Introduzione alla logica_ADDdefeasible

Operatore Informatico Giuridico
Informatica Giuridica Avanzata
A.A. 2006/2007
I Semestre
Introduzione alla logica
Ing. Rossella Rubino – CIRSFID
[email protected]
Bologna, 27 settembre 2006
Definizione
La logica è la disciplina filosofica che studia le
forme del ragionamento corretto
Date certe premesse si può determinare la loro
conseguenza logica (inferenza)
La regola che si applica alle premesse per
individuare la conseguenza è detta regola di
inferenza
La logica si occupa dei ragionamenti dopo che
questi sono stati espressi in un linguaggio
2
Possibili regole di inferenza
Deduzione
 da un assunto generale si derivano casi particolari
Induzione
 permette di formulare una teoria con valore
universale partendo dall'osservazione ripetuta di dati
empirici particolari
Abduzione
 utilizzato per formulare una predizione generale
senza alcuna assicurazione positiva che essa risulterà
valida né in un determinato caso né solitamente
3
La deduzione
Esempio
 Regola
Tutti i fagioli in questo sacco sono bianchi
 Caso
Questi fagioli provengono da questo sacco
 Risultato
Questi fagioli sono bianchi
In ambito giuridico la deduzione o sillogismo ( giuridico)
si compone di
 una premessa maggiore che rappresenta la norma
 una premessa minore che rappresenta i fatti veri del caso
Poiché la formulazione della norma è astratta e generale,
spesso occorre un’operazione intermedia, detta
sussunzione, che consente di riportare descrizioni di fatti
reali a qualificazioni giuridiche
4
Sussunzione
Nella logica formale
 ricondurre un concetto nell’ambito di uno più ampio
che lo comprende
Nel diritto
 il procedimento che il giudice compie riportando una
determinata fattispecie al caso previsto da una
norma di legge
Le citazioni e le sentenze (nella descrizione del fatto)
descrivono operazioni di sussunzione
5
Induzione
Esempio
 Caso
Questi fagioli provengono da questo sacco
 Risultato
Questi fagioli sono bianchi
 Regola
Tutti i fagioli di questo sacco sono bianchi (?)
In ambito giuridico l’induzione viene utilizzata in
combinazione con l’analogia
6
Abduzione
Esempio
 Risultato
Questi fagioli sono bianchi
 Regola
Tutti i fagioli di questo sacco sono bianchi
 Caso
Questi fagioli provengono da questo sacco (?)
In ambito giuridico ipotesi abduttive sono, ad
esempio, le prove dei fatti su cui si basa
un’imputazione che possono essere confutate
7
Meccanismi di ragionamento
Legislazione
 Deduzione (sillogismo)
 Abduzione
 Sussunzione
Giurisprudenza
 Analogia
 Induzione
 Argomentazione
8
Analogia
Se A⇒C e se B è analogo ad A è possibile
derivare che anche B⇒C
Argomentazione per analogia
 un'argomentazione composta di una integrazione
delle premesse e di un'inferenza deduttiva dalle
premesse così integrate, proprio dei sistemi a civil
law
Analogia dai casi precedenti
 confronto fra descrizioni di casi, non interpretabile in
chiave deduttiva, proprio dei sistemi a common law
9
Argomentazione giuridica
In alcuni casi non è sufficiente applicare il
semplice meccanismo deduttivo per stabilire
come disciplinare un caso specifico
E’ necessario argomentare il caso per
 cercare di intendere gli scopi del discorso legislativo
 dargli attuazione in modo tale che non ci siano
incongruenze
 adattarlo a casi non previsti
10
Utilizzo della logica
La logica viene utilizzata per l'analisi e la
