Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria
26 ottobre 2016
Indice
1.
2.
Ripasso su applicazioni lineari, nucleo e immagine
Esercizi
1
2
1. Ripasso su applicazioni lineari, nucleo e immagine
Definizione 1. Una applicazione lineare tra K-spazi vettoriali V e W è una funzione f : V → W
tale che:
(1)
f (λ1 · v1 + λ2 · v2 ) = λ1 · f (v1 ) + λ2 · T (v2 ),
per ogni v1 , v2 ∈ V e per ogni λ1 , λ2 ∈ K.
Se l’applicazione lineare f è anche biiettiva allora prende il nome di isomorfismo.
Osservazione 2. Ovviamente, se f : V → W è lineare, allora la proprietà (1) si estende alla
combinazione lineare di un numero arbitrario (ma finito) di vettori:
!
k
k
X
X
f
λi · vi =
λi · f (vi ).
i=1
i=1
Inoltre, se f : V → W è isomorfismo, anche l’applicazione inversa f −1 : W → V è lineare.
Definizione 3. Sia f : V → W una applicazione lineare tra K-spazi vettoriali di dimensione
dim V = m, dim W = n. Siano fissate le basi B = {v1 , · · · , vm } di V e C = {w1 , · · · , wn } di W .
La matrice rappresentativa di f rispetto a B e C è la matrice
[f ]B
C ∈ Mn,m (K)
i cui coefficienti aij ∈ K sono univocamente determinati dalle seguenti equazioni:
f (vj ) =
n
X
aij · wi , j = 1, · · · m.
i=1
Definizione 4. Sia data l’applicazione lineare f : V → W tra K-spazi vettoriali.
- Il nucleo di f è il sottospazio di V dato da Ker(f ) = {v ∈ V : f (v) = OW };
- L’immagine di f è il sottospazio di W dato da Im(f ) = {w = f (v) : v ∈ V }.
Se Im(f ) è finitamente generato, la sua dimensione prende il nome di rango di f .
Proposizione 5. L’applicazione lineare f : V → W è iniettiva se e soltanto se Ker(f ) = {OV }.
Teorema 6 (della nullità + rango). Sia f : V → W un’applicazione lineare tra K-spazi vettoriali
finitamente generati. Allora:
dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f ).
1
2
2. Esercizi
Esercizio 1. Sia f : R3 → R2 l’applicazione lineare che, in coordinate x, y, z di R3 è definita da
f (x, y, z) = (2x − 3y + z, −x + 2y − 5z).
Dopo aver dimostrato che B = {(2, 0, 1), (0, 3, 0), (0, 1, 1)} è base di R3 e C = {(1, 1), (0, −1)} è
base di R2 , si trovi la matrice rappresentativa [f ]B
C ∈ M2,3 (R).
Esercizio 2. Sia V = R3 e f : V → V la funzione definita in coordinate da
f (x, y, z) = (3x + y, x + z, x − z).
Dopo aver dimostrato che a famiglia di vettori B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} è una base di V ,
si trovi la matrice rappresentativa [f ]B
B ∈ M3 (R).
Esercizio 3. Sia V = Rn con il sistema di vettori
v1 = (3, 2, 1), v2 = (−1, 2, −3), v3 = (2, 4, −2).
(1) Si determini se e quante applicazioni lineari f : V → V esistono con la seguente
proprietà:
f (v1 ) = e1 , f (v2 ) = e2 , f (v3 ) = e3 ,
dove {e1 , e2 , e3 } è la base canonica di R3 .
(2) Per ciascuna di esse (se ne esiste qualcuna), si trovi Ker(f ) e Im(f ).
Esercizio 4. Sia V = R≤3 [x] e sia f : V → V l’applicazione cosı̀ definita:
f (P )(t) = P (t + 2).
(1) Si dimostri che f è un’applicazione lineare.
(2) Si detemini Ker(f ) e Im(f ) e si trovi una base di ciascuno di questi sottospazi.
Esercizio 5. La traccia della matrice A = [aij ] ∈ Mn (K) è definita come la somma degli
elementi che stanno sulla diagonale principale. Formalmente:
n
X
tr(A) =
aii ∈ K.
i=1
Ora, sia V = Mn (K) e sia f = tr : V → K, dove K è riguardato come spazio vettoriale su sè
stesso.
(1) Si dimostri che f è lineare.
(2) Si determini Ker(f ) e Im(f ) e si trovi una base per ciascuno di questi sottospazi.
Esercizio 6. Siano V = R≤n [x], W = R≤n−1 [x] e sia f : V → W l’applicazione lineare definita
nel seguente modo:
dP
(x).
f (P )(x) =
dx
(1) Si trovi la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi standard B = {1, x, x2 , · · · , xn }
di V e C = {1, x, x2 , · · · , xn−1 } di W
(2) Si determini Ker(f ) e Im(f ).
Esercizio 7. Stabilire se esiste una applicazione lineare f : R3 → R4 che abbia le seguenti
proprietà:
a) f è iniettiva;
b) Im(f ) = L({v1 , v2 , v3 }), dove
v1 = (2, 1, 1, 3),
v2 = (1, 0, 1, 4),
v3 = (−1, −1, 0, 1).
Esercizio 8. Stabilire se esiste un’applicazione lineare f : R4 → R3 che abbia le seguenti
proprietà:
3
a) f è suriettiva;
b) Ker(f ) = L({v1 , v2 , v3 }), dove
v1 = (1, 3, 3, 1),
v2 = (2, 4, 3, 0),
v3 = (0, 2, 3, 2).
Esercizio 9. Siano V uno K-spazio vettoriale, X un insieme e W = {f : X → V } il K-spazio
vettoriale delle funzioni da X in V munito delle usuali operazioni di somma e prodotto per uno
scalare intese in senso puntuale. Fissato un qualsiasi punto x̄ ∈ X sia x̄ : W → V la funzione
di valutazione definita da:
x̄ (f ) = f (x̄).
Si stabilisca se x̄ è un’applicazione lineare.
Esercizio 10. Per ogni h ∈ R si consideri l’applicazione fh : R3 → R3 definita da:
fh (x, y, z) = (x − hz, x + y − hz, −hx + z).
Al variare del parametro h ∈ R si determini Ker(fh ) e Im(fh ).