Lezioni 11

Lezioni 11
Frank Sullivan
November 20, 2012
1 Dimostrazione per Induzione e Formule per Derivate
In classe abbiamo discusso il Principio di Induzione. Esso asserisce che se P (n) é una
“tesi” (proposizione) che dipende dal intero (positivo, o non-negativo) n, allora per
stabilire che P (n) vale per ogni n basta dimostrare
1. La base dell’induzione, ossia che vale la proposizione P (1) (oppure P (0) nel caso
in cui si “inizia da 0”, oppure P (n0 ) nel caso che si inzia da n0 ).
2. Il passo indottivo, ossia che per j ≥ 1 vale l’implicazione logica P (j) ⇒ P (j + 1).
Talvolta si usa la seguente variante, che permette di usare un’ipotesi piú forte,
ossia che per j ≥ 1 vale l’implicazione logica “Se vale P (i) per ogni i ≤ j, allora
vale pure P (j + 1)”.
In termini piú umani la base di induzione asserisce che si riesce a fa cadere il primo
domino, e il passo indottivo asserisce che se cade un domino allora cade pure quello
successivo.
Come esempi si invita a stabilire i fatti seguenti tramite l’uso del Prinicipio di Induzione:
1. Per ogni intero positivo n vale
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
.
2
2. Per ogni intero positivo n vale
n
1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1)n+1 n = (−1)n+1 b c.
2
Qua si ricorda che bxc indica il “pavimento sotto x”, ossia l’intero piú grande che
é minore o uguale ad x (in altre parole, il primo intero che si incontra quando si
parte da x e cammina verso sinistra – che é, naturalmente x stesso nel caso che x
sia intero).
3. Per ogni intero positivo n vale
12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =
1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
4. Per ogni intero positivo n vale
2
2
2
2
n+1 2
1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1)
n+1 n(n
n = (−1)
+ 1)
n+1 n + 1
= (1)
.
2
2
5. Per ogni intero non-negativo n ed ogni intero i tale che 0 ≤ i ≤ n sia
n
n!
=
i! (n − i)!
i
(a) Mostrare che ni é uguale al numero di sottoinsiemi ad i elementi del insieme
{1, 2, . . . , n}.
(b) Mostrare che vale
n
n−1
n−1
=
+
i
i−1
i
Si nota che quest’ultimo fatto mostra che i simboli ni (i coefficienti binomiali) obbediscono la stessa “regola di costruzione” degli elementi del triangolo di
Tartaglia-Pascal (si veda qua sotto per lumi ulteriori).
6. Per ogni intero non-negativo n ed ogni paio di numeri (reali o complessi) a e b vale
n X
n i n−i
(a + b) =
ab .
i
n
i=0
La dimostrazione di questo fatto (il teorema binomiale in versione semplice, ossia
per n intero non-negativo) e quasi identico alla dimostrazione svolta in classe per
stabilire la regola di Leibniz per la n-esima derivata di un prodotto
n X
n
D (f g) =
Di f Dn−i g.
i
n
i=0
e, come essa, si appoggia sulla proprietá fondamentale delle costruzione del triangolo di Tartaglia–Pascal, ossia, che la i-esima elemento del n esima riga di tale
triangolo si ottiene sommando il i-esimo ed il i − 1-esimo elementi della n − 1esima riga di tale triangolo, insieme con una ri-indicizzazione astuta. Nel triangolo
di Tartaglia-Pascal le righe e gli elementi di una riga sono indicizzato a partire
da 0. Se, dunque, si indica il i-esimo
elemento della n esima riga del triangolo
n
di Tartagli-Pascal col simbolo i la proprietá fondamentale si esprime tramite
l’equazione
n
n−1
n−1
=
+
,
i
i−1
i
la stessa proprietá visto sopra nel esercizio precedente.
2
7. Per ogni intero positivo n vale
n
n
n
n
n
+
+
+ ··· +
+
= 2n .
0
1
2
n−1
n
Interpretare questo risultato come caso particolare del Teorema Binomiale (Esercizio 6).
8. Per ogni intero non-negativo n vale
(
1
n
n
n
n
n
n
= δ0,n =
+(−1)n
−
+
−
· · ·+(−1)n−1
n
n−1
0
1
2
3
0
se n = 0
altrimenti.
Interpretare pure questo risultato come caso particolare del Teorema Binomiale
(Esercizio 6). In generale, il simbolo δi j definito da
(
1 se i = j
δi j =
0 altrimenti.
si chiama il simbolo di Kronecker o la “delta di Kronecker”.
9. Indaga varianti degli due esercizi precedenti (ossia in Esercizio 6, scegliere, ad
esempio, a = 1 e b = 2, ecc.). In questo modo si ottiene una valanga di risultati,
ciascuno un caso particolare di Esercizio 6.
In classe abbiamo dimostrato (tramite l’uso del Principio di Induzione) i fatti seguenti
sul calcolo differenziale
1. Se f1 , . . . , fn sono n funzioni differenziabili, allora si ha
(f1 + f2 + · · · + fn )0 (x) = f10 (x) + f20 (x) + · · · + fn0 (x)
“La derivata di una somma é la somma delle derivate”
2. Se f1 , . . . , fn sono n funzioni differenziabili, allora si ha
(f1 · f2 · · · fn )0 =
n
X
f1 · f2 · · · fi−1 · fi0 · fi+1 · · · fn
i=1
3. Se f e g sono funzioni differenziabili allora vale
Dn (f g) =
n
X
Di f Dn−i g.
i=0
“Regola di Leibniz per la n-esima derivata”
3
2 Criterio differenziale per funzioni crescenti e decrescenti
Proprio come il criterio f 0 (x0 ) = 0 ci individua i “punti critici” della funzione f (x), ossia
i punti con retta tangente al grafico orizzontale, possiamo desumere informazione dalla
conoscenza di intervalli I in cui vale f 0 (x) > 0. Infatti, su tali intervalli la funzione
f (x) é crescente (nel senso che se x1 < x2 con x1 , x2 ∈ I ed f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ I
allora f (x1 ) < f (x2 ). Se invece f 0 (x) < 0 sull’intervallo I, allora per x1 < x2 si avra
f (x1 ) > f (x2 ).
In breve dove f 0 (x) > 0 la funzione cresce, mentre dove f 0 (x) < 0 la funzione decresce.
Come esercizio abbiamo dato il compito di analizzare i grafici delle funzioni trigonometriche in termini di intervalli in cui le funzioni sono crescenti e decrescenti, e di mettere
tale fatti in rapporto con il segno delle loro derivate.
f (x)
f 0 (x)
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
tan(x)
sec2 (x)
cot(x)
− csc2 (x)
sec(x)
sec(x) tan(x)
csc(x)
− csc(x) cot(x)
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