Circuiti Magnetici

Circuiti Magnetici
ELETTROMAGNETISMO
• Quantità basilari: SORGENTI, CAMPI
(La sorgente
g
di un campo
p elettromagnetico
g
è
invariabilmente una carica elettrica, a riposo o in moto)
• Regole Operative
Operative: Calcolo Vettoriale
• Postulati Fondamentali: EQUAZIONI DI MAXWELL
Equazioni di Maxwell
Forma Differenziale
Forma Integrale
g
∙
̅
∙
L. Faraday
L. Ampére
∙
∙
∙
Φ
∙
L Gauss
L.
∙
0
∙
L. Gauss
0
Teorema di Stokes:
   A   dS   A  dl
S
Teorema della divergenza:
l
   A  dV   A  dS
V
S
IPOTESI
O ES S
SUI MEZZ
MEZZI M
MATERIALI
E
L
CONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI
Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari:

 conduttività [S/m]

 permettività [F/m]

 permeabilità [H/m]
QUANTITA' DI BASE
CORRENTE ELETTRICA
i = dqq / dt [[A]]
DENSITA' DI CORRENTE J
• Misura la quantità di corrente che fluisce
attraverso l'unità di superficie
p
normale alla
direzione del flusso di corrente
CAMPI
ELETTRICO
MAGNETICO
Intensità Di Campo Elettrico E [V/m]
Densità di Flusso Elettrico D [C/m2]
Induzione Magnetica B [T=V·s/m2]
Intensità di Campo Magnetico H [A/m]
RELAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO
Campo
Equazione costitutiva
Campo di corrente
Campo elettrico
Campo magnetico
costanti universali
J  σE
D  εE
B  μH
simbolo
valore
unità
velocità della luce nel
vuoto
c
3  108
m/s
permeabilità
bilità del
d l vuoto
t
0
4 10-77
H/
H/m
permettività del vuoto
p
0
8,854
,
× 10-12
F/m
1
m
c
 299 792 458
s
μ0ε0
RELAZIONI MISTE FRA GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI
TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE
 H  J
 H  dl  I
l
Legge di Ampére
REGOLA DI MAXWELL
• Il segno positivo della corrente è quello di avanzamento dei una vita
destrogira
g
che si avvita nel verso associato alla linea chiusa
FLUSSO DI INDUZIONE:    B  d S
S
Applicando ll'integrale
integrale ad una superficie chiusa:
BdS  0
s
((Legge
gg di Gauss))
B
ds
B
E' SOLENOIDALE
E
E
Applicando il teorema della divergenza:
 B  0
• Di
Diverse
s superfici
s
fi i che
h hanno
h
lo
l stesso
st ss contorno,
t
hanno
h
lo
l stesso
st ss flusso
fl ss
concatenato  Si parla di flusso concatenato con una linea chiusa
Campo Magnet
Magnetico
co

 
F  qv  B  i  B
I
v
q
F

forza indotta
pollice (pesoforza)
indice (i corrente)
B
I 
I

B
2 r   H 
2 r

B  H 
mano destra
medio (m campo magnetico)
Legge di Biot-Savart
Induttanza
Tubo di flusso
Solenoide infinitesimo
d  B  d S  BdS
d C  Nd  NBdS
 Flusso concatenato con N spire
Applicando
l
d lla legge
l
di
d Ampére:
é
 H  dl  N  dI
 Forza Magneto motrice (FMM)
l

U m  H  dl
l
 Tensione Magnetica
Induttanza
d C
N
L
 NBdS

dI
Hdl
dS
2 B dS
2 d C
2
N
N
N 
H dl
dU m
dl
Solenoide infinitesimo
dΦc
dS
μ
[ H ]  Permeanza magnetica
Pm 
dU m
dl
dU m 1 dl
Rm 

[ H 1 ]  Riluttanza Magnetica
dΦc μ dS
U m  RmΦ  Legge
gg di Hopkinson
p
Corrispondenza tra grandezze
elettriche
l
i h e magnetiche
i h
Circuiti Elettrici
Grandezza
Circuiti magnetici
Simbolo
Grandezza
Simbolo
FMM [Aspire]
Forza elettromotrice
E [V]
Forza magnetomotrice
T nsi n elettrica
Tensione
l tt i
V [V]
T nsi n m
Tensione
magnetica
n ti
Corrente
I [A]
Flusso
 [Wb]
R i
Resistenza
R []
[ ]
Ril
Riluttanza
Rm [H-11]
Conduttanza
G [S]
Permeanza
Pm [H]
Campo Elettrico
E [V/m]
Campo magnetico
Densità di corrente
J [A/m2]
Induzione magnetica
Conducibilità elettrica
 [(m)-1] Permeabilità magnetica
Um [Aspire]
[Aspi ]
H [A/m]
B [T=Wb/m2]
 [H/m]
E
Esempi
i di iinduttanze
d tt
MEZZI MATERIALI (Normali e Anormali)
Mezzi Normali:
•DIAMAGNETICI r   1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …)
•PARAMAGNETICI
ARAMAGNE I I r >  1 (Mg, Al, Mn, …)
•AMAGNETICI  =  0 = 4π·10-7 H/m
Permeabilità Magnetica relativa di alcuni materiali diamagnetici,
paramagnetici e ferromagnetici (all’induzione di 0,002 T)
M
Materiali
i li Di
Diamagnetici
i i
M
Materiali
i li P
Paramagnetici
i i Materiali
M
i li F
Ferromagnetici
i i
(B=0,002 T)
r

