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Codifica dei numeri
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
La codifica
•
Il codice ASCII consente di codificare le cifre decimali da
“0” a “9” fornendo in questo modo un metodo per la
rappresentazione dei numeri
•
Il numero 324 potrebbe essere rappresentato dalla
sequenza di byte: 00110011 00110010 00110100
dell’informazione
3
•
2
4
Questa rappresentazione non è efficiente e, soprattutto,
non è adatta per eseguire le operazioni aritmetiche sui
numeri
(continua)
Codifica dei numeri: il sistema decimale
Codifica dei numeri
•
Sono stati pertanto studiati codici alternativi per
•
rappresentare i numeri in modo efficiente
•
eseguire le usuali operazioni
•
Sistema posizionale in cui ogni cifra di un numero
assume un valore che dipende dalla sua posizione
365 = 3 x 100 + 6 x 10 + 5 x 1
365 = 3 x 102 + 6 x 101 + 5 x 100
Si deve fare la somma dei prodotti di
ciascuna cifra moltiplicata per la base elevata
all’esponente che rappresenta la
posizione della cifra stessa
(partendo da 0)
Codifica dei numeri
•
La notazione posizionale può essere usata con
qualunque base creando così sistemi di
numerazione diversi
•
Per ogni sistema di numerazione si usa un numero
di cifre uguale alla base
•
Esempi
1.
2.
3.
Codifica dei numeri
In informatica si usano
prevalentemente le numerazioni
binaria (base 2), ottale (base 8)
ed esadecimale (base 16)
Nella base 10 si usano le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
In base 5 si usano le cifre 0, 1, 2, 3, 4
In base 3 si usano le cifre 0, 1, 2
1
Sistema binario
Sistema ottale
•
Utilizza una notazione posizionale basata su 2 cifre
(0 e 1) e sulle potenze di 2
•
Utilizza una notazione posizionale basata su 8 cifre
(0,1, …, 7 ) e sulle potenze di 8
•
Esempio: 10011 =
•
Esempio: 10011 =
1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
1 x 84 + 0 x 83 + 0 x 82 + 1 x 81 + 1 x 80
= 19
•
•
= 4105
Esempio: 3057 =
Esempio: 20011 = ????
3 x 83 + 0 x 82 + 5 x 81 + 7 x 80
Sistema esadecimale
= 1583
Sistemi di numerazione
•
Utilizza una notazione posizionale basata su 16 cifre
(0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16
•
Per evitare ambiguità si può scrivere esplicitamente
la base di un numero
•
Esempio: 10011 =
•
Avremo
1 x 164 + 0 x 163 + 0 x 162 + 1 x 161 + 1 x 160
•
=
100112 < 100118 < 1001110 < 1001116
65553
Esempio: AAC3 =
10 x163 + 10 x 162 + 12 x 161 + 3 x 160
=
43715
Conversione da base 10 a base 2
•
Per convertire un numero M in base 2 si devono
trovare i resti delle divisioni per due di M e dei
quozienti successivi
•
Esempio: 21010
Conversione da base 10 a base 2
•
Leggendo la sequenza dal basso verso l’alto si
ottiene il numero
110100102
210
105
52
26
13
6
3
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
resto 0
resto 1
resto 0
resto 0
resto 1
resto 0
resto 1
resto 1
•
Per una corretta verifica basta riconvertire il risultato
alla base 10
Per le altre basi il
procedimento è lo stesso,
cambiando il divisore
2
Conversione da base 10 a base 8
Conversione da base 10 a base 16
•
Per convertire un numero in base 8 si devono
trovare i resti delle divisioni successive del numero
per la base 8
•
Esempio: 74110
741
92
11
1
0
8
8
8
8
resto 5
resto 4
resto 3
resto 1
•
Per convertire un numero in base 16 si devono
trovare i resti delle divisioni successive del numero
per la base 16
•
Esempio: 4166010
41660
2603
162
10
0
= 13458
Conversione da base 2 a base 8 e base 16
•
È semplice!
•
Da base 2 a base 8: basta prendere i bit a gruppi
di 3 e trovare il numero ottale corrispondente (che
Da base 2 a base 16: basta prendere i bit a gruppi
di 4 e trovare il numero esadecimale corrispondente,
resto 12 = C
resto 11 = B
resto
=2
resto 10 = A
= A2BC16
Rappresentazione dei numeri
•
I numeri vengono distinti in tre categorie
•
•
•
sarà compreso tra 0 e 7)
•
16
16
16
16
•
Interi positivi
Interi con segno (positivi e negativi)
Reali (positivi e negativi con virgola)
Ogni categoria viene rappresentata in modo diverso
(che sarà compreso tra 0 e F)
NB: indipendentemente dalla rappresentazione scelta, essa sarà di tipo
finito e consentirà di rappresentare solo un sottoinsieme finito di numeri!
