MICROECONOMIA Il consumatore

MICROECONOMIA
Il consumatore
Enrico Saltari
Università di Roma “La Sapienza”
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La razionalità
Esaminiamo ora in maggior dettaglio il comportamento dei soggetti che si trovano
dietro la curva di domanda, i consumatori
Supporremo che i consumatori siano razionali: essi scelgono l’alternativa migliore tra
tutte quelle per loro disponibili. Dobbiamo precisare:
1. Cosa s’intende per alternativa possibile.
2. Quale criterio viene impiegato per decidere qual è l’alternativa migliore.
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1. Le alternative. Il vincolo di bilancio
Un’alternativa possibile è ciò che il consumatore può permettersi di acquistare.
Supponiamo che esistano solo due beni, A e B .
Faremo le seguenti ipotesi:
1. I prezzi di questi due beni, PA e PB , sono dati: gli acquisti e¤ettuati dal consumatore sono di modeste dimensioni rispetto al mercato e non sono perciò in grado di
in‡uenzare i prezzi esistenti.
2. La somma di denaro R che il consumatore destina agli acquisti di A e B è anch’essa
data: essa è costituita dal suo reddito.
Il vincolo di bilancio pone in relazione il reddito con la spesa relativa agli acquisti dei
due beni Stabilisce che la spesa complessiva non può eccedere R. In questo senso
R costituisce un vincolo:
R = P AQA + P B QB
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Le alternative possibili sono tutte quelle combinazioni di QA e QB che soddisfano
il vincolo di bilancio.
Esempio: Il vincolo di bilancio
Supponiamo di disporre dei seguenti dati: R = 100; PA = 5; PB = 10: Allora le
combinazioni dei due beni che il consumatore può permettersi di acquistare sono quelle
indicate nella tabella
QA
20
18
16
QB
0
1
2
0
10
4
Rinunciando a due unità di QA si ottiene una unità di QB , vale a dire PA=PB = 1=2.
PA=PB è il prezzo relativo di A in termini di B; ossia quante unità di B sono necessarie
per acquistare una unità di A: In questo caso, poiché il prezzo relativo di A è 0.5, occorre
mezza unità di B per acquistare 1 unità di A:
2. Il criterio di scelta. Le preferenze
Tra tutte le alternative possibili il consumatore sceglie la migliore. Ciò implica
che il consumatore ordini tutte le alternative possibili secondo la propria “scala”
di preferenze.
Posto di fronte a due combinazioni di A e B (due “panieri”), il consumatore è in
grado di dire quale delle due preferisce o se le ritiene ugualmente desiderabili.
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Dire che tra tutti i panieri possibili (che soddisfano il vincolo di bilancio) il consumatore sceglie il migliore implica imputare al consumatore un sistema di preferenze.
Vale a dire, il consumatore è in grado di ordinare i panieri in modo tale da stabilire
quali sono i migliori e quali i peggiori.
In realtà, dire che il consumatore è in grado di ordinare i panieri non basta. Occorre
che questo ordinamento riguardi tutti i panieri e non sia contraddittorio al suo interno.
Abbia cioè le seguenti due proprietà:
1. Deve essere completo. Posto di fronte a due panieri, diciamo il paniere X (che
contiene Xa del bene a e Xb di b) e il paniere Y (che contiene (Ya; Yb)), il
consumatore è sempre in grado dire quale preferisce oppure se è indi¤erente tra
i due.
2. Deve essere coerente. Dati tre panieri - X; Y e Z - se il consumatore preferisce
X a Y e Y a Z; allora deve preferire X a Z:
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Le curve di indi¤erenza
Questi due assiomi sono su¢ cienti a descrivere le preferenze del consumatore. Tuttavia, per spiegare in che modo il consumatore giunge all’individuazione del paniere
migliore è più semplice di una rappresentazione gra…ca delle preferenze. Per usare
un’analogia, potremmo rappresentare le preferenze attraverso una scala. Sui gradini
più alti si trovano i panieri preferiti e su quelli più bassi i panieri ritenuti peggiori. E
sullo stesso gradino poniamo i panieri per i quali il consumatore è indi¤erente. I gradini sono appunto le curve di indi¤erenza. Più precisamente, esse rappresentano
l’insieme dei panieri rispetto ai quali il consumatore è indi¤erente.