Materiale
r

Materiale
r

Materiale
Rame
1-1010-6
Alluminio
1+2210-6 Ferro
200
Argento
1-2510-6
Platino
1+30010-6 Lamiere al Si
1000
Bismuto
1-1710-6
Aria
1+0,610-6 Nichel
100-600
Acqua
1-910-6
Permalloy*
8000
Mumetal**
Mumetal
20000
* Lega Ferro-Nichel
** Lega Ferro, Nichel, Molibdeno, Silicio, Rame
MEZZI MATERIALI
Mezzi Normali:
•DIAMAGNETICI r   1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …)
•PARAMAGNETICI
ARAMAGNE I I r >  1 (Mg, Al, Mn, …)
•AMAGNETICI  =  0 = 4π·10-7 H/m
Caratteristiche di magnetizzazione per i materiali diamagnetici (μD)
paramagnetici (μP) e per il vuoto (μ0)):
MEZZI MATERIALI
Mezzi Anormali:
•FERROMAGNETICI r >> 1 (Fe, Ni, …)
μr è funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro
Magnetizzazione
di un provino
N
I
Curva di prima magnetizzazione
Ciclo di Isteresi
B = f (H) NON LINEARE
B
tan-1μ0
Br
-Hmax
SATURAZIONE
-HC
HC
Hmax
H
-Br
HC: forza coercitiva
Br: induzione residua
UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD UN
CICLO DI ISTERESI,, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA' DI
VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI.
Dimostrazione
 C   C  d C
Un incremento del flusso concatenato, dà luogo a:
dL  I  d C  N  I  d  H  l  dB  A  H  dB  V
dL
dLvol 
 H  dB incremento del lavoro speso per unità di volume
V
Lvol   H  dB incremento di lavoro volumico speso nel ciclo
Poiché H e B sono variabili di stato
stato, tale lavoro non si
ritrova sotto forma di energia magnetica accumulata nel
materiale, ma viene convertito in CALORE DI ISTERESI.
S è tro
Si
trovato
ato sp
sperimentalmente
r m nta m nt che
ch il lavoro
a oro massico
mass co
assorbito in un ciclo è:
W 
L  kist  B  3 
m 
n
max
Formula di Steinmetz
kist : dipende
p
dal materiale
n : 1,8  2,2
DOLCI (Cicli di isteresi stretti)
MATERIALI
FERROMAGNETICI
DURI (Cicli di isteresi larghi)
Cicli di Isteresi
B
B
M
H
Materiale ferromagnetico dolce
M
H
Materiale ferromagnetico duro
MATERIALI DOLCI
Eccetto che per le perdite per isteresi, il comportamento può
essere descritto mediante la Curva normale di magnetizzazione:
magnetizzazione
l
luogo
d
dei punti vertici d
dei cicli
l di
d isteresi simmetrici
CURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE
B
GINOCCHIO
H
Es: ACCIAIO FUSO
B [Wb / m2]
H [A / m ]
r
0,10
,
70
1140
0,20
90
1780
,
0,30
100
2400
0,40
120
2660
0,50
140
2860
0,60
170
2820
3500
0,80
270
2370
3000
1,00
400
2000
2500
1,20
620
1550
1,40
1200
930
1000
1,60
3500
365
500
1,80
10 000
144
0
2,00
25 000
64
Curva di permeabilità magnetica
relativa in funzione del campo H
per l’acciaio fuso
2000
mr
1500
0
1
2
3
logH
4
5
CIRCUITI MAGNETICI
•
Un bipolo induttivo e' un componente con 2 morsetti che non dà luogo
a dissipazione di energia ed è idoneo ad immagazzinare energia sotto
forma di energia magnetica nel suo interno e nel mezzo circostante
•
Attraversato da corrente, genera linee magnetiche chiuse che
costituiscono il flusso magnetico
•
Lo spazio entro cui si chiudono le linee magnetiche rappresenta il
circuito magnetico
B
N spire
I
CIRCUITI MAGNETICI
•
•
Il flusso magnetico è quindi prevalentemente, ma non totalmente,
confinato all
all’interno
interno del nucleo.
nucleo
Un circuito magnetico in senso lato è tutto lo spazio entro il quale si
svolgono le linee del campo magnetico prodotte dalle correnti che
scorrono in un sistema di conduttori
lg
Giogo

I1
I2
I2
N2
N1
d1
lc
d2
S
I1

Colonna
S
CIRCUITO MAGNETICO INERTE
• E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DOLCI
Giogo
g

I1
I2
Per ogni tubo di flusso:
N2
N1
d1
d2
S
Se r >> 1 si p
può immaginare che
i flussi siano canalizzati nel
nucleo ferromagnetico.
E' un
E
un'ipotesi
ipotesi semplificativa.
semplificativa
Colonna
Um = Rm   = Pm Um
1 l
Rm 
[ H 1 ]
μ fe S
La riluttanza del nucleo sarà la somma delle riluttanze dei singoli tronchi di tubo
di flusso
1 2lg  2lc
Rm  2 Rmg  2 Rmc 
[ H 1 ]
μ fe
S
 H  dl  U
m
  Rm  N1 I1  N 2 I 2  N1 I1  N 2 I 2  ( 2 Rmg  2 Rmc )  Rm 
CIRCUITO MAGNETICO INERTE
Sg
I1
1
N1
Sg
2
Per ogni superficie chiusa:
3
t
I2
N2
Sc
lg
lg
 = 0
lc
(Legge di Gauss)
Per ogni percorso chiuso:
 Um =  Rm = I
• SI RICONOSCE UN'ANALOGIA TRA CIRCUITI ELETTRICI E
CIRCUITI MAGNETICI
• LE DIFFERENZE SOSTANZIALI SONO:

In un circuito magnetico con f.m.m. concentrata il flusso
varia da sezione a sezione

N n esistono
Non
sist n bu
buoni
ni isolanti
is l nti magnetici
m n tici
Analogia tra circuiti elettrici e circuiti magnetici
Circuiti Elettrici
Forza elettromotrice
Tensione elettrica
Corrente
Resistenza
Conduttanza
Legge di Ohm
Legge di Kirhhoff alle correnti
Legge di Kirhhoff alle tensioni
E [V]
V [V]
I [A]
R []
G [S]
Σ
Σ
0
Σ
Circuiti magnetici
Forza magnetomotrice
NI [Aspire]
Tensione magnetica
[Aspire]
p
Flusso
Φ [Wb]
Riluttanza
[H-1]
Permeanza
[H]
Legge di Hopkinson
Φ
Legge di Gauss
ΣΦ 0
Legge di Ampere
Σ
Σ Φ
I1
Sg
1
N1
ESEMPIO
Sg
2
I2
3
t
Rmc1
N2 lc
Sc
lg
lc
R mc1 
 ;R
c1 Sc
R
mg1

1

N1I1 1
lg
1
lg
 g1 S g
;R
Rmg3
Rmg1
2
R’mc2
Rmt
R’mc2
Rmg1
3
Rmc3
N2I2
Rmg3
lc
1 1 lc t
 ;R' mc 2 

;
mc 3 
c 3 Sc
2 c 2 Sc
1
mg 3

1

lg
g3 Sg
;R
t


 0 St
1
mt
1   2   3  0

R mc1  2R mg1  1  2R ' mc 2 R m t   2  N1I1
R
 mc3  2R mg 3   3  2R 'm c 2 R m t   2  N 2 I 2
E' un sistema non lineare
PROBLEMI
• PROBLEMA DIRETTO: Trovare le amperspire necessarie a generare
un assegnato flusso ne
nei d
diversi
vers tratt
tratti (es
(es: al traferro)
• PROBLEMA INVERSO: Trovare il flusso nei diversi tratti (es: al
t f
traferro)
) note
t le
l amperspire
i di eccitazione
it i
ELETTROMAGNETI:
RELE', IMPIANTI DI SOLLEVAMENTO
ROTTAMI, …
ROTTAMI
Sono dispositivi con funzioni sia di
protezione che di manovra
CIRCUITI PER MAGNETI PERMANENTI
CIRCUITI MAGNETICI PER MACCHINE ELETTRICHE:
Trasformatore, Macchine Asincrone, …
IPOTESI SUI CIRCUITI MAGNETICI
• Si trascurano gli effetti di bordo
• La lunghezza di ciascun tratto si considera coincidente
con la linea media
• Il nucleo di materiale ferromagnetico
g
viene considerato
un tubo di flusso
• L'induzione viene considerata costante tratto per
tratto
PROBLEMA DIRETTO
DIRETTO::
noto ill flusso
fl
ricavare le
l amperspire
Esempio:
p L'ELETTROMAGNETE
S fe
Rmfe
t
I
N
t
NI
St
t
Noto  t  Bt 
St
Rmt
NI   t R m fe  R m t 
Bt
 Ht 
Hp: il flusso è lo stesso
in tutte le sezione trasversali
0
t
B fe 
S fe
 Si legge
l

