Soluzione Compito di Elettrotecnica
Ipotesi preliminare: i trasformatori, lavorando in condizioni nominali, dovranno appartenere
allo stesso gruppo (ad esempio: Triangolo – Triangolo), in modo che non ci sia un
eventuale ricircolo di corrente. Poiché hanno lo stesso rapporto di trasformazione a vuoto,
possono essere messi in parallelo.
Calcoliamo le correnti nominali dei due trasformatori:
I2nA (Trasformatore A) = SnA/(√3 * V20n) = 120000/(1.73 * 400) = 173 A
I2nB = 160000/(1.73 * 400) = 231 A
Si ricava dai dati la Potenza di corto circuito:
PccA = (Pcc% * SnA) / 100 = 2,4 *120000/100 = 2880 W
Analogamente per PccB = 3520 W
Poiché il fattore di potenza in corto circuito del trasformatore A (cosφccA) è pari a
Pcc%A / Vcc%A
Ricavo la quantità incognita, ossia
Vcc%A = Pcc%A / cosφccA = 2,4 / 0,4 = 6%
E analogamente Vcc%B = 5,5%
Da qui si ottiene la tensione di corto circuito di ciascun trasformatore:
VccA = (Vcc%A * V20nA) / 100 = (6 * 400) / 100 = 24V
VccB = 22V
Avendo ricavato la tensione di corto circuito e la corrente nominale di ciascun
trasformatore, ottengo per semplici passaggi l’impedenza di corto circuito (considerando il
circuito equivalente semplificato del trasformatore reale, quello composto soltanto dalla
impedenza di corto in serie al carico e dalla ammettenza proporzionale alle perdite a vuoto
in parallelo), che valgono
ZccA = 0,08 Ω e ZccB = 0,055Ω
Conoscendo il fattore di potenza in corto circuito cosφcc dei due trasformatori (che è
uguale), si trova l’angolo di sfasamento tra il favore della tensione e quello della corrente
in corto circuito
φcc = cos-1 (0,4) = 66,4°
da cui otteniamo
RccA = ZccA * cosφccA = 0,032 Ohm
RccB = ZccB * cosφccB = 0,022 Ohm
Essendo i due fattori di potenza uguali, le correnti erogate dai due trasformatori sono in
fase tra loro, e proporzionali alle rispettive potenze apparenti, per cui valgono le relazioni:
(I2nA / I2nB) = (SnA / SnB)
e (Itot / I2A) = (Stot / SnA)
ma quanto vale la corrente Itot erogata dai trasformatori? Occorre partire dall’assorbimento
dei motori asincroni posti in parallelo tra loro.
Ogni motore eroga una certa potenza meccanica, con un dato rendimento: la potenza
elettrica assorbita è data dal rapporto tra quella meccanica ed il rendimento tabellato. Per
cui
Pa (potenza attiva assorbita dal motore a) = 90000 / 0,94 = 95744 W
Pb = Pa
Pc = 32608 W
Conoscendo il fattore di potenza (cosφ) nominale dei motori in questione, si perviene al
risultato delle potenze apparenti assorbite, pari rispettivamente a 111330 VA e 39287 VA,
la cui somma è pari a
111330 + 111330 + 39287 = 261947 VA
da cui si ricava la relazione della corrente totale assorbita dal complesso dei tre motori 8in
valore assoluto):
Itot = Stot / (√3 * Vn) = 400A
A questo si può determinare l’impedenza equivalente del complesso costituito dai due
trasformatori in parallelo, considerando che hanno lo stesso fattore di potenza:
I2A = Itot * (SnA / Stot) che porta al risultato di 171A per il primo e 229A il secondo (poco al
disotto dei valori nominali).
Il rendimento va studiato tenendo presente la potenza resa dai trasformatori, e quella
assorbita dalla rete che si differenzia dalla prima a causa delle perdite interne ai
trasformatori stessi (considerati ovviamente come componenti reali, non ideal). Le perdite
si possono riassumere in
Perdite nel rame statorico e rotorico (riassunte nella Rcc, resistenza di corto circuito) =
PCuA = 3 * Rcc * I2A2 = 3 * 0,032 * 1712 = 2807 W
PCuB = 3461 W
Le perdite a vuoto (approssimando la tensione nominale con quella effettivamente erogata
dovendo alimentare i motori alla tensione nominale 380V):
PfeA = (Po% * SnA) / 100 = 1080 W
PfeB = 1280 W
Il rendimento a questo punto si ricava dal rapporto di cui sopra:
η = Presa / Passorbita = 0,96 che è un rendimento tipico per queste macchine.
Lo scorrimento si può ricavare dall’analisi dei dati di targa dei motori. Questi mi indicano la
coppia torcente nominale, ad un dato valore di scorrimento. Da qui
Cn = (60/2π) * (Pn/nn) dove nn è il valore del numero di giri nominale.
Attraverso la formula inversa si ottiene nn = 1480 giri/minuto . il numero di giri a frequenza
rotorica (ossia quello calcolato secondo la frequenza elettrica del rotore) è pari a
no = 60f/2π con p numero delle coppie polari (in questo caso 2, perché la macchina ha
quattro poli individuali).
Si ricava no = 1500 giri al minuto. Lo scorrimento è pertanto
sa = (1500 – 1480) / 1500 = 0,013 = 1,3%
per gli altri due otteniamo analogamente 1,3% e 2% .
Per la penultima risposta, un procedimento può essere quello, semplificando al massimo i
passaggi, di valutare la potenza persa nel rame rotorico come quella trasmessa da statore
a rotore moltiplicata per il fattore di scorrimento, e quella trasmessa come somma di quella
erogata + quella meccanica persa. Inoltre si possono ipotizzare i valori di resistenza
statorica considerando la taglia e le caratteristiche dei motori stessi.
A questo punto, considerando tutte le perdite in campo (meccanica per attrito e
ventilazione, addizionali, nel rame statorico e rotorico, nel ferro) il rendimento in tali
condizioni è sempre quello dato dal rapporto tra la potenza erogata e quella assorbita
valutata come somma di tutti questi termini indicati sopra.
Il valore della resistenza reostatica aggiuntiva (ipotizzando la macchina a rotore avvolto), è
tale da permettere alla macchina di girare a n’ = (1469 – 146,9) = 1322 giri/minuto. Si
rifanno tutti i calcoli con la nuova velocità n’ e si ottiene la nuova Pn’: da cui ricavare la
resistenza (modificata) di rotore( le altre grandezze si considerano non variate).
Infine, nel caso uno di questi motori da 90 kW stia fermo, il rendimento varia perché varia
l’assorbimento delle macchine (complessivamente), ma anche le perdite nel rame dei
trasformatori, mentre in prima approssimazione non varia la potenza a vuoto (e quindi le
perdite nel ferro): si può ritenere quindi che il rendimento cali leggermente.
Commento.
Testo di non particolare complessità scientifica, ma risulta estremamente difficile da
completare nel tempo assegnato. Le tematiche sono quelle tipiche di una classe Quinta di
un Istituto Tecnico Industriale – Indirizzo Automazione.
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