SPERIMENTAZIONI TIPO "BROCCA"

SPERIMENTAZIONI TIPO "BROCCA"
Indirizzo CLASSICO, LINGUISTICO, SOCIO-PEDAGOGICO, …
Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti
1.
Scrivere in modo corretto la seguente definizione. Spiegare perché così scritta non è corretta e
produrre esempi che lo mostrino.
Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x0, tranne al più il punto x0 stesso, e
sia a ∈ R. Si dice allora che f ha limite a per x → x 0, e si scrive a = lim x →x0 f (x ) , se esistono
un intorno U di a ed un opportuno intorno V di x0 tale che se x ∈ V allora f(x) ∈ U.
Estensione risposta: massimo 25 righe.
2.
Se f(x) è una funzione reale pari, definita in tutto R, che ammette derivata prima e derivata seconda,
tali derivate saranno anch'esse funzioni pari?
E se f(x) fosse dispari? Motivare le risposte.
Estensione risposta: massimo 10 righe e 6 grafici.
3.
Il teorema di Rolle afferma: sia x ### f(x) una funzione reale definita e continua nell'intervallo chiuso e
limitato [a, b] ### R, derivabile nell'intervallo aperto ]a, b[ e tale da assumere valori uguali agli
estremi dell'intervallo considerato. Allora esiste (almeno) un punto c, interno all'intervallo tale che:
f '(c) = 0.
a) Si illustri il teorema con un esempio in forma analitica o grafica.
b) Il teorema di Rolle esprime una condizione sufficiente affinché la derivata prima della funzione
considerata si annulli in un punto? Si giustifichi adeguatamente la risposta.
c) La condizione espressa dal teorema di Rolle affinché la derivata prima della funzione considerata
si annulli in un punto è necessaria? Ovvero, può accadere che la derivata prima di una funzione f sia
nulla in un punto c interno all'intervallo [a, b], ma non valgano tutte le ipotesi del teorema? Si illustri
la risposta con (almeno) un esempio.
Estensione risposta: massimo 20 righe e tre grafici.
4.
Enunciare il teorema di Rolle per una funzione reale g(x) nell'intervallo [0, 1]; esplicitare le varie
ipotesi del teorema (la tesi, come è noto diventa: "esiste un punto P ∈ ]0, 1[ in cui la derivata prima
di g(x) è nulla").
Supponete che una certa funzione f(x) soddisfi tutte le ipotesi del teorema, tranne una (scegliete voi
quale). Vale ancora la proprietà espressa dalla tesi per la funzione f(x)? Che cosa può succedere?
Perché?
Estensione risposta: massimo 16 righe.
5.
Nell'ambiente delle funzioni reali y = f(x) derivabili in un intervallo chiuso [a, b] si trattino i
seguenti argomenti:
a) definizione, esistenza di un punto di massimo relativo; [max 5 righe]
b) definizione, esistenza, unicità di un punto di massimo assoluto; [max 5 righe]
c) metodi analitici per determinarli; [max 5 righe]
d) qualche esempio significativo di applicazione ad un problema concreto (di fisica, di economia
ecc.). [max 10 righe].
6.
Sia f una funzione reale della variabile reale x definita in un intervallo (a, b).
a) Se f(x) è continua ed assume in due punti di (a, b) i valori c e d con c < d, esiste almeno un
numero reale h, compreso tra c e d, che la funzione non assume?
b) Se |f(x)| in (a, b) è costante, risulta ivi costante anche la funzione f(x)?
Giustificare le risposte.
Estensione risposta: massimo 20 righe e 3 disegni.
7.
Il Teorema di Rolle afferma che una funzione reale f definita su un intervallo reale chiuso [a, b],
continua in [a, b] e derivabile nei punti interni all'intervallo, tale che f(a) = f(b), ammette sempre
(almeno) un punto interno all'intervallo in cui la derivata prima si annulla.
Mostrare con opportuni esempi, che:
a) è necessaria l'ipotesi della derivabilità in tutti i punti interni all'intervallo;
b) è necessaria l'ipotesi che f(a) = f(b).
Estensione risposta: massimo 10 righe e due grafici.
Risposte
n.1.