PROBLEMA DIRETTO
DIRETTO::
noto ill flusso
fl
ricavare le
l amperspire
Caratteristica normale di
magnetizzazione delle lamiere al silicio:
2.5
2
1.5
Bfe [T]
1
0.5
0
0
20000
40000
Hfe [A/m]
60000
B fe
 fef 
H fe
 R m fef
PROBLEMA INVERSO
INVERSO::
note
t lle amperspire
i ricavare
i
il flusso
fl
Esempio: L'ELETTROMAGNETE
L ELETTROMAGNETE
S fe
Rmfe
t
I
N
NI
t
Rmt
St
NI   t R m ffe  R m t 
PROBLEMA INVERSO
INVERSO::
note
t lle amperspire
i ricavare
i
il flusso
fl
Esempio: L'ELETTROMAGNETE
L ELETTROMAGNETE
GRAFICAMENTE
GRAFICAMENTE:
3

Caratteristica di
magnetizzazione totale
del circuito
2
V
1
NI
NI 1 NI 2
NI V
NI 3
ESEMPIO
Calcolare il coefficiente di autoinduzione
della bobina di N = 1000 spire
I
a a
Hp: non ci sono flussi dispersi
N
t
l
l
B
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
H
180 250 400 700 2300 7500
Wb/m2
As/m
Tabella di magnetizzazione del ferro al silicio
Rmfe
t = 3 mm
a = 20 mm
l = 50 mm NI
I=2A
t
Rmt
lf = 4l = 200 mm = 0,2 m
S = a·a = 400 mm2 = 4·10-44 m2
 = 4·· 10-7 H/m
NI = 2000 A
As
NI  H fe  l
fe

B fe
0
t  0,2 H f  2387,32  B fe
Bfe
Hfe
( )t
(NI)
06
0,6
180
1468 39
1468,39
0,8
250
1959,86
1,0
400
2467,32
1,2
700
3004,78
14
1,4
2300
3802 25
3802,25
2000  1959,86
B
 0,2  0,8  0,8158
2467,32  1959,86
1,6
7500
5319,71
  B  S  3,2633 10  4 Wb
I
Interpolando:
l d
N
L
 0,163 H  163 mH
I
ESEMPIO
Calcolare il flusso magnetico nella barretta
sul fondo della struttura nell’ipotesi che il
g
e
flusso sia confinato nel nucleo magnetico
che lo stesso lavori nel tratto lineare della
caratteristica di magnetizzazione e abbia
r  10000
1A
0,01 m
0,1 m
0 05 m
0,05
0,01 m
N=100
0,01 m
01m
0,1
0,01 m
0,0025 m
0,005 m
• Lunghezza media della U: lU = (0,045x2)+0,09 = 0,18 m
Lunghezza
g
dei traferri:
f
ltraf = 0,005
,
m
•L
• Lunghezza della barretta: lbarr = 0,09 m
• Sezioni trasversali: Ferro: Sf = (0,01)x(0,01) = 0,0001 m2 Traferro: Straf = 0,001x103
m2
(P i traferri,
(Per
f
per tenere conto degli
d l effetti
ff
d bordo,
di
b d
avremmo potuto maggiorare la sezione di qualche percento).
0,18
5 A s
U 

 1,43  10
7
 r o S f 10 000  4  10  0,0001
Wb
lU
bar
lbar
0,09
5 A s


 1,43  10
7
 r o S f 10 000  4  10  0,01  0,005
Wb
ESEMPIO
Calcolare il flusso magnetico nella barretta
sul fondo della struttura nell’ipotesi che il
g
e
flusso sia confinato nel nucleo magnetico
che lo stesso lavori nel tratto lineare della
caratteristica di magnetizzazione e abbia
1A
0,01 m
0,1 m
0 05 m
0,05
N=100
0,01 m
r  10000
traf 
ltraf
o Sttrafaf
01m
0,1
0,01 m
2  0,0025
7 A s
 3,98  10

7
Wb
4  10  0,001
tot  U  bar  traf  traf  3,98  107
NI
100A  s
 2,51  106 Wb
Φ

A s
tot
t t
3,98  107
Wb
Φ
2,51  106
 2 Wb
B

 2,52  10
Straf 0,01  0,01
m2
0,01 m
A s
Wb
0,0025 m
0,005 m
ESEMPIO
d
Il ferro sta lavorando in regione lineare
della caratteristica di magnetizzazione.
D
Determinare
i
il coefficiente
ffi i
di
autoinduzione dell’avvolgimento di N
p
sapendo
p
che:
spire
N=150
2d
I
d  50cm; S fe  200cm 2 ;  r fe  1000
d 
d
 0  r fe S fe
d
d
d
d
d

0,5
1000  4 10  7  20 10  4
4d
d
Sf
 198,94 10 3 H 1

d
d
3 d
NI
d
d
d
3 d
d
4 d
3 d

NI
ESEMPIO
Il ferro sta lavorando in regione lineare
della caratteristica di magnetizzazione.
D
Determinare
i
il coefficiente
ffi i
di
autoinduzione dell’avvolgimento di N
p
sapendo
p
che:
spire
d  50cm; S fe  200cm 2 ;  r fe  1000
d
eq
d
d
N=150
2d
I
Sf
6 2 d
 2  2 d // 3 d  // 3 d   4 d  2
// 3 d  4 d 
5 d
36 2
 d
5
36
16

 4 d 
 d  4 d   d
12
27
3
 d  3 d
5
c
NI
3 NI
3 N 2I
3 N2
3
150 2


c 
L


 21,21 mH
3
 d eq 16  d
16  d
I
16  d 16 198,94 10
1mm
1mm
ESEMPIO
Trascurando le riluttanze dei
tratti in ferro, determinare il
coefficiente
ff
d autoinduzione
di
d
dell’avvolgimento.
La sezione trasversale S del
circuito magnetico è 16 cm2,
N1=N3=30, N2=10.
N2
N1
i
N3
3mm
S
1mm
1mm
2
N1i
1
3
N2i
t
1
1103
5 1

 


4
.
97

10
H
7
4
0 S 4 10 16 10
1
2
2
N3i
ESEMPIO
Trascurando le riluttanze dei
tratti in ferro, determinare il
coefficiente
ff
d autoinduzione
di
d
dell’avvolgimento.
La sezione trasversale S del
circuito magnetico è 16 cm2,
N1=N3=30, N2=10.
1mm
1mm
N2
N1
i
3mm
S
1mm
5 3  1  N1  N 2 i  20i
3 5     N  N i  20i
2  

