schedario: il campo elettrico

SCHEDARIO: IL CAMPO ELETTRICO
1. IL CAMPO ELETTRICO
GENERALITA’
Quando due cariche sono presenti in uno spazio si genera una forza a distanza tra di esse, calcolabile
attraverso la legge di Coulomb. Tale interazione si genera non solo in un mezzo ma anche in uno spazio vuoto e
sembra avvenire istantaneamente. Una formulazione di questo fenomeno è stata fornita da Michael Faraday
basandosi sul concetto di campo di forza.
IL VETTORE CAMPO ELETTRICO
Per definire il campo elettrico ci si basa sulle seguenti osservazioni:
1à OSSERVAZIONE
Se nello spazio è presente una distribuzione di carica questa modifica lo spazio circostante dandogli la
proprietà di generare in ogni suo punto una forza su una seconda carica che viene posizionata anch’essa nello
spazio circostante
2à OSSERVAZIONE
Sulla seconda carica si genera una forza dovuta alle nuove proprietà della zona di spazio in cui essa si trova.
3à OSSERVAZIONE
Essendo la forza dipendente dal valore delle cariche, come espresso nella legge di Coulomb, si vuole
introdurre una nuova grandezza che risulti indipendente dal valore della seconda carica.
4à OSSERVAZIONE
La seconda carica dovrà avere come unico scopo quello di sondare le proprietà dello spazio acquisite dalla
presenza della distribuzione di carica e per tale motivo non dovrà essere in grado di modificare né la
distribuzione di carica né lo spazio che si intende studiare. Tale carica pertanto è detta carica di prova
+
Distribuzione di
carica
+
+
+
F=2F
F
+
Distribuzione di
carica
Q
+
Carica di prova
+
Q=2Q
+
+
Da tali osservazioni definiamo il campo elettrico come:
E=
F
q
- LA CARICA DI PROVA–
È una carica elettrica puntiforme, abbastanza piccola
da non modificare, a causa della sua presenza, il
sistema fisico oggetto di studio. Generalmente si
Dove:
E: campo elettrico [N/C]
q: la carica di prova [C]
considera una carica di prova positiva
F: la forza di Coulomb [N]
Le proprietà del campo elettrico
Le proprietà del campo elettrico derivano dalle proprietà della forza di Coulomb:
• Proporzionalità tra forza e carica
• Principio di sovrapposizione
• Raggio d’azione infinito (osservazione 1: una distribuzione di carica genera in TUTTI i punti dello
spazio un campo elettrico. Essendo il campo elettrico un vettore lo spazio diventa sede di un campo
vettoriale cioè in OGNI punto dello spazio si può associare un vettore che indica la forza)
Conoscendo il valore del campo
Se Q > 0
Se Q < 0
elettrico è possibile determinare
E
E
la forza che si genera su una
Q
carica che viene immessa in tale
F
F
Q
campo:
+
F = QE
Schedario IL CAMPO ELETTRICO 1
2. IL CAMPO ELETTRICO GENERATO DALLE CARICHE PUNTIFORMI
IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NEL VUOTO DA UNA CARICA PUNTIFORME
Il campo elettrico generato in un generico punto P da una carica puntiforme Q posta in un punto O e un
vettore di:
MODULO
Q
1 Q
E = k0 2 =
r
4πε 0 r 2
DIREZIONE
VERSO
la direzione coincide
congiungente O con P
con
la
uscente da O se Q > 0
entrante in O se Q < 0
PROMEMORIA:
ε0 = 8,8542x10-12 C2/(N⋅m2)
k0 = 8,987x109 N⋅m2/C2
Q è la carica in [C]
r è la distanza in [m] di OP
E campo elettrico [N/C]
IL CAMPO ELETTRICO HA FORMA RADIALE
IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NELLA MATERIA DA UNA CARICA PUNTIFORME
In maniera analoga si può definire il campo elettrico nella materia:
F  1 Qq   1 
1 Q E0
Dove:
=
⋅ =
=
2  
2
εr è la costante dielettrica relativa (adimensionale)
q  4πε 0ε r r   q  4πε 0ε r r
εr
Il fattore εr dipende dal materiale nel quale sono situate le cariche. Ad esempio
E=
AMBRA
PVC
VETRO
