La prima meccanica quantistica - Scienze Matematiche, Fisiche e

La prima meccanica quantistica
“vino nuovo in botti vecchie” (J. Jeans?)
H. Matisse, la danse, 1909
Bergamaschini, Marazzini, Mazzoni, La conoscenza del mondo fisico
A. Grometstein, The roots of things
Eisberg, Resnick, Quantum Physics
Quantizzazione dell'energia
Problema del corpo nero
Planck: ipotesi dei quanti di radiazione
gli oscillatori della cavità sono in stati discreti; l'energia del corpo nero è quantizzata
perché è emessa da un oggetto la cui energia è quantizzata – in ogni altra situazione
l'energia deve essere considerata continua “Si tratta di una concezione ibrida -emissione
discontinua, radiazione e assorbimento continui – che degradava la primitiva teoria a poco più di un
espediente tecnico, a un fortunato giochetto di formule” (Gliozzi)
Effetto fotoelettrico
Einstein: riprende l'ipotesi di Planck ma c'è differenza:
la quantizzazione dell'energia è ipotesi generalizzabile a ogni situazione fisica
Nel frattempo si aggiunge un'ulteriore evidenza: EFFETTO COMPTON
Interrogativi suscitati dall'ipotesi del discreto
•
Poincaré: la continuità delle grandezze della fisica rende legittimo l'impiego delle equazioni differenziali
(il cuore stesso della fisica classica!) → cosa fare di grandezze discrete? Equazioni alle differenze
finite?
•
Brillouin (1911): “Sembra ben certo che bisognerà introdurre nelle nostre concezioni fisiche e chimiche
una discontinuità, un elemento variabile per salti, del quale noi non avevamo alcuna idea qualche anno
fa.[...] Bisognerà sconvolgere le fondamenta stesse dell'elettromagnetismo e della meccanica classica,
invece di limitarsi ad adattare la nuova discontinuità alla vecchia meccanica? Ne dubito un po', e
per quanto importanti siano i fenomeni ai quali si è rivolta la nostra attenzione, non posso
dimenticare l'enorme massa di fenomeni fisici alla cui coordinazione sono sì bene adatti la
meccanica e l'elettromagnetismo classici; è questo un risultato acquisito che non intendo affatto
compromettere, a costo di apparire conservatore a qualche nostro collega”
→ Brillouin non intende cambiare paradigma, considera la situazione un affare di “cintura di protezione”
del nucleo del paradigma classico, è ostile alla possibilità di uno slittamento di programma di ricerca,
per non parlare di un'eventuale rivoluzione scientifica.
Gliozzi: quale avvenimento eccezionale impose l'accettazione della nuova fisica? Nessuno. La
teoria si impose piano piano grazie alla sua fecondità – capacità di spiegare e di prevedere nuove
evidenze sperimentali, e alla morte della vecchia generazione di fisici (“principio di Planck”). Inoltre
“la rivoluzione trovò essa stessa metodi accomodanti, modus vivendi, che a poco a poco tutti
accettarono. L'estrema piccolezza della costante h di Planck porta di conseguenza che nei fenomeni
dove intervengono numerosi quanti, la discontinuità sparisce, per lasciar posto a un'apparente
continuità”
A.H. Compton (1892-1962), USA
Nobel 1927
1923: Proprietà corpuscolari
della radiazione: la luce
perde quantità di moto
(discrete) nell'urto con
l'elettrone – urto analogo a
quello tra palle da biliardo
Classicamente: l'elettrone
riceve e diffonde l'onda
con la stessa λ.
“Dal punto di vista della teoria quantistica noi possiamo supporre che un
qualche particolare quanto di radiazione X spenda tutta la sua energia su un
qualche particolare elettrone. Questo elettrone, a sua volta, diffonderà il
raggio in una qualche direzione definita, formante un certo angolo con la
direzione del fascio incidente. Questa variazione della direzione del
quanto di radiazione si accompagna ad una variazione del suo
momento. Conseguentemente l'elettrone diffondente rinculerà con un
momento uguale alla variazione del momento del raggio X
[conservazione della quantità di moto totale del sistema]. L'energia del
raggio diffuso sarà uguale a quella del raggio incidente diminuita
dell'energia cinetica dell'elettrone diffondente che rincula [conservazione
dell'energia cinetica] e poiché il raggio diffuso deve essere un quanto
completo, la sua frequenza sarà ridotta nello stesso rapporto
dell'energia. Perciò, in base alla teoria quantistica, noi dovremmo
aspettarci che la lunghezza d'onda del raggio X diffuso sia più grande di
quella del raggio X incidente.”