  2  3

c  N11  N 2 1   2   N3 2 
c 100
100
L

 0.2mH

5
i
 4.97 10
N3
1mm
20i 3
20i 5
100  60
5i
1 

i
2
16
2
(25  9)
30  5
5i 30  5 150  50 100
i 10 
i
i
i
2
 2


2  1
CIRCUITO MAGNETICO ATTIVO
• E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DURI
Bfe
Br
t
HC
Hfe

Hp: il flusso è lo stesso in tutte le sezione trasversali
Hp
B fef  S fef  Bt  St
lfe lunghezza del tratto in ferro
t lunghezza
l
h
del
d l traferro
f
H fe  l fe  H t  t  0


St
B fef  Bt
S fe
l fef
H t   H fe
t
CIRCUITO MAGNETICO ATTIVO
• E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DURI
Bfe
Br
t
HC
Hfe

Calcoliamo le relazioni tra campo magnetico e induzione nel ferro
ferro:
l fef St
St
St
B fe  Bt
 0
H t   0
H fe
S fe
S fe
t S fe
CIRCUITO MAGNETICO ATTIVO
Magnete permanente a
traferro variabile
Sezione di una macchina a
corrente continua
CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
Simbolo
Si
b l circuitale
i
it l d
della
ll
Mutua Induttanza
i1 ((tt )
M
C
Convenzione
i
dei
d i pallini:
lli i
i1
i2 ((tt )
L1 L2
v1
L1 L2
v1 (t )
I1
1
t
N1
3
i1
v2
M>0
v2 (t )
i1
S
i2
M
v1
2
t
i1
i2
M
L1 L2
v2
M<0
v1
M
L1 L2
N2
M12 = M21
i2
L1 L2
I2
t
 C1  L1  i1  M 12  i2

C 2  M 21  i1  L2  i2
v1
M
di1
di2

 v1  L1 dt  M dt

di
di
v2  M 1  L2 2
dt
dt

v2
i2
v2
CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
t
S
I1
1
N1
3
2
1
2
t
t
I2
N2
t
N1 I1
t
t
3
1 t
t 
0 S
 3  1   2
 1   2   3

 N I  2    
N I      
t
1
t
3   1 1
t
1
t
2
 11
 N 2 I 2  t  2  t  3  N 2 I 2  t 1  2t  2
2
1
1 
N1 I1 
N2I2
3t
3t
1
2
2 
N1 I1 
N2I2
3t
3t
N2I2
  c1  N11

 c 2  N 2 2
c1 Flusso Concatenato con l’avvolgimento Primario
c2 Flusso Concatenato con l’avvolgimento Secondario
2
1
2
 C1 
N I1 
N1 N 2 I 2
3t
3t
1
C 2
1
2

N1 N 2 I1 
N 22 I 2
3t
3t
2N 2

 L1 
3t

2

2N2
 L2 
3t


N1 N 2
M 12  M 21 
3t

1

 c1  L1  I1  M  I 2

 c 2  L2  I 2  M  I1
ESEMPIO
N1 = 75 spire
N2 = 100 spire
I2
C
R
C
B
N2
N1
A
I1
e(t)
R =4 105 H-1
R = 50 
C = 150 F
E = 10 V
f = 50 Hz
Calcolare la potenza attiva e reattiva erogate dal generatore sinusoidale
e(t). Sia R la riluttanza di ogni tronco. Hp: trascurare i flussi dispersi.
R
N2 I 2
2
 N 2  I 2  2R   2  R  1

 N1  I1  2R  1  R   2
R
R
1
N1I1
N2  I2

1  2 2  R

N I
 N1  I1  2R   2 2  2 2   R   2

R 

N1  I1  2 N 2  I 2  4R   2  R   2  2 N 2  I 2  3R   2
N1  I 1 2 N 2  I 2

 2  3R  3R

2 N 2  I 2 2 N 2  I 2 2 N1  I 1 N 2  I 2 2 N1  I 1
1  





R
3R
3R
3R
3R

N1 N 2  I1 2 N 22  I 2

 c 2  N 2  2 
3R
3R

2
N
N
I
2
N

1  I1
 c1  N11  1 2 2 

3R
3R

2 N12
 0,0375 H
 L1 
R
3

2
2N2

 0,0667 H
 L2 
3R

 M  N1 N 2  0,025 H

3R

L1 = 2 f L1 = 11,78 ; L2 = 20,94  ; M = 7,85 
C = 21,22
21 22 
I1 M I 2
E L1
R
L2
C
 E  jL1  I1  jM  I 2

j

0  jL2  I 2  jM  I1  R  I 2  C  I 2
10
10  j11,78  I1  j 7,85  I 2

0  j 20.94  I1  50  j 0.28  I 2
I1 
0
j 7,85
50  j 0,28
 0,83  84,68

S  E  I1*  100  0,8384,68  0,769  j8,264
P  0,769 W
Q  8,264 VAR
ESEMPIO
Assumendo che tutti i traferri abbiano
riluttanza pari a R 0 e che la riluttanza
dei tratti in ferro sia trascurabile,
determinare i coefficienti di auto e
mutua induzione dei due avvolgimenti.
i1
N
2N
N
i2
Il circuito elettrico equivalente è il seguente:
0
0
0
1
NI1
2
 2 NI1  NI 2

2






NI

NI





0 1
0 2
1
2
1
2
20

2
2      3NI 
40  2  20 1  6 NI 2
0 1
2
 0 2
Sommo m.
m a m.
m
30  2  NI1  5 NI 2
NI 2
2NI 2
2 
1 NI1 5 NI 2

3 0 3 0
1 
2 NI1 1 NI 2

3 0 3 0
2 N 2 I1 N 2 I 2
 c1  N1 

30
30
 c2
2 N 2 I1 10 N 2 I 2
 2 N 2  N  2  1  

 N  2  1 
30
30
NI1 4 NI 2

 2  1  
30 30
 c2
2 N 2 I1 10 N 2 I 2 N 2 I1 4 N 2 I 2 N 2 I1 14 N 2 I 2






30
30
30
30
30
30

2N 2
 L1 
2
2

30
2N
N

I1 
I2
  c1 

14 N 2
30
30

 L2 

2
2
30
  N I  14 N I

 c 2 30 1 30 2

N2
M 
30

ESEMPIO
I2
Determinare l’energia totale accumulata nel
circuito, sapendo che il circuito elettrico è a
regime e che:
E  10 V ; A1  5 A; A2  4 A
N2
t1
L  12 mH ; R1  2 ; R2  5 ;
R3  7 ; R4  15 
N1  100; N 2  200
S f  60cm ; t1  2mm; t 2  4mm; t3  6mm
2
N1
t2
A2
t3
I1
R1
A1
R2
Sf
E
 fe  
Il circuito elettrico equivalente è il seguente:
1
1 
1 t1
 2,65105 H 1
0 S f
2 
1 t2
 5,305105 H 1
0 S f
N2 I 2
1
N1I1
2
2
3
R3
1 t3
3 
 7,9576105 H 1
0 S f
L
R4
Applicando il metodo delle correnti cicliche:
 2  1   N1I1 
1  2 
   
