Eventi indipendenti

Eventi indipendenti
Due eventi si dicono indipendenti se il fatto che si verifichi o
meno uno non ha effetti sul verificarsi dell’altro. In caso
contrario si parla di eventi dipendenti.
Se due eventi A e B sono indipendenti, vale
p(A/B)=p(A)
da cui
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑝(𝐵)
Un esempio classico: i numeri ritardatari
Qual è la probabilità che il 53 non esca per 182 estrazioni consecutive?
Il numero 53 non è uscito per 182 estrazioni consecutive sulla ruota di
Venezia.
Qual è la probabilità che esca su tale ruota alla 183-esima estrazione?
𝑝=
1
18
≈ 0,055556
La probabilità di uscita alla 183- esima estrazione è ancora p, infatti
le estrazioni sono indipendenti (per il meccanismo fisico di estrazione)
 Qual è la probabilità che il 53 non esca per 182 estrazioni consecutive?
(1 − 𝑝)182 ≈ 0,000030
poco probabile, ma ormai è passato quindi non siamo più nell’ambito
probabilistico!
Un caso giudiziario diventato un classico
18 giugno 1964. A Los Angeles una signora viene derubata.
• I testimoni individuano sei caratteristiche dei due responsabili:
- uomo di colore con la barba
- uomo con i baffi
- donna bianca con capelli biondi
- donna con la coda di cavallo
- coppia mista in un’automobile
- automobile gialla
• L’accusa stima la probabilità che una coppia possieda una di tali caratteristiche.
• Qual è la probabilità che una coppia qualunque possieda le 6 caratteristiche?
1 1 1 1
1
1
1
𝑝 =
∙ ∙ ∙
∙
∙
=
10 4 3 10 1000 10
12000000
per il consulente!
• E’ arrestata una coppia che presenta tali caratteristiche.
1964. La giuria dichiara colpevole la coppia arrestata.
1968. La corte suprema dello Stato della California annulla la
sentenza.
Quali errori sono stati commessi nel primo processo?
Esaminiamone uno. La legge della moltiplicazione ha la
forma
p(A e B) = p(A) ∙ p(B)
solo se A, B sono indipendenti.
Ma le 6 caratteristiche (A = “uomo di colore con la barba”, B,
ecc.)
non sono indipendenti!