A.H. Compton, A quantum theory of the scattering of X-rays by light
elements
Due picchi in diffusione:
elettrone esterno, quasi
libero → si misura Δλ;
elettrone interno (legato
fortemente al nucleo →
rinculo piccolissimo, Δλ
→ 0)
Quanti di luce:
una conseguenza probabilistica
Dalla “quantizzazione” della luce deriva una prima interpretazione probabilistica.
Nel regime di bassa intensità, infatti:
Es: luce di frequenza 5·10 ^14 Hz (visibile)
→ il quanto ha energia E = hν = 6.63 x 10^(-34) J s ·5·10^14 Hz = 3.32 ·10^(-19) J
luce: riempie lo spazio circostante la sorgente di campi elettromagnetici che la costituiscono,
ovvero con energia caratterizzata da una densità che diminuisce indefinitamente e che può
assumere valori anche estremamente piccoli: intensità decresce con r come 1/r²
Fisica classica - a grandi r: il campo c'è sempre: piccolo, ma c'è
Esempio: sorgente che emette tale luce con intensità di 1 W per m²
→ superficie di 1 m² di sfera di raggio 1 m centrata su sorgente è attraversata
in 1 s da un numero di quanti: 1 J/3.32 · 10 ^(-19) J/quanto=3·10^18
quanti
→ superficie di 1 m² di sfera di raggio 10 m : 3·10^16 quanti
→ superficie di 1 m² di sfera di raggio 10^20 m : 3·10^(-22) quanti
ma i quanti sono indivisibili! → 3.32·10^(21) s per avere buona probabilità
Fisica quantistica – a grandi r: il campo potrebbe esserci o non esserci
J. J. Thomson, 1896


Scopre la particella – elettrone (il
figlio scoprirà l'onda - elettrone)
Primo modello dell'atomo:
"panettone" con l'uvetta
il
Indip. dal materiale di cui è fatto, il catodo
emette fasci di particelle di carica negativa
e di massa 1/2000 dell'atomo (chimico) H
Ernest Rutherford, 1910



Esperimento con Geiger e l'allievo Marsden
"It was quite the most incredible event that has ever happened to me in my life. It was almost as
incredible as if you fired a 15-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit you."
(Rutherford)
"Una scoperta scientifica rimosse l'ostacolo maggiore: la suddivisione dell'atomo. Il crollo del modello
atomico fu equivalente, nel mio spirito, al crollo del mondo intero. Improvvisamente le mura più solide
caddero. Non mi sarei sorpreso se una pietra mi fosse apparsa nell'aria davanti ai miei occhi e diventasse
invisibile" (Kandinsky)
Modello atomico di Rutherford, 1911:
“l'atomo planetario”
•
Particelle α diffuse: 1/8000 ca. subisce forte deviazione, no spiegabile con il modello di carica
“distribuita” di Thomson
→ nell'atomo esiste un nucleo positivo: la carica + è concentrata in piccolo volume, 10^(-15) m
→ la materia è “vuota”
•
frequenza di orbitazione 10^15 Hz
l'elettromagnetismo prescrive:
il moto orbitale dell'elettrone è moto accelerato di una carica
→ emissione di energia
→ instabilità della materia (Volume → 0)
→ spettro continuo di emissione
E = - (cost) e²/r
Ernest Rutherford (1871-1937)
•
Neozelandese, lascia la fattoria con una borsa di studio per GBR
•
Studia da J.J. Thomson, Cavendish Lab.
•
McGill University, Canada
•
Contatore di Rutherford-Geiger
•
Stima dell'età della Terra
•
Premio Nobel 1908 per la chimica ...“la più incredibile delle trasmutazioni”
•
Primo “alchemista” di successo: converte N → O (nel suo stemma nobiliare inserisce
Ermete Trismegisto, oltre ad un kiwi)
•
Gran vocione...