Per rappresentarle nel modo tradizionale, occorre aggiungere altre due ipotesi a quelle
fatte in precedenza:
3. Non sazietà. Il consumatore preferisce sempre panieri che presentino quantità
maggiori di almeno un bene, non è mai sazio. Questa ipotesi implica che le curve
di indi¤erenza siano decrescenti: a¢ nché il consumatore rimanga indi¤erente tra
i diversi panieri inclusi nella curva di indi¤erenza, occorre che all’aumentare di
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una bene l’altro diminuisca. Implica pure che man mano che ci spostiamo verso
l’alto a destra troviamo curve di indi¤erenza che comprendono panieri “migliori”
4. Convessità. In termini geometrici, la convessità implica che le curve di indifferenza abbaino la “pancia” rivolta verso l’origine degli assi. Più rigorosamente,
signi…ca che se uniamo due punti che giacciono su una stessa curva di indi¤erenza ed escludiamo i panieri di partenza, tutti i panieri che si trovano sul segmento così ottenuto sono migliori dei panieri di partenza. Insomma, preferiamo le
combinazioni intermedie a quelle estreme.
Ciascuna delle curve di indi¤erenza può essere etichettata con un numero che indica
il grado di soddisfazione del consumatore, la sua utilità. L’utilità è perciò un indice
che non ha valore in sé ma che serve soltanto a ordinare le preferenze.
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L’indice di utilità
Se è comodo rappresentare le preferenze con le curve di indi¤erenza, è pure conveniente assegnare dei numeri ai panieri in modo tale che a quelli preferiti sia assegnato
un valore maggiore. Se dico che preferisco X a Y; allora posso assegnare a X un
valore maggiore di Y: La funzione che così si ottiene si chiama funzione di utilità,
U = U (Qa; Qb) :
L’indice di utilità ha la seguente rappresentazione formale
U = U (QA; QB ) ; per esempio U = QAQB
Si noti che se dico che preferisco un paniere a un altro, allora l’utilità è maggiore.
Non è vero però il contrario, nel senso che non è vero che le preferenze discendono
dall’utilità. Questo perché non possiamo dare alcuna particolare interpretazione ai
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valori della funzione di utilità in termini di soddisfazione. Non possiamo dire che
se l’utilità raddoppia, allora anche la nostra soddisfazione raddoppia. Non serve
comunque a de…nire il paniere migliore.
Siccome la funzione di utilità non fa che rappresentare l’ordinamento stabilito dalle
preferenze del consumatore, essa viene spesso de…nita ordinale.
Utilizzando l’indice di utilità, ricaviamo un’espressione per le curve di indi¤erenza.
1. Poiché le curve di indi¤erenza costituiscono il luogo dei punti dove l’indice di
utilità è costante, l’espressione per le curve di indi¤erenza si ottiene ponendo
l’indice uguale a una costante (un dato numero), diciamo k
U = U (QA; QB ) = k , per esempio, U = QAQB = k
2. Ricaviamo poi l’espressione della quantità di un bene, diciamo B; in funzione
dell’altro, A. Utilizzando l’esempio precedente, si ottiene
QAQB = k =) QB =
k
QA
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Esercizio
Se le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità U =
Qa + Qb; qual è la forma delle curve di indi¤erenza?
Esercizio
Se la funzione di utilità ha la forma U =
indi¤erenza?
p
QAQB ; come sono fatte le curve di
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La scelta del consumatore
Il consumatore è razionale e sceglie perciò l’alternativa migliore tra tutte quelle
disponibili. Gra…camente, l’alternativa migliore, l’ottimo, corrisponde al punto di
tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indi¤erenza che giace più in alto.
Per descrivere più in dettaglio l’esito di questa scelta, introduciamo il concetto di
utilità marginale. Essa è l’utilità addizionale che si ottiene consumando una unità
aggiuntiva del bene A ma mantenendo invariato il consumo di B
U MA =
U
QA
Il saggio marginale di sostituzione
Il saggio marginale di sostituzione tra due beni come A e B rappresenta quanto
il consumatore è disposto a cedere di un bene per avere una unità dell’altro bene
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tenendo costante l’utilità. In formula, esso è dato dal rapporto tra le utilità
marginali dei due beni
QB
U MA
=
SM S =
QA
U MB
Se questo rapporto fosse uguale a 2, per il consumatore il bene A varrebbe il doppio
in termini di utilità del bene B : vorrebbe perciò 2 unità di B per rinunciare a 1
unità di A:
Gra…camente, esso è rappresentato dalla pendenza in un punto della curva di indifferenza.