costruzione di teorie
Esistono diverse logiche appropriate alle diverse
teorie cui si riferiscono
Ogni teoria è un linguaggio che parla di un
ambito di realtà in cui i fatti accadono, possono
accadere, devono accadere
11
Diversi tipi di logica
È possibile, dunque, ripartire le teorie fra
 Logiche dichiarative
quelle che hanno come universo oggettuale la modalità dell'attualità
 Logiche modali
quella della possibilità
 Logiche deontiche
quella del dover essere
 Logiche epistemiche
quelle riguardanti le varie modalità del conoscere
 Logiche temporali
quelle che gestiscono le proposizioni a tempi diversi
 Logiche fuzzy
quelle polivalenti cioè non binarie
 Logiche defeasible
quelle in cui è possibile aggiungere nuove regole a quelle esistenti
12
Logiche dichiarative
La logica proposizionale e quella dei predicati
del primo ordine sono logiche dichiarative
La logica proposizionale considera come unità
base dell'analisi le proposizioni
La logica dei predicati del primo ordine
approfondisce l'analisi delle proposizioni in
termini di soggetto-predicato
13
Componenti della logica
La logica in quanto sistema formale è costituita
da:
 un linguaggio necessario sia per astrarre dai
contenuti sia per eliminare le ambiguità del
linguaggio naturale. Il linguaggio logico è a sua volta
composto da
Sintassi
– Alfabeto
– Grammatica
Semantica
 un apparato deduttivo che permette di ottenere
formule nuove a partire da altre formule
14
Logica proposizionale: alfabeto
L'alfabeto è costituito da:
 Un insieme di lettere proposizionali
 Un insieme di simboli per i connettivi vero-funzionali
e (∧)
o (∨)
non (¬)
solo se (⇒)
se e solo se (⇔)
 Un insieme di simboli ausiliari
parentesi, per evidenziare l'ordine tra i nessi logici
15
Proposizioni
Una proposizione è un’espressione linguistica
che può assumere soltanto uno ed uno solo dei
valori di verità vero (V) e falso (F)
Tale valore è determinato dal verificarsi dello
stato di cose corrispondente
Una proposizione si dice composta quando è
costituita da più proposizioni collegate tra loro
tramite connettivi vero-funzionali
16
Proposizioni composte: esempi
Le seguenti proposizioni…
 Paola corre e ascolta la musica
 Le lezioni saranno tenute dal professore o dagli
assistenti
 Marco passerà l’esame solo se studierà molto
 Chiara non guarda la tv
…possono essere scomposte in
 Paola corre e Paola ascolta la musica
 Le lezioni saranno tenute dal professore o le lezioni
saranno tenute dagli assistenti
 Marco passerà l’esame solo se Marco studierà molto
 Non Chiara guarda la tv
17
I connettivi vero funzionali
I connettivi vengono detti "vero-funzionali"
perché il valore di verità di una proposizione
composta viene completamente determinato dal
valore di verità delle proposizioni che la
compongono secondo regole precise che
vengono schematizzate con le cosiddette tavole
di verità
18
Le tavole di verità
Le tavole di verità
dicono come
determinare il valore
di verità di una
formula composta
X
Y
X ∧Y
X∨Y
X ⇒Y
X⇔Y
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
X
¬X
V
F
F
V
19
Esempi di implicazione
Esempi
 Marco è a Trieste ⇒ Marco è in Italia
 Marco è a Trieste ⇒ Marco non è in Italia
 Marco non è a Trieste ⇒ Marco è in Italia
 Marco non è a Trieste ⇒ Marco non è in Italia
Falsità a dx implica
necessariamente falsità a sx.
Verità a dx non dice nulla circa
la verità a sx.
