Esercizi di Statistica ∼ Laurea in Biologia Molecolare Francesco

Esercizi di Statistica ∼ Laurea in Biologia Molecolare
Francesco Caravenna
Foglio 3. (26–30 aprile 2010)
Esercitazione del 29 aprile 2010
Esercizio 1. Lancio tre volte un dado regolare a sei facce. Indichiamo con X il numero
di volte che è uscito “1”. Abbiamo visto che X è una variabile aleatoria che assume
i valori X(S) = {0, 1, 2, 3}, P (X = 0) = ( 56 )3 con probabilità P (X = 0) = ( 56 )3 ,
P (X = 1) = 3( 61 )( 56 )2 , P (X = 2) = 3( 16 )2 ( 65 ) e P (X = 3) = ( 16 )3 .
a) Si determinino E(X), E(X 2 ) e V ar(X), mediante calcolo diretto oppure notando
che. . .
5
[E(X) = 21 , V ar(X) = 12
≈ 0.42, E(X 2 ) = 23 ≈ 0.67; si noti che X ∼ B(3, 16 ).]
b) Decido di partecipare al gioco seguente: pago 1e come prezzo di entrata; viene
lanciato tre volte il dado e ricevo 2.5e per ogni volta che esce “1”. Indichiamo
con Y il mio guadagno (con segno!). Si esprima Y in funzione di X e si calcolino
E(Y ), E(Y 2 ), V ar(Y ), P (Y > 0).
[Y = 2.5X − 1, E(Y ) = 2.5E(X) − 1 = 0.25, V ar(Y ) = (2.5)2 V ar(X) =
5
1
≈ 2.6, E(Y 2 ) = V ar(Y ) + E(Y )2 = 125
6.25 12
= 125
+ 16
= 128
= 83 ≈ 2.67,
48
48
48
1
P (Y > 0) = P (X > 2.5
) = P (X > 0.4) = P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) =
5 3
1 − ( 6 ) ≈ 0.42. Si osservi in particolare che E(Y ) > 0 ma P (Y > 0) < 50%!]
Esercizio 2. Acquistiamo una confezione di 20 DVD registrabili. Supponiamo che
ciascun DVD abbia la probabilità dell’1% di essere guasto, indipendentemente dagli
altri. Si indichi con X il numero di DVD guasti presenti nella confezione.
a) Si determini l’insieme dei valori X(S) assunti da X e le corrispondenti
1 probabilità.
20
99 n−k
[X ∼ B(20, 0.01), dunque X(S) = {0, . . . , 20} e P (X = k) = k ( 100 )k ( 100
) ,
per ogni k ∈ X(S)]
b) Qual è la probabilità che nella confezione ci siano esattamente 2 DVD guasti? E
99 1
che ce ne siano almeno 2?
[P (X = 2) = 20
( 1 )2 ( 100
) 8 ≈ 0.016, P (X ≥ 2) =
2 100
20
20
1 0 99 20
1 1 99 19
1 − P (X ≤ 1) = 1 − 0 ( 100 ) ( 100 ) − 1 ( 100 ) ( 100 ) ≈ 0.017]
Esercizio 3. Si sa che nei libri prodotti da una certa casa editrice ciascuna pagina
1
può contenere refusi con probabilità 20
, indipendentemente dalle altre pagine. Qual è
la probabilità che, scelto un libro a caso di 100 pagine, questo contenga al più una
1
1
pagina con refusi? [P (B(100, 20
) ≤ 1) = ( 19
)100 + 100 · 20
· ( 19
)99 ≈ 0.037]
20
20
Esercizio 4. Si sa che i libri prodotti da una certa casa editrice contengono in media
5 pagine con refusi. Qual è la probabilità che, scelto un libro a caso, questo contenga
al più una pagina con refusi? [P (Po(5) ≤ 1) = e−5 (1 + 5) ≈ 0.0404 – si noti che
P (B(100, 1/20) ≤ 1) ≈ 0.037]
1
2
Esercizio 5 (Da svolgere a casa). In una fabbrica vengono prodotti 10000 circuiti
stampati al giorno. Si sa che ciascun circuito ha probabilità 1/2500 di essere guasto.
a) Qual è la probabilità che domani vengano prodotti più di 2 circuiti stampati
difettosi? [P (B(10000, 1/2500) > 2) = 1 − P (B(10000, 1/2500) ≤ 2) ≈ 76.195%]
b) Si esegua il calcolo al punto precedente usando l’approssimazione di Poisson.
[10000 · 1/2500 = 4 quindi P (Po(4) > 2) = 1 − P (Po(4) ≤ 2) ≈ 76.190%]