Per ottenere l’espressione del SM S; procediamo utilizzando di nuovo la de…nizione
di curva di indi¤erenza come luogo dei punti dove l’utilità è costante.
1. Quando facciamo variare la quantità di A e B; la variazione dell’utilità è data
dalla somma delle due utilità marginali per le rispettive variazioni di quantità
U = U MA QA + U MB QB
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2. Poiché lungo una curva di indi¤erenza U = 0; possiamo ricavare il rapporto
tra le variazioni delle due quantità. Il risultato è il SM S:
Esempio: L’utilità marginale
Calcoliamo l’utilità marginale del bene A quando la funzione di utilità ha la forma U =
QAQB : Supponiamo che il consumatore consumi 10 unità di A e 5 unità di B: La sua
utilità è perciò pari a U0 = 10 5 = 50: Se aumenta il consumo di A di una unità
cosicché QA = 1; l’utilità totale passerà a U1 = 11 5 = 55; e perciò l’incremento di
utilità sarà U = U1 U0 = 5: L’utilità marginale è quindi
U MA =
5
U
= =5
QA
1
Detto a parole, questo risultato signi…ca che l’utilità marginale di A coincide per questa
funzione di utilità con la quantità consumata di B; che nell’esempio era pari a 5. Più in
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generale, poniamo che, quando il consumatore consuma le quantità QA0 e QB0; l’utilità
sia U0 = QA0 QB0: Quando consuma una quantità addizionale del bene A pari a QA
(ma una quantità invariata del bene B ), la sua utilità sarà U1 = (QA0 + QA) QB0.
Se calcoliamo la di¤erenza, otteniamo
U = U1 U0
= (QA0 + QA) QB0
=
QAQB0
QA0QB0
e perciò l’utilità marginale di A è uguale in generale alla quantità di B inizialmente
consumata.
U
= QB0
U MA =
QA
Poiché questi valori sono dati, possiamo sostituirli nella funzione di domanda. Ripetendo
gli stessi passi per calcolare l’utilità marginale di B; otteniamo
U
= QA0
QB
come d’altra parte ci si doveva aspettare, visto che A e B “pesano” allo stesso modo
nell’utilità del consumatore: scambiando infatti la quantità consumata di A con quella di
B; l’utilità del consumatore rimane invariata.
U MB =
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Esercizio
Scrivete la condizione che de…nisce il saggio marginale di sostituzione in termini di utilità
marginali e datene una rappresentazione gra…ca attraverso la curva di indi¤erenza. Se
SM aS = 3 e l’utilità marginale di a è 30, a quanto deve ammontare l’utilità marginale
di b?
Risposta.
M a ; U M = U M a = 30 = 10:
Poiché SM aS = U
b
UMb
SM aS
3
Esercizio
Se le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità U =
Qa + Qb; qual è l’utilità marginale di A e B ? E il SM S ?
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La scelta ottima
Se mettiamo assieme l’insieme di bilancio con le preferenze del consumatore, siamo
ora in grado di precisare quale sarà la scelta del consumatore.
Prima di tutto, per l’assioma di non sazietà il consumatore sceglierà solo i panieri
che si trovano sul vincolo di bilancio. In secondo luogo, il paniere scelto deve trovarsi
sulla curva di indi¤erenza più in alto fra quelle raggiungibili. La scelta ottima deve
cioè rendere massima l’utilità.
Deve perciò esserci tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indi¤erenza. Se
così non fosse e vi fosse intersezione, un tratto del vincolo di bilancio si troverebbe
al di sopra della curva di indi¤erenza su cui si trova il paniere scelto, e sarebbe così
possibile raggiungere una curva di indi¤erenza che si trova più in alto. (Vi sono
casi particolari - curve di indi¤erenza con spigoli, ottimi d’angolo - in cui non vi è
intersezione ma nemmeno tangenza. Inoltre, la tangenza è certamente un ottimo
solo se assumiamo, come abbiamo fatto, che le curve di indi¤erenza siano convesse.)
