Compito di Algebra Lineare

 Compito di Algebra Lineare 31 agosto 2015 Ogni esercizio conta per 4 punti al massimo. Si giustifichi bene ogni risposta. 1. Con l’uso dell’algoritmo euclideo si calcoli il massimo comune divisore in ℕ di 19 e 54. Si determinino poi, se possibile, due interi 𝑥, 𝑦 per cui questo massimo comune divisore si esprime come 19 ∙ 𝑥 + 54 ∙ 𝑦. E’ vero che 𝑥 , 𝑦 devono essere primi tra loro? 2. Quanti sono i polinomi di grado 4 in ℤ! [𝑥]? Quanti tra loro ammettono 2 come radice? E quanti quelli che ammettono rispettivamente 3 come radice? Sapreste indicarne un polinomio che ammette sia 2 che 3 come radici? E uno che ammette 2 come radice doppia e 3 come radice semplice? E uno che non ammette come radice né 2 né 3? 3. E’ vero che la funzione 𝜑 di Eulero assegna lo stesso valore a 19 e 54? E quanto valgono 54!(!") 𝑚𝑜𝑑 19 e 19!(!") 𝑚𝑜𝑑 54 ? 4. Quante sono le matrici 2×2 a coefficienti nel campo con 2 elementi ℤ! ? Si consideri tra queste matrici la relazione binaria ~ per cui, per ogni scelta di matrici 𝐴, 𝐵, vale 𝐴~𝐵 se e solo se 𝐴 e 𝐵 hanno lo stesso determinante. Si dimostri che ~ è una relazione di equivalenza e ammette esattamente 2 classi di equivalenza. Si descrivano queste due classi. 0 0 1
5. Si consideri la matrice 3×3 a coefficienti reali 𝐴 = 0 1 0 . Quali sono i suoi autovalori? 𝐴 è 1 0 0
diagonalizzabile? In caso affermativo, si indichi una base di ℝ! composta da autovettori di 𝐴. 1 𝑡−1
𝑡
6. Si stabiliscano i valori del numero reale t per i quali la matrice 𝐴 = 1
𝑡
𝑡 ! − 1 è 0
0
𝑡−2
4
invertibile. E per quali valori il vettore di ℝ! 0 si esprime come 𝐴 ∙ 𝑥 per qualche 𝑥 ∈ ℝ! ? 0
7. I vettori 1
0
1
0
1 , 0 , 0 , 1 0
1
0
1
1
0
1
0
formano una base di ℝ! su ℝ? Se no, quale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti su ℝ che se ne possono estrarre? E sapreste integrare questi vettori linearmente indipendenti in modo da formare una base di ℝ! su ℝ? 8. In riferimento ai 4 vettori dell’esercizio precedente: lineare su ℝ? Come? E !
!
!
!
? !
!
!
!
si può esprimere come loro combinazione