Dipolo eletttrico

Dipolo elettrico
+q
si definisce dipolo elettrico l’insieme di due
cariche elettriche di uguale valore q
ma opposte di segno, mantenute a
distanza fissa
a
a
−q
Momento di dipolo elettrico
per caratterizzare il comportamento del dipolo elettrico si introduce il vettore
“ momento di dipolo elettrico ”


P = qa
+q
a
−q

P
il verso positivo del vettore per definizione va dalla carica
elettrica negativa a quella positiva
1
1
q
V ( + q) =
4πε 0 r1
1
q
V ( − q) = −
4πε 0 r2
P
per il principio di sovrapposizione :
r2
r1
1
q
1 q
V ( P ) = V ( + q) + V=
( − q)
−
4πε 0 r1 4πε 0 r2

r2 − r1
(
)
V ( P) =
4πε 0 r1r2
q
P
a grande distanza dal dipolo
ϑ1  ϑ
r1 ~ r2 ~ r
e
r2 − r1 ~ a cosθ
q a cos θ
1
cos θ
V ( P) ≅
=
qa 2
2
4πε 0 r 
4πε 0
r
V ( P) 
1
4πε
P cos θ
r
2
r2
r1
r
ϑ1
ϑ
2
y
Coordinate polari piane
y = ρ senϑ
x = ρ cosϑ

=
r =
xiˆ + yjˆ ρ cos ϑiˆ + ρ senϑ ˆj


 ∂r
∂r
dr
dϑ + d ρ
da cui=
∂ϑ
∂ρ
la “curva coordinata” uθ e’ la curva descritta da
ûϑ
ρ
ϑ
O
x
y
ûρ
ûϑ
ρ
r
mentre si fa variare θ mantenendo ρ fissa
se
P
e’ il versore unitario in questa direzione,
e analogamente per l’ altra coordinata curvilinea ρ
O
P
ϑ


∂r
∂r
uˆϑ
=
∂ϑ ∂ϑ
x
3
nota l’espressione delle due forme differenziali

∂r
∂ϑ
e

∂r
∂ρ
diviene possibile determinare l’espressione del gradiente,
della divergenza e del rotore in coordinate polari
ad es. l’espressione del rotore in coordinate polari piane diviene:

1 ∂f ( ρ ,ϑ )
∂f ( ρ ,ϑ )
ϑ)
∇f ( ρ ,=
uˆρ +
uˆϑ
ρ ∂ϑ
∂ρ
nel caso del dipolo elettrico il potenziale a grande distanza dal dipolo e’
V ( P ) V=
(r ,ϑ )
e da


E = −∇V
1
4πε 0

P cos θ
r
2
si ricavano le componenti polari del campo elettrico
4

εr

εϑ
x
componenti polari
uˆr
P
elettrico
ûϑ
r

O p
εr

εϑ

ε r ed εϑ
  
E= ε r + ε ϑ
x
ϑ
del campo
prodotto dal dipolo
a grande distanza dal dipolo
ϑ



2 P cosϑ
∂
uˆr
ε r = − V ( r ,ϑ ) =
3
4πε 0 r
∂r

P sin ϑ

1 ∂
εϑ = −
V ( r ,ϑ ) =
uˆϑ
3
r ∂ϑ
4πε 0 r


p
5
Dipolo elettrico posto in un campo elettrico esterno uniforme
+q
a
E
-q
un dipolo elettrico posto in un campo elettrico esterno uniforme
tendera’ ad orientarsi nella direzione del campo esterno
il momento torcente puo’ essere espresso come:
  
M= P × E
se il campo elettrico non fosse uniforme:



  
∂E
∂E
∂E
F = F− + F+ = Px
+ Py
+ Pz
∂x
∂y
∂z
il dipolo elettrico sara’ attratto nella direzione in cui il campo e’ crescente
6
l’energia potenziale elettrica di un dipolo elettrico in presenza di un campo
elettrico esterno e’
+
=
U qV − qV
+q
a
-q
E
−
−
V = V ( x, y , z )
+
V =V ( x + ax , y + a y , z + az ) 
∂V
∂V
∂V
 V ( x, y , z ) + a x + a y + a z
∂x
∂y
∂z
dove ax ay e az sono le proiezioni del vettore a lungo gli assi cartesiani
∂V
∂V
∂V
U  qax
+ qa y
+ qaz
∂x
∂y
∂z
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e dato che

E = − gradV
U dipolo
 
=− P ⋅ E
se il dipolo e’ posto nel campo elettrico generato da un altro dipolo
la configurazione cui compete il minimo di energia potenziale elettrica,

la configurazione in cui si avra’ equilibrio stabile,
e’ quella in cui i due dipoli si disporranno
antiparallelamente
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