Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità è la scienza che

Calcolo delle probabilità
Il calcolo delle probabilità è la scienza che ha come oggetto l’analisi di situazioni di
incertezza e delle relative scelte operative.
L’ incertezza si può verificare per diversi motivi:
 carenza di informazioni su eventi passati e presenti;
 complessità di calcolo o del ragionamento richiesto per dedurre il risultato di
interesse.
 studio di un fenomeno intrinsecamente incerto in quanto soggetto a scelte
individuali non prevedibili.
Il calcolo delle probabilità viene utilizzato in diverse situazioni: assicurazioni, statistica,
nelle moderne teorie fisiche ecc.
Uno dei padri della probabilità è sicuramente Nicolò Tartaglia (seconda metà del 1400),
insieme a Paciolo e Girolamo Cardano hanno trattato il “problema della posta”: due
giocatori A e B, si accordano che la posta in gioco sarà vinta da quello che per primo
raggiungerà ad esempio 10 punti, la partita viene interrotta quando A ha 7 punti e B 4
punti. Come si suddivide la posta? Una prima risposta sarà di dividerla proporzionalmente
ai numeri 7 e 4. Ma non è una risposta convincente in quanto A era in vantaggio rispetto B
e quindi aveva più probabilità di vincere. Oppure suddividere proporzionalmente a 10-7 e
10-4, ma anche in questo modo non si ha una suddivisione equa. Bisogna assegnare ad
ogni giocatore la probabilità che avevano di vincere la partita se il gioco continuava.
Poiché nel continuare il gioco ogni giocatore ha la possibilità di due scelte o vince o perde
la prossima partita, si può rappresentare tutta la partita con un grafo ad albero oppure con
il triangolo di tartaglia e siccome la partita poteva continuare per altri (10-7)+(10-4)-1=8
partite basterà prendere per A come casi favorevoli la somma delle prime 6 cifre
dell’ottava riga del triangolo di Tartaglia e per B le restanti tre cioè per A
1+8+28+56+70+56=219 per B 28+8+1=37 la somma totale è 219+37=256 quindi 𝑃(𝐴) =
219
256
37
e 𝑃(𝐵) = 256, la posta verrà suddivisa in base a tali probabilità.
Esistono tre tipi di probabilità
La probabilità classica, che è applicabile solo nella situazione in cui tutti i casi possibili
hanno uguale probabilità cioè ugualmente probabili, calcola il rapporto tra il numero dei
casi favorevoli all’evento stesso e il numero dei casi possibili cioè
𝑛° 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑃(𝐸) =
𝑛° 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
1
ad esempio la probabilità che esca 3 su una faccia del dado è 𝑃("3 su una faccia") = 6.
La probabilità frequentista o statistica calcola il rapporto tra il numero dei risultati positivi
sul numero di prove effettuate, cioè è la frequenza relativa
𝑛𝐸
𝑃(𝐸) =
𝑛
dove n tende ad un valore infinitamente grande.
La terza impostazione la probabilità soggettivista la dobbiamo ad un grande matematico
italiano De Finetti che nei suoi studi soprattutto sul gioco d’azzardo chiarisce come la
probabilità è il grado di fiducia che si assegna al verificarsi di un evento, cioè al rapporto
1
tra il prezzo P che una persona ritiene equo pagare e la vincita V che riceverà al verificarsi
di E
𝑃
𝑃(𝐸) =
𝑉
Gli eventi
Ricordiamo che per calcolare la probabilità dobbiamo stare in un determinato spazio
campionario o universo degli eventi indicato con Ω, all’interno di tale spazio sono presenti
gli eventi Ei sottoinsiemi di Ω.
Un evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere oppure no.
Si dicono eventi certi gli eventi che accadono con certezza.
Si dicono eventi impossibili gli eventi che non possono mai verificarsi.
Un evento si dice aleatorio se il suo verificarsi dipende dal caso.
Esempio
Nel lancio di un dado gli eventi elementari sono;
E1=”esce il numero 1”
E2=”esce il numero 2”
…
E6=”esce il numero 6”
L’insieme universo degli eventi è Ω = 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3 ∪ 𝐸4 ∪ 𝐸5 ∪ 𝐸6
La probabilità soddisfa le seguenti proprietà:
1) per ogni evento E si ha 𝑃(𝐸) ≥ 0 ;
2) per ogni evento E si ha 𝑃(𝐸) ≤ 1 ;
3) per l’evento impossibile ∅ si ha 𝑃(∅) = 0 ;
4) detto Ω l’evento certo si ha 𝑃(Ω) = 1 ;
5) Detto 𝐸1 ∪ 𝐸2 l’evento che si verifica se si verifica l’evento 𝐸1 oppure l’evento 𝐸2
cioè 𝐸1 ed 𝐸2 sono disgiunti o incompatibili si ha
𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 )
6) 𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸) dove 𝐸̅ è l’evento complementare di 𝐸
Definizione assiomatica della probabilità
A questo punto possiamo definire, data una famiglia 𝔈 di insiemi Ei sottoinsiemi di Ω, la
probabilità come una funzione a valori reale definita su tale famiglia di insiemi 𝔈, tale che
1) 𝑃(𝐸) ≥ 0, ∀ 𝐸 ∈ 𝔈 ;
2) 𝑃(Ω) = 1
3) 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ), ∀ 𝐸1 , 𝐸2 ∈ 𝔈, 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∈ 𝔈, 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅
Prima di passare a definire le altre proprietà della probabilità dobbiamo ricordare il calcolo
combinatorio
2
Calcolo combinatorio
Definiamo disposizioni semplici di n oggetti distinti della classe k tutti i possibili oggetti
raggruppati di k in k scelti in un insieme di n oggetti e si calcolano con
𝑛!
𝐷𝑛,𝑘 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1) =
(𝑛 − 𝑘)!
Ricorda due sottoinsiemi differiscono anche per ordine!
Esempio1
A un torneo di calcio regionale under 21 partecipano 15 squadre. Quante sono le possibili
classifiche delle prime cinque squadre?
In questo caso dobbiamo estrarre tutte le possibili classifiche su n oggetti di classe 5 cioè
di 5 squadre 𝐷15,5 = 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 = 360360
Definiamo disposizioni semplici di n oggetti distinti raggruppati di n in n oggetti distinti cioè
con k=n le permutazioni semplici
𝑃𝑛 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … (𝑛 − 1)𝑛 = 𝑛!
Esempio2
Quanti tipi di anagrammi si possono ottenere con la parola CANTO
Siccome stiamo cercando parole che differiscono solo dall’ordine delle lettere abbiamo
una permutazione semplice di 5 elementi 𝑃5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti distinti della classe k è indicato con
𝐶𝑛,𝑘 , corrisponde a tutti i possibili oggetti di k elementi presi a caso tra gli n oggetti e dove
𝑛
𝐷
𝑛!
non importa l’ordine degli elementi k scelti e si calcola 𝐶𝑛,𝑘 = 𝑃𝑛,𝑘 = (𝑛−𝑘)!𝑘! = ( )
𝑘
𝑘
𝑛
Il simbolo ( ) rappresenta la combinazione semplice di n oggetti di classe k e prende il
𝑘
nome di coefficiente binomiale poiché sono i coefficienti dello sviluppo del binomio
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘
𝑘
𝑛
𝑘=0
Detta formula del binomio di Newton e i coefficienti binomiali sono i numeri presenti nel
triangolo di Tartaglia.
Osservazioni sui coefficienti binomiali:
𝑛
𝑛
( )=(
)
𝑘
𝑛−𝑘
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
0
Quindi si ha ( ) = ( ) = ( ) = 1 e ( ) = (
)=𝑛
0
𝑛
𝑛−1
1
0
Inoltre si può dimostrare che vale la seguente uguaglianza
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
( )=(
)+(
) formula di Stifel
𝑘
𝑘
𝑘−1
Esempio3
In un gran premio di formula 1 F1 una casa automobilistica ha a disposizione cinque
vetture da assegnare a due piloti. In quanti modi la scuderia può utilizzare le automobili?