ALCOL ETILICO
2,8
4,5
5-10
24-26
VAPORE ACQUEO
CARTA
POLIETILENE
ZUCCHERO
GHIACCIO
1,00060
Ricordiamo inoltre che il prodotto di
dielettrica assoluta:
2-3
LEGNO
2,3
SILICIO
3,3
PETROLIO
75
ACQUA
ARIA (IN CONDIZIONI NORMALI)
3-7
12
2,1
80
1,00056
ε0 con εr permette di definire una nuova costante ε detta costante
ε = ε rε 0
IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NEL VUOTO DA DUE CARICHE PUNTIFORMI
Quando in uno spazio sono presenti più cariche puntiformi possiamo sfruttare il principio di sovrapposizione
degli effetti. Questo principio permette di calcolare la forza come somma vettoriale delle forze generate
dalle singole cariche. Se per semplicità consideriamo solamente due cariche:
Se le due cariche sono allineate:
F = F1 + F 2
Q
Qq
Qq
Q 
F = k0 12 + k0 22 = qk0  21 + k0 22 
r1
r2
r2 
 r1
Q Q  1
Q Q 
F
= qk0  21 + 22  ⋅ = k0  21 + 22  = E1 + E2
q
r
r
q
 1
2 
 r1 r2 
Analogamente se le due cariche non sono allineate
le forze si sommano con la somma vettoriale e così
fanno anche i campi elettrici.
E=
P
E1
E2
F1
F2
Q1
+
Q2
+
3. LE LINEE DEL CAMPO ELETTRICO
IL CAMPO ELETTRICO GENERATO NEL VUOTO DA DUE CARICHE PUNTIFORMI
Faraday immaginò che un campo vettoriale come il campo elettrico potesse essere rappresentato
graficamente attraverso delle linee dette linee di forza o linee di campo. Per determinare queste linee si
procede con la seguenti regole:
1. In ogni punto il vettore campo elettrico deve essere tangente alla linea di campo, passare per il punto
2. Il vettore campo elettrico deve avere verso concorde con la linea
3. In ogni piano perpendicolare alle linee di campo la densità delle linee che lo attraversano
rappresentano l’intensità del campo sul piano (maggior numero di linee = maggior intensità del campo)
Schedario IL CAMPO ELETTRICO 2
Presa una sfera carica positivamente e provando in diversi punti del
piano con la carica di prova si osserva che le forze sono disposte in
modo radiale attorno alla carica e uscenti da essa, viceversa se si
utilizza una sfera carica negativamente le forze sono sempre radiali ma
entranti da questa costatazione si può formulare la seguente regola:
le linee di forza elettrica escono da cariche positive ed entrano in
quelle negativa
ALCUNE RAPPRESENTAZIONI DI LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO
4. IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
GENERALITA’
Quando si deve determinare il campo elettrico generato da una distribuzione di carica il metodo sopra
esposto dal quale si determina il valore del campo elettrico tramite la legge di Coulomb e il principio della
sovrapposizione degli effetti risulta molto complesso. Si ricorre così ad una proprietà dei campi elettrici
scoperta da GAUSS nota con il nome di teorema di Gauss. Tale proprietà entra in gioco attraverso una nuova
grandezza nota con il nome di flusso del campo elettrico.
IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
Per definire questa nuova grandezza pensiamo ad un’analogia con un fluido che deve attraversare una sezione
S e del quale si vuole calcolarne la portata, utilizzando le formule dell’idraulica, si sa che:
portata = velocità ⋅ area della superficie perpendicolare al vettore della velocità
Q = S⋅v
Q = S⋅v⊥ = S⋅v⋅cos α
Q = S⋅v = 0
S
v
v⊥
v
S
α
S
Portata massima
v
Portata con valore compreso tra il
max. e zero
Portata nulla
Le rappresentazioni a fianco
ritraggono
il
concetto
di
prodotto scalare tra
due
vettori in questo caso S e v.
Essendo S una superficie
possiamo pensare che anche una
superficie
possa
essere
rappresentata attraverso un
vettore detto vettore
di
superficie.
