Econometria (SIA) Esame del 9 gennaio 2013

Econometria (SIA)
Esame del 9 gennaio 2013
1. Si consideri il ‘market model dinamico’:
rt  0  1rt 1  2 rt m  ut , ut ~ WN (0,  u2 ) , t  1,..., T
in cui rt è il rendimento del titolo al tempo t, rt m è il rendimento del mercato al tempo t e r0 è
una quantità fissa. A. Si interpreti il significato del coefficiente  2 . B. Si discutano le
proprietà dello stimatore OLS dei parametri  0 , 1 ,  2 e  u2 di tale modello. C. Si proponga
un test statistico per l’ipotesi nulla:
H 0 : 0  0 &  2  1
spiegando a quale categoria il test appartiene e si interpreti poi il significato fenomenico del
‘market model dinamico’ sotto H 0 . D. Immaginando che il modello che genera il
rendimento del mercato rt m sia dato da:
rt m   rt m1   t ,  t ~ WN (0,  t )
e che Cov(ut ,  t )  0 , si ridiscutano le proprietà dello stimatore OLS di cui al punto B.
SOLUZIONE
A.
Il coefficiente  2 rappresenta l’effetto sulla variabile rt di una variazione unitaria
della variabile rt m , mantenendo costanti tutte le altre variabili. In questo caso rappresenta
l’impatto istantaneo della variabile rt m (rendimento di mercato) sulla variabile rt (rendimento
del titolo),  2 
B.
rt
rt m
Le proprietà dello stimatore OLS sono (le prova è sulle Slides-3) :
p
p
 2
a.
Consitenza - ˆ 
  , ˆ 2 
OLS
b.
C.
u
u
d
 N (0,  u2xx1 )
Asymptotic Normality - T 1/2 (OLS   ) 
Un test statistico per valutare l’ipotesi nulla è il test di Wald:

Wt  T ( Rˆ  r ) ' ˆ u2 Rˆ xx1R '

1
( Rˆ  r )
 0 
1 0 0 
 0
   1  , R  
,r   

0 1 0
 0
 
 2
D.
In questo caso
   0
rt m e
ut non sono
incorrelati quindi lo
stimatore OLS
1 2  ' non è consistente. In particolare non è consistente lo stimatore per  2 .
2. Si riportano le stime OLS (con errori standard robusti) riferiti alla relazione fra prezzi di
vendita di immobili ad uso residenziale e le relative caratteristiche:
l_PRICEi: logaritmo del prezzo di vendita;
l_LOTSIZEi: logaritmo dell’ampiezza dell’immobile (in metri quadrati);
BEDROOMSi: numero di stanze;
BATHRMSi: numero di bagni;
AIRCOi: presenza di aria condizionata;
DRIVEWAYi: presenza di un accesso privato dall’abilitazione alla strada;
RECROOMi: presenza di una stanza non adibita a stanza da letto;
FULLBASEi: presenza di un seminterrato;
GASHWi:presenza di un riscaldamento autonomo;
GARAGEPLi:presenza del posto auto;
PREFAREAi:collocazione dell’immobile in contesti di pregio;
STORIESi:numero di piani;
Dati i seguenti valori della per la distribuzione t:
Valore t
p-value
±2.68456 0.01
±2.25248 0.025
±2.01174
0.05
A. Determinare i valori t-ratio per tutte le variabili del modello e dire approssimativamente
il valore del p-value associato.
B. Scrivere il modello in forma estesa considerando solo le variabili con un livello di
significatività del 2.5% per spiegare il prezzo di un immobile.
C. Calcolare il valore di un immobile di 100mq con 5 stanze, 2 bagni, aria condizionata e
riscaldamento autonomo.
D. Scrivere un commento generale sull’analisi effettuato commentando, se serve, anche i
coefficienti di bontà di adattamento.
SOLUZIONE
ˆ
A. I valori della statistica t-ratio si ottengono
 .
s.e. ˆ
7.74509
 36.88419
Ad esempio per la costante si avrà: 0.209984
. Questi valori vanno
confrontati i dati relativi alla distribuzione e si determina che tutte le variabili risultano
essere significative per il modello.
B. Tutte le variabili risultano essere significative ad un livello del 2.5% quindi il modello
sarà:
l _ PRICE  7.74509  0.303126* l _ LOTSIZE  0.0343990* BEDROOMS  ...  0.0916851* STORIES
C. La formulazione è:
l _ PRICE  7.74509  0.303126*log(100)  0.0343990*5  0.165764*2  0.166424  0.179023
D. Un commento generale si può fare sul segno positivo di tutti i coefficienti quindi, come
ci si poteva aspettare, ogni comfort aggiunto alla casa ne aumenta il prezzo. Il
coefficiente più alto riguarda la grandezza della casa. Il R^2 è abbastanza alto anche se
come abbiamo detto questo coefficiente va preso con le molle perché cambia a seconda
della parametrizzazione. I residui ad un livello di significatività dell’1% si distribuiscono
normalmente. Rifiutando l’ipotesi nulla relativa al testa F, quindi almeno un coefficiente
è diverso da 0.
3. Si dica come le variabili dummy possono essere utilizzate per testare l’assenza/presenza di
break strutturali nei parametri di un modello di regressione lineare (vanno bene anche degli
esempi)
SOLUZIONE
Le variabili Dummy possono essere testate per valutare la presenza di break strutturali nei
parametri riscrivendo il modello nel seguente modo:
1 se t  T
il modello sarà rt  0  1rt 1  2 rt m  Dt 0  Dt1rt 1  Dt 2 rt m  ut
Dt  
0 se t  T
Nel modello specificato nel modo riportato sopra vogliamo testare se tutti i parametri
(costante compresa) si modifichino in base al tempo. Il coefficiente  0 coglie la differenza
nel valore della costante, 1 la differenza del coefficiente relativo a rt 1 , mentre  2 la
differenza del coefficiente di relativo a rt m . È possibile specificare un modello considerando
che solo alcuni parametri cambino.
Attraverso un semplice test t o un test di Wald possiamo valutare se i coefficienti  sono
significativi. In caso siano significativi allora i parametri del modello sono diversi prima e
dopo T in caso non siano significativamente diversi da 0 allora i parametri non si modificano
in base al tempo.