PROGRAMMA DI MATEMATICA 1 (canale AL) Prof. O

ANNO ACCADEMICO 2016/17
CORSO DI LAUREA IN CHIMICA
PROGRAMMA DI MATEMATICA 1 (canale A-L)
Prof. O. Naselli
INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI FRA INSIEMI. Generalità sugli insiemi e sulle funzioni
fra insiemi. Dai numeri naturali ai numeri razionali. Operazioni e confronto fra numeri reali.
Valore assoluto e sue proprietà. Insiemi finiti, infiniti, numerabili. Potenza del continuo.
Densità di Q e di R-Q in R. Intervalli, intorni. Punti interni, di accumulazione, isolati. Insiemi
limitati: massimo e minimo, maggioranti e minoranti, estremi superiore ed inferiore e loro
proprietà (senza dim.) Insiemi separati (con dim.), insiemi contigui (senza dim.). Teorema
della radice n-ma aritmetica (senza dim.). Equazione binomia. Potenze dei numeri reali.
Proprietà analitiche delle funzioni reali di una variabile reale (estremi assoluti e relativi,
oscillazione, monotonia globale e locale, rapporto incrementale). Funzioni elementari
(potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse). Numeri
complessi. Forma algebrica e trigonometrica. Potenze e radici.
SUCCESSIONI DI NUMERI REALI. Definizione. Proprietà verificate definitivamente.
Successioni limitate. Successioni regolari e successioni oscillanti. Regolarità e limitatezza.
Unicità del limite (con dim.). Teorema della permanenza del segno (con dim.). Teoremi di
confronto (con dim.). Successioni monotone (con dim.) Cenni sulle successioni estratte.
Operazioni con i limiti delle successioni. Limiti di successioni in forma elementare. Il
numero e (senza dim.). Alcuni limiti notevoli. Criterio del rapporto (senza dim.). Confronto
fra infinitesimi e fra infiniti.
LIMITI DI FUNZIONI. Limite di una funzione al tendere di x a c o all’infinito. Teoremi di
unicità del limite, di permanenza del segno e di confronto. Teorema ponte (senza dim.).
Limite di una funzione composta. Teorema sui limiti di funzioni monotone (con dim.)
Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti notevoli (quelli dedotti dal numero e e quelli dedotti
da (sin x)/x). Funzioni continue. Proprietà dei valori intermedi. Teorema dei valori intermedi
(senza dim.). Continuità delle funzioni monotone (con dim.). Continuità delle funzioni
elementari. Teorema di Weierstrass (senza dim.). Immagine di un intervallo mediante una
funzione continua. Classificazione dei punti di discontinuità. Asintoti. Caso particolare:
asintoti di una funzione razionale fratta.
CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivata. Derivabilità e continuità (con dim.).
Approssimazione di una funzione derivabile mediante un polinomio di primo grado (con
dim.). Interpretazione geometrica della derivata. Punti angolosi, cuspidi, flessi ascendenti
e discendenti. Regole di derivazione. Formule di derivazione. Derivate di ordine superiore.
Monotonia di una funzione con derivata di segno costante. Teorema di Fermat (con dim.).
Teorema di Rolle (con dim.). Teorema di Lagrange (con dim.). Teorema di prolungamento
della derivata (senza dim.). Criterio di monotonia (con dim.). Criterio di stretta monotonia
(senza dim.). Ricerca degli estremi relativi ed assoluti. Teorema sulle funzioni con derivata
nulla. Primitive. Teorema sulle primitive. Definizione di integrale indefinito. Studio di una
funzione mediante l'uso delle derivate prima e seconda. Funzioni convesse. Punti di
flesso. Studio della convessità mediante la derivata seconda (con dim.). Teoremi di de
l'Hopital (senza dim.).
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE CON APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA
ANALITICA. Matrici e determinanti. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker (senza
dim.). Prodotto di matrici. Generalità sui sistemi lineari. Teoremi di Rouché-Capelli e di
Cramer (senza dim.). Spazi vettoriali: definizione, vettori linearmente indipendenti,
dimensione. Lo spazio vettoriale euclideo. Vettori in R^2. Basi. Base canonica. Prodotto
scalare. Applicazioni dell'Algebra lineare alla Geometria analitica: l'equazione della retta
(per due punti, passante per un punto e parallela o perpendicolare ad un vettore
assegnato). Fasci di rette. L'equazione della circonferenza, le tangenti ad una
circonferenza, l'asse radicale di due circonferenze. Cenni sulle coniche. Trasformazioni di
coordinate.