La definizione di limite è qui data in modo scorretto: l'errore sta nell'uso errato dei quantificatori, che
riportiamo in MAIUSCOLO:
Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x0, tranne al più il punto x0 stesso, e sia
a ∈ R. Si dice allora che f ha limite a per x → x 0, e si scrive a = lim x →x0 f (x ) , SE ESISTONO UN
intorno U di a ed UN OPPORTUNO intorno V di x0 tale che se x ∈ V allora f(x) ∈ U.
L'intorno U deve essere scelto in modo arbitrario e l'intorno V dipende dalla scelta fatta dell'intorno
U.
Nella definizione data (in modo erroneo) la scelta dell'intervallo implicherebbe, paradossalmente, che
tutte le funzioni avrebbero limite se U venisse scelto coincidente con un intorno del punto a che
contenga il codominio della funzione e se per V si scegliesse il dominio della funzione (o un insieme
aperto che lo contenga).
Facciamo il seguente semplice esempio:
Sia f(x) la funzione reale di variabile reale definita da :
f(x) = x, x ∈W = [-10, 10]
e consideriamo la veridicità delle espressioni
lim x → 0 f (x)=5;
lim x → 0 f (x) = π .
E' evidente che entrambe le affermazioni sono errate, ma è altrettanto evidente che diventano ...
(entrambe !) vere se prendiamo U = W = V.
La definizione corretta è la seguente:
Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x0, tranne al più il punto x0 stesso, e sia a
∈ R. Si dice allora che f ha limite a per x → x0 , e si scrive a = lim x →x0 f (x ) , se, per ogni intorno U di
a, esiste un intorno V di x0 tale che se x ∈ V allora f(x) ∈ U.
n.4
Teorema di Rolle: Sia g(x) una funzione reale di variabile reale definita per x∈ [0, 1] ed ivi continua.
Supponiamo inoltre che la funzione g(x) sia derivabile in ]0, 1[ e che g(0) = g(1). Allora esiste un
punto x0 ∈]0, 1[ tale che g '(x0 )= 0.
Sia data la funzione g(x)=x(1 - x) per x ∈ [0, 1]. La funzione g(x) è continua in tale intervallo,
derivabile in ]0, 1[ ed è tale che g(0) = 0 = g(1).
Allora esiste un punto x0 ∈ ]0, 1[ tale che g '(x0) = 0.
1
Nel caso della funzione considerata si ha x0 = .
2
Abbiamo visto le tre ipotesi del Teorema di Rolle: presentiamo adesso tre esempi di funzioni che
NON verificano rispettivamente ciascuna delle tre ipotesi; possiamo vedere che non è verificata la
tesi.
1) g(x) = x, x ∈ ]0, 1], g(0) = 1; qui manca la continuità in [0, 1] e non esiste alcun punto in cui si
annulla la derivata prima.
1
2) g(x) = | x - |, x ∈ [0, 1]; qui manca la derivabilità in ]0, 1[ e non esiste alcun punto in cui si
2
annulla la derivata prima.
3) g(x) = x, x ∈ [0, 1] ; qui non è verificata la condizione g(0) = g(1) e non esiste alcun punto in
cui si annulla la derivata prima.
n.6
Rispondiamo alle due questioni:
a) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua in un intervallo (a, b) e tale che f(a) = c,
f(b) = d, con c < d . Esiste un valore h ∈ (c, d) tale che f(x), per ogni x∈ [a, b], è sempre diverso
da h ?
Supponiamo che ciò si verifichi: allora f(x) ≠ h per ogni x∈ [a, b].
1
Definiamo allora la funzione g(x) =
x ∈ [a, b] .
h − f ( x)
La funzione g(x) è una funzione continua, perché quoziente di funzioni continue ed il denominatore
non si annulla mai per ogni x ∈ [a, b].
1
1
Abbiamo poi g(a) =
> 0, g(b) =
< 0, essendo c < h < d.
h−c
h−d
Pertanto, per il teorema dei valori intermedi, possiamo dire che esiste un punto x0 ∈ [a, b] tale che
g(x0 ) = 0. Ma ciò, per come è definita la funzione g(x), è assurdo. Dunque non è possibile che, per
ogni x ∈ [a, b], si abbia f(x) ≠ h.
b) Consideriamo il seguente esempio:
f(x) = - 1, per x ∈ (a, c], f(x) = 1, per x ∈ (c, b),
con c ∈ (a, b).