X
Y
X ⇒Y
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
20
Struttura dell’implicazione
L’elemento di destra detto “conseguente” è un
fatto osservabile
L’elemento di sinistra detto “antecedente” è
un’ipotesi
Quindi la struttura generale di un’implicazione è
di questo tipo
 Teoria -> Fatto
21
Esercizio 1
Riscrivi in altro modo le seguenti proposizioni
dopo aver valutato se si tratta di implicazioni o
di doppie implicazioni:
 "Se un quadrilatero ha quattro lati uguali allora è un
rombo"
 "Un numero è divisibile per 10 se termina per 0"
22
Esercizio 1: soluzioni
Nel linguaggio italiano si utilizza spesso
l'implicazione semplice anche se si tratta di
doppia implicazione. Entrambi i casi precedenti
sono in realtà delle doppie implicazioni. Ecco
allora alcune espressioni che riscrivono in modo
logicamente corretto le proposizioni precedenti:
 "Un quadrilatero è un rombo se e solo se ha quattro
lati uguali"
 "Un numero è divisibile per 10 se e solo se termina
per 0"
23
Doppia implicazione
Esempio 1
 "1+1 = 3 se e solo se Alessandro Manzoni ha scritto
la Divina Commedia".
 Soluzione: Vero. Infatti la proposizione data ha la
forma p«q, dove p: "1+1=3" e q: "Alessandro
Manzoni ha scritto la Divina Commedia" sono
entrambe false, allora la doppia implicazione p«q è
vera.
X Y X⇔Y
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
24
Proposizioni particolari
Tautologia
 proposizione sempre vera per qualsiasi assegnazione
di valori di verità alle sue componenti
 esempio: piove o non piove, p ∨ ¬p
Contraddizione
 proposizione sempre falsa qualunque valore di verità
venga assegnato alle sue componenti
 esempio: piove e non piove, p ∧ ¬p
25
Esempi di inferenze (1)
A = io sono colpevole
B= devo essere punito
Se io sono colpevole, allora devo essere punito;
io sono colpevole. Quindi devo essere punito.
Ragionamento logicamente
corretto!!!
A
B
A ⇒B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Regola di inferenza detta
modus ponens:
da A → B
e A segue B
26
Esempi di inferenze (2)
A = io sono colpevole
B= devo essere punito
Se io sono colpevole, allora devo essere punito;
ma io non sono colpevole. Dunque non devo
essere punito.
A
B
A ⇒B
Ragionamento NON logicamente V
corretto!!!
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
27
Fallacia della negazione
dell’antecedente
Premessa 1: Se Lisa va in vacanza, allora io
resterò in città questo mese
Premessa 2: Lisa non va in vacanza
Conclusione: ?
28
Esempi di inferenze (3)
A = io sono colpevole
B= devo essere punito
Se io sono colpevole, allora devo essere punito;
ma io non devo essere punito, dunque non sono
colpevole.
Ragionamento logicamente
corretto!!!
A
B
A ⇒B
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
Regola di inferenza detta
modus tollens:
da A → B
e ¬B segue logicamente
¬A
29
Esempi di inferenze (4)
A = io sono colpevole
B= devo essere punito
Se io sono colpevole, allora devo essere punito;
devo essere punito. Quindi sono colpevole.
Ragionamento NON logicamente
corretto!!!
A
B
A ⇒B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
30
Fallacia dell’affermazione del
conseguente
Premessa 1: Se Lisa va in vacanza, allora io
resterò in città questo mese
Premessa 2: Io resterò in città questo mese
Conclusione: ?
31
Ambiguità del linguaggio naturale
Implicazione
 Il “se… allora…” del linguaggio comune non coincide con il
“se…allora…” del linguaggio logico
 Se si sostituisce A⇒B con A⇔B tutte e quattro le regole
divengono corrette
Se io sono colpevole, allora devo essere punito
Tutti e soli i colpevoli devono essere puniti
La disgiunzione può essere di due tipi
 disgiunzione alternativa
es. la lezione di informatica giuridica c’è il martedì o il mercoledì
 disgiunzione esclusiva
es. Marco sposerà Claudia o Serena
La congiunzione viene utilizzata spesso con significati
diversi
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Esempi di congiunzione
nel linguaggio naturale
Carlo e Davide sono italiani
equivale a
Carlo è italiano e Davide è italiano
MA….