“La semplicità, la chiarezza di pensiero, la grande intuizione e
il temperamento incisivo sono gli elementi caratteristici della
sua personalità […] il tratto principale della sua intelligenza
era la profonda indipendenza e, quindi, il coraggio.[...] la sua
abilità nella direzione del lavoro, la sua capacità di sostenere
il giovane scienziato”
P. Kapitsa (suo allievo al Cavendish)
Modello atomico di Bohr
“Ora vogliamo però considerare l'azione dell'irraggiamento, valutandola, come al solito, attraverso l'accelerazione
dell'elettrone. In questo caso l'elettrone non descriverà più orbite stazionarie. [L'energia] diminuisce con continuità e
l'elettrone si avvicina al nucleo, descrivendo orbite sempre più piccole con frequenza sempre maggiore; mentre
l'elettrone acquista in media energia, l'intero sistema ne perde. Questo processo continua fino a quando le dimensioni
dell'orbita diventano dell'ordine di quelle dell'elettrone o del nucleo. Un semplice calcolo mostra che l'energia
irraggiata è enormemente più grande di quella emessa negli ordinari processi molecolari. E' chiaro che il
comportamento di tale sistema deve differire notevolmente da quello degli atomi esistenti in natura. Anzitutto sembra che
gli atomi reali nel loro stato di normale permanenza abbiano dimensioni e frequenze assolutamente determinate.
Inoltre, se consideriamo un processo molecolare qualsiasi, il risultato sembra essere sempre il seguente: dopo che una
certa quantità di energia è stata irraggiata, quantità che è sempre caratteristica per i sistemi in questione, questi vengono a
trovarsi ancora in uno stato di equilibrio stabile, nel quale le distanze relative delle particelle sono dello stesso ordine di
grandezza delle distanze esistenti prima del processo.” (N. Bohr, The constitution of atoms and molecules)
Hp di Bohr:
atomo “classico” (Rutherford)
ma senza irraggiamento (ipotesi ad hoc)
L = mvr = nh/2π
perché proprio L?
quantizzazione del momento angolare
quantizzaz.
→ è dimensionalmente omogeneo a h (azione)
→ vige principio di conservazione di L
→
r = (cost)n²
E = -(cost)/n²
atomo di idrogeno: per n=1: E = -13.6 eV;
con n=1,2,3.... (“n.ro quantico principale”)
r = 0.53 x 10^(-10) m
(raggio di Bohr)
Niels Bohr (1885-1962)
•
Danese, Copenhagen
•
Influenze filosofiche (Kierkegaard)
•
premio Nobel 1922
•
Buon calciatore (fratello Harald)
•
Piuttosto oscuro nelle spiegazioni
•
“Bulldog”, non molla l'osso (es. Schroedinger)
→ l'interpretazione ortodossa della meccanica quantistica
(“Scuola di Copenhagen”)
“Il giardino incantato della spettroscopia”
(M. Planck)
Solidi, liquidi: emissione di spettro continuo
Gas: emissione di spettro discreto
Rydberg, formula empirica (1888) per le frequenze ν
della luce emessa:
ν = cR (1/n1²-1/n2²) con n1=1, 2, 3,...; n2 > n1
n1=1 serie di Lyman; n1=2 serie di Balmer
n1=3 serie di Paschen; n1=4 serie di Brackett
con R costante (di Rydberg) fenomenologica
→ interpolando sui dati sperimentali:
R=1.0972 x 10 ^7 /m
Interpretazione della spettroscopia con l'atomo di Bohr
4
4
Se E = -me/8ε²h²n² → ΔE = -me/8ε²h² (1/n1²-1/n2²)
da cui si ricava il valore teorico di R di Rydberg: 1.1 · 10^7/m
(exp. è: R=1.0972 · 10^7/m)
“L'argomento più convincente a sostegno dell'ipotesi dei quanti è però la teoria
atomica fondata e sviluppata da Niels Bohr. Toccò infatti a questa teoria di scoprire
infine nel quanto di azione la chiave che dà adito al giardino incantato della
spettroscopia, che, da quando era stata scoperta l'analisi spettrale, aveva resistito
ostinatamente a tutti i tentativi fatti per entrarvi”
(M. Planck, La conoscenza del mondo fisico)
Per n grande → emissione classica (principio di corrispondenza; Bohr, 1918)
– valenza epistemologica -
Franck-Hertz, 1914
Tubo a raggi catodici con gas di
specie atomica (es. Hg):
viene variato il potenziale di
accelerazione degli elettroni
del fascio
→ in corrispondenza di energie ben
precise gli elettroni cedono l'energia
agli atomi del gas
→ picchi nella corrente misurata
→ Mostrano la quantizzazione dei
livelli energetici dell'atomo
Nobel , 1925
Pro-contra dell'atomo di Bohr
SI
•
Predice le linee spettrali dell'atomo di idrogeno (serie di Lyman, Balmer, etc.) con alta precisione
•
Dà una formula per la costante di Rydberg, accurata fino a varie cifre significative
•
Spiega i livelli di ionizzazione dell'idrogeno
•
Spiega le dimensioni dell'atomo di idrogeno, e, indirettamente, degli altri atomi
•
Dà senso all'esperimento di Franck-Hertz: i livelli energetici atomici sono quantizzati
•
Spiega la differenza tra nr. di linee di assorbimento e di emissione
•
Funziona bene per gli atomi alcalini (H-like: “core” Z-1 più elettrone esterno)
•
predizione dell' Hafnio (sulla base del suo modello deve appartenere al gruppo dello Zirconio, e non ai
Lantanidi). (Hafnio=Copenhagen)
•
Per Popper: momento in cui la chimica si riduce alla fisica atomica.
