Un modello di Markov per la determinazione del rendimento atteso di un’obbligazione rischiosa Analisi dei Sistemi Finanziari 1 Giugno, 2007 Cristina Manfredotti Dipartimento di Informatica, Sistemistica e Comunicazione (D.I.S.Co.) Università degli Studi Milano-Bicocca [email protected] Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Effetti del rischio di insolvenza sui rendimenti di obbligazioni detenute fino a scadenza Rendimento atteso ≠ Si calcola prendendo in considerazione sia la probabilità di insolvenza futura dell’obbligazione, sia la percentuale del capitale che i detentori pensano di poter recuperare in caso di insolvenza. Cristina Manfredotti Rendimento promesso Rendimento a scadenza dell’obbligazione, tasso interno di rendimento calcolato sulla base del prezzo di mercato corrente dell’obbligazione, dei suoi pagamenti promessi e del rendimento finale promesso sul capitale D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Cosa faremo oggi: • Useremo un modello di Markov per determinare il rendimento attesso di un’obbligazione rischiosa, considerando: – Probabilità di insolvenza – Transizione dell’emittente da uno stato creditizio ad un altro – La percentuale di recupero del valore nominale in caso di insolvenza In laboratorio: programmeremo un foglio di lavoro usando il modello studiato e statistiche “reali” e mostreremo come questo modello possa essere usato per derivare la misura di rischio del CAMP relativa ai titoli. Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Nozioni preliminari (1) • Un’obbligazione è emessa per un certo ammontare di capitale o valore nominale. Quando l’obbligazione scade, il detentore del titolo si attende la restituzione di questo capitale. • Un’obbligazione matura un tasso di interesse chiamato cedola. Il pagamento periodico promesso al detentore del titolo è pari al prodotto tra questo tasso e il valore nominale dell’obbligazione. • In ogni momento, un’obbligazione può essere venduta al prezzo di mercato. Questo prezzo può differire dalla cedola dell’obbligazione. • Il rendimento a scadenza è il tasso interno di rendimento dell’obbligazione, nell’ipotesi che essa sia detenuta fino a scadenza e che non vada in insolvenza. • Quando un’obbligazione diventa insolvente, il suo detentore riceve di solito un certo ammontare, definito percentuale di recupero (di gran lunga inferiore alla cedola promessa o al rimborso del capitale). Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Nozioni preliminari (2) Le obbligazioni emesse dalle società sono classificate da varie agenzie sulla base dell’abilità dell’emittente di fare fronte ai pagamenti dell’obbligazione: schema di classificazione di due agenzie di rating internazionali, Standard&Poors e Moody’s: Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Calcolo del rendimento atteso: caso uniperiodale (1) Il rendimento a scadenza è diverso dal rendimento atteso. Perché il rating dell’obbligazione e il ritorno previsto del detentore del titolo in caso di insolvenza influenzano il suo rendimento atteso. Calcoliamo il rendimento atteso di un’obbligazione a 1 anno, nell’ipotesi che essa diventi insolvente alla scadenza … Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Calcolo del rendimento atteso: caso uniperiodale Calcoliamo il rendimento atteso di un’obbligazione a 1 anno, nell’ipotesi che essa diventi insolvente alla scadenza … Siano: F, valore nominale dell’obbligazione P, prezzo dell’obbligazione Q, cedola annuale del titolo p, probabilità che l’obbligazione NON diventi insolvente alla fine dell’anno l, frazione del valore dell’obbligazione recuperata dal detentore in caso di insolvenza Rendimento atteso: [p * (1 + Q) * F + (1 - p) * l * F] / P – 1 Flusso di cassa atteso alla fine dell’anno Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Estendiamo il caso precedente a più periodi … Modello markoviano multiperiodale multistato Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Catena di Markov(1) Un processo stocastico a tempi discreti è una catena di Markov se, per t = 1, 2, 3, … e per tutti gli stati, si ha che: P( Xt+1 = i | Xt, Xt-1, …, X1, X0) = P( Xt+1 = i | Xt ) Date le probabilità iniziali: P(X0) Abbiamo che P(X0, X1, …, XK) = P(XK|XK-1, …, X1) P(XK-1, …, X1) = P(XK|XK-1) … P(X1|X0)P(X0) 9 Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Matrice delle probabilità P= p11 p12 …. p1n p21 p22 …. p2n pn1 pn2 …. pnn pij n dove: ∑ pij = 1 j=1 rappresenta la probabilità di raggiungere uno stato j partendo da uno stato i della catena. Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Esempio (1) Supponiamo che un’industria produca due tipi di Cola. Una persona che, all’acquisto precedente, ha comprato Cola1, per il 90% di possibilità comprerà ancora Cola1. Chi ha comprato invece Cola2, per l’80% di possibilità comprerà ancora Cola2. Matrice dell probabilità: Cola1 Cola1 0.90 0.10 Cola2 0.20 0.80 P= Cristina Manfredotti Cola2 D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Esempio (2) 1. Se una persona usualmente compra Cola2, qual è la probabilità che compri Cola1 dopo due acquisti ? P21(2) = P( X2 = 1 | X0 = 2) 2 P = 0.90 0.10 0.90 0.10 0.20 0.80 0.20 0.80 Cristina Manfredotti = 0.83 0.17 0.34 0.66 D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Probabilità di transizione a n-passi Domanda: Se una catena di Markov è in uno stato i al tempo m, qual è la probabilità che dopo n passi sarà in uno stato j ? Pij(n) = P( Xm+n = j | Xm = i) = P( Xn = j | X0 = i) Per n = 2 si avrà che: n Pij(2) =∑ pik · pkj prodotto scalare riga i colonna j k=1 n Risposta Pij(n) = ij-simo elemento di P Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Esempio (3) 1. Se una persona usualmente compra Cola1, qual è la probabilità che compri ancora Cola1 dopo tre acquisti ? P11(3) = P( X1 = 1 | X0 = 1) 3 0.90 P = 0.20 0.10 0.80 Cristina Manfredotti 0.83 0.34 0.17 0.66 = 0.781 0.219 0.438 0.562 D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Probabilità di transizione La probabilità di essere in un certo stato j al tempo n, non conoscendo lo stato del sistema al tempo 0, è: ∑i qi Pij(n) = q · (colonna j di P n ) dove: qi = probabilità che il sistema sia nello stato i al tempo 0. Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Esempio (4) 1. Supponiamo che il 60% delle persone beva Cola1 e il 40% beva Cola2. Dopo tre acquisti, qual è la percentuale delle persone che berranno Cola1? 3 p = q · (colonna 1 di P ) p = 0.60 0.40 Cristina Manfredotti 0.781 = 0.6438 0.438 D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Classificazione degli stati (1) • Uno stato j è raggiungibile da uno stato i se esiste un cammino che da i arriva a j. • Due stati i e j si dice che comunicano se j è raggiungibile da i e viceversa. • Un insieme di stati S in una catena di Markov è un insieme chiuso se nessuno stato fuori S è raggiungibile dagli stati in S. • Uno stato i si definisce stato assorbente se pii = 1. • Uno stato i si definisce stato transiente se esiste uno stato j raggiungibile da i, ma i non è raggiungibile da j. Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Classificazione degli stati (2) • Uno stato che non è transiente viene definito stato ricorrente. • Uno stato i è periodico di periodo k>1 se k è il più piccolo numero tale che tutti i cammini che dallo stato i ritornano ad i hanno una lunghezza che è un multiplo di k. • Se uno stato non è periodico si definisce aperiodico. • Se tutti gli stati in una catena sono ricorrenti, aperiodici e comunicano l’uno con l’altro, la catena si definisce ergodica. Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Modello markoviano multiperiodale multistato: 4 possibili rating per l’obbligazione: A, rating più elevato B, secondo rating più elevato D, l’obbligazione è insolvente per la prima volta (paga l del valore nominale) E, l’obbligazione era già insolvente nel periodo precedente (paga 0 nel periodo corrente ed in qualsiasi periodo futuro) Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Matrice delle probabilità di transizione: p= pij p AA p BA 0 0 p AB p AD p BB 0 p BD 0 0 0 0 0 1 1 : probabilità che in un periodo l’obbligazione passi dal rating i al rating j Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Esempio: 0.99 0.01 0 0.03 0.96 0.01 p= 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 L’insolvenza- lo stato E- è uno stato assorbente. Uno stato i si definisce stato assorbente se pii = 1 La matrice p definisce le probabilità di transizione relativamente ad un periodo. Le probabilità di transizione relative ad n periodi sono fornite dal prodotto matriciale p*p*…*p = p n Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca Ritorno atteso dell’obbligazione: Ricordiamo: Q, cedola dell’obbligazione l, frazione percentuale in caso di insolvenza del titolo Il vettore dei ritorni dell’obbligazione è funzione del periodo nel quale si trova il titolo, che può essere l’ultimo periodo (N) o un periodo precedente (t<N) Ritorno(t) = Q Q l Se t < N 0 1+ Q 1+ Q Se t = N l 0 La differenza tra i due vettori dipende dal rimborso del capitale nel periodo finale. Vettore iniziale: vettore di zeri con 1 nel posto dello stato occupato all’istante corrente E(Ritorno(t)) = vettore iniziale* pt*Ritorno(t) Cristina Manfredotti D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca