Onde elettromagnetiche nella materia

Onde elettromagnetiche nella materia
S.Sarti
December 9, 2013
1
Le equazioni di Maxwell in presenza di materia
Ne vuoto, le quattro equazioni di Maxwell in forma locale si scrivono
(
~ = ρ
∇·E
ε0
~
~
∇ ∧ E = − ∂∂tB
(
~ =0
∇·B
~ = µ0 J~ + ε0 ∂ E~
∇∧B
∂t
In presenza di materia, i campi elettrico e magnetico vengono modificati da
processi di polarizzazione elettrica e di magnetizzazione. Si introducono i
campi
~ = ε0 E
~ + P~ = ε0 εr E
~
D
e
~
~ = B0 − M
~ = µ0 µr B
~
H
µ0
che soddisfano le equazioni
(
~
∇·D
=ρ
~
∇ ∧ H = J~ +
~
∂D
∂t
(per quanto riguarda la seconda, si ricordi che il termine proporzionale
al campo elettrico è stato introdotto nelle equazioni nel vuoto per tener
conto dell’equazione di continuità per la carica (div J~ = −∂ρ/∂t, men~ = 0. E’ quindi logico che per lo stesso motivo l’equazione
tre div(rotB)
~
~
∇ ∧ H = J trovata per il caso statico sia completata con il campo elet~
trico che dipende solo dalle (variazioni delle) cariche esterne, ovvero D).
Mettendo insieme tutto,
1
(
~ =ρ
∇·D
~ = − ∂ B~
∇∧E
∂t
(
~
∇·B
=
0
~ = J~ +
∇∧H
~
∂D
∂t
~ = ε 0 εr E
~ eH
~ = µ0 µr B,
~
o ache, usando D
(
~ = ρ
∇·E
ε0 εr
~ = − ∂ B~
∇∧E
∂t
(
~ =0
∇·B
~ = µ0 µr J~ + ε0 εr ∂ E~
∇∧B
∂t
~
che, in assenza di cariche ”esterne” (ρ = J=0)
si riscrivono
(
~ =0
∇·E
~ = − ∂ B~
∇∧E
∂t
(
~ =0
∇·B
~ = (µ0 µr ε0 εr ) ∂ E~
∇∧B
∂t
Queste sono esattamente uguali alle equazioni nel vuoto, tranne che al
posto di µ0 ε0 = 1/c2 compare µ0 µr ε0 εr = µr εr /c2 . Dalle equazioni di
Maxwell nella materia, quindi si ottiene ancora l’equazione delle onde, in
cui però la velocità di propagazione c deve essere sostituita dalla ”velocità”
√
√
di propagazione c/ µr εr ' c/ εr (essendo quasi sempre µr ' 1). Il problema è che, come vedremo fra poco, la ”costante dielettrica” εr dipende in
generale dalla frequenza ma soprattutto non è, a frequenza non nulla, un
numero reale.
2
L’oscillatore forzato (e smorzato)
Si consideri una particella di massa m legata tramite una molla di costante
elastica k ad un punto fermo. Si immagini di sollecitare la particella con una
forza F = F0 cos(ωt), diretta nella direzione definita dalla molla. L’equazione
del moto della particella si scrive allora
ma = m
d2 x
dx
= −kx − γm
+ F0 cos(ωt)
2
dt
dt
dove si è anche introdotto un termine di smorzamento γm ∂x
∂t che tenga
conto di eventuali effetti dissipativi (tipicamente attrito per molle vere e
proprie, irraggiamento per cariche elettriche soggette a campi elettrici oscillanti). Si può dimostrare che la soluzione generale di questa equazione (nel
caso stazionario, cioè trascurando possibili transienti) si può scrivere nella
forma x(t) = A cos(ωt − φ). Per ricavare le espressioni di A e φ, scriviamo
2
F (t) come parte reale della funzione complessa F̃ (t) = F0 e−jωt e analogamente x(t) come parte reale della funzione complessa x̃(t) = Ae−j(ωt−φ) =
(Aejφ )e−jωt = Ãe−jωt , con à = Aejφ .
Con queste sostituzioni l’equazione del moto diventa
(−mω 2 − jωγm + k)Ãejωt = F0 ejωt
d
−jωt = −jω Ãe−jωt e che quindi
(avendo utilizzato il fatto che dx̃
dt = dt Ãe
d2 x̃
= jω(jω)Ãejωt = −ω 2 Ãejωt ) Dividendo ambo i membri per mejωt e
dt2
ricordando che la frequenza caratteristica di un oscillatore è definita dalla
relazione ω02 = k/m si ottiene allora
[(ωo2 − ω 2 ) − jγω]Ã =
F0
m
Uguagliando il modulo dei due numeri complessi a sinistra ed a destra del
segno di uguaglianza si ottiene immediatamente
F0
m
A= q
2
(ω0 − ω 2 )2 + (γω)2
e
tan(φ) =
ωγ
(ω02 − ω 2 )
Il risultato è quindi che se un oscillatore viene messo in moto da una forza
oscillante, il suo moto sarà caratterizzato da una ampiezza A e da uno sfasamento φ che dipendono dalla frequenza di oscillazione (ν = ω/2π) della forza
che lo muove. In particolare, l’ampiezza dell’oscillazione avrà un suo valore ”statico” (ν = 0) pari ad A0 = F0 /(mω02 ) = F0 /k, un valore nullo per
ν →∞
√ ed un valore massimo per ω = ω0 , quando A(ω0 ) = F0 /(mγω0 ) =
F0 /(γ mk) (notare che se lo smorzamento è piccolo, γ sarà molto piccolo
ed il valore di A ad ω0 può diventare enorme).
È interessante calcolare quanta energia viene trasferita dalla forza alla molla,
in funzione di ω: il lavoro elementare svolto dalla forza si scrive infatti
dL = F (t)dx(t) ⇒ W =
dx
dL
= F (t)
= −F0 cos(ωt)Aω sin(ωt − φ)
dt
dt
(se x(t) = A cos(ωt − φ), si ha dx/dt = −Aω sin(ωt − φ)). Considerando il
valore medio su un periodo
3
Re vs ω/ω0
-Im vs ω/ω0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
ω/ω0
Figure 1: Andamento in funzione di ω/ω0 di parte reale ed immaginaria
dell’ampiezza di oscillazione dell’oscillatore forzato
< W >=
1
T
Z T
W (t)dt = −F0 ωA
0
1
T
Z T
cos(ωt) sin(ωt − φ)dt
0
ed utilizzando le formule di somma degli angoli (sin(ωt−φ) = sin(ωt) cos(φ)−
cos(ωt) sin(φ)) si ottiene
"
1
< W >= −F0 ωA cos(φ)
T
Z T
0
1
cos(ωt) sin(ωt)dt − sin(φ)
T
Z T
#
cos2 (ωt)dt
0
Il primo integrale è nullo mentre il secondo vale T /2 (v. trattazione della
potenza nei circuiti in corrente alternata) da cui infine
1
F 2γ
ω2
< W >= F0 ωA sin(φ) = 0
2
2m (ω02 − ω 2 )2 + (γω)2
Avendo utilizzato il fatto che
A sin(φ) = |Ã| sin(φ) = Im[Ã] =
F0
γω
m (ω02 − ω 2 )2 + (γω)2
La potenza trasferita all’oscillatore è quindi nulla sia per ω → 0 che per
ω → ∞, ed assume un valore massimo per ω = ω0 in cui vale
4
< W (ω0 ) >=
F02 γ ω02
F2
= 0
2
2m (γω0 )
2mγ
Per piccoli valori del termine di smorzamento γ, tale valore può diventare
estremamente grande. Notare in generale che il trasferimento di energia
all’oscillatore è proporzionale alla parte immaginaria di Ã: la forza compie
mediamente lavoro sull’oscillatore soltanto per quelle frequenze per le quali
la parte immaginaria di à è diversa da zero (negli altri casi, fornisce energia
all’oscillatore per poi recuperarla in un secondo momento...). Dato che Ã
ha una parte immaginaria diversa da zero solo per valori di ω prossimi a ω0
(come si può facilmente verificare dalle espressioni scritte in precedenza), è
solo per tali valori di ω che si ha un effettivo trasferimento di energia da F0
all’oscillatore.
3
La risposta di un materiale dielettrico ad un’onda
elettromagnetica
In questo caso, lo ”spostamento” corrisponde alla polarizzazione del mezzo,
ovvero allo spostamento (relativo) della nuvola elettronica e del nucleo degli
atomi a causa della presenza del campo elettrico oscillante E0 cos(ωt) (ovvero
della forza F = qE0 cos(ωt)). In questo caso la costante di richiamo k sarà
dovuta al fatto che quando le cariche negative e positive vengono spostate
in senso opposto a causa della presenza del campo, si genererà una forza
attrattiva fra di loro che, per piccoli spostamenti, può essere assimilata ad
una forza elastica. Il termine di smorzamento sarà dovuto a fenomeni di
irraggiamento causati dall’accelerazione della carica.
Il dipolo indotto dal campo elettrico può essere allora scritto come
|~
p| = qx =
q 2 E0
1
q
cos(ωt − φ)
m
2
(ω − ω 2 )2 + (γω)2
0
con tan(φ) = ωγ/(ω02 − ω 2 ), o , utilizzando il formalismo dei numeri complessi, (E(t) = Re[Ẽ], con Ẽ = E0 e−jωt )
|p̃| = qx̃ =
q 2 Ẽ
1
m (ω02 − ω 2 ) − jγω
P
Ricordando la definizione del vettore P~ (P~ = i p~i /V , con V = volume
considerato e con la somma estesa a tutti i dipoli contenuti nel volume V )
5
~ e supponendo
e la definizione della suscettività elettrica χe (P~ = 0 χe E)
che tutti i dipoli reagiscano nello stesso modo al campo elettrico esterno si
ottiene allora
P̃ =
N
1
nq 2
p̃i =
Ẽ = 0 χ̃Ẽ
V
m (ω02 − ω 2 ) − jγω
con n = N/V e
χ̃e =
1
nq 2
2
0 m (ω0 − ω 2 ) − jγω
Ricordando infine che r è legata a χe dalla relazione e = 1 + χe si ottiene
infine
˜r = 1 +
nq 2
1
2
0 m (ω0 − ω 2 ) − jγω
Sebbene il modello utilizzato sia molto approssimativo, il risultato importante che ne deriva è che quella che è stata definita ”costante dielettrica”
gode di due proprietà rilevanti quando si guarda alla risposta dei materiali
a campi elettrici oscillanti:
• r dipende dalla frequenza (ed è quindi più corretto definirla ”permettività dielettrica” piuttosto che ”costante dielettrica”)
• r è in generale un numero complesso (il che significa che il campo
~ = ˜r E
~ ext , dove E
~ ext è il campo elettrico applicato, è sfasato
”reale” E
~ ext (t) = E
~ ext cos(ωt) si avrà E(t)
~
rispetto a quest’ultimo): se E
=
2
2
~
|˜
r |E cos(ωt − φ) (nel modello suddetto, tan(φ) = ωγ/(ω0 − ω ))
Scrivendo ε̃r = Re[εr ] + jIm[εr ] = ε0r + jεr ”, è necessario a questo punto
considerare cosa significa che l’onda elettromagnetica,
√ come detto in precedenza, si propaga in un dielettrico con velocità c/ ε̃r . Scrivendo l’onda
elettromagnetica come
~ =E
~ 0 ej(~k·~r−ωt)
E
(1)
la velocità dell’onda compare solo nell’espressione di ~k, che è proporzionale a
ω/c e diretto come la direzione di propagazione v̂. Ma allora, in un materiale
dielettrico, varrà ancora l’equazione qui sopra, solo che
√
k = (ω/c)v̂ → k̃ = (ω/c) ε̃r v̂
6
Il vettore d’onda ~k ha quindi in questo caso una parte reale ed una parte
˜
immaginaria (~k = ~k 0 + j~k”):
˜
~ =E
~ 0 ej(~k·~r−ωt) = E
~ 0 ej(~k0 ·~r−ωt) e−~k”·~r
E
La parte reale di k̃ (~k 0 ) sarà l’equivalente del vettore d’onda nel vuoto (da cui
differirà solo in nel valore del modulo), mentre la parte immaginaria di k̃ (~k”)
√
indicherà uno ”smorzamento” dell’onda. Notare che essendo k̃ = (ω/c) εr ,
la parte reale di k̃ non è direttamente legata alla parte reale di ε̃r , cos come
la parte immaginaria di k̃ non
legata alla parte immaginaria
p è direttamente p
√
di ε̃r (se w = z, Re[w] 6= Re[z] e Im[w] 6= Im[z]). Tuttavia, se ε̃r è un
numero reale, lo sarà anche la sua radice, quindi k” 6= 0 se e solo se r ” 6= 0.
4
La risposta di un materiale conduttore ad un’onda
elettromagnetica
Nel caso di materiali conduttori, la presenza di un campo elettrico deve
~ Le equazioni di
necessariamente corrispondere ad una corrente J~ = σ E.
Maxwell, in questo caso, si scrivono
(
~ = ρ
∇·E
ε0 εr
~ = − ∂ B~
∇∧E
∂t
~ =0
∇·B
~ = µ 0 µr σ E
~ + ε0 εr ∂ E~
∇∧B
∂t
(
Utilizzando la notazione complessa e considerando il caso di onde piane (E =
~
E0 ej(k·~r−ωt) ), tali equazioni si possono riscrivere (immaginando comunque
ρ = 0 all’interno del conduttore)
(
~k · E
~
=0
~ = jω B
~
j~k ∧ E
(
~k · B
~
=0
~ = µ0 µr (σ − jωε0 εr ) E
~
j~k ∧ B
Ridefinendo ε̃r = jσ/ωε0 + εr , le stesse equazioni si possono anche riscrivere
(
~k · E
~ =0
~k ∧ E
~ = ωB
~
(
~k · B
~ =0
~k ∧ B
~ = −µ0 µr ω(ε0 ε̃r )E
~
che sono di nuovo identiche alle equazioni di Maxwell nel vuoto, a patto di
sostituire µ0 → µ0 µr ' µ0 e ε0 → ε0 ε̃r . Anche in questo caso si avranno onde
elettromagnetiche
√ la cui velocità di propagazione sarà legata alla parte reale
di k̃ = (ω/c) ε̃r e la cui attenuazione sarà data dalla parte immaginaria
di k̃. Notare che, essendo ε0 = 8.85 × 10−12 , in un conduttore usuale (il
cui valore di σ è dell’ordine di 107 ÷ 108 S/m) σ/ωε0 εr fino a frequenze
altissime, e quindi ε̃r ' jσ/ωε0
7
5
Condizioni di raccordo per il passaggio fra due
materiali diversi
Nel caso in cui l’onda elettromagnetica attraversa due diversi materiali, in
ciascuno dei l’onda verrà descritta da un’espressione
come la (1) (ed analoga
√
~ con il vettore ~k = ω/c ε̃r diverso nei due materiali. Sulla
per il vettore H),
superficie di separazione fra i due mezzi i campi elettrico e magnetico devono
soddisfare le equazioni di conitnuità
(
Et,1 = Et,2
Ht,1 = Ht,2
dove il pedice {1,2} si riferisce rispettivamente al materiale da un lato e
dall’altro della superficie di separazione fra i due materiali. La richiesta di
~ eH
~ ha due importanti
continuità delle componenti tangenziali dei vettori E
conseguenze:
1. Dato che la lunghezza d’onda (la distanza fra due fronti d’onda) è
diversa nei due materiali (λ1 = 2π/k1 6= 2π/k2 = λ2 ), se si vuole avere
un’unica periodicità spaziale sulla superficie le onde nei due materiali
non possono avere la stessa direzione (v. figura). Più precisamente,
indicando con θ1 e θ2 gli angoli che le direzioni di propagazione formano
con la direzione normale alla superficie, si può dimostrare che
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
√
dove ni = εi , con i = {1, 2}. Questa è l’equazione nota come legge
di Snell per la rifrazione
~ 0 dell’ equazione (1)
2. Le ampiezze del campo elettrico e magnetico (E
~
ed il suo analogo H0 per il campo magnetico) non saranno in generale
uguali in modulo da una parte e dall’altra della superficie, essendo
uguale soltanto la parte tangente alla superficie.
Riguardo al secondo punto, va considerato che per tutte le onde elettro~ e B
~ costituiscono una terna cartesiana. Questo
magnetiche i vettori ~k, E
significa che, se l’onda è polarizzata linearmente, si possono distinguere due
casi principali:
~ è perpendicolare al piano individuato dai due vettori k1 e
1. Il campo E
~ è contenuto nel piano
k2 (detto ”piano di incidenza”) ed il campo H
di incidenza
8
1
2
Figure 2: Rifrazione di un onda nel passaggio da un ateriale ad un altro.
Nel caso in figura, λ2 < λ1 , ovvero n2 > n1
~ è perpendicolare al ”piano di incidenza” ed il campo E
~ è
2. Il campo H
contenuto nel piano di incidenza
~ ha solo componente parallela alla superficie,
Nel primo caso, il campo E
~
mentre il campo H ha sia una componente parallela (Ht ) sia una compo~ = |E|/Z
~
nente perpendicolare (Hn ) allapsuperficie. Ricordando che si |H|
=
~
n|E|/Z0 (Z = Z0 /n con Z0 = µ0 /ε0 ' 377Ω) le condizioni di raccordo per
i campi elettrico e magnetico si possono allora scrivere
(
EI + ER
= ET
n1 (EI − ER ) cos(θ1 ) = n2 ET cos(θ2 )
Dove si è indicato con il pedice ”I” il campo dell’onda incidente, col pedice
”T” il campo dell’onda trasmessa e col pedice ”R” il campo dell’onda riflessa
(per la definizione di onda incidente, onda trasmessa (o rifratta) e onda
riflessa si rimanda ad un qualsiasi testo di fisica 2, cosı̀ come anche per la
spiegazione del segno ”-” nella seconda equazione). Dalla prima equazione
si ricava ER = ET − EI che, inserito nella seconda, da come risultato
n1 (EI −(ET −EI )) cos(θ1 ) = n2 ET cos(θ2 ) ⇒ ET =
2n1 cos(θ1 )
EI
n1 cos(θ1 ) + n2 cos(θ2 )
Che, inserito nella prima equazione, da
ER =
n1 cos(θ1 ) − n2 cos(θ2 )
sin(θ2 − θ1 )
EI =
EI
n1 cos(θ1 ) + n2 cos(θ2 )
sin(θ2 + θ1 )
Nel secondo caso (H parallelo alla superficie, E con componenti sia perpendicolari che parallele alla superficie)
9
(
(EI + ER ) cos(θ1 ) = ET cos(θ2 )
n1 (EI − ER )
= n2 ET
E con passaggi del tutto identici ai precedenti si ottiene

 ET
 ER
=
=
2n1 cos(θ1 )
n2 cos(θ1 )+n1 cos(θ2 ) EI
n1 cos(θ1 )−n2 cos(θ2 )
n2 cos(θ1 )+n1 cos(θ2 ) EI
=
tan(θ2 −θ1 )
tan(θ2 +θ1 ) EI
Le intensità delle onde riflesse e rifratte si ottengono dalla definizione I =
E 2 /2Z. Nel primo caso


 IT
=

 IR
=
n2
2Z0
n1
2Z0
2
2
2n1 cos(θ1 )
2n1 cos(θ1 )
n2
E
=
II
n1 n1 cos(θ1 )+n2 cos(θ2 )
cos(θ2 ) I
n1 cos(θ1 )+n2 2
2
sin(θ2 −θ1 )
2 −θ1 )
= sin(θ
II
sin(θ2 +θ1 ) EI
sin(θ2 +θ1 )
mentre nel secondo caso


 IT
=

 IR
=
n2
2Z0
n1
2Z0
2
2
2n1 cos(θ1 )
2n1 cos(θ1 )
= nn21 n2 cos(θ
II
n2 cos(θ1 )+n1 cos(θ2 ) EI
)+n
cos(θ
)
1
1
2
2
2
tan(θ2 −θ1 )
2 −θ1 )
= tan(θ
II
tan(θ2 +θ1 ) EI
tan(θ2 +θ1 )