NO:
•
Non funziona per gli atomi con più di un elettrone
•
Intensità variabile delle linee spettrali osservate
•
Effetti anomali Zeeman e Stark non spiegabili
Perfezionamento del modello:
Sommerfeld (1918): orbite ellittiche
(soluzione per potenziali centrali del
tipo 1/r) + velocità relativistica
dell'elettrone
→ struttura fina dello spettro
Esperimento delle due fenditure di Young?
→ ora che la luce è quantizzata, come si può ancora avere interferenza e diffrazione, fenomeni
tipicamente ondulatori?
← In teoria un fascio di particelle
dovrebbe diffrangere così...
...ma in pratica dà invece una serie di
frange di interferenza
L'esperienza mostra interferenza anche quando l'intensità è molto bassa, interferenza di singolo
fotone !
→ il modello corpuscolare (fotone) non è utilizzabile in questo caso!
“Bohr and his followers (the 'Copenhagen School') said this: under the experimental conditions
designed to see the electrons as discrete particles, they are discrete particles at that time.
But under the experimental conditions to see the electrons as continuous waves, they are
continuous waves at that time! In other words, the 'true' nature of the electron (and all other
elementary particles of matter) is dependent on how a macro-observer chooses to see it –
even though the discrete particle and continuous wave models are logically dichotomous [This
view, takeb by the Copenhagen School, iscompatible with the philosophical stand of logical
positivism.] (Mendel Sachs)
Essere= essere percepito
To be = to be experimented
Le relazioni tra onda e particella
E = hν
P = h/λ
“dualismo della luce”: essa può essere interpretata
tanto come onda quanto come particella
→ punto di arrivo degli slittamenti di programma di ricerca
in ottica, da corpuscolare, a ondulatorio, a corpuscolare e
ondulatorio?
Estensione del dualismo alla materia
•
De Broglie, tesi di laurea, 1924:
“ribalta” l'equazione p = h/λ :
λ=h/p
alla particella di momento è associata un'onda di lunghezza λ;
λ è la “lunghezza d'onda di De Broglie” della particella
→ meccanica ondulatoria
“Riassumiamo anzitutto le ragioni che ci hanno condotto, tra il 1923 e il 1924, ad enunciare le idee fondamentali della
meccanica ondulatoria. In quell'epoca, la scoperta dell'effetto Compton e lo studio dell'effetto fotoelettrico dei raggi
X avevano confermato la concezione dei quanti di luce di Einstein. La struttura discontinua delle radiazioni e
l'esistenza dei fotoni non si potevano più mettere in dubbio. Si imponeva allora, sempre più acuto, il temibile
dilemma delle onde e dei corpuscoli per quel che riguardava la natura della luce. Bisognava di buona o di mala voglia
ammettere che il modello delle onde e quello dei corpuscoli dovevano essere volta a volta utilizzati nella descrizione
completa delle proprietà della radiazione e la relazione fra frequenza ed energia posta da Einstein a base della teoria
dei fotoni legava intimamente questo dualismo della radiazione all'esistenza dei quanti. Ci si poteva chiedere perciò
se questo strano dualismo di onde e corpuscoli, di cui la luce fornisce un esempio tanto notevole e sconcertante, non
traducesse poi nei fenomeni la natura profonda e nascosta del quanto d'azione e se non si dovesse trovare lo stesso
dualismo dovunque fosse presente la costante di Planck. Sorgeva allora spontanea una domanda: poiché
l'esistenza degli stati stazionari nell'atomo dimostra l'intervento del quanto d'azione nelle proprietà
dell'elettrone, non presenterà l'elettrone un dualismo analogo a quello della luce? A prima vista quest'idea
pareva molto audace perché l'elettrone si era sempre comportato come un punto materiale elettricamente carico e
obbediente alle leggi della meccanica classica (corretta in certi casi dal relativismo di Einstein). L'elettrone non aveva
mai manifestato proprietà nettamente ondulatorie analoghe a quelle della luce nei fenomeni di interferenza e
diffrazione. In assenza di ogni prova sperimentale, l'attribuire all'elettrone e, più generalmente, ai corpuscoli materiali
un aspetto ondulatorio, singolari constatazioni si presentavano allo spirito [...]
