Piano scabro: attrito statico - Digilander

PIANO INCLINATO SCABRO
Il moto (o l’equilibrio) su di un piano scabro (con attrito) è dovuto non solo alla forza di gravità ma anche
all’attrito fra il corpo e il piano. Come sapete, per corpi che strisciano su di una superficie esistono due tipi di
attrito: attrito statico ed attrito dinamico. In questi appunti tratterò dell’attrito statico.
ATTRITO STATICO
Se mettiamo un qualsiasi oggetto su di un piano orizzontale, esso
sta fermo. Se incliniamo un minimo il piano vediamo che,
nonostante la gravità, l’oggetto rimane immobile. Se aumentiamo
l’angolo di inclinazione del piano l’oggetto continua a rimanere
immobile finché non si giunge ad un particolare angolo di
inclinazione (MAX) oltre il quale il corpo inizia a scivolare. Il valore
di MAX cambia da oggetto ad oggetto e da piano a piano, a
secondo dell’attrito.
E’ facile sperimentare quest’effetto: provate anche voi a casa,
prendendo una gomma o un piccolo soprammobile e mettendolo su
di un piano. Inclinate, inclinate… finché il corpo inizia a scivolare.
Figura 1
Cosa significa tutto questo? E’ chiaro che ciò che tiene immobile il corpo su di un piano inclinato è l’attrito
statico, che si oppone alla spinta della gravità. Il fatto che oltre una certa inclinazione il corpo inizia a scivolare
significa che l’attrito è in grado di controbilanciare la gravità fino ad una inclinazione minore o uguale ad MAX,
oltre il quale la gravità prende il sopravvento.
Bene: tutto questo discorso è ovvio ma noi, che siamo Fisici, non possiamo limitarci a parlare riguardo ad un
fenomeno ma dobbiamo trasformare i nostri discorsi in equazioni matematiche. Perciò adesso dobbiamo
dimostrare con un rapido calcolo perché esiste un angolo MAX e da cosa esso dipende.
MAX
Supponiamo di avere inclinato il piano di un angolo  e di averci posto sopra un oggetto di peso P che è rimasto
in equilibrio. Per studiare l’equilibrio la prima cosa da fare è disegnare il diagramma delle forze (figura 1).
Nota che il peso P è scomposto in due componenti: P// che spinge il peso lungo il piano; P che invece è la
forza con cui il peso preme sul piano (in altre parole, P è la forza premente) .
L’equazione del moto è sempre la solita: F// = ma//
.
Poiché il corpo è in equilibrio si ha che : a// = 0 
F// = m0 = 0
(1)
[un altro modo per scrivere l’eq. (1) è affermare che: “poiché il corpo è in equilibrio, la risultante delle forze è
nulla e perciò è nulla anche la risultante lungo il piano: F// = 0”.]
Lungo l’asse parallelo (//) agiscono due forze: la componente del peso lungo il piano (P//) e la forza di
attrito statico (Fs), opposta a P// [nel caso del piano ideale, agisce solo P//]: perciò F// = P// - FS. Dunque,
l’eq. (1) diventa:
P// - FS = 0  FS = P//
(2)
L’eq. (2) ha un ovvio significato: in caso di equilibrio, l’attrito bilancia esattamente la spinta del peso lungo il
piano.
Adesso studiamo FS. L’anno scorso abbiamo visto che l’attrito statico è in grado di opporsi alla forza che spinge
fino ad un certo valore, che abbiamo chiamato FS,MAX, oltre il quale l’attrito non è più in grado di bloccare il
corpo, che inizia a muoversi.1 In altre parole, l’attrito statico può esistere solo se:
FS ≤ FS,MAX
(3)
Il valore di FS,MAX –cioè il valore massimo a cui può giungere l’attrito- è con buona precisione direttamente
proporzionale alla forza premente sul piano, cioè è direttamente proporzionale a P1:
FS,MAX  P
(4a)
FS,MAX = SP
(4b)
con s coef. di attrito statico, dipendente soltanto dal tipo e dalla scabrosità delle superfici a contatto.2
L’eq. (4b) ha un semplice significato: il valore massimo a cui può giungere l’attrito statico è SP:
perciò, se la forza che spinge l’oggetto sul piano è minore/uguale a SP l’attrito statico è in grado di bloccare
il movimento ed il corpo rimane immobile, se invece la forza spingente supera il valore SP il corpo inizia a
scivolare.
A questo punto siamo in grado di scoprire qual è la condizione che determina se il corpo rimane immobile o no.
La forza che spinge l’oggetto lungo il piano è P// : se essa è minore di SP (cioè se accade che P// ≤ FS,MAX)
l’attrito statico è in grado di tenere l’oggetto immobile, se invece P// supera il valore di SP (cioè: se accade
che P// > FS,MAX) l’attrito statico non è più in grado di pareggiare la spinta di P// perché essa ha superato FS,MAX
ed il corpo inizia a scivolare.