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Se vi deve essere tangenza, la pendenza del vincolo di bilancio deve essere uguale a
a
quella della curva di indi¤erenza, SM aS = P
Pb : Ciò può essere interpretato in due
modi:
1. Nel punto di ottimo la valutazione soggettiva del consumatore deve coincidere
Ma = Pa : Se così non fosse, il consumatore
con quella oggettiva del mercato, U
U Mb
Pb
migliorerebbe la propria situazione cedendo il bene che valuta di meno e ottenendo
in cambio quello che valuta di più.
2. Possiamo riscrivere la condizione di tangenza come UPMa a = UPMb : Ciascun di
b
questi rapporti rappresenta l’utilità marginale ponderata, ovvero quanto contribuisce all’utilità un euro speso in più nell’acquisto del bene a o b: Se non vi
fosse uguaglianza, al consumatore converrebbe spostare i propri acquisti dal bene
che rende di meno in termini di utilità a quello che rende di più.
Assumeremo che l’utilità marginale sia sempre positiva, ovvero che il consumo aggiuntivo
aumenti comunque l’utilità.
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La scelta ottima può quindi essere caratterizzata nel seguente modo
U MB
U MA
=
PA
PB
Il rapporto tra l’utilità marginale di un bene e il suo prezzo viene de…nito utilità
marginale ponderata: esso esprime l’utilità marginale di un euro speso nell’acquisto
di quel bene
Semplicemente riscrivendo la condizione di ottimo come
PA
U MA
=
U MB
PB
si vede che la condizione di ottimo si può esprimere anche come uguaglianza tra
saggio marginale di sostituzione e il prezzo relativo. Gra…camente, questa condizione
corrisponde all’uguaglianza tra la curva di indi¤erenza e il vincolo di bilancio.
La condizione di ottimo ci dice che le utilità marginali ponderate debbono essere tra
loro uguali. Se così non fosse, l’utilità non sarebbe massima.
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Esempio: se fosse UPMA > UPMB , sarebbe conveniente spostare un euro dall’acquisto
A
B
di B (dove rende di meno in termini di utilità marginale) all’acquisto di A.
Supponiamo che U MA = 10; PA = 1=2; U MB = 12; PB = 1
U MA
U MB
= 20 > 12 =
PA
PB
Rinunciando a comprare una unità di B , il consumatore può acquistare due unità di
A. In tal modo la sua utilità aumenta di 8.
Esercizio
Le preferenze di un consumatore sono rappresentate da una famiglia di curve di indifferenza, con la quantità del bene b sulle ordinate e quello del bene a sulle ascisse, il cui
saggio marginale di sostituzione è pari a Qb=Qa: Il prezzo del bene a è pari a 4 mentre
quello del bene b è 1; il reddito del consumatore è 100. Quali sono le quantità domandate
dei due beni?
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Qb
Il saggio marginale di sostituzione è in questo caso SM aS = Q
; mentre
a
a
il rapporto tra i prezzi è P
Pb = 4: Uguagliando, otteniamo 4Qa = Qb: Sostituendo nel
vincolo di bilancio, PaQa + PbQb = 4Qa + Qb = 8Qa = 100: Dall’ultima uguaglianza,
si ottiene Qa = 12:5 e perciòQb = 4Qa = 50:
Risposta.
Esempio: La curva di domanda
Riprendiamo la funzione di utilità prima impiegata, U = QAQB : Sappiamo che in questo
caso le due utilità marginali sono U MA = QB eU MB = QA: Perciò, la condizione di
ottimo che richiede l’uguaglianza delle utilità marginali assume in questo caso la seguente
forma
U MA
U MB
QB
QA
=
!
=
PA
PB
PA
PB
che possiamo pure scrivere come
PAQA = PB QB
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Nella posizione di ottimo il consumatore impiega la stessa somma di denaro nell’acquisto
dei due beni. Sostituiamo ora questa condizione nel vincolo di bilancio
R = PAQA + PB QB = 2PAQA
Poiché il consumatore considera i due beni equivalenti dal punto di vista dell’utilità,
spende la somma di denaro per il bene A e per il bene B; e quindi la metà del reddito
per ciascuno dei due beni. La quantità domandata di A è così
R
2PA
Una relazione analoga vale naturalmente per la quantità domandata di B:
QA =
Esercizio
Le preferenze di un consumatore siano rappresentate dalla funzione di utilità U = Qa +
Qb: Il reddito del consumatore sia pari a R = 1000; e i prezzi dei due beni siano Pa = 3
e Pb = 2: Determinate le quantità domandate nella posizione di ottimo e rappresentatela
gra…camente.
