ATTRITO DA TURBOLENZA NEI FLUIDI

ATTRITO DA TURBOLENZA NEI FLUIDI
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21/03/2012
TRANSIZIONE ALLA TURBOLENZA
Quando un corpo si muove in un fluido, il moto del fluido
attorno al corpo non è sempre di tipo laminare. Molto spesso
il moto del fluido è turbolento, con formazione di vortici e
di scia. In altri casi il moto incomincia con caratteristiche
laminari e poi transisce verso la turbolenza.
La tipologia di fenomeni è molto
varia e, spesso, di difficile trattazione quantitativa. L’attrito che
il corpo subisce nel suo moto dentro il fluido dipende dal tipo di moto
del fluido e, quindi, in caso di moto
turbolento, le formule precedentemente presentate cessano di valere.
2
NUMERO DI REYNOLDS
In Meccanica dei Fluidi il numero di Reynolds R (adimensionale) permette di prevedere con una certa accuratezza
la tipologia del tipo di moto. Per un fluido di densità ρ e
viscosità dinamica η (e cinematica ν) la definizione di R è
L v
ρ L v
=
R=
η
ν
numero di Reynolds ,
(1)
dove L dà l’ordine di grandezza delle dimensioni lineari del
campo del moto (o dimensioni degli ostacoli) e v dà l’ordine
di grandezza delle velocità in gioco.
In generale si può
prevedere moto laminare per R < 10 e moto sicuramente
turbolento per R > 105.
3
Considerata la genericità della definizione (1) di R, esiste
un’ampia zona grigia di incertezza di previsioni per situazioni qualsiasi. Se si studia un problema specifico la riduzione in
ampiezza della zona grigia può essere rilevante. Ad esempio,
se si considera il moto di un fluido in un tubo cilindrico (L
= diametro), il campo di incertezza viene ristretto da 1000
a 1200, con moto sicuramente laminare per R < 1000 e
sicuramente turbolento per R > 1200.
Riprendendo l’esempio della goccia di nebbia elaborato in
0319a.pdf, si può calcolare il corrispondente valore di R per
verificare che sia corretto l’utilizzo della formula di Stokes
nel calcolo della forza di attrito sulla goccia. Si ha R =
2 r v
ν
=
2·4.0·10−5·0.19
1.5·10−5
= 1.01. Pertanto l’uso di quella legge
è corretto !
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TURBOLENZA: EFFETTI SULL’ATTRITO
In un contesto semiquantitativo si può scrivere per la forza
di attrito agente su di un corpo che si muove in un fluido con
velocità v l’espressione [confrontare con la (3) di 0319a.pdf]
Fattr = − [k + h(R) R] η L v ,
(2)
dove il nuovo termine adimensionale h(R) R rappresenta
un contributo trascurabile per moto laminare (R piccolo),
ma che diventa sempre più importante al crescere di R, con
l’instaurarsi della turbolenza. La trattazione di come cambia
la forza di attrito nella transizione verso alti R esula ampiamente dagli obiettivi di questi appunti. La (2) viene presentata solo per mostrare come si trasforma l’espressione per
Fattr quando il termine h(R) R diventa dominante rispetto
a k. Si assume che h(R) vari lentamente con R.
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Se si riscrive la (2) con solo il nuovo termine h(R) R (quello
dominante nel moto turbolento), si ottiene
ρ L v
η L v,
Fattr = −h(R) R η L v = −h(R)
η
(3)
dove, grazie alla (1), sparisce la dipendenza da η. La (3)
viene usualmente scritta come
C(R) ρ A
Fattr = −
v v ;
2
C(R) ρ A 2
|Fattr | =
v ,
2
(4)
dove C(R) è un coefficiente numerico che dipende debolmente da R (coefficiente aerodinamico del corpo) mentre
con A (= L2) s’intende la sezione trasversa del corpo. Si
noti che adesso Fattr cresce come v 2 ! Nella slide successiva
si mostra come C cambia con R per una sfera. La (4) è
valida per una sfera con C ∼ 0.6 per 500 < R < 2.5 · 105.
6
7
SFERA: al crescere di v (valori di R > 2·105) la scia si stacca
più a valle e questo porta ad una riduzione della sezione
efficace A∗ del corpo e quindi ad una notevole diminuzione
del coefficiente C se nella (4) si pone (sempre) A = π r2.
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ATTRITO DA TURBOLENZA
SU CORPO IN CADUTA
Si studia il moto rettilineo (lungo l’asse z) di un
corpo di massa m in caduta in un mezzo che
esercita una forza di attrito del tipo (4).
La
componente z della forza di attrito sarà data da
(Fattr )z = −K
vz2
C
ρ A.
dove K =
2
(5)
Si affronterà il problema sotto l’ipotesi che il
coefficiente C sia ragionevolmente costante. Nel
caso di una sfera si ha C ∼ 0.6 per valori di R
compresi tra 500 e 2.5 · 105.
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Sul corpo agisce verso il basso il peso efficace P ∗, dato dal
peso del corpo meno la spinta di Archimede. Nel caso che
il corpo sia una sfera omogenea di densità ρc e raggio r,
immersa in un fluido di densità ρ, la componente z del peso
efficace P∗ sarà data da
Pz∗
4 π r3
=
( ρc − ρ) g .
3
(6)
Nel caso di caduta in aria di mezzi con densità apprezzabilmente superiore a quella dell’aria, la correzione per la spinta
di Archimede sarà ininfluente.
Il Secondo Principio della Dinamica applicato al corpo di
massa m conduce alla seguente equazione differenziale nella
funzione incognita vz (t)
10
dvz (t)
= Pz∗ − K vz2(t)
m
dt
(valida per vz ≥ 0) ,
(7)
dove si può imporre la condizione iniziale vz (0) = 0.
Al
passare del tempo la velocità vz (t) crescerà da zero verso
r
il valore limite vzl =
Pz∗
K
che corrisponde al valore di ve-
locità tale da annullare il secondo membro della (7). Si può
dimostrare che la soluzione della (7) è data da
t
vz (t) = vzl tanh
τ
!
=
v
u ∗
uP
t z
t
tanh
K
τ
!
,
(8)
dove la costante di tempo caratteristica τ è data da √ m∗
Pz K
.
Nella figura successiva è illustrato l’andamento temporale
della velocità che tende al valore limite vzl .
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∼
Come indicazione di come vz (t) si avvicina a vzl si ha vz (τ ) =
∼ 0.964 v , v (3 τ ) =
∼ 0.995 v e v (4 τ ) =
∼
0.761 vzl , vz (2 τ ) =
z
zl z
zl
∼v .
0.999 v . Trascorse 3 o 4 costanti di tempo si ha v =
zl
z
zl
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ESEMPIO 1: biglia di piombo di massa m = 5 · 10−3 kg
lasciata cadere in un profondo pozzo di miniera.
ρP b = 1.14 · 104 kg m−3, ρ = ρaria = 1.2 kg m−3, νaria =
1.5 · 10−5 m2 s−1, g = 9.8 m s−2.
Si ottiene r = 4 3π m
ρP b
1
3
= 4.7 · 10−3 m,
K = 0.3 · 1.2 · π · r2 kg m−1 = 2.5 · 10−5 kg m−1,
∼ m g = 4.9 · 10−2 N (si può trascurare la spinta di
P∗ =
Archimede !),
r
vzl =
τ =
4.9·10−2
2.5·10−5
m s−1 = 44.2 m s−1,
−3
5·10
√
4.9·10−2·2.5·10−5
s = 4.5 s.
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I valori di R vanno da 0 fino a
2·4.7·10−3· 44
1.5·10−5
= 2.77 · 104.
Al valore R = 500 (inizio della zona in cui C è approssimativamente costante) corrisponde una velocità di v = 0.8 m s−1.
Quindi la zona a “bassi R” influisce marginalmente sull’intero moto. La velocità di caduta si stabilizza al valore limite
∼ 2 τ ). Lo spazio
di 44 m s−1 dopo una decina di secondi (=
di caduta in moto apprezzabilmente accelerato non supera i
500 m.
Nell’esempio successivo (ESEMPIO 2) si calcola dopo quanto tempo (t∗) un corpo in caduta raggiunge il 95% di vzl e
quanto spazio (z ∗) corrispondentemente percorre. Le formule là sviluppate ed applicate a questo esempio danno
t∗ = 1.8318 · τ = 8.24 s e z ∗ = 1.164 · τ · vzl = 230 m.
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ESEMPIO 2: goccia di pioggia di diametro 2 r = 3 mm
(r = 1.5 · 10−3 m).
ρc = 1.0 · 103 kg m−3, ρ = ρaria = 1.2 kg m−3, νaria =
1.5 · 10−5 m2 s−1, g = 9.8 m s−2.
Si ottiene m =
4 π r3
3
ρc = 1.41 · 10−5 kg,
K = 0.3 · 1.2 · π · r2 kg m−1 = 2.54 · 10−6 kg m−1,
∼ m g = 1.38 · 10−4 N (anche in questo caso si può
P∗ =
trascurare la spinta di Archimede !),
r
vzl =
τ =
√
1.38·10−4
2.54·10−6
m s−1 = 7.38 m s−1,
1.41·10−5
1.38·10−4·2.54·10−6
s = 0.752 s.
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3.0·10−3· 7.38
1.5·10−5
I valori di R vanno da 0 fino a
= 1476.
Per ottenere il valore “distanza di regime” (indicato qui con
z ∗) in terza colonna della Tabella 6.1 del LIBRO DI TESTO,
si deve considerare che il 95% di vzl viene ottenuto, in base
alla (8), all’istante t∗ = atanh(0.95) τ = 1.8318 τ = 1.38 s.
Pertanto lo spazio percorso z ∗ viene calcolato come
z∗ =
Z t∗
0
vz (t) dt ,
(9)
dove vz (t) è data da (8). Con qualche calcolo e utilizzando
la relazione
R
tanh(t) dt = ln[cosh(t)], si può dimostrare che
l’integrale (9) dà z ∗ = ln(cosh(1.8318)) · τ · vzl = 1.164 · τ ·
vzl , espressione che nel caso considerato porta al risultato
numerico z ∗ = 6.46 m (in accordo con il valore riportato
nella Tabella).
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