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Esercitazioni di Calcolo delle Probabilità (09/01/2012)
Soluzioni
Esercizio 1
Si consideri un’urna contenente 100 palline, delle quali 2 verdi e 98 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 10 estratto
con reinserimento.
1. X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 10 e θ = 0.02;
P(0.72 < X < 1.14) = P(X = 1) = 10 (0.021) (0.989) = (0.2) (0.8337) = 0.1667.
2. E(X) = nθ = 0.2 e Var(X) = nθ(1−θ) = 0.196.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 50 estratto
con reinserimento.
3. P(Y ≥ 2) = 1 − P(Y = 0) − P(Y = 1) ≅ 1 – 0.7358 = 0.2642,
essendo Y ≈ Poisson(λ) con λ = nθ = 1 e P(Y = 0) ≅ e-λ = 0.3679, P(Y = 1) ≅ e-λ λ= 0.3679.
Enunciato. Sia X una variabile casuale Binomiale di parametri θn e n con 0 < θn <1, n = 1,2,… e θn=λ/n
dove λ>0 è un valore costante. Per n sufficientemente grande, la distribuzione di X può essere approssimata
da una distribuzione di Poisson di parametro λ.
Dimostrazione. p( x , θn , n ) =
=
n!
λx  λ 
1 − 
n x (n − x )! x!  n 
Poiché:
n
n!
(θn )x (1 − θn )n − x = n!  λ 
x!(n − x )!
x!(n − x )!  n 
 λ
1 − 
 n
n!
 λ
1 − 
n → ∞ n x ( n − x )!
 n
−x
lim p ( x,θ n , n) =
n →∞
 λ
1 − 
 n
n −x
−x
lim
si ottiene:
x
 λ
lim 1 −  = e − λ
n →∞
 n
n
=1
λx
x!
e
e− λ .
Per n sufficientemente grande, sotto l’ipotesi data che la probabilità di successo decresca alla stessa
velocità di n−1 al divergere di n, vale p ( x,θ n , n) ≈
λx
x!
e− λ .
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 10 estratto
senza reinserimento.
4. Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 10, K = 2 e N = 100;
 2  98  100 
 = 0.1818.
P(0.14 < Z < 1.72) = P(Z = 1) =    
1  9  10 
 2  98 
5. P(Z = 0) =   
 0 10 
100 

 = 0.8091.
10 
Esercizio 2 (Geometrica)
Sia X una variabile casuale con funzione di probabilità φ(x;θ)=θ(1−θ)x con 0<θ<1 e x=0,1,2,…
1. si verifichi che φ (x;θ) sia una funzione di probabilità
2. si rappresenti graficamente la funzione e si calcoli la moda
3. si calcoli E(X)
1
4. si calcoli Var(X)
Soluzione
1. θ(1−θ)x>0 essendo 0< 1−θ<1
∞
∑ θ(1 − θ)
x =0
x
∞
=θ∑ (1 − θ) x =
x =0
θ
θ
= =1 (essendo, la serie in questione, una geometrica di ragione
1 − (1 − θ) θ
0< 1−θ<1)
2. La rappresentazione grafica è la seguente, con θ=0.5 (provare con altri valori per θ).
φ(x,θ)
x
θ(1−θ)x >θ(1−θ)x+1∀x essendo 0< 1−θ<1 quindi la moda è pari a X=0 con φ (0,θ) = θ.
3. E(X)
∞
∞
∞
x =0
x =0
x =0
= ∑ xθ(1 − θ) x =θ(1 − θ)∑ x (1 − θ) x −1 =θ(1 − θ)∑ −
= θ(1 − θ)
d(1 − θ) x
dθ
d ∞
d
1
θ(1 − θ) 1 − θ
− (1 − θ) x = −θ(1 − θ)
=
=
∑
dθ x = 0
dθ 1 − (1 − θ)
θ2
θ
Si noti che lo scambio tra la derivata e la serie è possibile in quanto la serie da derivare è una serie di
funzioni, con derivata continua, convergente e la serie delle derivate è uniformemente convergente.