5!
5∙4
5
𝐶5,2 = ( ) =
=
= 10
(5 − 2)! 2!
2
2!
3
Esempio4
Calcola il numero di terni che si possono fare al gioco del lotto
90 ∙ 89 ∙ 88
90
𝐶90,3 = ( ) =
= 117480
3
3!
Nel caso che introduciamo anche le ripetizioni degli oggetti allora si ha
Disposizioni con ripetizione di n oggetti presi a k a k
𝐷′𝑛,𝑘 = 𝑛𝑘
Esempio5
Calcola la probabilità di realizzare un tredici al totocalcio giocando due colonne distinte
Il numero dei casi possibili è uguale al numero delle disposizioni con ripetizione dei tre
segni 1 X 2 presi a 13 a 13 cioè
𝐷′3,13 = 313 = 1594323
Se ora ci vogliamo calcolare la probabilità ricordiamo l’impostazione classica essendo gli
eventi equiprobabili, il numero di casi favorevoli è 2 essendo 2 le colonne su tutte le
disposizioni possibili
2
𝑝=
≅ 1,2 ∙ 10−4
1594323
Permutazioni con ripetizioni di n oggetti di cui h1 uguali tra loro, h2 uguali tra loro e
distinti dai precedenti ecc.
𝑛!
(ℎ ;ℎ … )
𝑃𝑛 1 2 =
ℎ1 ! ℎ2 ! …
Esempio6
Calcola tutti i possibili anagrammi della parola MISSISSIPPI. Tale parola ha 11 lettere
dove la M si ripete 1 volta, la I 4 volte, la S 4 volte e la P 2 volte.
(1,4,4,2)
𝑷𝟏𝟏
=
𝟏𝟏!
𝟏! 𝟒! 𝟒! 𝟐!
combinazioni con ripetizione di n oggetti presi a k a k
𝑛+𝑘−1
𝐶′𝑛,𝑘 = 𝐶 =𝑛+𝑘−1,𝑘 = (
)
𝑘
Utilizziamo le combinazioni con ripetizione in tutti i problemi di distribuzione nei quali
occorre formare gruppi con oggetti non distinguibili
Esempio 7
Quali sono i casi favorevoli in cui lanciando 3 volte una moneta si hanno almeno 2 volte
testa o due volte croce? Le possibilità sono TTT, TTC, TCC, CCC cioè 4 e sono le
combinazioni con ripetizione di 2 elementi di classe 3
4!
4
𝐶′2,3 = 𝐶4,3 = ( ) =
=4
3
1! 3!
4
La concezione classica di probabilità e calcolo delle probabilità di eventi
La probabilità dell’evento unione
Dati due eventi E1 ed E2 si definisce evento unione 𝐸1 ∪ 𝐸2 . Se i due eventi sono
incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro e avremo
Teorema della somma per eventi incompatibili
𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 )
Se al contrario i due eventi sono compatibili
Teorema della somma per eventi compatibili
𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 )
Esempio1
Consideriamo un’urna in cui abbiamo inserito i numeri da 1 a 12 e consideriamo i due
eventi:
E1=”esce un numero dispari” oppure E2=”esce un numero pari”
I numeri dispari sono 1,3,5,7,9,11 quindi 6 casi su 12 possibili, i numeri pari sono
2,4,6,8,10,12 quindi sempre 6 su 12.
La probabilità dell’unione cioè che esca un numero pari o dispari essendo incompatibili si
6
6
ha 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) = 12 + 12 = 1
Esempio 2
Calcolare la probabilità che, estraendo un numero della tombola, questo sia divisibile per 2
o per 3.
I casi possibili sono 90 e tutti equiprobabili in questo caso si deve calcolare la probabilità
somma dei due eventi che risultano compatibili in quanto esiste l’evento intersezione dato
dalla probabilità di estrarre numeri multipli di 2 e di 3 cioè di 6.