Tale vettore avrà il modulo uguale al valore dell’area, direzione perpendicolare alla
superficie e verso uscente dal piano. In questo modo possiamo calcolare la
portata con la seguente formula:
Q = v⋅S
Supponendo
uguaglianze:
le
adesso
di
considerare
seguenti
vettore velocità della corrente = vettore campo elettrico
portata = flusso del campo elettrico
Q
↓
( )
ΦS E
=
S
S
v⋅S
↓
= E⋅S
Nel caso in cui E non sia uniforme su tutta la superfice occorre dividere
quest’ultima in tante aree elementari ∆S calcolare il flusso di ogni area
elementare e sommare tutti i flussi così ottenuti per ottenere il flusso totale.
Tale concetto
relazione:
è
espresso
dalla
( )
n
Φ S E = ∑ Ek ⋅ ∆ S k
k =1
IL TEOREMA DI GAUSS
Gauss dimostrò la seguente proprietà:
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla carica
totale contenuta all’interno della superficie e inversamente proporzionale alla costante dielettrica del
mezzo:
Schedario IL CAMPO ELETTRICO 3
( )
ΦS E =
3q
q
q
QT
ε
OSSERVAZIONI:
•
Il flusso è indipendente dalla forma e dalla dimensione della superficie S
scelta, purché questa sia chiusa.
Il flusso è indipendente da come sono posizionate le cariche all’interno della
superficie, ma dipende soltanto dalla carica totale di esse.
Le cariche che contribuiscono al flusso sono solo quelle interne alla superficie
(se ci sono cariche esterne non generano flusso attraverso la superficie).
•
•
q
Nella figura a fianco per il teorema di Gauss i due flussi sono uguali
5. CAMPI ELETTRICI GENERATI DA DISTRIBUZIONI DI CARICA
- CON SIMMETRIA SFERICA GUSCIO SFERICO CARICO
La carica è distribuita in modo uniforme sulla superficie di una sfera di raggio R0:
r < R0
0

E= 1 Q
 4πε r 2
0

r > R0
r
+
+
+
+
+
R0
+
+
+
Il campo elettrico all’esterno di un guscio sferico su cui è distribuita uniformemente la
carica Q è uguale al campo di una carica puntiforme Q posta nel centro del guscio
sferico. Il campo elettrico all’interno del guscio sferico su cui è distribuita la carica uniforme Q è nullo.
SFERA CARICA
La carica è distribuita in modo uniforme all’interno di una sfera di raggio R0:
 1
 4πε

0
E=
 1
 4πε 0
Q
r
R03
r < R0
Q
r2
r > R0
r
+
+ + +
+ R0 +
+
Il campo elettrico esterno generato da una distribuzione sferica di carica Q è uguale al
campo di una carica puntiforme Q posta nel centro della sfera. Il campo elettrico interno alla sfera
uniformemente carica cresce linearmente con la distanza dal centro della sfera.
- CON SIMMETRIA CILINDRICA FILO CARICO
La carica è distribuita in modo uniforme su un filo che si estende all’infinito.
Per definire il campo introduciamo la densità di carica lineare λ come rapporto
tra la quantità di carica ∆Q contenuta in un tratto di lunghezza ∆L.
E=
1 λ
2πε 0 r
Il campo elettrico di un filo carico uniformemente di lunghezza infinita è
inversamente proporzionale alla distanza e risulta diretto in direzione radiale
rispetto al filo.
λ=
∆Q
∆L
LAMINA SOTTILE INFINITA
La carica è distribuita in modo uniforme su una lamina sottile che si estende
all’infinito. Per definire il campo introduciamo la densità di carica superficiale σ
come rapporto tra la quantità di carica ∆Q contenuta in una porzione di superficie
∆S.
E=
σ
2ε 0
Il campo elettrico di una lamina caricata uniformemente di estesa indefinitamente
ha modulo indipendente dalla distanza dalla lamina, direzione perpendicolare alla
lamina e verso uscente dalla lamina se la carica è positiva e entrante se la lamina è
caricata negativamente.
σ=
∆Q
∆S
Schedario IL CAMPO ELETTRICO 4