 








N
I
2
2
3   2  2 2

  1  2   2  3   22  77,361010
1

2  3   N1I1  2  N2 I 2


2  3  I
2

1  2   N2 I 2  2  N1I1


2
I2
1  N1N2


2
2 1  2 
c2  N22  N1N2
I1  N2
I2


2 2  3 
2 1  2 
L1  N1
 17,1mH
L2  N2
 41,13mH



M  N1N2 2  13,715mH

c1  N11  N12
Circuito
rcu to elettrico
elettr co
R3
M
R1
A1
R2
E
L1
A2
L2
L
R4
Il circuito è in regime stazionario
R1
A1
R3
R2
E
I1
A2
I2
I2
I1 
E
 2A
R2
I 2   A2  4 A
R4
1 2 1
1 2
2
W  L1I1  L2 I 2  MI1I 2  LI2  349,52mJ
2
2
2
TRASFORMATORE INDUTTIVO
I1
N1

d1
I2
d2
N2
 1     d 1

 2     d 2
  c1  N1  N1 d 1

 c 2  N 2   N 2  d 2
 Flusso Principale
d1 Flusso Disperso Primario
d2Flusso Disperso Secondario
1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria
2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria
Rm
Rmd1

d
Rmd2
d
N2I2
N2I2 N1I1
N1I1
  G m N1 I1  N 2 I 2  Gm permeanza del circuito magnetico

Gd1 permeanza costante (percorso in aria)
 d 1  G d 1 N1 I1 
  G  N I 
Gd2 permeanza costante (percorso in aria)
d2
2 2
 d2

 cd 1  N1G d 1 N1 I1 

 cd 2  N 2G d 2 N 2 I 2 
 Ld 1  N12G d 1

2
 Ld 2  N 2G d 2
 L  N 2G
1 m
 m
poniamo:
Induttanza di dispersione primaria
Induttanza di dispersione secondaria
Induttanza
d
d
di magnetizzazione
 c1  N1G m  N1 I1  N 2 I 2   N1G d 1 N1 I1 

 c 2  N 2G m  N1 I1  N 2 I 2   N 2G d 2  N 2 I 2 
  c1  N1  N1 d 1 

 c 2  N 2   N 2  d 2

2




N
 c1
1 G m  G d 1 I1  N1 N 2G m I 2

2
 c 2  N1 N 2G m I1  N 2 G m  G d 2 I 2
 L1  N G d 1 G m 

2


L

N
 2
2 G d 2 G m
M  N N G
1
2 m

2
1
poniamo:
Induttanza propria dell
dell’avvolgimento
avvolgimento primario
(o autoinduttanza a vuoto del primario)
Induttanza propria dell’avvolgimento secondario
( autoinduttanza
(o
t i d tt
a vuoto
t d
dell secondario)
d i )
Induttanza mutua
 c1  L1  I1  M  I 2

 c 2  L2  I 2  M  I1

di1
di2

v1  L1  dt  M  dt

di2
di1
v2  L2 
M 
dt
dt

Equazione della mutua
Circuito equivalente del trasformatore induttivo
 c1  N12 G m  G d 1 I1  N1 N 2G m I 2  Ld 1 I1  Lm I1  N1 N 2G m I 2 
N1
N2 2
 Ld 1 I1  Lm I1 
N1 N 2G m I 2  Ld 1 I1  Lm I1 
N1 G m I 2 
N1
N1

N2
N2 
 Ld 1 I1  Lm I1  Lm
I 2  
I 2  Ld 1 I1  Lm  I1 
N1
N1 

1 
N1

con n 
rapporto
t di trasformazione
t f
i
 Ld 1 I1  Lm  I1  I 2 
n 
N2

N1
2
 c 2  N1 N 2G m I1  Ld 2 I 2  N 2G m I 2  (moltiplico per n  )
N2
n c 2  N12G m I1  nLd 2 I 2  N1 N 2G m I 2  Lm I1  nLd 2 I 2  N1 N 2G m I 2 
I2
1 

 n Ld 2  Lm  I1  I 2 
n
n 

2
Circuito equivalente del trasformatore induttivo
1 

 c1  Ld 1 I1  Lm  I1  I 2 
n 

I2
1 

2
n c 2  n Ld 2  Lm  I1  I 2 
n
n 

I1
c1
Ld1
n2 Ld 2
Lm
I2
I1 
n
Modo alternativo di descrivere
una mutua induttanza
 c1  n c 2


1
i1   n i2
I2 / n
n :1
nc2
I 2
c 2
Equivalenza di doppi bipoli
i1 ((tt )
v1 (t )
M
I1
i2 ((tt )
L1 L2
v2 (t )
c1
Ld1
n2 Ld 2
Lm
I1 
I2
n
I2 / n
n :1
n
c2
Applicando le regole per l’equivalenza di doppi bipoli si ottiene:
 c1
L1 
I1
 c1
M
I2
c2
L2 
I2
 Ld 1  Lm
I 2 0
I1  0
I1  0
1
 Lm
n
1
 Ld 2  2 Lm
n
Ld 1  L1  nM
M
Lm  nM
n 2 Ld 2  n 2 L2  nM
I 2
c2
Trasformatore perfetto
•
•
•
flussii di
fl
dispersii = 0
riluttanza del nucleo magnetico ≠ 0
accoppiamento perfetto (k = 1)
I1
I2 / n
n :1
 c1
Lm
I2
I1 
n
n c 2
c2
Trasformatore
f m
ideale
•
•
flussi dispersi = 0
riluttanza del nucleo magnetico =0 (μr=∞)
I 2
n:1
ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI
Hp:
non dissipativo
M 12  M 21  M
L1 L2  M 2  0
passivo
Supponiamo per assurdo che:
 c1
M 12 
I2
I1  0
c2
M 21 
I1
I 2 0
M 12  M 21  M 21  M 12  g
d 1 2 1 2
di1

pt   v1i1  v2i2   L1i1  L2i2  M 12i1i2   g  i2
d 2
dt
2
d
dt

Per la condizione di NON DISSIPATIVITA
DISSIPATIVITA'::
w1  w2  0 
 p t   dt  0
w1 e w2 devono dipendere solo dagli estremi
p(t) deve essere un differenziale esatto
g = 0  M12 = M21 = M
i2
A
l1
B
l2
i1
ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI
d 1 2 1 2

p t    L1i1  L2i2  Mi1i2 
dt  2
2

Per la condizione di passività:
1 2
1 2
Wm   p t dt  0 t  L1i1  Mi1i2  L2i2  0 t
2
2
 L1 M   i1 
1
 i1 i2 
0