Codici a lunghezza fissa
•
Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un
codice a lunghezza fissa
Codici a lunghezza fissa
•
Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile
causano problemi di overflow
(ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione)
•
•
In questo modo si pone anche un limite al numero
massimo rappresentabile
Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile
con 4 cifre?
in base 10
9999
in base 2
1111
(= 1510)
in base 16
FFFF
(= 6553510)
in base 8
7777
(= 409510)
•
Esempio: 4 cifre
in base 10
in base 2
In base 16
in base 8
9999
1111
FFFF
7777
+ 1 = 1000010
+ 1 = 100002 (= 1610)
+ 1 = 1000016 (= 6553610)
+ 1 = 100008 (= 409610)
3
Numeri interi positivi
•
Operazioni
In generale, con N cifre a disposizione e base b il
più grande numero (intero positivo) rappresentabile
si può esprimere come
•
bN - 1
•
Esempio: N=4
in base 10
in base 2
in base 16
in base 8
9999 = 104 - 1
1111 = 24 - 1
FFFF = 164 - 1
7777 = 84 - 1
Codici a lunghezza variabile
•
•
Esempio
0111111
con riporto 0
1+0=1
con riporto 0
1+1=0
con riporto 1
•
Permettono di definire dei codici a lunghezza
variabile senza far uso del carattere di separazione
Si stabiliscono dei formati di rappresentazione che
fanno uso di un numero diverso di cifre
codice a lungh. variabile, # separatore
codice a lungh. fissa, 4 bit per pixel
4 formati di rappresentazione a 4, 7, 10, 16 bit
identificati da 00, 01, 10, 11
0000
0001
0010
0011
0100000
0100001
0100010
0100011
0100100
con riporto 0
0+1=1
Si definiscono delle regole per distinguere tra i vari
formati
Codici a formati multipli predefiniti
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
…
35
0+0=0
Codici a espansione
Possiamo rappresentare i numeri usando un
numero variabile di cifre (che dipende dal valore che si
vuole rappresentare) introducendo un simbolo speciale
che indica dove termina la rappresentazione di un
numero e inizia quella del numero successivo
1001#11#1
100100110001
Vediamo solo il caso della addizione nella codifica
binaria
si mettono in colonna i numeri da sommare
si calcola il riporto ogni volta che la somma
parziale supera il valore 1
36
37
38
39
…
291
292
293
294
…
16674
16675
1000000000
1000000001
1000000010
1000000011
1011111111
1100000000000000
1100000000000001
1100000000000010
1101111111111111
1111111111111111
Codici a espansione con cifra di espansione
4 formati di rappresentazione a 4, 7, 10, 16 bit
identificati da 0, 10, 110, 111
0
1
2
3
…
7
8
9
10
11
…
39
0000
0001
0010
0011
0111
1000000
1000001
1000010
1000011
1011111
40
41
42
…
167
168
169
170
…
8358
8359
1100000000
1100000001
1100000010
1101111111
1110000000000000
1110000000000001
1110000000000010
1110111111111111
1111111111111111
4
Numeri interi con segno
Numeri interi con segno
•
Si può pensare di usare un bit per il segno
“0” identifica “+”
“1” identifica “-”
2
2
[-2 + 1, 2 - 1]
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
3
[0, 2 - 1]
•
Gli altri bit vengono usati per codificare il valore
assoluto (modulo) del numero
N=3, codice a lungh. fissa
Numeri interi con segno
•
Problemi
Il numero 0 ha due rappresentazioni
(-0 = 100…0
e
•
La cifra più a sinistra indica il segno
•
Per i numeri positivi (cifra più a sinistra “0”) si codifica il
valore assoluto del numero
•
Per i numeri negativi (cifra più a sinistra “1”) si devono
negare tutte le cifre (dove c’è “1” mettere “0”, dove c’è
“0” mettere “1”)
+0 = 000…0)
Per l’operazione di somma si deve tener conto dei
segni degli addendi
•
Complemento a 1
Sono state pertanto introdotte altre tecniche di
codifica
Complemento a 1
Complemento a 2
•
Esempi
N=8, +24 = 00011000, -24 = 11100111
Per trasfomare 10011111 si devono complementare i suoi bit e trovare
il valore corrispondente a 1100000, ovvero 96. Il numero cercato è -96
NB: ci vuole un codice a lunghezza fissa, altrimeni il complemento a 1 non funziona!
Complemento a 1
•
L’operazione di somma funziona nel caso di addendi
positivi e addendi con segno opposto con risultato
negativo
•
Negli altri casi (somma tra numeri negativi oppure
somma tra addendi discordanti e con risultato positivo) il
risultato è decrementato di 1
•
Per risolvere questo problema è stata introdotta una
nuova codifica: complemento a 2
•
Verrà spiegata nel corso di Architetture degli Elaboratori
insieme ad altre codifiche
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
00010010101001110101010100010110101000011100010111
11110000011111111010101001001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001111111101010100
01110110101001110101010100010110101010011100010111
11110000101010111110101000001001010100111010101010
00101101010000111000101111111000001101111101010100
La rappresentazione
dell’informazione
indipendentemente dall’informazione di
partenza si ottiene sempre una sequenza di bit
5