Vediamo allora che la funzione |f(x)| è una funzione che è costantemente uguale ad 1, mentre la
funzione f(x) non è una funzione costante.
Tipologia B - Quesiti a risposta singola
1.
Lo psicologo L.L. Thurstone nel 1916 elaborò un metodo per descrivere l'apprendimento L di una
data abilità (imparare a leggere, a guidare un'auto, a risolvere problemi di matematica ...) in funzione
del grado di pratica x. L'equazione formulata è
x
L(x ) =
,
con a, b parametri reali positivi
a + bx
x reale positivo
a) Valori diversi del parametro b si riferiscono a persone che imparano con diversa facilità: a chi
attribuire i valori minori di b?
b) Quale significato assume in psicologia dell'apprendimento l'esistenza dell'asintoto orizzontale?
c) Quale significato assume la derivata prima della funzione L(x)?
Estensione risposta: massimo 10 righe.
2.
Spiegare perché il valore finale è palesemente errato
∫
1
1
−1 x
2
∫
1
dx =
x −1
x − 2dx =
−1
−1
1
=
−1
1 −1
−
= −2
−1 −1
Estensione risposta: massimo 8 righe e un eventuale grafico.
3.
Dopo aver disegnato il grafico della funzione y = cos x, si dica quante soluzioni reali ammette
l'equazione x = cos x.
Come si può giustificare la risposta senza fare riferimento al grafico cartesiano?
Si indichi poi un metodo per trovare un valore approssimato della o delle soluzioni dell'equazione.
Estensione risposta: massimo 15 righe e un disegno.
4.
Se f(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all'origine),
definita e integrabile nell'intervallo [-2, 2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo?
Quanto varrebbe nel medesimo intervallo l'integrale della funzione 3 + f(x) ?
Estensione risposta: massimo 6 righe e due grafici.
5.
Disegnare il grafico di una funzione reale definita sull'intervallo (0, 1) che sia sempre negativa ed
abbia negative la derivata prima e la derivata seconda.
(Facoltativo) Scrivere l'equazione di una tale funzione.
Estensione risposta: un disegno ed una riga.
6.
Tracciare il grafico cartesiano di una funzione che abbia per dominio l'intervallo reale [0; 3] e tale che
i valori assunti sia dalla funzione, sia dalla derivata prima, sia dalla derivata seconda siano negativi in
tutto il dominio.
Estensione risposta: un disegno.
7.
a) Esiste una funzione reale y = f(x) che abbia per dominio tutto l'asse reale e sia tale che:
- lim x→ +∞ f ( x ) = 0
- la derivata prima di f sia sempre positiva
- la derivata seconda di f sia sempre negativa ?
b) Esiste una funzione reale y = f(x) che abbia per dominio tutto l'asse reale e sia tale che:
- lim x→ +∞ f ( x ) = 0
- la derivata prima di f sia sempre positiva
- la derivata seconda di f sia sempre positiva ?
In caso di risposta negativa, spiegarne il motivo; in caso di risposta affermativa, tracciare il grafico di
una funzione che soddisfa alle richieste.
Estensione risposta: massimo 10 righe e due disegni.
8.
Dire, spiegando perché, se può esistere una funzione f: R → R tale che f(x) è discontinua per ogni
x∈R e tale che | f(x) | è continua per ogni x ∈ R.
Estensione risposta: 10 righe ed i disegni necessari.
9.
Sia S un insieme di assiomi per la geometria euclidea. Supponiamo che S sia indipendente (cioè
nessun assioma è conseguenza degli altri) e coerente (cioè non dà luogo a contraddizioni). Se F è un
teorema e lo si aggiunge ad S come ulteriore assioma, il nuovo sistema di assiomi è indipendente? È
coerente?
E se si aggiunge ad S come ulteriore assioma la negazione di F, il nuovo sistema di assiomi è
coerente?
Estensione risposta: massimo 5 righe.
10.
Enunciare un teorema della geometria euclidea che non sia un teorema nella geometria iperbolica o
nella geometria ellittica.
Enunciare poi un esempio di teorema della geometria iperbolica o della geometria ellittica che non sia
un teorema nella geometria euclidea.
Si chiarisca brevemente la situazione.
Estensione risposta: massimo 12 righe.