2
 M L2  i2 
t
FORMA QUADRATICA SEMIDEFINITA POSITIVAMINORI  0
L1  0
L2  0
L1 L2 -M
M2  0
ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI
Dalla:
L1 L2  M  0  K 
2
K = coefficiente
ffi i nt di accoppiamento
ppi m nt
Se
M
L1 L2
 0  K 1
Condizione
passività
M 0 K 0
accade se Gm=0 cioè se i due induttori sono a grande distanza e se
gli assi sono disposti perpendicolarmente
Se
Ld 1  Ld 2  0  K  1
accade quando l’accoppiamento è perfetto: cioè tutto il flusso
concatenato con uno dei due circuiti si concatena anche con ll’altro
altro
LEGGE DELL’INDUZIONE MAGNETICA
Consideriamo una spira che delimita una superficie S che concatena un
flusso 
  t 
d
e
dt
forza elettromotrice indotta (f.e.m)
(f e m)
B
dS
e
S t
F
Forza
Elettromotrice
El tt
t i V
Variazionale
i i
l
e   v  B  dl
Forza Elettromotrice Mozionale
pollice (velocità)
l
i di (induzione)
indice
(i d i
)
medio (f.e.m.)
LEGGE DELL’INDUZIONE MAGNETICA
•Spira si deforma/cambia posizione
•Immersa in un campo di induzione variabile
F
Forza
Elettromotrice
El tt
t i Variazionale
V i i
l +F
Forza Elettromotrice
El tt
t i Mozionale
M i
l
B
e   v  B  dl  
dS
l
S t
  B  S  BS cos 
  BS
 0
GENERATORE DI TENSIONE SINUSOIDALE
Spira
p
S
Contatti striscianti (spazzole)
N
Collettore ad anelli
d
  B  S  BS cos t  e   N
 NBS sin t  E sin t
dt
CORRENTI PARASSITE
y
l=1
Lastra soggetta ad un campo
magnetico variabile
sinusoidalmente
dy
d/2
y
y
d/2
a
Induzione magnetica
b(t )  BMAX sin t
 (t )  BMAX a  2 y sin
i t
d
 e(t )  
 BMAX a  2 y cos t
dt
x
CORRENTI PARASSITE
Valore efficace della f.e.m. nel lato
della spira parallelo
parallel all
all’asse
asse x
Conduttanza
Se
E
BMAX ay
2
1 dy  l
dG 
 a
2 2
2 2
2 2
BMAX a 2

B
a
y
dy

2
MAX
l  1  dP  E dG 

y dy
2
a
2
La potenza dissipata sulla lastra per unità di lunghezza e per una
larghezza a è:
2 2
2 2
3
d /2
 BMAX a 2
 BMAX ad
P2
y dy 

2
24 
0
2
2
 2 BMAX
d 2  2 f 2 BMAX
d2
pV 

p t nz volumica
potenza
v lumic
24 
6
CIFRA DI PERDITA
•Perdite del ferro (isteresi + correnti parassite)
•Perdite del rame ((effetto
ff
Joule))
•Perdite meccaniche (attrito e ventilazione nelle macchine elettriche)
Potenza volumica persa per isteresi:
n
pist  kist fBMAX
P t
Potenza
volumica
l i dissipata
di i t per correnti
ti parassite:
it
Potenza volumica dissipata nel ferro:
2
pcp  kcp f 2 BMAX
d2
n
2
p  kist fBMAX
 kcp f 2 BMAX
d2
Cifra di Perdita: potenza volumica totale (dissipata per isteresi e correnti
parassite) per unità di volume di materiale considerato, quando l’induzione
ha un valore massimo pari ad 1 Tesla e con frequenza pari a 50Hz.
Nota la cifra di perdita è possibile risalire alla potenza dissipata nel ferro :
2
 P  Cifra di Perdita  BMAX
 m 3 di materiale [W]
F
Forze
neii circuiti
i i i magnetici
i i
Trasformatore Reale
accoppiamento perfetto
Trasformatore
 

I1
N1
d1
Pfe=0
I2
N2
d2


Trasformatore
ideale
Ferro ideale
Rame ideale
Pcu=0
 Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le
p
di ferro ideale e di rame ideale.
ipotesi
 Circuito equivalente del trasformatore induttivo nel dominio della frequenza:
I1
X d1
I '2
X 'd 2
I
n :1
E 1  jN1 
E 2  jN 2 
2
Im
V1
 E1   E '2
Bm
V '2
V2
FERRO NON IDEALE
Riluttanza
l
del
d l circuito magnetico non nulla
ll (permeanza
(
finita)
f
)
Legame flusso-amperspire non lineare (isteresi)
Perdite per isteresi e correnti parassite non nulle



Corrente magnetizzante non nulla
Corrente magnetizzante non sinusoidale (deformata)
Potenza d
dissipata nell nucleo
l sotto f
forma di
d calore
l
Presenza di flussi dispersi che si chiudono prevalentemente in aria
RAME NON IDEALE

Resistività del rame diversa da zero
Potenza attiva dissipata
p
negli
g avvolgimenti
g
sotto forma di calore
Pcu  R1 I12  R2 I 22
CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRASFORMATORE REALE
•
•
•
•
•
•
•
•
•
R1: resistenza equivalente
q
dell’avvolgimento
g
primario
p
R’2=n2R2 con R2 resistenza dell’avvolgimento secondario
Xd1=ωLd1 con Ld1 induttanza di dispersione
p
primaria
p
X’d2=n2 Xd2 ; Xd2= ωLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondaria
G: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro)
Bm=1/Xm; Xm=jωLm con Lm induttanza di magnetizzazione
I0: corrente a vuoto
Im: corrente magnetizzante
E’2=nE2
DISTORSIONE DELLA CORRENTE MAGNETIZZANTE
im
im
DISTORSIONE DELLA CORRENTE MAGNETIZZANTE
im
im(t)
FUNZIONAMENTO A VUOTO
X d1
I0
 I2  0
R1
n :1
I0
I fe
G
V1n
Im
Bm
V20
 E1   E ' 2
Caduta di tensione nell
nell’impedenza
impedenza primaria Z1  R1  jX d 1 è molto
piccola
V 1   E 1  jN1
E1  4,44 N1 f   MAX
V20   E 2  jN 2 
E2  4,44 N 2 f   MAX
V1
E1 N1


n
V20 E2 N 2
rapporto
pp t di trasformazione
t sf m i n d
dell
trasformatore ideale
DIAGRAMMA FASORIALE
X d1
I0
 I2  0
R1
n :1
I0
I fe
G
V1n
Im
Bm
V20
 E1   E ' 2
jX d 1 I 0
V1
R1 I 0
La caduta di tensione al primario e’
piccolissima e può, in certi casi, essere
t s
trascurata
t
 E1
I0
Im
E2
If

