7. Verifica delle ipotesi con due campioni

Università degli Studi di Basilicata – Facoltà di Economia
Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013
lezione di statistica del 17 giugno 2013
- di Massimo Cristallo -
7. Verifica delle ipotesi con due campioni
Si considera ora il problema della verifica delle ipotesi nel caso in cui si prendono in esame
due campioni indipendenti. Si pensi, ad esempio, al caso in cui si voglia sottoporre a
verifica l’ipotesi di uguaglianza delle medie in due aree geografiche diverse.
Il procedimento da seguire per la verifica d’ipotesi “con due campioni” è analogo a quello
che si è utilizzato prendendo in esame un solo campione.
L’ipotesi nulla H 0 :θ1 = θ 2 sta a significare che le due popolazioni da cui sono stati estratti
i campioni, di dimensione rispettivamente n1 e n2 , hanno lo steso valore del parametro.
Anche in questo caso, il test si dice unilaterale se risulta:
H1 :θ1 < θ 2
H1 :θ1 > θ 2
oppure
mentre è bilaterale quando si ha:
H1 :θ1 ≠ θ 2
Per semplicità, riportiamo di seguito le statistiche test solo per i parametri “media” e
“proporzione” nell’ipotesi di grandi campioni, con σ 12 e σ 22 ignote
Verifica delle ipotesi sulle medie nel caso di grandi campioni
Se il problema è così formulato (test bilaterale):
H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ 2
la statistica test da utilizzare è la “normale standardizzata”:
z=
x1 − x 2
σˆ 12
n1
+
σˆ 22
n2
ove σ̂ 12 e σ̂ 22 rappresentano le varianze campionarie corrette nei due campioni presi in
esame (la cui espressione è stata fornita nelle precedenti lezioni nel generico caso di un
campione di dimensione n) e x1 e x 2 le rispettive medie campionarie.
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La regione critica del test in esame, una volta fissato il valore di α , è fornita dal seguente
insieme:
{z ∈ R : z < − z(α 2)
∪ z > z (α 2)
}
con la conseguenza che si rifiuta l’ipotesi nulla H0 se il valore empirico del test, calcolato
con i dati dei due campioni, cade nella regione critica.
Se il test è unilaterale sinistro, ad esempio:
H 0 : µ1 = µ 2
H 1 : µ1 < µ 2
la statistica test rimane la stessa, mentre la zona critica diventa:
{z ∈ R : z < − z(α ) }
cioè la zona di rifiuto si concentra soltanto sulla coda sinistra della distribuzione.
Verifica delle ipotesi delle proporzioni nel caso di grandi campioni
Se il problema è così formulato (test bilaterale):
H 0 : p1 = p 2
H1 : p1 ≠ p 2
la statistica test da utilizzare è la seguente:
z=
p̂1 − p̂ 2
1 1 
p̂ (1 − p̂ )  + 
 n1 n 2 
ove p̂1 e p̂2 sono le proporzioni nei due campioni presi in esame, mentre il valore di p̂ è
così ottenuto:
p̂ =
n1 p̂1 + n 2 p̂ 2
n1 + n2
Anche in questo, la regione critica, una volta stabilito il valore di α , è fornita dal seguente
insieme:
{z ∈ R : z < − z(α 2)
∪ z > z (α 2)
}
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e si rifiuta l’ipotesi nulla H0 se il valore empirico del test, calcolato con i dati campionari,
cade nella regione di rifiuto.
Nel caso di test unilaterale destro, ad esempio:
H 0 : p1 = p 2
H 1 : p1 > p 2
la statistica test rimane la stessa, mentre la zona critica diventa:
{z ∈ R : z > z(α ) } .
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