Figure 3: Variazione della sezione del fascio nel passaggio da un materiale
ad un altro con conseguente variazione dell’angolo fra fascio e normale alla
superficie
10
Notare che in generale, contrariamente a quanto si potrebbe pensare, IT +
IR 6= II . Questo apparente paradosso (sarebbe logico attendersi che l’energia
trasportata dall’onda incidente sia uguale alla somma delle energie trasportate
dalle onde riflessa e trasmessa (rifratta)) è dovuto al fatto che l’energia
trasportata dall’onda elettromagnetica non è pari all’intensità ma all’intensità
moltiplicata per la sezione del ”fascio luminoso”. Come indicato in figura, se
un fascio luminoso incide su una superficie di separazione fra i due materiali
la sezione del fascio nel primo materiale è diversa dalla sezione del fascio nel
secondo materiale. Quindi, la conservazione dell’energia si scrive
IT Sr + IR Si = II Si ⇒ IT
Sr
+ IR = II
Si
Inoltre, si può facilmente verificare (v. figura) che Si = AB cos θi ed Sr =
AB cos θr e quindi Si /Sr = cos θi / cos θr da cui infine
IT
cos θr
+ IR = II
cos θi
Nel caso particolare di incidenza normale (θi = θr = 0) cos θi = cos θr = 1 e
vale la relazione
IT + IR = II
6
Interferenza da lamine sottili (integrazione per
il Focardi-Massa-Uguzzoni)
6.1
Interferenza: richiami ed approfondimenti
Il fenomeno dell’interferenza avviene in tutti i casi in cui sono presenti
due onde (nel caso in esame, elettromagnetiche) con la stessa frequenza
e lunghezza d’onda e con uno sfasamento relativo ben definito. Scrivendo le
due onde come
E1 = E0 exp{j(~k · ~r − ωt)}
E2 = E0 exp{j(~k · ~r − ωt + φ)}
La loro somma sarà data da
~ r − ωt)}(1 + exp{jφ})
E1 + E2 = E
h 0 exp{j(k · ~
i
= E0 exp{j(~k · ~r − ωt + φ/2)} (exp{−jφ/2} + exp{jφ/2})
11
Il termine fra parentesi quadre è un’onda di ampiezza E0 del tutto analoga
alle due onde che hanno prodotto l’interferenza. Il termine fra parentesi
tonde, invece, corrisponde al doppio del coseno di φ/2 (come si può verificare
ricordando che exp{jφ} = cos(φ) + j sin(φ)). L’onda risultante ha quindi
stessa pulsazione e vettore d’onda delle due onde che l’hanno prodotta, e
ampiezza pari a 2E0 cos(φ/2). Dal momento che la funzione coseno può variare da -1 a 1, il modulo dell’ampiezza dell’onda risultante può quindi variare
da 0 a 2E0 a seconda del valore di φ. In paticolare, se φ = π ⇒ cos(φ/2) = 0
l’onda risultante avrà ampiezza nulla (interferenza distruttiva), mentre se
φ = 2π ⇒ | cos(φ/2)| = 1 l’onda risltante avrà ampiezza 2E0 (e quindi intensità 21 (2E0 )2 = 21 4E02 = 2E02 , il doppio della somma delle intensità delle
due onde incidenti (I1 +I2 = E02 /2+E02 /2 = E02 ) (interferenza costruttiva).