11.
Le nombre N d'animaux d'une certaine espèce habitant un territoire donné est inconnu. Souvent, pour
un'estimation de N, les écologues capturent en premier lieu une certaine quantité r de ces animaux.
Ils les marquent, puis leur laissent le temps de se disperser. Dans un deuxième temps, il font un
nombre k de nouvelles captures: soit x le nombre d'animaux marqués figurant parmi ces nouvelles
captures. Estimez N . Indiquez les hypothèses necessaires.
Estensione risposta: massimo 15 righe in francese, calcoli e formule comprese.
12.
Lo studente tratteggi brevemente gli strumenti matematici necessari per rispondere correttamente alla
domanda:
In una classe ci sono 32 studenti e si hanno a disposizione 5 monete. Si può, con un solo lancio
delle 5 monete, scegliere uno degli studenti?
Estensione risposta: massimo 15 righe.
13.
Supponiamo che solo il 15% dei pacchi inviati attraverso un servizio postale arrivi a destinazione.
Si devono inviare due regali a Londra; dire di quanto è percentualmente più conveniente spedirli
separati o farne un unico pacco, affinché almeno uno dei due arrivi a destinazione.
Estensione risposta: massimo 10 righe.
Risposte e commenti
n.1
a) Tenendo conto che parametri e variabili sono tutti positivi, poiché il parametro b compare a
denominatore, i suoi valori minori, a parità di altre condizioni, daranno valori maggiori della
funzione L, quindi essi si riferiscono alle persone che apprendono con più facilità.
b) L'asintoto orizzontale significa che dopo una certa quantità di pratica (in definitiva quindi di
tempo), l'apprendimento non si incrementa quasi più, tende a stabilizzarsi.
c) La derivata prima misura la variazione dell'apprendimento in relazione al grado di pratica, quindi
la velocità di apprendimento.
Si noti che, fissando i valori dei parametri, il grafico cartesiano della funzione nel piano (x,L), è dato
da un ramo di iperbole equilatera che passa per l'origine, con asintoto la retta di equazione L = 1/b.
n.2
Il valore finale dell'integrale è certamente errato perché è negativo, e non positivo come dovrebbe
essere osservando che la funzione integranda è sempre positiva (ove definita) e gli estremi di
integrazione sono ordinati nel modo consueto secondo il verso crescente.
Si può aggiungere che l'errore è dovuto al fatto che l'intervallo di integrazione contiene lo zero, punto
dove la funzione x −2 non è definita; la funzione risulta illimitata in tale intervallo e non integrabile.
n.3
Commento. L'esercizio di per sé è piuttosto facile; la maggiore difficoltà consiste nel fatto che si
chiede di spiegare perché c'è una e una sola soluzione, senza tuttavia determinarla. Si può rispondere
intuitivamente, oppure, in maniera più rigorosa, applicando teoremi elementari di analisi matematica
(ad esempio il teorema degli zeri).
n.6
Si può tracciare un grafico analogo a quello qui riportato. Per via analitica è sufficiente ad esempio
considerare il grafico della parabola y = - x 2 e traslarne il vertice "verso sinistra", ad esempio nel
punto P (-1, 0).
Nell'intervallo [0, 3] la funzione risulta negativa, con derivate prima e seconda negative.
(L'equazione della curva si ottiene facilmente da y = - x 2 , basta considerare
y = - (x+1) 2 = -x 2 -2x -1)
n.7
a) Si può ad esempio considerare una funzione con andamento analogo a quello di f(x) = - e − x .
Essa è definita su tutto l'asse reale.
Risulta lim x →∞ ( −e − x ) = 0.
La funzione è continua e derivabile ovunque: f ' (x) = - (-1) e − x = e − x >0 per ogni x.
f "(x) = - e − x < 0
su tutto l'asse reale.
Il grafico di f(x)= e x
è noto; simmetrizzandolo rispetto all'asse delle ordinate si ottiene il grafico di e
−x ,
che, simmetrizzato rispetto all'asse delle ascisse, dà la funzione considerata. Più rapidamente, si
può operare un'unica simmetria del grafico di e x rispetto all'origine.
b) Con argomentazioni intuitive si può concludere che una tale funzione non può esistere. Infatti:
2. Se f "(x)>0 allora f ' è crescente; così pure la condizione imposta f ' >0 implica che anche f deve
essere crescente. Dunque per x → ∞ la f(x) tende a zero assumendo valori negativi.