La maglia del Milan è rossa e nera
non equivale a
La maglia del Milan è rossa e la maglia del Milan
è nera
Carlo e Davide sono amici
non equivale a
Carlo è amico e Davide è amico
33
Logica proposizionale: grammatica
La grammatica esprime le regole di buona
formazione cioè regole ricorsive che permettono
di definire proposizioni, cioè formule di
complessità qualunque
 ogni
 ogni
 se X
 se X
lettera proposizionale è una formula atomica
formula atomica è una formula
è una formula lo è anche ¬ X
e Y sono formule allora lo sono anche: (X∧Y), (X
∨Y), (X⇒Y), (X⇔Y)
 nient'altro è una formula
L'insieme delle formule è indicato con P
34
Logica proposizionale: semantica
Valutazione della proposizione
Il concetto semantico fondamentale per il
linguaggio della Logica proposizionale è quello
di valutazione
Una valutazione è l'assegnazione di uno dei
valori di verità (vero o falso) ad ogni formula
atomica di L
35
Esercizio 2
Posto A= Carlo è ligure e B= Diego è
piemontese scrivere le formule che
formalizzano le seguenti proposizioni:
1. Carlo non è ligure
2. Carlo è ligure e Diego è piemontese
3. Carlo è ligure sebbene Diego sia piemontese
4. Non è vero che Carlo sia ligure e Diego piemontese
5. Se Carlo non è ligure, allora Diego non è piemontese
6. Caro è ligure se e solo se Diego è non piemontese
7. O Carlo è ligure o, se Carlo non è ligure , allora
Diego è piemontese
36
Esercizio 2: soluzioni
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¬A
A∧B
A∧B
¬(A ∧ B)
¬A ⇒ ¬B
A ⇔ ¬B
A ∨ (¬ A ⇒ B)
37
Logica dei predicati
Con la logica dei predicati si estende la
possibilità di formalizzare il linguaggio naturale
approfondendo l'analisi delle proposizioni
Mentre la logica proposizionale si occupa dei
singoli enunciati intesi come blocchi unici, la
logica dei predicati mira ad esaminare la loro
“struttura interna”
Esempi:
 Roma è in Italia
 Tutti i triangoli hanno tre lati
38
Logica dei predicati: alfabeto
Alfabeto
 simboli di costanti (a, b, c, ... )
 simboli di variabili (x, y, z, ... )
 simboli di funzione (f( g, h, ... )
 simboli di predicato (A, B, C, ... , Z)
 connettivi logici (∧,∨,¬,⇒,⇔)
 simboli per quantificatori (quantificatore universale ∀,
quantificatore esistenziale ∃)
 simboli ausiliari (virgole e parentesi)
39
Costanti, variabili e funzioni
Costanti: singole entità del dominio
 Es. maria, giovanna, 3
iniziale minuscola
Variabili: entità non note del dominio
 Es. X, Y
iniziale maiuscola
Funzioni n-arie: individuano univocamente un
oggetto del dominio del discorso mediante una
relazione tra altri n oggetti del dominio
 Es. madre(maria)
40
Predicati
Predicati a zero argomenti
 es. piove
Predicati ad un argomento: indicano
l’appartenenza di una entità ad una classe
 es. capitale_diItalia(roma)
 geometra(mario_rossi)
Predicati con più argomenti: indicano relazioni
tra le entità del dominio
 es. fratello_di(mario_rossi, giuseppe_rossi)
data_nascita(mario_rossi, 25_2_1933)
esame(mario_rossi, ia, 2003, 28/30)
41
Quantificatori
La quantificazione universale esprime una
proposizione vera se, e solo se, tutti i suoi casi di
sostituzione sono veri
 ∀ x significa tutti gli individui soddisfano
La quantificazione esistenziale esprime una
proposizione vera se, e solo se, vi è almeno un
