Matematica livello normale

Locarno, giugno 2014
Gruppo/ Nr. Candidato/a:..........................................
Nome e Cognome: ....................................................
Esame svizzero di maturità
Matematica
(livello normale)
I
II
III
IV
V
Totale Nota
La durata dell'esame è di 4 ore.
Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
Ogni esercizio vale 10 punti. La nota 6 è raggiunta con 40 punti.
Nella valutazione si tiene conto solo degli esercizi 1,2 e dei due esercizi tra gli esercizi 3,4 e 5 che
hanno ottenuto il punteggio più alto.
È permesso l'uso delle tavole numeriche senza annotazioni o aggiunte.
È permesso l'uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa
emettere né ricevere informazioni a distanza.
Si richiedono, quando è possibile, risultati esatti (non approssimati).
Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni e presentazioni disordinate delle soluzioni
pregiudicano la valutazione.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo e corretto
i due esercizi obbligatori e due dei tre problemi a scelta.
1. Si consideri la funzione reale
definita da ( )
(
)
.
a) Determinare il dominio di e le intersezioni del grafico di con gli assi.
Sia il punto in cui il grafico di interseca l’asse delle ordinate. Trovare l’equazione
della tangente al grafico di in
b) Determinare gli estremi (ossia i massimi e minimi) e gli intervalli di crescita e decrescita
di .
c) Determinare i flessi di .
d) Calcolare i limiti
( )e
( ).
e) Fare uno schizzo qualitativamente corretto del grafico di .
f) Determinare
in modo che ( )
(
)
sia una primitiva di .
2. a) Siano
e
due circonferenze. Verificare che le
circonferenze si intersecano perpendicolarmente in un punto distinto dall’origine. Scrivere
poi l'equazione della circonferenza concentrica a e di raggio uguale al raggio di .
b) Scrivere le equazioni delle rette perpendicolari alla retta
circonferenza di equazione
.
e tangenti alla
c) Nello schizzo seguente sono rappresentati due cerchi, uno di centro C e raggio 3, l’altro di
centro K e raggio 4. La distanza fra i centri C e K è di 6. Calcolare l’area della regione di
piano colorata.
Esercizi a scelta (risolvere due esercizi dei tre proposti).
3. Sono date le parabole
(
)
Le parabole delimitano una regione di piano .
a) Disegnare le parabole nel caso in cui
b) Stabilire per quale valore di
c) Calcolare l’area di
le parabole si intersecano nel punto
nel caso in cui
d) Stabilire per quale valore di
ed evidenziare .
(
).
.
l’area di
è 22.
4.
a) La probabilità che Diego segni un rigore è di 0,3. Qual è la probabilità che faccia almeno un gol
calciando una serie di tre rigori?
b) La probabilità di centrare un piattello sparando a occhi chiusi è di 0,005.
Quante persone devono sparare contemporaneamente a occhi chiusi affinché
la probabilità che il piattello venga centrato almeno una volta sia superiore al
90%?
c) Pierre lancia un dado non truccato. Sapendo che esce un numero pari, qual è la probabilità che il
numero sia maggiore di tre?
d) Le altezze di un gruppo di ragazzi sono riportate nella seguente tabella delle frequenze:
Altezza (in cm)
166
168
170
171
172
173
174
175
178
183
Frequenza
1
3
6
11
8
5
7
3
2
1
Per esempio, vi sono 8 ragazzi alti 172 cm.
Determinare la media, la moda, la mediana e la varianza delle altezze.
5.
a) Una retta passa per
(
) e ha vettore direzione ⃗
(
). Determinare l’angolo
formato dalla retta con il piano
.
b) Determinare la proiezione ortogonale del punto
(
) sulla retta passante per l’origine
(
) e per il punto
(
).
(
)
(
),
c) Siano
(
) Stabilire per quale valore di
il triangolo
è rettangolo in
(
). In questo caso calcolare il perimetro di
.
d) Determinare gli asintoti delle funzioni reali
definite da
( )
( )
( )
( )
(|
|)