Im e’ p
prevalente rispetto
p
a Ife
PROVA A VUOTO
o T
Trascurando
s
d le
l perdite
dit di eccitazione
it i
R1I02 rispetto
is tt a quelle
ll nell ferro
f
GE12 (rapporto di poche unità per mille)
o Trascurando la potenza reattiva richiesta per l’eccitazione del flusso
disperso rispetto a quelle necessarie a sostenere il flusso principale
Il circuito equivalente del trasformatore nel funzionamento a vuoto e’ il
s
seguente:
t :
 I2  0
I0
I fe
V1
G
Ammettenza a
vuoto primaria
n :1
I0
Im
Bm
 E1   E '2
V20
Y  G  jBm
PROVA A VUOTO
W
A
V1
P0  f (V1 )
parabola
2
2


Pfe
B
V
f
M
1
T
V2
wattmetro
amperometro
voltmetro
P0
I0
V1n
V1  f ( I 0 )  Curva normale di magnetizzazione
V1  B I 0  f .m.m.
I0

Y  V
1


P0
G  2
V1


2
2
 Bm  Y  G

In corrispondenza alla tensione nominale, le letture degli strumenti forniscono i dati
sufficienti a ricavare i parametri trasversali del circuito equivalente del trasformatore
FUNZIONAMENTO IN CORTO CIRCUITO
I1n
X d1
R1
X 'd 2
R' 2
I '2
I0
V1cc
 E1   E '2
I fe
Im
G
Bm
V '2  0
Se applicassimo V1n  I1cc e I 2cc da 7 a 30 volte I1n e I 2n
Si deve applicare una tensione V1cc tale che I1  I1n e I 2  I 2n
V1cc : Tensione di corto circuito
V1cc  3  5%V1n decresce al crescere della potenza
Se
Se
V1  V1n  I 0  4  12% I1n
V1  V1cc  I 0cc  1.2  18 ‰ I1n
I0
può essere trascurata rispetto ad I1 e
nel ferro rispetto a quelle nel rame
I1n
X d1
R1
V1cc
I2
cioè: si trascurano le perdite
X 'd 2
R' 2
V '2  0
Impedenza di corto circuito primaria
' 
' 
'
Z cc
( R1  R2' )  j ( X d1  X d' 2 )  Rcc
jX cc
PROVA IN CORTO CIRCUITO
W
V1
Pcc
I1n
A
V
T
Pcc  f ( I1 )
Pcc
V1
parabola:
Pcu  Pcc  I 2
V1  f ( I1 ) retta passante per l’origine
' 
'
Z cc
X cc
I1n
V1cc  I1n
I1
'
R
( cc piccolo)
'
X cc
In corrispondenza della corrente nominale:
'  V1cc
'  Pcc 
' 
'2  '2


Z cc
; Rcc
X
Z
cc
cc Rcc
2
I1n
I1n
FUNZIONAMENTO A CARICO
X d1
I1
R1
1

I2
n
I0
2
I fe
V1
 E1   E '2
V2   Z L I 2 eq. carico
G
Xd2
I2
 I2
R2
n :1
Im
Bm
 E '2
 E2
V2
 E2  V2  ( R2  jX d 2 )( I 2 ) maglia sec.
 E1   E '2   nE2
 E1   jN1 

trasformatore 
f.e.m. indotte

I2
 E2   jN 2 
 I '2  
n

I2
I1  I 0   I 0  I '2 nodo 1 I 0  I m  I fe nodo 2
n
I 0  (G  jBm ) E1 eq. ramo trasv.
V1   E1  ( R1  jX d 1 ) I1 maglia prim.
Z L
DIAGRAMMA FASORIALE FUNZIONAMENTO A CARICO
V2   Z L I 2 eq. carico
i
 E2  V2  ( R2  jX d 2 )( I 2 ) maglia sec.
 E1   E '2   nE2

trasformatore

I2
 I '2  
n

 E1   jN1 
f.e.m. indotte

 E2   jN 2 
I2
I1  I 0   I 0  I '2 nodo 1
n
I 0  I m  I fe nodo
d 2
I 0  (G  jjBm ) E1 eq.
q ramo trasv.
V1   E1  ( R1  jX d 1 ) I1 maglia prim.
V1
jX d1I1
R1I1
 E1   nE 2
 jX d 2 I 2
 E2
 R2 I 2
V2
L
I
 2
n
 I2
I0
I1
I0
Im
I fe

FUNZIONAMENTO A CARICO (cnt
(cnt.)
.)
I0

Y


E1


P0
G  2
E1


2
2


B
Y
G
 m

I0
P0
P0
E1
I0
V1
(curve ricavate nella prova a vuoto)
CIRCUITI EQUIVALENTI SEMPLIFICATI
X 'cc  X d1  X 'd 2
I1
R 'cc  R1  R ' 2
n :1
I0
Im
I fe
G
V1
Bm
V '2
Z 'cc  R 'cc  jX 'cc
I1
Y  G  jBm
 I2
I '2
n :1
I0
V1
 I2
I '2
V '2
V2
V2
CIRCUITI EQUIVALENTI SEMPLIFICATI (cnt
(cnt.)
.)
I0
V1

Z"
cc
I '2
I1
Y
 I2
n :1
V '2
 R1


Z ' 'cc   2  R2  
n

V2
 X d1

j 2  X d 2 
 n

DATI DI TARGA
I principali dati di targa sono:
Frequenza nominale: f[Hz];
Tensione nominale primaria (valore efficace): V1n [V];
Tensione nominale secondaria a vuoto (valore efficace): V20 [V];
Rapporto di trasformazione a vuoto: n= V1n/V20;
P
Potenza
apparente nominale:
i l Sn=V
V1nI1n=V
V20I2n [VA];
[VA]
g vengono
g
generalmente
g
forniti i dati delle prove
p
a vuoto ed
Inoltre, nella targa,
in cortocircuito in percento rispetto ai valori nominali. Ad esempio:




Potenza a vuoto (pari alle perdite nel ferro ):
) P0% ;
Corrente a vuoto: I0%;
Potenza in corto circuito (pari alle perdite nel rame): Pcc% ;
Tensione di corto circuito: Vcc%.
%
'
Z cc
Vcc % V12n


100 S n
I0 % Sn

Y 
100 V12n
;
;
'
Rcc
Pcc % V12n
'
'2
'2


 X cc
 Z cc
 Rcc
100 S n
P0 % S n

 Bm  Y 2  G 2
G
100 V12n
ESEMPIO
I dati di targa di un trasformatore monofase sono:
n
12 kV ;
S n  40 kVA ; f  50 Hz ; Vcc %  4 %; Pcc %  1 .8%; P0 %  0.4 %; cos  0  0.2
260V
Determinare il circuito equivalente
Pcc 
Pcc %
1,8
S
40000
 Sn 
 40000  720W ; I 2 n  n 
 153,85 A
100
100
V20
260
Vcc % V20
4
160
Pcc
720
Z "cc 



 0,0676; R"cc  2 
 0,0304
2
100 I 2 n 100 153,85
I 2 n 153,85
"2
"2
X "cc  Z cc
 Rcc
 0,0604
P0 
0,4
P0 %
P
 Sn 
 40000  160W ; G  02  1,11  106 S ;
100
100
V1n
Bm  G  tan 0  5,44  106 S  Y  G 2  Bm2  5,55  106 S
oppure
P0  V1n I 0 cos0  I 0 
Y
P0
160