4. E(X2)
∞
∞
∞
x =0
x =0
x =0
= ∑ x 2θ(1 − θ) x =θ(1 − θ)∑ x ⋅ x (1 − θ) x −1 =θ(1 − θ)∑ − x
= −θ(1 − θ)
d(1 − θ) x
dθ
d ∞
d 1
x (1 − θ) x = −θ(1 − θ)
E(X)
∑
dθ x = 0
dθ θ
(moltiplicando e dividendo per θ)
= −θ(1 − θ)
d 1 1− θ
− θ2 − 2θ(1 − θ)
− θ − 2(1 − θ) (1 − θ)(2 − θ)
= −θ(1 − θ)
= −(1 − θ)
=
4
dθ θ θ
θ
θ2
θ2
Si ha quindi
Var(X) = E(X ) − (E(X)) =
2
2
2
(1 − θ )(2 − θ )
θ2
 (1 − θ )  1 − θ
−
 = 2
θ
 θ 
2
Esercizio 3 (Poisson)
In una fabbrica di cioccolato il numero X di cioccolatini di forma irregolare prodotti giornalmente da una
macchina segue una distribuzione di Poisson con media λ.
1. Si calcoli la probabilità che X sia < 1.
2. Si calcoli la probabilità che X sia ≥ 4.
3. Definita la v.c. Y = min(2,X), se ne determini il supporto e la funzione di probabilità.
4. Si calcoli il valor medio di Y.
Soluzione
X è una v.c. di Poisson con parametro λ e Y = min(2,X).
1. P(X < 1) = [P(X = 0)] = (exp(-λ ) 1)/0! = exp(-λ ).
2. P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4) = 1 – [P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2)+ P(X = 3)]
= 1 – [1+ λ +( λ 2/2)+ (λ 3/6)] exp(-λ ).
3. La v.c. Y ha supporto {0,1,2} e funzione di probabilità data da
P(Y = 0) = P(X = 0) = exp(–λ),
P(Y = 1) = P(X = 1) = λ exp(–λ),
P(Y = 2) = P(X ≥ 2) = 1 – (1+ λ)exp(–λ).
4. E(Y) = 0 P(Y = 0) + 1 P(Y = 1) + 2 P(Y = 2) = λ exp(–λ) + 2[1 – (1+ λ)exp(–λ)]
= 2 – (2+ λ)exp(–λ).
Esercizio 4 (Geometrica troncata)
Una variabile casuale discreta X segue la distribuzione geometrica se:
P(X=r)=θ(1-θ)r-1 con r=1,2,…
Condizioni:
. vi è una successione di prove;
. due possibili risultati (successo/insuccesso);
. le prove sono indipendenti;
. la probabilità ad ogni prova rimane costante;
. la variabile casuale X rappresenta il numero di prove necessarie per avere il primo successo.
In una produzione di chiodi con macchina automatica, in media un 5% della produzione viene scartata
perché inferiore al minimo permesso di 3 cm. Uno schema di controllo consiste nel prendere chiodi a caso
dalla produzione e nel contare quanti ne vengono presi prima di prenderne uno imperfetto.
3
1. Si rappresentino i primi termini di questa distribuzione calcolando la probabilità di trovare il primo
chiodo imperfetto.
Soluzione
1. P(X = r) = θ(1-θ)r-1 con θ=0.05
r
1
2
3
4
5
P(X=r)
0.05
0.0475
0.0451
0.0429
0.0407
Esercizio 5
Si lancia una moneta che presenta testa con probabilità 0.6. Se il risultato è testa, si estraggono 4 palline con
reinserimento da un’urna che contiene 6 palline bianche e 4 nere. Se esce croce, si estraggono dalla stessa
urna 3 palline senza reinserimento. Trovare funzione di probabilità e valore atteso della variabile che conta il
numero di palline bianche estratte nell’esperimento.
Soluzione
T=“testa”; C=“croce”.
Calcoliamo la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita testa. La v.a. che conta il numero
di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge binomiale di parametri 4 e 6/10.
P(X=x|T)=
Calcoliamo ora la probabilità di estrarre x palline bianche sapendo che è uscita croce. La v.a. che conta il
numero di palline bianche in questo caso si distribuisce con legge ipergeometrica di parametri 3, 6, 10.
Calcoliamo la probabilità P{X = x}, utilizzando il teorema delle probabilità totali.
E[X]=E[X|T]0.6+E[X|C]0.4= 4 ×6/10× 0.6 + 3×6/10×0.4=2.16
4