Riassunto di formule interessanti

Riassunto di formule interessanti
Considerata la relazione tra la costante K nel vuoto della legge di
Coulomb e la costante dielettrica del vuoto:
K=
a) La legge di Coulomb si può scrivere nel modo seguente:
F=
b) L’intensità del campo elettrico generato da una carica puntiforme è
data da:
E=
c) Il Teorema di Gauss si può formulare nel modo seguente:
d) L’intensità del campo elettrico generato da un piano infinito carico
è data da:
e) L’intensità del campo elettrico nella regione di spazio fra due
distribuzioni piane infinite di carica di segno opposto è data da:
f)
Potenziale elettrico sulla superficie di un conduttore sferico
1
4πε o
1 Qq
4πεo r 2
1
Q
4πε o r 2
G
ΦE =
()
∑Q
i
i
εo
E=
σ
2ε o
E=
σ
εo
V=
1 Q
4πε o R
I conduttori in un campo
elettrostatico
•
•
•
Abbiamo identificato come conduttori quei materiali
dotati di cariche in grado di muoversi all’interno del
conduttore (nella realtà sono mobili solo gli elettroni di
conduzione);
Quando il conduttore viene immerso in un campo
elettrostatico, si ha uno spostamento delle cariche mobili
(elettroni di conduzione)
È facile intuire che quando si raggiunge una
condizione stazionaria:
1. Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo
2. Il campo elettrico immediatamente fuori al conduttore
è perpendicolare al conduttore stesso (la superficie del
conduttore è equipotenziale)
+
+
+
+
+
−
−
−−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
−
−
−
+
+
+
−
+
+
−
+
+
+
− +−
−
+ −
−
−
−
+
+
−
appena inserito
+
+
+
+
+
−
−
−−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
una volta raggiunta la condizione
stazionaria
Un conduttore in condizioni
stazionarie è equipotenziale
Localizzazione della carica sui
conduttori in equilibrio
•
Un conduttore in equilibrio non ha
accumuli di carica al suo interno.
• Eventuali accumuli di carica sono
localizzati sulla superficie del
Se ilconduttore
conduttore ha una superficie sferica, la
distribuzione di carica è uniforme. Il potenziale
sulla superficie è dato da:
V=
1 Q
4πε o R
essendo Q = σ 4πR 2 , il potenziale si può scrivere
anche nel modo seguente:
1 σ ⋅ 4πR 2 σ ⋅ R
V=
=
εo
4πε o
R
Se il conduttore non è sferico, la densità di carica
dipende dal raggio di curvatura locale: più piccolo è il
raggio più grande è la densità! Tale situazione viene
denominata “effetto punta”
+
+
+
+
+
V=
−
−
−−
+
+
+
+
1 Q
4πε o R
−
−
−
−
−
Caso del conduttore inizialmente
neutro
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Caso del conduttore inizialmente
carico positivamente
Effetto “punta”
La densità di carica sulla superficie
esterna di un conduttore è inversamente
proporzionale al raggio di curvatura
della superficie
Consideriamo due conduttori sferici
– Di raggio diverso
– Sufficientemente lontani in modo
da non influenzarsi l’un l’altro
– Connessi elettricamente in maniera
da risultare allo stesso potenziale
1
4πε o
1
V2 =
4πε o
V1 =
q1
R1
q2
R2
R1
σ1
R2
σ2
q1 = 4πR12σ 1
q2 = 4πR22σ 2
q1 q2
=
R1 R2
⇒
4πR12σ 1 4πR22σ 2
=
R1
R2
R1 σ1 = R 2σ 2
V1 = V2
⇒
q1 q 2
=
R1 R 2
•
•
Poiché R1 è più piccolo
σ1 sarà più grande
Campo elettrico sulla superficie di un
conduttore
•
•
Sappiamo che il campo elettrico esterno
è perpendicolare alla superficie del
conduttore stesso
Applichiamo il teorema di Gauss ad una
superficie cilindrica (in rosso a lato)
– di altezza infinitesima,
– con una base tutta all’interno del
conduttore
•
Solo la base esterna contribuisce al
flusso
– Se l’area di base è piccola (infinitesima)
possiamo supporre uniforme il campo
elettrico e la densità di carica
– Il flusso è data allora da EA
– La carica interna alla superficie
cilindrica è σA
σA
EA =
εo
⇒
σ
E=
εo
Schermo elettrostatico
•
•
Consideriamo un conduttore con una cavità
Le due regioni delimitate dal conduttore
– la cavità
– lo spazio all’esterno del conduttore
sono completamente indipendenti dal punto di
vista elettrostatico:
+
+
+
+
−
−
−−
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
– le azioni elettriche non si trasmettono dalla
cavità allo spazio esterno del conduttore e
viceversa
•
•
Variando la disposizione delle cariche
all’esterno del conduttore non è rilevabile alcun
effetto all’interno della cavità
Viceversa variando la disposizione delle cariche
all’interno della cavità non è rivelabile alcun
effetto all’esterno del conduttore
+
+
+
+
+
P
−
+
−
−−+
1
−
−
−
P2 ++
+
+
−
−
−
−
Schermo elettrostatico
•
•
•
Supponiamo ora di localizzare una carica q
puntiforme all’interno della cavità di un
conduttore cavo globalmente neutro
Una carica uguale ma di segno opposto viene
richiamata sulla superficie interna della cavità
Poiché il conduttore inizialmente era neutro,
una carica dello stesso segno di quella posta
nella cavità si affaccia sulla superficie esterna
del conduttore
– Questa carica si distribuisce sulla superficie
esterna sulla base delle altre cariche
eventualmente presenti attorno al conduttore o,
se se queste sono assenti, con una densità
inversamente proporzionale al raggio di
curvatura della superficie del conduttore
− −−+ +
−
−
− − −+
+
+
+
+
•
+
Spostando la carica all’interno della
cavità,
–
–
–
la distribuzione delle cariche sulla
superficie interna della cavità varia
quella sulla superficie esterna del
conduttore non cambia,
nessun effetto legato agli spostamenti di
cariche potrà essere notato all’esterno del
conduttore cavo (effetto schermo)
Schermo elettrostatico con geometria
sferica
•
La figura mostra la sezione
trasversale di un guscio sferico
conduttore di raggio interno r.
Una carica puntiforme di -5.0 μC
viene posta ad una distanza di R/2
dal centro del guscio.
Se il guscio è elettricamente neutro,
quali sono le cariche indotte sulla
superficie interna ed esterna?
Queste cariche sono uniformemente
distribuite?
Qual è l’andamento del campo
elettrico all’interno e all’esterno del
guscio sferico?