DistrProb16_bis
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Distribuzioni di probabilità nel continuo Prof.ssa Fabbri Francesca Classe 5C Variabili casuali continue Introduzione: Una Variabile Casuale o Aleatoria è una grandezza che, nel corso di un esperimento aleatorio, può assumere valori non noti a priori. E1, E2,…, En Se X assume tutti i valori di un intervallo [a;b], allora X è una Variabile Casuale (o Aleatoria) Continua. Esempi: 1. le altezze o i pesi di un gruppo di persone; 2. i diametri delle sfere di un cuscinetto; 3. le lunghezze delle viti; 4. la durata di un tipo di lampadine; 5. il tempo impiegato a svolgere una certa attività (si dice spesso “il tempo varia con continuità”…)… Funzione densità di probabilità Osservazione: Per le Variabili Casuali Continue non ha senso calcolare la probabilità che X assuma un particolare valore x0 di X ma piuttosto ci si concentra sulla probabilità che X assuma valori compresi fra x1 e x2, dove x1 , x2 ∈[ a;b ] ⊂ ! Per il calcolo si usa allora di funzione di densità di probabilità f(x) che è definita come segue: (la funzione, non negativa, racchiude con l’asse delle x un’area uguale a 1) Funzione densità di probabilità Con le condizioni indicate in definizione, la probabilità che X assuma valori compresi fra x1 e x2 è allora: P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = ∫ f ( x )dx x2 x1 Se l’intervallo [a;b] è finito, si ha: f ( x ) = 0, per x < a ∨ x > b così l’area coincide con quella relativa all’intervallo [a;b]. Il valore della probabilità è uguale all’area compresa fra il grafico di f(x) e l’asse delle ascisse nell’intervallo [x1;x2]. Funzione di ripartizione Analogamente al caso delle V. C. Discrete, si può parlare di: 1. F(x) è uguale all’area compresa fra il grafico della funzione di densità f(x) e l’asse delle ascisse in (-inf;x]; 2. F(x) è una primitiva di f(x): F ′(x) = f (x) 3. si ha: P x ≤ X ≤ x = F x − F x ( 1 2 ) ( 2) ( 1) Valore atteso e Varianza di V.C.C. M (X) = ∫ +∞ −∞ +∞ x ⋅ f ( x ) dx ( ) var ( X ) = ∫ [ x − M(X)] ⋅ f ( x ) dx = M X 2 − ⎡⎣ M ( X )⎤⎦ −∞ 2 2 Esempio risolto Se una V.C.C. varia in [0;2] con funzione densità di probabilità: ⎧ x3 ⎪ f (x) = ⎨ 4 ⎪0 ⎩ se 0 ≤ x ≤ 2 se x < 0 ∨ x > 2 Verificare che sia veramente una funzione di densità: • f(x)>=0 per ogni x appartenente all’intervallo [0;2] à ok 2 ⎡ x4 ⎤ • Inoltre 2 x 3 à ok ∫ 0 4 La funzione di ripartizione è: dx = ⎢ ⎥ = 1 ⎣ 16 ⎦ 0 +∞ 2 −∞ 0 M ( X ) = ∫ x ⋅ f ( x ) dx = ∫ x ⋅ x3 8 dx = ... = 4 5 2 2 2 x3 ⎛ 8 ⎞ 8 oppure = M(X )− [ M(X)] = ∫ x ⋅ dx − ⎜ ⎟ = ...= 0 4 ⎝ 5⎠ 75 2 2 2 2 ∫ 2 3 8 ⎛ 8⎞ x var ( X ) = ∫ [ x − M(X)] ⋅ f ( x ) dx = ∫ ⎜ x − ⎟ ⋅ dx = ...= −∞ 0⎝ 5⎠ 4 75 +∞ se x < 0 ⎧0 ⎪ x 3 x4 ⎪ t F(x) = ⎨ dt = se 0 ≤ x ≤ 2 16 ⎪ 0 4 1 se x > 2 ⎪ ⎩ Se si chiede, ad es: x3 dx = ... = 0,25 1 4 ⎡ x4 ⎤ oppure = F(1,5) − F(1) = ⎢ ⎥ = ... = 0,25 ⎣ 16 ⎦ P (1 ≤ X ≤ 1,5 ) = ∫ 1,5 Distribuzione uniforme continua Vale: P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = ∫ Si dimostra che: +∞ M ( X ) = ∫ x ⋅ f ( x ) dx = −∞ x2 x1 1 x −x dx = 2 1 b−a b−a a+b 2 2 b − a) ( var ( X ) = ∫ [ x − M(X)] ⋅ f ( x ) dx = −∞ +∞ 2 La funzione di ripartizione è: se x < a ⎧0 ⎪ ⎪x − a F(x) = ⎨ se a ≤ x ≤ b ⎪b − a se x > b ⎪ ⎩1 12 Distribuzione normale o gaussiana Fra tutte le funzioni di densità di probabilità, quella normale è fra le più importanti perché approssima in modo soddisfacente tutte le situazioni in cui la maggior parte dei valori di X si concentra attorno ad uno particolare. ( N µ; σ 2 ) indica una V.C. Normale dove i parametri e indicano il valor medio e la deviazione standard della variabile casuale. Distribuzione normale o gaussiana La curva che rappresenta la funzione gaussiana è nota come curva degli errori accidentali o curva a campana • è simmetrica rispetto alla retta x= ; • ha un massimo in M ⎛⎜ µ; 1 ⎞⎟ ⎝ σ 2π ⎠ • l’asse delle ascisse è asintoto orizzontale; • ha due flessi in corrispondenza di µ −σ;µ +σ Distribuzione normale o gaussiana A parità di valore medio ma diversi , si osserva che si ha: • basso è curva “appuntita” (ossia i valori di X si avvicinano in gran parte al valore medio ) • alto è curva “appiattita” (ossia i valori di X sono piuttosto distribuiti rispetto al valore medio ) Distribuzione normale standardizzata Per il calcolo dei valori di probabilità ci si riconduce sempre però alla normale standardizzata che ha valore medio = 0 e deviazione standard =1 N(0;1) Essa corrisponde alla funzione gaussiana 2 1 − z2 f (z) = e 2π dove z = x − µ σ ossia si “standarizza” la variabile casuale X nella variabile casuale Z = X − µ σ Distribuzione normale o gaussiana N.B. I valori della funzione di ripartizione della normale standardizzata sono calcolati in apposite tabelle (Tavole di Sheppard) che consentono di determinare qualsiasi valore di probabilità abbastanza agevolmente, altrimenti si usano dei software matematici per risolvere gli integrali coinvolti. Tali tabelle forniscono il valore delle aree sottostanti la curva f(z) in un particolare intervallo; quella del nostro testo, per l’intervallo [0;z], quindi F(z) = P(0 < Z < z) altre per l’intervallo ]−∞;z[ per cui F(z) = P(−∞ < Z < z) La parte annerita rappresenta l’area sottostante la distribuzione normale standardizzata dalla media aritmetica a z. z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1.9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594 34134 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128 47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653 49745 49813 49865 49903 49931 49952 49966 49977 49984 49989 49993 49995 00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859 34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193 47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819 49869 49906 49934 49953 49968 49978 49985 49990 49993 49995 00792 04776 08706 12552 16276 19847 23237 26424 29389 32121 34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257 47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825 49874 49910 49936 49955 49969 49978 49985 49990 49993 49995 01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32381 34849 37076 39065 40824 42364 43699 44845 45818 46637 47320 47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831 49878 49913 49938 49957 49970 49979 49986 49990 49994 49996 01595 05567 09483 13307 17003 20540 23891 27035 29955 32639 35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381 47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585 49693 49774 49836 49882 49916 49940 49958 49971 49980 49986 49991 49994 49996 01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32';94 35314 37493 39435 41149 42647 43943 45053 45994 46784 47441 47982 48422 48778 49061 49286 49461 49598 49702 49781 49841 49886 49918 49942 49960 49972 49981 49987 49991 49994 49996 02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500 48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846 49889 49921 49944 49961 49973 49981 49987 49991 49994 49996 02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398 35769 37900 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558 48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851 49893 49924 49946 49962 49974 49982 49988 49992 49995 49996 03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646 35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615 48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856 49897 49926 49948 49964 49975 49983 49988 49992 49995 49997 03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891 36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670 48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49736 49807 49861 49900 49929 49950 49965 49976 49983 49989 49992 49995 49997 Come si legge la Tavola di Sheppard N.B. La stessa tavola di Sheppard, data la simmetria della curva gaussiana, può essere usata anche per valori negativi della variabile Z: P ( −z < Z < 0 ) = P ( 0 < Z < z ) inoltre P ( −∞ < Z < −z ) = P ( z < Z < +∞ ) = = P ( 0 < Z < +∞ ) − P ( 0 < Z < z ) = F(z) = P(0 < Z < z) = Valori dell’integrale di probabilità della distribuzione normale standardizzata 1 − P (0 < Z < z) 2 128 Come si legge la Tavola di Sheppard In questa tavola sono indicati i valori per cui è: F(z) = P(−∞ < Z < z) Esempio Per calcolare P(1,43<Z<2,56) occorre fare, con la prima delle tavole allegate: P(0<Z<2,56)-P(0<Z<1,43)= =0,4948-0,4236=0,0712 Con la seconda tavola: P(Z<2,56)-P(Z<1,43)= 0,9948-0,9236=0,0712 La curva normale Di questo risultato se ne era già parlato lo scorso anno! La curva normale e… Link su collezioni.scuola.zanichelli.it