Mettiamo questo discorso in formule: affinché un corpo su di un piano inclinato rimanga immobile
deve accadere che:
P// ≤ SP
(5)
Andiamo avanti con l’analisi: sappiamo già che: P// = Psen() ; P = Pcos(). Sostituendo nella diseq. (5)
scriviamo:
Psen() ≤ SPcos()
(6a)
Divido per P a destra e a sinistra ed ottengo:
sen() ≤ Scos()
(6b)
dividendo infine per cos () entrambi i membri ottengo:
sen()/cos() ≤ S  tan() ≤ S
(6c)
La diseq. (6c) è la legge che stavamo cercando! Essa dichiara che un corpo su un piano inclinato rimane
bloccato dall’attrito solo se l’angolo di inclinazione  è così piccolo che la sua tangente è minore di S.
L’angolo-limite MAX è quell’angolo dove la spinta di P// raggiunge il valore massimo che l’attrito statico può
sostenere. Questo valore si ottiene ponendo P// = SP, cioè trasformando la diseq. (5) in un’uguaglianza.
Ripetendo tutti i passaggi con “=” invece che con “≤” scriviamo l’equazione per MAX:
1
tan(MAX) = S
(7a)
MAX = tan-1(S)
(7b)
Negli appunti “Forze di attrito radente”, paragrafo “Attrito statico radente” del II anno.
Come già abbondantemente trattato negli appunti “Forze di attrito radente”, paragrafo “Attrito statico radente” del
II anno.
2
Nota che MAX non dipende dal peso P posto sul piano! In altre parole: due oggetti di peso diverso posti sulla
medesima superficie di appoggio sul medesimo piano scivolano entrambi al raggiungimento del medesimo
angolo MAX. Quale esperimento abbiamo eseguito in classe per verificare questa proprietà? Quali conclusioni
abbiamo raggiunto?
PROBLEMA: Poni una gommina sulla copertina di un quaderno, dopodiché inclini il quaderno:
vedi che quando l’angolo di inclinazione giunge a 38° la gommina inizia a scivolare. Qual è il valore
S fra gommina-quaderno? Risp: usando l’eq. (7a) si ha subito: S = tan(38°) = 0,78
Se invece fra gommina e quaderno ci fosse un coef. di attrito statico S=0,35, quale sarebbe
l’angolo massimo di inclinazione che mantiene la gommina in equilibrio? Risp.: usando l’eq. (7b)
scrivo: MAX=tan-1(0,35) = 19,3°.
Nota che per entrambe le soluzioni non ha importanza sapere il peso dell’oggetto.
SOLUZIONE GRAFICA
Praticamente ogni problema di Fisica ammette una soluzione grafica: perciò adesso vediamo in che modo
possiamo esprimere tutto ciò che abbiamo detto con un semplice disegno.
Voglio rappresentare l’eq. (6c) con un grafico. Come voi già sapete dalle lezioni di matematica, un grafico
ammette due tipi di grandezze: la variabile indipendente (asse X) e la variabile dipendente (asse Y).
Nell’equazione (6c) esistono due grandezze: MAX e S: qual è la dipendente e qual è la indipendente? Pensateci…
pensateci… “Vediamo un po’ Prof… io misuro MAX con un goniometro appena il corpo inizia scivolare… poi con
l’eq. (6c) ricavo S… allora MAX è la variabile indipendente! Infatti, io la ottengo da una misura: MAX non
dipende da niente, è quella che è, è il valore che leggo sul goniometro e basta. Invece, S è la variabile
dipendente perché la ricavo grazie ad un calcolo a partire da MAX (cioè, dalla variabile indipendente).” “Bravo
mimmo! Hai capito l’argomento. Hai preso 8.”
Facciamo subito il grafico che rappresenta il legame fra MAX e S; pongo MAX sull’asse X e S sull’asse Y
dopodiché per ogni valore di MAX sulla X riporto il valore tan(MAX) sull’asse Y. Il risultato è mostrato in figura 2a.
Poiché è raro trovare coefficienti S maggiori di 1,0, in figura 2b è mostrato uno zoom del grafico 2a che
evidenzia la parte con S < 1,8.
Figura 2b
Figura 2a
Adesso vediamo se sai usare un grafico. Ti faccio queste domande e tu rispondi soltanto usando i grafici (e
dunque: non barare usando la calcolatrice!):
 Se misuri un angolo MAX=45°, qual è il valore di S?
 E se invece misuri un angolo di 20°?
 Se invece sai che S=0,6, quale valore MAX ti aspetti?
 E se invece hai misurato un valore S=0,3?
[R: S=1]
[R: S  0,35]
[R: MAX  30°]
[R: MAX  17°]