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Risposta. Le curve d’indi¤erenza sono delle rette decrescenti e i beni in questione sono
dQb
= 1: Poiché
perfetti sostituti: Il saggio marginale di sostituzione è in valore assoluto dQ
a
Pb < Pa;nella posizione di ottimo iniziale il consumatore acquisterà solo il bene b: Qb =
R = 500 e Q = 0:
a
P
b
Esercizio
Rappresentate gra…camente la posizione di ottimo del consumatore speci…cando le variabili sugli assi. Se i prezzi dei beni e il reddito del consumatore raddoppiano, le quantità
acquistate dei beni che il consumatore considera inferiori: a) raddoppiano; b) si dimezzano; c) rimangono immutate; d) non è possibile stabilire la variazione se non si conosce
forma delle curve di indi¤erenza. Argomentate la risposta, speci…cando cosa si intende
per beni inferiori.
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Risposta. Se i prezzi dei beni e il reddito del consumatore raddoppiano, il potere d’acquisto del consumatore - il suo reddito “reale” - non cambia, e perciò non cambiano
neanche le quantità domandate. Gra…camente, il vincolo di bilancio non si sposta. La
risposta esatta è perciò la c):
Il prezzo di riserva
Sempli…chiamo l’analisi. Poniamo a confronto un bene come A non con un altro
bene in particolare, ma con tutti gli altri beni. La domanda che ci poniamo è: a
quanto di spesa degli altri beni, e quindi a quanto denaro, siamo disposti a rinunciare
per avere una unità in più di A? Quale somma di denaro siamo disposti a pagare
per una unità addizionale di A?
Poniamo pari a 1 il prezzo degli altri beni (è il prezzo del denaro). Supponiamo
anche che l’utilità marginale degli altri beni sia costante e pari a 1. Questa ultima
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condizione implica che il consumo del bene A è indipendente da quello degli altri
beni.
La condizione di ottimo diviene così
U MA = PA
Il consumatore sarà perciò disposto ad acquistare il bene A …nché il bene…cio marginale che ne ritrae è maggiore del prezzo. La curva di domanda coincide perciò con
la curva dell’utilità marginale. U MA viene anche denominato prezzo di riserva: è il
prezzo massimo che il consumatore è disposto a pagare; in altre parole, è il prezzo
al quale il consumatore è indi¤erente tra acquistare e non acquistare.
Esempio: La scelta ottima nel caso di beni indipendenti
Due beni sono indipendenti quando il consumo di uno non in‡uenza l’utilità del consumo
dell’altro. Se invece tra il consumo dei due beni esiste una relazione positiva, come nel
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caso di beni che tendono a essere consumati insieme, si parla di complementi; il caso
estremo è quello dei beni che vengono consumati sempre nelle stesse proporzioni. Se la
relazione è negativa, se il consumo di un bene può sostituire il consumo di un altro bene,
si parla di sostituti.
Poniamo che il consumo di un bene non dipenda da quello degli altri beni, come nel caso
di beni che vengono consumati comunque, almeno oltre una certa soglia di reddito. Un
modo per rappresentare in questo caso la funzione di utilità è il seguente
U = U (QA) + M
dove M è la quantità consumata di tutti gli altri beni e U (QA) rappresenta l’utilità che
deriva dal consumo di A: Si può facilmente provare che in questo caso l’utilità marginale
di M è costante e pari a 1, ed è quindi indipendente dal consumo di A:
Per ricavare la funzione di domanda di A; supponiamo per esempio che U (QA) =
p
QA:
1
Ricaviamo prima di tutto l’utilità marginale di A: In questo caso essa è U MA = p
:
2 QA
p
(Per ricavarla, occorre fare la derivata di QA rispetto a QA: Si ricordi che la derivata
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p
1 ). Uguagliando il prezzo con l’utilità marginale del bene A;
di x rispetto a x è 2p
x
otteniamo la curva di domanda
1
1
U MA = p
= PA ! QA =
2 QA
(2PA)2
La domanda del bene A non dipende da M; ossia dal consumo degli altri beni.
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