l`energia potenziale elettrica e la matematica - Digilander

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA E LA MATEMATICA
Adesso, in attesa della II prova, faremo un breve crossover fra Fisica e
Matematica: ovvero, studieremo le proprietà fisiche dell’energia
potenziale elettrica (Uq) sfruttando la matematica.
Equazione intermedia e finale di una formula fisica – il
caso del filo indefinito carico
La prima cosa che dobbiamo fare in Fisica (e in qualunque altra Scienza)
è quello di scrivere le leggi che troviamo in modo rigoroso ed esatto: se arriviamo a scrivere una formula o
un’equazione che non è formalmente corretta allora sicuramente è sbagliata.
In altri appunti ci siamo imbattuti in una formula fisicamente scorretta quando abbiamo calcolato l’energia
potenziale di un filo infinitamente carico1. Infatti abbiamo ottenuto:
Uq(A)=2Kλqln(RO) – 2Kλqln(RA)
(1)
In Fisica l’eq. (1) non ha alcun senso perché….. cheee? Non te lo ricordi e pretendi che te lo dica io?!?
Riguardati i tuoi appunti, sfaticato!
Il fatto di ottenere equazioni senza significato fisico (e talvolta neppure senza significato matematico) è più
comune di quanto si pensi: in questi casi che si fa? Le cose sono due: o abbiamo sbagliato qualcosa o
l’equazione in questione è solo un passaggio intermedio verso la vera formula che invece è corretta.
Vediamo se è possibile modificare l’eq. (1) in modo da esprimerla in una forma che sia fisicamente corretta: se
non fosse possibile significherebbe che abbiamo sbagliato qualcosa e dunque dovremmo scartarla del tutto.
Iniziamo con il raccogliere insieme il termine comune dell’eq.(1): Uq(A)=2Kλq[ln(RO) –ln(RA)].
Adesso posso sfruttare una proprietà dei logaritmi che già conoscete: ln(a)-ln(b) = ln(a/b). Applicandola
all’equazione appena trovata otteniamo:
Uq(A) = 2Kλqln(RO/RA)
(2a)
Per chiarezza, si preferisce porre RA al numeratore. Per farlo, posso sfruttare un’altra proprietà dei logaritmi,
quella dell’esponente dell’argomento: ln(a-1) = -ln(a). Applicando quest’ultima proprietà all’eq. (2a) ottengo:
Uq(A) = -2Kλqln(RA/RO)
(2b)
L’eq.(2a) e (2b), del tutto equivalenti, sono la formulazione corretta dell’energia potenziale elettrica di cui
l’eq. (1) era solo un passaggio intermedio. “Prof, perché l’eq. (2a) e (2b) sono fisicamente corrette mentre
l’eq. (1) non lo è?” “Non mi far perdere tempo, mimmo! Dovevi stare più attento in classe invece di dormire!”
Posizione di O – zero dell’energia
Iniziamo dalla prima proprietà che dobbiamo prendere in considerazione in un qualsiasi potenziale: la scelta
dello zero, cioè del suo punto O.
Abbiamo già detto nel IV anno che per definire un potenziale dobbiamo scegliere un punto O che ne
rappresenti lo zero; abbiamo anche affermato che tale punto è del tutto arbitrario in quanto l’energia che il
potenziale è in grado di trasferire in energia cinetica e viceversa, cioè il Lavoro, è del tutto indipendente dalla
scelta di O, come abbiamo dimostrato in classe nel IV anno.
Vediamo in che modo la matematica ci può aiutare nel trovare un opportuno valore per O. In altri appunti2
abbiamo calcolato l’energia potenziale elettrica in tre casi: carica agente puntiforme Q ; carica agente
disposta su di un filo con densità lineare λ ; carica agente disposta su di un piano indefinito con densità
superficiale . Troviamo un opportuno valore di O in tutti e tre casi.
1
2
Negli appunti “ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA”, eq. (2)
Negli appunti “ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA”, rispettivamente eq. (1) , eq. (2) , eq. (3)
Zero dell’energia potenziale di una carica puntiforme agente Q su di una carica subente q
In questa situazione abbiamo dimostrato che l’equazione di Uq(A) è3:
LA→O = Uq(A) =
𝑲𝑸𝒒
𝑹𝑨
-
𝑲𝑸𝒒
(3)
𝑹𝑶
Universalmente, si sceglie O come un qualsiasi punto che sia lontanissimo da
Q, cioè con RO grandissimo. Ma cosa significa esattamente “O è lontanissimo e
perciò RO è grandissimo?”. Quando abbiamo a che fare con la matematica
dobbiamo essere esatti: non possiamo limitarci ad affermare “più in là va e più
è lontano… più o meno è così… è circa cosà…”: bisogna esprimere in modo
esatto cosa significhi “RO è grandissimo.” In che modo? Pensaci… bravo! Dire:
“RO è grandissimo” significa che, per quanto grande io possa pensare un
valore, RO è ancora più grande. Cioè, sto facendo il cosiddetto Lim RO+.