 0,0667 A
V1n cos0 12000  0,2
I0
 5,55  106 S  Bm  Y 2  G 2  5,44  106 S
V1n
Bm
 tan 0 
G
Rendimento
potenza attiva assorbita dal carico Pu


potenza
p
nz attiva erogata
g
al p
primario
m
Pe
Pp  perdite complessiv e nella macchina  Pffe  Pcu
Pp
Pfe  Pcu
Pu

 1
 1
Pu  Pp
Pu  Pp
Pu  Pfe  Pcu
Rendimento convenzionale
del trasformatore in
funzi ne del caric
funzione
carico::
c 
V2 I 2 cos  2
'' 2
V2 I 2 cos  2  Rcc
I 2  Pfe
I2
Fattore di carico 
I 2n
Particolarità costruttive
Nucleo
N
l
a colonne
colonne
gioghi
Nucleo a mantello
Particolarità costruttive (cnt
(cnt.)
.)
Giunto
Gi
nt
piallato
Giunto
Gi
intercalato
 lamierini in acciaio speciale da pochi mm a 0.35-0.5 mm isolati tra loro mediante
carta (0.03 mm) o vernici
materiale drogato
g
con silicio (qualche
(qu
percento)
p
) e cifra
f di p
perdita di pochi
p
W/kg
W/ g
m
Trasformatori di
piccola potenza
p
p
(<1kVA):
Lamierino ferromagnetico
avvolto a spirale in più strati
Particolarità costruttive (cnt
(cnt.)
.)
 Avvolgimenti sono realizzati in rame o in alluminio
g
 Sezione dei conduttori circolare o rettangolare
 Avvolgimenti possono avere una configurazione concentrica (con l’avvolgimento a
più bassa tensione all
all’interno)
interno) o alternata
AT BT
BT AT
BT
AT
BT
AT
BT
A l i
Avvolgimento
t concentrico
t i
A l i
Avvolgimento
t alternato
lt
t
Raffreddamento
 Il trasformatore, come le altre macchine elettriche ad induzione, è sede di
perdite di energia che si trasformano in calore sia nel rame che nel ferro.
ferro
Sistemi
Si t i di raffreddamento:
ff dd
t
1. raffreddamento in aria o in olio
2. raffreddamento naturale o il raffreddamento forzato (o artificiale)
Fluido intermediario
Mezzo di attivazione
Naturale
Forzato
Aria
Olio
Piccole potenze e tensioni Potenze da 5 a 6000 kVA;
modeste: S<150-200 kVA; Tensioni fino a 70 kV
V<10 kV
Presenza di ventilatori.
Potenze da 10 a 400 MVA e
oltre; Tensioni maggiori di
Medie potenze
70 kV
Campo magnetico rotante
 Teorema
T
m di Galileo
G lil
F
Ferraris
i
Un sistema polifase di correnti che scorre in un opportuno sistema di conduttori
genera un campo magnetico
ti di iintensità
t sità costante
st t lla cuii direzione
di
i
ruota
t iin un piano
i
con moto uniforme cioè un CAMPO MAGNETICO ROTANTE del tutto simile a
quello
ll ottenuto
tt
t con lla rotazione
t i
di un magnete
t
H 1 H max
H
i t   I MAX sin t
 H max
ma
+
H
t1
D ruota in senso orario
S ruota in senso antiorario
(velocità angolare ω)
H  D sin t  S sin t  2 D sin t
t
H max
D S 
2
Campo magnetico rotante
 Teorema
T
m di Galileo
G lil
F
Ferraris
i
Un sistema polifase di correnti che scorre in un opportuno sistema di conduttori
genera un campo magnetico
ti di iintensità
t sità costante
st t lla cuii direzione
di
i
ruota
t iin un piano
i
con moto uniforme cioè un CAMPO MAGNETICO ROTANTE del tutto simile a
quello
ll ottenuto
tt
t con lla rotazione
t i
di un magnete
t
+
+
+
+
+
+
t=0
tt=tt1
t=T/4
/
Campo magnetico rotante
x3
i1
i2
i3
x1
i3
i2
x2

i  I
MAX cos t
1

2 


i2  I MAX cos t 
3 



4 

i3  I MAX cos t 


3 

i1
t=0
Componenti destrorsa e sinistrorsa dei campi prodotti dalle tre bobine
Campo magnetico rotante
L’ampiezza del campo
rotante
t t e 3/2 il
valore massimo di
ciascuno
u dei 3 campi
mp
Il sistema produce un campo magnetico di ampiezza
costante che ruota con velocità angolare pari alla
pulsazione delle correnti (c.v.d.)
(c v d )
Se f  50 Hz    2f [ rad / s ]  3000 giri/minut o
Campo magnetico rotante
M gn
Magnete
permanente
p m n n
posto in rotazione da un
motore primario
p
Si possono realizzare avvolgimenti con diverse
paia polari p e la velocità di rotazione del campo
sarà  

p

f  60
p
giri/min
Campo magnetico rotante
Avvolgimento
con due paia polari
N
S
S
passo
polare
N
Esprimendo
p
la velocità angolare in giri/minuti,
alla frequenza di 50 Hz si avrà:
p
1
2
3
4
5
6
50  60

p
3000
1500
1000
750
600
500
Si possono realizzare differenti velocità del campo magnetico
Applicazioni dei campi magnetici rotanti
MACCHINA ASINCRONA
n1
N
n2
S
n2  n1
n1
Facendo ruotare il magnete si generano nel cilindro delle
correnti indotte che obbligano il cilindro a seguire la rotazione
del magnete
Le correnti indotte tendono ad opporsi
pp
alla causa che le ha
generate, quindi l’indotto ruota seguendo il campo induttore
Applicazioni dei campi magnetici rotanti
MACCHINA ASINCRONA
n1
N
n2
s  n1  n2
S

scorrimento
n1
L’indotto non può raggiungere la velocità del campo induttore perché
cesserebbe
bb il moto
t relativo
l ti e sii avrebbe
bb l’l’estinzione
ti i
d
delle
ll correnti
ti iindotte
d tt e
conseguentemente la forza motrice necessaria a mantenere la rotazione (n2<n1).
Se al posto del magnete posto in rotazione, si utilizza un sistema opportuno di
avvolgimenti fissi, si ha lo stesso comportamento
La velocità dell’indotto (rotore) e’ tanto più piccola quanto maggiore e’ la
coppia resistente applicata all’asse
Applicazioni dei campi magnetici rotanti
MACCHINA SINCRONA
n2  n1
 

p

velocità di sincronismo
Per l’attrazione costante che si esercita fra i poli opposti dei due
magneti, il secondo viene trascinato in rotazione alla medesima velocità
Se il campo rotante e’ prodotto da una serie di avvolgimenti fissi e il
magnete rotante e
e’ sostituito da un elettromagnete eccitato in
corrente continua, si realizza il motore sincrono