3. Ciò implica che la f ' , come pendenza della curva, tende a zero (cioè la tangente alla curva tende
a disporsi orizzontalmente) per valori positivi via via decrescenti.
4. Ciò contraddice il fatto che la f ' sia crescente .
Commento. Il problema nella parte b) richiede di riflettere a livello intuitivo sul grafico di una
funzione, ragionando sia sull'andamento della funzione che delle sue derivate successive: richiede
quindi un controllo sia concettuale che figurale.
n.10
a) La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
Il teorema è conseguenza del 5° postulato di Euclide; tale proprietà è falsa in geometria iperbolica,
dove la somma degli angoli interni di un triangolo è inferiore ad un angolo piatto, e in geometria
ellittica, dove è invece maggiore.
b1) Dati due triangoli ABC e EFG, se risulta Aˆ = Eˆ , Bˆ = Fˆ , Cˆ = Gˆ allora ABC ed EFG sono
congruenti.
E' un teorema della geometria iperbolica; la proprietà è falsa nel piano euclideo.
b2) Due rette distinte l, r hanno sempre un punto in comune.
Il teorema è dimostrabile in geometria ellittica; la proprietà è falsa nel piano euclideo.
n.12
Utilizziamo un metodo risolutivo di carattere combinatorio.
Dopo aver contrassegnato le monete per poterle distinguere, supponiamo di lanciarle.
Il risultato di un lancio è così rappresentabile
(Y1, Y2 , Y3, Y4 , Y5 ) dove Y k , k = 1, 2, 3, 4, 5, rappresenta Testa oppure Croce.
Osserviamo che Y1 può assumere due valori, che la coppia (Y1 ,Y2) può assumere 2 2 = 4 valori e che
dunque la "cinquina" presa in considerazione può assumere 2 5 = 32 valori diversi (corrispondenti
alle cosiddette disposizioni con ripetizione di due oggetti a 5 a 5, ovvero più semplicemente al
numero di funzioni da un insieme con 5 elementi ad un insieme con due elementi).
Sarà dunque sufficiente associare a ciascuno dei 32 studenti una delle 32 configurazioni che si
possono ottenere.
Ad esempio si può associare allo studente Pinco la configurazione (T, T, C, C, C).
Nota: Si poteva effettuare la scelta anche lanciando una sola moneta per 5 volte.
Tipologia C - Quesiti a risposta multipla
1.
Quali tra i seguenti grafici corrispondono ad una funzione continua nell'intervallo [0, 1] e quali ad una
funzione derivabile in tutto l'intervallo?
a)
c)
b)
0
1
0
1
0
1
e)
d)
0
1
2.
Nel piano cartesiano Oxy l'equazione x 2 − 1 = 0 , x ∈ R, rappresenta
a) una parabola
0
1
b) la circonferenza di centro l'origine e raggio 1
c) l'unione di due rette parallele
d) il punto P(1;-1)
3.
Sia a1 , a 2 , a 3 , … la successione che ha per termini le aree di ciascuno dei quadrati che si
ottengono come in figura:
Il lato del quadrato iniziale è 3. Il lato di ogni quadrato è metà del lato del quadrato precedente.
Pertanto il termine generale an della successione è:
9
2n
3
b)
n
9
c)
2 n −2
2
9
d)
2 n −2
a)
4.
2
L'uguaglianza log10 (3 − x ) = 2 log10 (3 − x ) in R vale:
a)
b)
c)
d)
per ogni x
per tutti gli x<3
per gli x interni all'intervallo (-3, 3)
per tutti gli x>0
5.
I matematici X ed Y hanno introdotto e studiato i numeri "strani"; si tratta di particolari numeri
naturali, ma noi ignoriamo la definizione. Il matematico X ritiene che tutti i numeri strani siano pari,
ma il matematico Y non è d'accordo. Che cosa deve fare il matematico Y per dimostrare che il
matematico X ha torto?
a)
b)
c)
d)
deve dimostrare che tutti i numeri strani sono dispari
deve dimostrare che alcuni numeri strani sono pari
deve trovare un numero strano dispari
deve trovare un numero strano pari
6.
