corso di algebra - Aracne editrice

A01
147
Alfio Ragusa
CORSO DI ALGEBRA
UN APPROCCIO AMICHEVOLE
Copyright © MMX
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, 133/A–B
00173 Roma
(06) 93781065
ISBN
978–88–548–3018–9
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: gennaio 2010
Indice
1 Teoria degli insiemi
1.1 Generalità sulla Teoria degli insiemi . . . . . . . . .
1.2 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funzioni o applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Insiemi numerici
2.1 Numeri naturali . . . . . . . . . .
2.2 Divisibilità nei numeri naturali .
2.3 Cenni di calcolo combinatorico . .
2.4 Cardinalità di un insieme . . . . .
2.5 Insieme dei numeri interi relativi
2.6 Divisibilità negli interi relativi . .
2.7 Classi di resto modulo n . . . . .
2.8 Criteri di divisibilità . . . . . . .
2.9 Equazioni diofantee . . . . . . . .
2.10 Il Teorema cinese del resto . . . .
2.11 Una applicazione alla Crittografia
2.12 L’insieme dei numeri razionali . .
2.13 Cenni sul campo dei numeri reali
2.14 Il campo C dei numeri complessi .
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3 Teoria dei polinomi
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3.1 Funzioni polinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Polinomi: definizione formale . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Divisibilità nei polinomi . . . . . . . . . . . . . . . 100
3
4
INDICE
3.4
Irriducibilità dei polinomi . . . . . . . . . . . . . . 103
4 Teoria dei gruppi
121
4.1 Definizioni e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3 Gruppi ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4 Omomorfismi tra gruppi . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Laterali e gruppo quoziente . . . . . . . . . . . . . 138
4.6 Sottogruppi normali . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.7 Teoremi dell’omomorfismo . . . . . . . . . . . . . . 147
4.8 Automorfismi di un gruppo . . . . . . . . . . . . . 152
4.9 Gruppi simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.10 Azione di gruppo su un insieme. Equazione delle classi.160
4.11 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.12 p-gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.13 I Teoremi di Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.14 Somma diretta di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.15 Il Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti . . 175
5 Teoria degli anelli
5.1 Definizioni e prime proprietà . . . . . .
5.2 Sottoanelli . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Omomorfismi di anelli . . . . . . . . .
5.4 Anelli quozienti ed Ideali . . . . . . . .
5.5 Teoremi dell’omomorfismo tra anelli . .
5.6 Generatori di ideali ed ideali principali
5.7 Ideali primi e massimali . . . . . . . .
5.8 Domini euclidei . . . . . . . . . . . . .
5.9 Domini a fattorizzazione unica (UFD) .
5.10 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . .
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Introduzione
Queste note sono state realizzate per venire incontro alle esigenze
degli studenti dei corsi di studio in Matematica che trovano in genere grandi difficoltà ad accostarsi ai testi di Algebra usualmente in
commercio. Pertanto il taglio dato a questi appunti è volutamente
“amichevole” e meno rigido di quello che solitamente si usa per i
testi di Matematica in genere e per quelli di Algebra in particolare.
Ovviamente, essi vanno poi integrati con testi più completi e più
formali che tuttavia dovrebbero diventare di più facile comprensione
una volta assimilato il contenuto del presente volume.
Spero che la grande fatica fatta per rendere piacevoli ed organici questi appunti possa essere ricompensata dall’utilità che ne
potranno trarre coloro che si avvicinano allo studio dell’Algebra.
Alfio Ragusa
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Capitolo 1
Teoria degli insiemi
1.1
Generalità sulla Teoria degli insiemi
Il concetto di insieme è un concetto primitivo, cioè non è definibile a partire da altri concetti precedentemente definiti. D’altra
parte, risulta evidente che in ogni scienza non è possibile definire
tutti i concetti proprio perché per definire un concetto ho bisogno
di conoscere altri concetti, diciamo più elementari, per cui vi saranno concetti cosı̀ elementari che non potranno essere definiti non
essendovi concetti ancor più elementari.
Per assegnare un insieme si può procedere o elencando tutti gli
oggetti dell’insieme oppure definendo una proprietà che caratterizza
gli elementi contenuti nell’insieme da assegnare, cioè una proprietà
che permetta di dedurre quali elementi appartengono all’insieme
stesso e quali non vi stanno.