Applicando il Limite all’eq. (3) ottengo:
Uq(A) = 𝐥𝐢𝐦
𝑲𝑸𝒒
𝑹𝑶+ 𝑹𝑨
−
𝑲𝑸𝒒
𝑹𝑶
=
𝑲𝑸𝒒
𝑹𝑨
−
𝑲𝑸𝒒

=
𝑲𝑸𝒒
𝑹𝑨
(4)
Figura 1: energia potenziale
elettrica
per
Q=q=10-6C e R1=0,01m
(scegliendo O lontanissimo da Q)
Zero dell’energia potenziale di un piano indefinito con densità di carica superficiale agente  su di una
carica subente q
L’energia potenziale Uq(A) di un piano indefinito carico è stata ricavata in altri appunti4. Abbiamo ottenuto che
Uq(A) dipende solo dalla distanza di A e di O dal piano (rispettivamente: ZA e ZO). Abbiamo eseguito il calcolo
nel caso in cui sia ZA che ZO sono a destra del piano (ZA , ZO >0) ed abbiamo ricavato:
LA→O = Uq(A) = 2Kq(Z0-ZA)
(5)
(per ZA , Z0 > 0)
Proviamo a ripetere la scelta fatta nel caso della carica puntiforme, cioè poniamo O lontanissimo dal piano: in
altre parole, eseguiamo il limite per ZO dell’eq. (5).
𝐔𝐪(𝐀) = 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝐊𝐪(𝐙𝟎 − 𝐙𝐀 ) = 𝟐𝐊𝐪( − 𝐙𝐀 ) = 
𝒁𝑶+
( a secondo del segno di 𝑞)
“?!? Prof, ‘’ non è un numero: non posso definirci sopra una funzione! Cosa significa?!?” “Significa una cosa
semplicissima: non posso prendere ZO lontanissimo dal piano”.
Bhé, se ci pensate questo non è un problema: il valore di Z0 è arbitrario e non c’è alcun motivo per volerlo
porre per forza all’infinito: posso scegliere un qualsiasi altro punto come riferimento. Per convenzione si pone
ZO esattamente sul piano, cosicché ZO=0. Posso perciò scrivere l’eq. (5) come:
LA→O = Uq(A) = 2Kq(-ZA)
(6a)
(per ZA ≥ 0)
Il porre Z0=0, en passant, semplifica notevolmente la scrittura
dell’energia potenziale. Infatti, dall’eq. (6a) posso immediatamente
ottenere anche l’espressione dell’energia potenziale per ZA<0: basta
considerare che, poiché a sinistra del piano (ZA<0) il vettore ⃗𝑬 (e
dunque la forza 𝐹 𝑒𝑙) è opposto a quella a destra del piano (ZA>0),
il Lavoro eseguito da 𝐹 𝑒𝑙 per ZA a sinistra è opposto a quello per ZA
a destra (vedi figura 2): di conseguenza, l’energia potenziale Uq(A)
a sinistra del piano è opposta di segno a quella trovata per ZA a
destra del piano:
LA→O = Uq(A) = -2Kq(-ZA)
Figura 2: il campo elettrico è
simmetrico rispetto al piano.
(6b)
(per ZA < 0)
Possiamo infine scrivere le eq. (6a) e (6b) nella loro forma definitiva in un solo modo compatto raccogliendole
insieme con il valore assoluto:
3
4
Negli appunti “ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA” , eq. (1)
Negli appunti “ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA” , eq. (3)
Uq(A) = -2Kq(|ZA|)
(6c)
Zero dell’energia potenziale di un piano indefinito con densità di carica superficiale agente  su di una
carica subente q
In questo caso Uq(A) è dato dall’eq. (2b): Uq(A) = -2Kλqln(RA/RO)
Vediamo se possiamo porre RO all’infinito:
𝐥𝐢𝐦 −𝟐𝐊𝛌𝐪𝐥𝐧(𝐑 𝐀 /𝐑 𝐎 ) = −𝟐𝐊𝛌𝐪𝐥𝐧(𝐑 𝐀 /) = − 𝟐𝐊𝛌𝐪𝐥𝐧(𝟎+ ) = 
𝑹𝑶
( a secondo del segno di λq)
Ahimé, non posso porre RO all’infinito per lo stesso identico motivo
per cui non lo potevo fare per il piano indefinito…
Nel caso del piano indefinito avevamo posto Z0=0: ma per il filo
RO=0 non appartiene al dominio della funzione (RO appare al
denominatore) cosicché non posso porre lo O sul filo. E dove lo potrò
mai mettere? Semplice: in un qualsiasi altro punto io desideri!
Dunque: totale libertà su dove porre RO, purché si rispetti 0<RO<+.
Figura 3: energia potenziale elettrica
per λ=10-6C/m , q=10-6C , R1=1cm ,
R0=5cm
GRAFICO DELL’ENERGIA POTENZIALE
Ecco a voi i grafici delle energie potenziali studiate in questi appunti: eq. (2b) , (4) , (6c). Potete studiare
l’andamento dei grafici al cambiare di q, Q ,  , λ e nel caso del filo anche di R0 sfruttando il foglio di Excell
messo on-line sul sito FISICA FACILE.
Cariche concordi (repulsione)
Cariche discordi (attrazione)