I numeri multipli di 2 sono 45, multipli di 3 sono 30 e i multipli di 6 sono 15 quindi
45 30 15 60
𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) =
+
−
=
= 0,67
90 90 90 90
Si poteva anche contare tutti i numeri multipli di 2 e di 3 insieme sono 60 su 90 e fare
subito il calcolo finale!
La probabilità dell’evento intersezione
Se due eventi avvengono contemporaneamente cioè sono eventi legati dalla congiunzione
e che lega i due eventi dall’operazione di intersezione.
Si hanno 2 casi
 I due eventi sono indipendenti stocasticamente cioè il verificarsi dell’uno non
influisce sull’altro allora 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 )
 I due evnti sono dipendenti in tal caso la probabilità diventa
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 )
Dove 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) è la probabilità condizionata cioè è la probabilità dell’evento 𝐸2 dopo
il verificarsi dell’evento 𝐸1
Osservazione1 la seconda formula diventa uguale alla prima se 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) questo
è un altro modo di dire che gli eventi sono indipendenti.
Osservazione2 poiché la seconda formula è simmetrica
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) ∙ 𝑃(𝐸1 /𝐸2 )
5
Si ricava la formula di Bayes
𝑃(𝐸1 /𝐸2 ) =
𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 )
𝑃(𝐸2 )
Evento contrario
A volte pur dovendo calcolare la probabilità di un evento è molto più facile calcolare
l’evento contrario che in insiemistica corrisponde al complementare di tale insieme e si ha
tale formula
𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸)
Esempi
Esempio1
Una pallina è estratta da un’urna contenente 6 palline rosse, 4 bianche e 5 azzurre si
calcoli la probabilità che la pallina non sia rossa.
A questo punto dire non sia rossa è l’evento contrario di essere rossa e siccome calcolare
quando la pallina è rossa è facile procediamo così:
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖 6
6
2
P(“la pallina è rossa”)=𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 6+4+5 = 15 = 5
2
3
P(“la pallina non è rossa”)= 𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸) = 1 − 5 = 5
Esempio riassuntivo1
Si estragga a caso una carta da un mazzo di 52 carte e si determini la probabilità che:
1) Sia un asso
2) Un fante di cuori
3) Un tre di picche o un sei di fiori
4) Un cuori
5) Un seme diverso da cuori
6) Un dieci o un quadri
7) Né un quattro né un picche
Risoluzione
1) Gli assi sono quattro ed essendo incompatibili si ha
P(“una asso di cuori o di picche o di quadri o di fiori)=P(“asso di cuori”)+P(“asso
1
1
1
1
1
di picche”)+P(“asso di quadri”)+P(“asso di fiori”)=52 + 52 + 52 + 52 = 13
1
2) P(“un fante di cuori”)=52
1
3) P(“un tre di picche o un sei di fiori”)=P(“un tre di picche”)+P(“un sei di fiori”)= 52 +
1
52
1
= 26
13
1
4) P(“una carta di cuori”)=52 = 4 ricordando che le carte di cuori sono 13
1
3
5) P(“una carta diversa da cuori”)=1-P(“una carta di cuori”)=1 − 4 = 4
6) P(“un dieci o un quadri”)=P(“un dieci”)+P(“un quadri”)-P(“un dieci di
4
13
1
16
4
quadri”)=52 + 52 − 52 = 52 = 13 in questo caso gli eventi erano incompatibili
6
Esempio riassuntivo2
Due carte sono estratte da un mazzo di 52 carte ben mescolato e si calcoli la probabilità
che esse siano entrambi assi quando:
1) La prima carta è rimessa nel mazzo
2) La prima carta non è rimessa nel mazzo
Risoluzione
1) E1=la prima carta è un asso
E2=la seconda carta è un asso i due eventi sono indipendenti in quanto la carta
4
viene rimessa nel mazzo 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) = 52
4
4
1
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 ) = 52 ∙ 52 = 169
2) In questo caso i due eventi sono dipendenti in quanto estraendo un asso nella
seconda estrazione gli assi rimasti sono 3
4
3
1
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 52 ∙ 52 = 221
7