Ad esempio, se volessimo definire l’insieme dei primi 5 numeri
naturali, potremo indicarlo nei seguenti modi:
1. A = {1, 2, 3, 4, 5};
2. A = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 5}.
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CAPITOLO 1. TEORIA DEGLI INSIEMI
Attenzione tuttavia a dare proprietà che definiscano in modo
“oggettivo”, ovvero non ambiguo, gli elementi di un insieme. Ad
esempio, non definisce alcun insieme la proprietà
{n ∈ N | n sia grande}.
Se l’insieme non contiene alcun elemento si suol dire che tale
insieme è l’insieme vuoto e si indica con il simbolo ∅.
In genere gli insiemi si possono rappresentare con i diagrammi
di Venn che sono figure del tipo
A
Un insieme B tale che ogni suo elemento sta nell’insieme A si
dice sottoinsieme di A e si scrive B ⊆ A.
A
B
Se B ⊆ A e A ⊆ B i due insieme si dicono uguali e scriveremo
A = B. Quando due insiemi non sono uguali scriveremo A 6= B.
Assegnato un insieme A, non vuoto, esistono certamente almeno
due suoi sottoinsiemi: ∅ ⊆ A e A ⊆ A, detti sottoinsiemi banali.
I sottoinsiemi B di A diversi da A si diranno propri ed in tal
caso scriveremo B ( A.
Esempio 1.1.1 Se A = {a, b} allora i suoi sottoinsiemi sono: ∅,
{a}, {b}, A.
Se A = {a, b, c} allora i suoi sottoinsiemi sono: ∅, {a}, {b}, {c},
1.1. GENERALITÀ SULLA TEORIA DEGLI INSIEMI
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{a, b}, {a, c}, {b, c}, A.
È naturale chiedersi quanti sottoinsiemi possieda un insieme che
contiene un numero n di elementi. La risposta, di cui in seguito
vedremo la motivazione, è piuttosto semplice: un insieme con n
elementi possiede 2n sottoinsiemi.
L’insieme dei sottoinsiemi di A, che è sempre un insieme non
vuoto dal momento che contiene almeno come elemento l’insieme
vuoto, si indica con il simbolo: P(A) = {B | B ⊆ A} e si chiama
insieme delle parti di A. Quindi un qualunque sottoinsieme B di
A è un elemento di P(A), cioè B ∈ P(A).
Nota che se a ∈ A allora {a} ∈ P(A). Nota che, in tal caso, le
scritture a ∈ P(A) e a ⊆ A sono errate.
Passiamo a definire le principali operazioni tra insiemi.
1. Intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B};
A
B
L’intersezione gode delle seguenti proprietà:
1a. A ∩ ∅ = ∅;
1b. A ∩ A = A;
1c. A ∩ B = B ∩ A (proprietà commutativa);
1d. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (proprietà associativa);
1e. se B ⊆ A allora A ∩ B = B.
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CAPITOLO 1. TEORIA DEGLI INSIEMI
2. Unione: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
(“o” qui va inteso in senso alternativo ovvero in questo insieme sono compresi anche gli elementi che appartengono ad
entrambi gli insiemi A e B).
A
B
L’unione gode delle seguenti proprietà:
2a. A ∪ ∅ = A;
2b. A ∪ A = A;
2c. A ∪ B = B ∪ A (proprietà commutativa);
2d. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (proprietà associativa);
2e. se B ⊆ A allora A ∪ B = A;
2f. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (proprietà distributiva
dell’intersezione rispetto all’unione);
2g. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (proprietà distributiva
dell’unione rispetto all’intersezione.
3. Unione simmetrica o disgiunta: A△B = {x | x ∈ A oppure x ∈
B}
(in questo caso “oppure” va inteso in senso disgiuntivo, quindi
in questo insieme vi stanno gli elementi che appartengono ad
A o a B ma non ad entrambi).
1.1. GENERALITÀ SULLA TEORIA DEGLI INSIEMI
A
B
L’unione simmetrica gode delle seguenti proprietà:
3a. A△∅ = A;
3b. A△A = ∅;
3c. A△B = B△A (proprietà commutativa);
3d. (A△B)△C = A△(B△C) (proprietà associativa).
4. Differenza: A \ B = {x | x ∈ A, x ∈
/ B}.
A
B
La differenza gode delle seguenti proprietà:
4a. A \ ∅ = A;
4b. A \ A = ∅;
4c. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (legge di De Morgan);
4d. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (legge di De Morgan);
4e. A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C);
4f. (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)
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