A
B
C
D
E
F
Figure 4: Rappresentazione grafica dell’interferenza fra due onde
La visualizzazione grafica dei vettori che identificano le due onde nel piano complesso aiuta a capire meglio il ruolo dell’angolo φ. Come noto,
un numero complesso può essre rappresentato come un vettore nel piano
{x, jy}. In particolare, tale vettore può essere descritto in rappresentazione
polare: scrivendo z̃ = |z| exp{jα}, |z| rappresenta la lunghezza del vettore
e α l’angolo che il vettore forma con l’asse orizzontale. Ciascuna delle due
onde E1 , E2 introdotte in precedenza può quindi essere descritta nel piano
complesso come un vettore di modulo E0 che ruota nel piano complesso al
passare del tempo t (vedi figura 4, A). A parità di posizione ~r (per fissare le
idee possiamo considerare il caso ~r = 0), l’unica differenza fra le due onde
è che il vettore del piano complesso che rappresenta la prima onda sarà inizialmente (a t = 0) parallelo all’asse x, mentre il secondo vettore formerà,
al tempo t = 0, un angolo φ con il suddetto asse (vedi figura 4, B). Dato
che i due vettori ruotano con la stessa velocità angolare ω, tale differenza di
12
fase rimarrà inalterata per tutto il tempo t > 0. I due vettori ruotano nel
piano complesso mantenendo inalterata la loro differenza di fase. La somma
delle due onde sarà semplicemente il vettore somma dei due vettori E1 ed
E2 , ovvero il vettore che si ottiene con la regola del parallelogramma. Tale
vettore, come è facile verificare, ha ampiezza 2E0 cos(φ/2). In particolare, se
φ = π, i due vettori di cui si fa la somma sono uguali e opposti, ed il vettore
risultante sarà necessariamente nullo (vedi figura 4, C). Se invece φ = 2π,
i due vettori saranno fra loro paralleli e la loro somma sarà semplicemente
2E0 (vedi figura 4, D).
La visualizzazione grafica aiuta anche a capire cosa succede nel caso più generale in cui le ampiezze delle due onde non sono fra loro uguali: in questo
caso, si avrà ancora un fenomeno di interferenza, ed il valore dell’ampiezza
dell’onda risultante dipenderà dall’angolo φ. In particolare, esisteranno dei
minimi di interferenza quando φ = π (vedi figura 4, E) e dei em massimi di
interferenza quando φ = 2π (vedi figura 4, F), ma il minimo non sarà più
ad ampiezza nulla (Emin = E0,1 − E0,2 ) cosı̀ come il massimo non sarà più
il doppio di E0 ma la somma di E0,1 ed E0,2 .
13
Nota:
Nel corso di Fisica 2 l’oscillatore forzato e smorzato appare anche in un’altra
occasione: i circuiti in corrente alternata
In questo caso, la ”forza esterna” F0 è rappresentata dalla forza elettromotrice del generatore, lo ”spostamento” x(t) corrisponde alla carica q(t)
(intesa come la
quantità di carica che contribuisce al passaggio di corrente,
R
ovvero q(t) = 0t i(t0 )dt0 ), la ”massa” è l’induttanza del circuito L (che, come
la massa nei problemi di meccanica, si ”oppone” alla variazione di velocità,
cioè alla variazione di corrente), il termine di smorzamento γm è la resistenza
R (che è l’unico elemento del circuito che dissipa energia per effetto Joule) e
la costante di richiamo della molla k è l’inverso della capacità C. Operando
queste sostituzioni nell’ espressione di x(t) si ottiene
q(t) = q
ε0 /L
(ω02
− ω 2 )2 + (R/Lω)2
cos(ωt − φq )
con ω02 = 1/LC e
tan(φq ) =
R
ωR/L
=
1/ωC − ωL
(ω02 − ω 2 )
dove si è usato ω02 = 1/LC e nel secondo passaggio si è moltiplicato numeratore e denominatore per L/ω. Per ottenere la corrente i bisogna derivare
q rispetto al tempo. Si ottiene immediatamente
i(t) = q
ε0 /L
(ω02
− ω 2 )2 + (R/Lω)2
ω sin(ωt − φq ) = i0 cos(ωt − φi )
dove
i0 = q
ε0 /L
(ω02 − ω 2 )2 + (R/Lω)2
ω=q
ε0
1
( ωC
− ωL)2 + R2
e
φi = π/2 − φq ⇒ tan(φi ) = 1/ tan(φq ) =
ωL − 1/ωC
R
(sin(π/2−α) = cos(α), cos(π/2−α) = sin(α) ⇒ tan(π/2−α) = cos(α)/ sin(α) =
1/ tan(α)) ovvero quello già trovato per il circuito RLC (v. circuiti in corrente alternata).
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