caso in cui la proposizione è vera
 ∃ x significa vi è almeno un individuo che soddisfa
Variabili
individuali
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Esempi di quantificatori
C’è qualcuno che ama Massimo
 ∃ X ama(X,massimo)
Tutti amano Massimo
 ∀ X ama(X,massimo)
Vi è qualcuno che Elisa ama
 ∃ Y ama(elisa,Y)
Tutti sono amati da qualcuno
 ∀ X ∃ Y ama(Y,X)
43
Termini
Ogni variabile è un termine
ogni costante nelle funzioni è un termine
se f è un simbolo di funzione e t1,…, tn sono
termini, allora anche f(t1,…,tn) è un termine
Es. maria, f(X)
44
Atomo
Atomo o formula atomica: l’applicazione di un
simbolo di predicato n-ario p a n termini t1,...,tn:
p(t1,..,tn)
 Es. parente(giovanna,maria)
Formule ground
 formule che non contengono variabili. Ad esempio la
formula parente(giovanna,maria) è una formula
ground
45
Esempi: parentele
∀ (m,c) madre(m,c) ⇒ femmina(m) ∧
genitore(m,c)
∀ (p,c) genitore(p,c) ⇒ figlio(c,p)
∀ (g,c) (nonno(g,c) ⇒(∃p) genitore(g,p) ∧
genitore(p,c))
∀ (x,y) (fratello(x,y) ⇒ x ≠ y ∧ (∃p)
genitore(p,x) ∧ genitore(p,y)
46
Logica dei predicati: semantica
Per dare un significato a una formula bisogna
interpretarla come una affermazione sulla
realtà detta anche dominio del discorso
Ogni formula atomica o composta della logica
dei predicati del primo ordine può assumere il
valore vero o falso in base alla frase che
rappresenta nel dominio del discorso
47
Interpretazione
Un dominio D è un insieme non vuoto (anche
infinito)
 es. insieme di persone, l’insieme dei naturali etc.
Una interpretazione si ottiene associando
 ad ogni simbolo costante un elemento di D
 ad ogni simbolo di funzione una funzione su D
 ad ogni predicato n-ario una relazione n-aria su D
Ad ogni formula atomica si assegna un valore
vero o falso
Ad ogni formula complessa si assegna un valore
vero o falso utilizzando le tavole di verita
48
Esempio di interpretazione
Sia data la formula P(a,f(b,c))
Una possibile interpretazione è:
 D è il dominio degli interi
 a è l’intero 2
 b è l’intero 4
 c è l’intero 6
 f è la funzione addizione
 P è la relazione maggiore di
In questa interpretazione si afferma che “2 è
maggiore di 4 + 6” e quindi la formula ha valore
falso.
In una seconda interpretazione possiamo dire
che “a è l’intero 11” e la formula assume valore49
vero.
Esercizio 3
Scrivere quattro frasi in linguaggio naturale
corrispondenti alle formule ben formate
¬ X (docente(X) studente(X))
2.
X (matricolato(X) ⇒ (docente(X)
studente(X)))
3.
X (docente(X) ⇒ matricolato(X))
4.
X (studente(X) ¬matricolato(X))
1.
50
Esercizio 3: soluzioni
1.
2.
3.
4.
Nessuno è sia docente che studente
Se un individuo è matricolato allora è un
docente oppure uno studente
Ogni docente è matricolato
Esiste uno studente non matricolato
51
Conclusioni
La logica permette di studiare i meccanismi di
ragionamento corretto
Non tutti i meccanismi di ragionamento utilizzati
in ambito giuridico seguono regole logiche
La rappresentazione della conoscenza mediante
formalismi logici necessita di un linguaggio
formale
Le logiche maggiormente utilizzate in campo
giuridico sono quella proposizionale e quella
predicativa che permettono di esprimere la
realtà del dominio attraverso proposizioni e di
valutare poi la verità di tali proposizioni
52