = 7 ×105 km
T⊙ = 5800 K
σ = 5.7 ×10−5 erg s −1cm-2 K −4
L⊙ = 4π (7 ⋅1010 cm) 2 (5.7 ⋅10−5 erg s −1cm-2 K −4 )(5.8 ⋅103 K) 4
= 4 ×1033 erg/s
Unità di misura per la luminosità di
altre stelle, sorgenti astronomiche
Legge di Planck
hν << kT
2kTν 2
I (ν , T ) =
c2
Nel Radio
I (ν ) ∝ T
La legge di Planck
• Legge di Planck in funzione della lunghezza d’onda
2hν 3
1
I (ν , T ) = 2 hν / kT
c e
−1
I (ν , T )dν = I (λ , T )dλ
dν
I (λ , T ) = I (ν , T )
dλ
2 h (c / λ ) 3
1
c
I (λ , T ) =
⋅
c2
e hc / λkT − 1 λ2
=
2hc 2
1
λ 5 e hc /λ kT − 1
ν →c/λ
dν
c
= 2
dλ λ
Energia del fotone
• Elettronvolt (eV):
1 eV = e × 1 Volt = (1.6 × 10−19 C) × (1 Volt) = 1.6 × 10−19 J = 1.6 × 10 −12 erg
1 J = 107 erg
• Esempio: energia (in eV) di un fotone di λ = 400 nm
E hc / λ (6.63 × 10−27 erg ⋅ s) × (3 × 1010 cm/s)
1
eV
=
eV
=
4 × 10 cm
-5
1.6 × 10
−12
erg
≈ 3 eV
Regione
Lunghezza d’onda
Frequenza (Hz)
Energia per fotone (eV)
Radio
> 10 cm
< 3 × 109
< 10-5
Microonde
0.1 mm – 10 cm
3 × 109 – 3 × 1012
10-5 – 0.01
Infrarosso
700 nm – 0.1 mm
3 × 1012 – 4.3 × 1014
0.01 – 2
Visibile
400 nm – 700nm
4.3 × 1014 – 7.5 × 1014
2–3
Ultravioletto
10 nm – 400nm
7.5 × 1014 – 3 × 1016
3 – 102
Raggi X
0.1 nm – 10 nm
3 × 1016 – 3 × 1018
102 –104 (0.1–10 keV)
Raggi γ
< 0.1 nm
> 3 × 1018
> 104 (>10 keV)
Filtri fotometrici
•
Ogni reale misura di flusso è integrata su un intervallo finito di
lunghezze d’onda/frequenze
~ ∞
b = ∫ Pλ ⋅ b(λ )dλ
0
•
Pλ
λ (max)
[nm]
∆λ (range)
[nm]
U
350
70
B
435
100
V
555
80
R
680
150
I
800
150
Filtro
Visibile-IR
Diversi sistemi fotometrici (“filtri standard”) sono stati sviluppati in
diversi osservatori
Trasformazioni da un sistema all’altro necessarie per confrontare
le osservazioni
Relazione colore – temperatura
La misura del picco di blackbody
consente di stimare la temperatura
superficiale di una stella
T [K] =
0.29
λmax [cm]
λ1 λ2
Problema: Non è agevole misurare l’intero spettro di blackbody
Misure di flusso a in 2 bande di frequenza ci danno sufficienti informazioni
Indice di colore
• Definiamo indice di colore corrispondente a λ1 e λ2 la
differenza di magnitudini
bɶ (λ1 )
m2 − m1 = 2.5log10 ɶ
b (λ2 )
Dal colore alla temperatura
• Per un corpo nero basta misurare il rapporto di flusso a
2 lunghezze d’onda per determinare T
I (λ , T ) =
2hc 2
1
λ5 e hc / λkT − 1
I (λ1 , T )  λ2  e hc / λ2 kT − 1
ξ (λ1 , λ2 , T ) =
=
I (λ2 , T )  λ1  e hc / λ1kT − 1
5
Misurato
Ricavo la temperatura T
Ogni quantità è nota
tranne T
Indici di colore
B − V = −2.5log10 [bɶ (λB ) / bɶ (λV )]
bB > bV → B < V
Betelgeuse
Sole
Bellatrix
Luminosità e distanza
•
Luminosità apparente, dipende da:
– Luminosità intrinseca
– Distanza
– (Assorbimento interstellare)
•
Luminosità intrinseca (assoluta): energia totale emessa nell’unità di tempo
L ≃ (4πσ ) R 2T 4 [erg s -1 ]
Cruciale per comprendere
la fisica stellare
Misurabile
In generale non misurabile!
• Densità spettrale di flusso
L
d
dW
[erg s-1cm −2 Hz −1 ]
dA cos θ dν
Sν =
• Flusso o «luminosità apparente»
∞
l = ∫ Sν dν
0
-1
-2
[erg s cm ]
O
stella alla distanza d
dall’osservatore
• Relazione tra luminosità intrinseca e luminosità apparente:
l=
L
4π d 2
L = 4π d 2l Come misurare distanze stellari?