“Altre constatazioni ci spingevano nel medesimo verso. Se era vero che l'elettrone
nei fenomeni macroscopici si era sempre comportato come un semplice
corpuscolo, non si era dovuto imporgli delle strane condizioni di
quantizzazione in cui comparivano dei numeri interi per esprimere il suo
modo di comportarsi nell'interno degli atomi? Un tale modo di completare,
restringendola, l'applicazione della dinamica classica all'elettrone ne indicava
abbastanza bene l'insufficienza e stabiliva nettamente che le proprietà
dell'elettrone non erano sempre quelle di un semplice corpuscolo.
Riflettendovi, l'intervallo dei numeri interi per caratterizzare gli stati
stazionari degli elettroni atomici appariva sintomatico. Infatti i numeri interi
si incontrano in tutti i rami della fisica in cui si considerano delle onde: in
elasticità, in acustica, in ottica. Essi intervengono nei fenomeni di onde
stazionarie, di interferenza e di risonanza. Si poteva dunque pensare che
l'interpretazione delle condizioni di quantizzazione condurrebbe ad
introdurre un aspetto ondulatorio degli elettroni atomici. Appariva dunque
urgente e fecondo attribuire all'elettrone e, più generalmente, a tutti i
corpuscoli una natura dualistica analoga a quella dei fotoni dotandoli di un
duplice aspetto, ondulatorio e corpuscolare, fondato sul quanto di azione.”
(L.-V. De Broglie, I quanti e la fisica moderna)_
Luis-Victor de Broglie (1892-1987), FRA
Nobel 1929
Esperimenti di Davisson-Germer e G.P. Thomson
•
1927, Bell Labs – esperimenti con raggi catodici; piccolo incidente → l'anodo si
“danneggia” e diventa da policristallo a cristallo regolare
•
Osservano pattern regolare di diffrazione → serendipity + conoscenza del
problema
Meccanica ondulatoria
•
Particella in buca di potenziale infinito
E
n=3
→ l'energia non è un continuum, ma è definita solo
per stati tali che
λ = 2L/n con n =1,2,3,...
n=2
e quindi, poiché p = h/λ
l'energia cinetica della particella risulta
E=h²n²/8mL²
n=1
Meccanica ondulatoria → onda
•
Ci si inizia ad interrogare sulla legge del moto dell'onda
•
Sostituire la legge di Newton con una nuova legge che tenga presente la natura ondulatoria
delle particelle e che contenga la costante di Planck
“La radiazione emessa, per mezzo della frequenza e dell'intensità, fornisce un quadro dell'orbita
elettronica; essa rappresenta ciò che i matematici chiamano espansione di Fourier
dell'orbita. Veniva da sé l'idea che le leggi meccaniche dovessero venir scritte non come
equazione delle posizioni e delle velocità degli elettroni ma come equazioni delle
frequenze e delle ampiezze della loro espansione di Fourier”
(Heisenberg, Fisica e filosofia)
Meccanica delle matrici
(Heisenberg)
Meccanica ondulatoria
(Schroedinger)
Dirac
Importanti ricadute sulla teoria di Bohr:
Elettrone → gli è associata un'onda → deve essere un'onda stazionaria attorno al nucleo,
ovvero, per l'orbita di raggio r:
2πr = nλ (circonferenza ↔ multiplo della lunghezza d'onda)
= nh/p
→ pr=nh/2π
pr è il momento angolare (mvr)
l'ipotesi ad hoc di Bohr (quantizzazione del momento
angolare) è ora una conseguenza di leggi più generali
Corpo è descritto da onda → Verso il principio di indeterminazione
Particella con p → onda con λ associata (pilot wave, Führerfeld, Gespensterfeld)
ma l'onda così non è localizzata (= non è una particella)
→ per localizzarla: sovrapporre (serie di Fourier) onde con diversi valori di λ
← Δλ →
Pacchetto d'onde |y(x)|² a t=0
Pacchetto d'onde a t >0
Range Δλ utilizzato per le componenti
del pacchetto
→ ottengo localizzazione ma al prezzo di avere un range nelle λ (cioè, per De Broglie, in p): Δλ
→ Δp; maggiore incertezza in λ (più componenti) e maggiore è la localizzazione
Δλ piccolo
Δx grande
|y(x)|²
Δλ grande
Δx piccolo