Logica 2: Verità e conseguenza logica
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Verità e conseguenza logica Logica 2: Verità e conseguenza logica Claudio Sacerdoti Coen <[email protected]> Universitá di Bologna 29/11/2016 Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Outline 1 Verità e conseguenza logica Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità Wikipedia: “Col termine verità si indicano una varietà di significati, che esprimono un senso di accordo con la realtà, e sono in genere collegati col concetto di onestà, buona fede e sincerità. Verità fisiche, chimiche, . . . associate al mondo sensibile. Un esperimento ripetibile definisce una verità. Verità parametrica rispetto a cambiamenti del mondo sensibile. Verità assolute associate ad aspetti immodificabili. Cosa resta della verità quando manca il mondo sensibile? (matematica, informatica) Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Euclide: geometria come descrizione idealizzata del mondo sensibile punti, rette, angoli oggetti univocamente definiti dalla nostra intuizione assiomi della geometria euclidea: insieme minimale di fatti veri nel mondo sensibile dai quali dimostrare tutti gli altri (completezza) ogni possibile asserzione é vera (e quindi un potenziale assioma) o falsa (e quindi é errato assumerla come assioma) Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Postulati Euclidei: 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tirare una sola retta 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente 3 Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio 4 Tutti gli angoli retti sono uguali 5 Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti. Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Postulati Euclidei: Formulazione alternativa (moderna) del 5o postulato: Per un punto passa una ed una sola parallela ad una retta data Formulazione equivalente del 5o postulato: La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi. Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Il quinto postulato sembra essere più dubbio rispetto agli altri. Inoltre sembra dover essere dimostrabile a partire dagli altri. Da Euclide al 1733: tentativi di dimostrazione diretta del 5o postulato a partire dagli altri. Dal 1733: Saccheri, Gauss, Lagrange, Legendre, . . . : tentativi di dimostrazione per assurdo. Si nega il postulato e si cerca di dimostrare che si giunge a una contraddizione (ovvero non esiste un modello del mondo con tali caratteristiche). Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Riemann (1854): geometria Riemanniana: retta = percorso di minor distanza fra due punti posti su una superfice nello spazio euclideo (e.g. una sfera) possibile negare il 5o postulato sostituendolo con Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune È però necessario modificare anche altri assiomi. Beltrami (1867) risolve il problema dando il primo modello euclideo della geometria iperbolica (una geometria non euclidea) cambiando solamente il 5o postulato. Hillbert (1901) un nuovo modello più soddisfacente Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Esempio: geometria sferica punto = punto su una sfera retta = cerchio massimo su una sfera, ottenuto intersecando la sfera con un piano passante per il centro della sfera per due punti passa o una sola o infinite rette due rette qualsiasi hanno sempre almeno due punti in comune la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180 gradi Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Impatto sulla visione della matematica: il metodo assiomatico non è una descrizione del mondo sensibile bensı̀ la descrizione di un insieme di mondi (modelli) nei quali 1 2 3 4 posso interpretare gli enti (punti, rette, etc.) a piacimento purchè gli assiomi risultino rispettati mondi diversi hanno proprietà diverse solo alcune di queste possono essere dimostrabili a partire dagli assiomi (incompletezza) Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Verità in matematica: la Rivoluzione delle Geometrie Non Euclidee Impatto sulla visione della matematica: teoria := insieme di assiomi o ipotesi modello := mondo in cui tutti gli assiomi sono veri teoria ≈ un filtro sui mondi la nozione assoluta di verità (data dal mondo sensibile) rimpiazzata definitivamente dalla nozione di conseguenza logica (= verità in tutti i modelli della teoria) conseguenza logica ≈ verità condizionata dalle ipotesi Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Teorie consistenti e inconsistenti la conseguenza logica ci dice cosa è vero in tutti i modelli della teoria teoria interessante = teoria che ammette almeno un modello teorema: una teoria ammette modelli sse è consistente, ovvero se a partire dai suoi assiomi non si dimostra l’assurdo Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Conseguenza logica Sia Γ = F1 , . . . Fn un insieme di sentenze (ipotesi) e sia F una sentenza (conclusione). F è conseguenza logica di Γ (Γ F ) quando, al variare dell’interpretazione delle formule nei vari mondi possibili, è sempre vero che: se tutte le formule in Γ sono vere (nel mondo sotto esame), anche F è necessariamente vera. Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Conseguenza logica Intuizioni per Γ F : Le sentenze in Γ costituiscono dei vincoli che i mondi debbono rispettare Γ F quando i vincoli sono sufficienti a garantire che F sia una verità in tutti i mondi che soddisfano i vincoli Più sono i vincoli, potenzialmente meno sono i mondi che li soddisfano, potenzialmente più sono le conseguenze logiche dei vincoli Altra intuizione: Se Γ F allora la “verità” di F (l’insieme dei mondi in cui F è vera) è già inclusa (è un sovrainsieme di) nella “verità” di Γ (l’insieme dei mondi in cui le formule di Γ sono vere) Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Equivalenza logica Siano F e G due sentenze. F è logicamente equivalente a G (F ≡ G) sse F G e G F Equivalentemente: F ≡ G sse F e G sono soddisfatte dagli stessi mondi. Teorema: l’equivalenza logica è una relazione di equivalenza Dimostrazione: F ≡ F in quanto in ogni mondo, se F è vera allora F è vera se F ≡ G allora G ≡ F : perchè? se F ≡ G e G ≡ H allora F ≡ H: perchè? Claudio Sacerdoti Coen Verità e conseguenza logica Conclusioni La verità di una sentenza è sempre definita rispetto a: 1 2 un mondo l’interpretazione delle parole nel mondo (p.e. cosa chiamiamo “punto” nel mondo, cosa chiamiamo “retta” nel mondo, cosa chiamiamo “essere a sx” nel mondo) Normalmente, il valore di verità di una sola sentenza non è interessante: varia al variare del mondo Conseguenza logica: Γ F quando in ogni mondo che rende vere tutte le sentenze di Γ anche F è necessariamente vera Equivalenza logica: chiusura simmetrica della conseguenza logica Claudio Sacerdoti Coen