Si consideri un teorema del tipo "p implica r&s" (p è l'ipotesi e la congiunzione r&s è la tesi). Per
provare che non vale il teorema inverso "r&s implica p", occorre trovare un esempio:
a)
b)
c)
d)
in cui r non vale, s non vale, p vale
in cui r oppure s non vale e p vale
r ed s valgono e p non vale
nessuno dei precedenti
7.
Si consideri un teorema della forma "p implica q" (dove p è l'ipotesi e q è la tesi). Per mostrare che
non vale il teorema inverso "q implica p", occorre trovare una situazione in cui:
a)
b)
c)
d)
si verifica p e non q
si verifica q e non p
si verificano sia p sia q
non si verificano né p né q
8.
Si deve calcolare l'area di una regione limitata di piano H. Quale delle seguenti affermazioni non è
corretta?
a) Se H è simmetrica rispetto all'asse x, si può calcolare l'area della parte di H contenuta nel
semipiano y ≥ 0 e moltiplicare per 2.
b) Se H è simmetrica rispetto all'origine, si può calcolare l'area della parte di H contenuta nel
semipiano y ≥ 0 e moltiplicare per 2.
c) Se H è simmetrica rispetto all'asse x e rispetto all'asse y, si può calcolare l'area della parte di H
contenuta nel primo quadrante e moltiplicare per 4.
d) Se H è simmetrica rispetto all'origine, si può calcolare l'area della parte di H contenuta nel primo
quadrante e moltiplicare per 4.
Risposte
n.1
n.2
n.3
n.4
n.5
n.6
n.7
n.8
a,c,d; nessuno
c
c
b
c
c
b
d
Commento
n.7. Domanda di logica a cui dovrebbe saper rispondere anche chi non ha mai fatto logica.
Tipologia D - Problemi a soluzione rapida
1.
C'è un campo giochi per ragazzi recintato con una rete; la sua forma si può assimilare ad un
rettangolo. I ragazzi trovano un pezzo di rete in più: viene concesso loro di utilizzarla per ampliare il
campo. Pensano di operare in uno dei due modi indicati in figura .
Quale tra le due soluzioni assicura un'area maggiore ?
Valutare il vantaggio relativo della soluzione migliore in funzione della lunghezza del pezzo di rete
aggiunto (Il vantaggio relativo si può definire come rapporto tra la differenza delle due nuove aree e
la maggiore).
2.
Da un rettangolo (di cartone) ABCD di lati l ed m si tolgono 4 quadrati uguali di lato x come
indicato in figura
A
B
x
D
l
C
a) Esprimere in funzione di x il volume V della scatola a forma di parallelepipedo che si forma
ripiegando i quattro lembi ad angolo retto verso l'alto.
b) Dati i valori l = 8 ed m = 3, assegnare liberamente ad x alcuni valori, tabulare i corrispondenti
valori del volume V e stimare il massimo della funzione V(x) con approssimazione di due cifre
decimali.
c) (Facoltativo) Studiare la funzione V(x) con l'uso delle derivate e calcolarne il massimo.
È consentito l'uso di calcolatrice tascabile.
Risposte
n.1
Chiamiamo a, b le lunghezze dei lati del rettangolo (con a>b) e k la lunghezza del pezzo di rete
aggiunto. L'area che si ottiene ampliando il campo lungo il lato più lungo è
a (b + k/2) = ab + ak/2.
Invece, ampliando il campo lungo il lato più corto, si ottiene un'area uguale a
b (a + k/2) = ab + bk/2.
Siccome a>b, la prima soluzione assicura un'area maggiore.
La differenza fra le due aree è
(ab + ak/2) – (ab + bk/2) = k(a–b)/2.
Il vantaggio relativo è dato dal rapporto
k(a–b)/2 = k(a–b)
ab + ak/2
a(2b + k)
Ad esempio, se a = 100 m, b = 50 m, k = 60 m, allora le due aree sono rispettivamente 8000 m2
e 6500 m2; il vantaggio relativo è 3/16.
Il vantaggio è tanto più grande quanto più grande è la differenza fra i lati del rettangolo iniziale. Nel
caso particolare in cui a = b (cioè se il campo di partenza è un quadrato) le due soluzioni sono
naturalmente equivalenti.