Campo elettrostatico e campo elettrico stazionario

Campo elettrostatico e
campo elettrico stazionario
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione dell’11-11-2010)
Campo elettrostatico
● Equazioni fondamentali per il campo elettrostatico
E  0
 E  tˆ dl  0

  D  c
 D  nˆ dS   
S
c
dV
V
● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo
D  E
E  0
2
Potenziale elettrico
● Il campo elettrico è irrotazionale  può essere espresso come
gradiente di un potenziale V
E   V
● Scelto arbitrariamente un punto di riferimento O, il potenziale in
un punto P è
P
O
O
P
V(P)  VP    V tˆ dl   E  tˆ dl
 l’integrale è valutato su una linea  arbitraria che collega il
punto P al punto O
 t̂ rappresenta il versore tangente alla linea 
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Equazioni di Poisson e di Laplace
● Si considera una regione , delimitata da una superficie S (eventualmente all’infinito) e sede di un mezzo lineare isotropo omogeneo
● Si assume che in  sia presente una distribuzione di carica con densità
volumetrica c
● Dalle equazioni fondamentali si può ricavare un’equazione che
consente di determinare il potenziale nota la distribuzione di carica
  E  0  E   V 

  D  c
      V   C

D  E

 2 V  
C

Equazione di Poisson
● Come caso particolare, se la densità di carica è nulla in tutta la regione
, si ha
2 V  0
Equazione di Laplace
4
Equazioni di Poisson e di Laplace
● Affinché la soluzione dell’equazione di Poisson o di Laplace sia
univocamente determinata occorre associare all’equazione delle
opportune condizioni al contorno
● In particolare si possono avere:
 Condizioni di Dirichlet
è assegnato il valore del potenziale in tutti i punti della superficie di
contorno del dominio 
 Condizioni di Neumann
è assegnato il valore della derivata normale del potenziale in tutti i
punti della superficie di contorno del dominio 
V
  V n̂
n
(Questo equivale ad assegnare la componente
del campo elettrico normale alla superficie S)
5
Campo e potenziale di una carica puntiforme
● Si considera una carica puntiforme q situata in un mezzo lineare
isotropo omogeneo
● Per ragioni di simmetria il campo elettrico
 è uniforme sulle superfici sferiche aventi centro nel punto in cui è
collocata la carica
 è ortogonale a tali superfici (che quindi sono equipotenziali)
 ha intensità dipendente solo dalla distanza r dalla carica
● Dalla legge di Gauss si ottiene
2
 D  rˆ dS  E 4r  q  E 
S
q
rˆ
4r 2
● Assumendo uguale a zero il potenziale all’infinito,
il potenziale in un punto P a distanza r dalla carica
può essere valutato integrando E su una retta passante per q



q
q 
q

V(r )   E ( x)dx  
dx



 4x 
4x 2

 r 4r
r
r
6
Potenziale di una distribuzione volumetrica di cariche
● Si considera una distribuzione di carica con densità c situata,
tutta al finito, in un mezzo lineare isotropo omogeneo
● La carica contenuta in un elemento di volume infinitesimo d
centrato nel punto Q, è assimilabile ad una carica puntiforme
dq  c(Q)d
● Tale carica produce nel generico
punto P il potenziale
 (Q)d
d V(P)  c
4rPQ
(assumendo uguale a zero
il potenziale all’infinito)
P
C
Q
d
rPQ
7
Potenziale di una distribuzione volumetrica di cariche
● L’equazione che lega il potenziale alla densità di carica è lineare
 Si può valutare il potenziale dovuto all’intera distribuzione di
carica sommando i contributi dei singoli elementi di volume
V(P) 
c (Q)
1 c (Q)
d


 4rPQ
 rPQ d

4
c
c
c = regione in cui c ≠ 0
L’integrale è valutato facendo
variare il punto Q all’interno
del volume c
P
C
Q
d
rPQ
8
Conduttori in regime elettrostatico
● Dato che deve valere la condizione E  0 si ha
0E0
E00
 Il campo elettrico può essere diverso da 0 solo in un mezzo
isolante (  0)
 All’interno di un conduttore (  0)
 il campo elettrico è nullo
 il potenziale è costante
 La superficie esterna di un conduttore è una superficie
equipotenziale
 la componente tangente del campo elettrico è nulla
 il campo elettrico all’esterno del conduttore è normale alla
superficie
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Conduttori in regime elettrostatico
● Per una generica superficie chiusa
interna al conduttore, dalla legge di
Gauss si ottiene
q    E  nˆ 1dS  0
S
2 , 2  0
n̂ 2
1 , 1  0
n̂ 1
S
 La densità di carica all’interno del
conduttore è nulla
● Se all’esterno il campo elettrico è diverso da 0, sulla superficie
del conduttore risulta
all' interno
D1  0
D 2  D2nˆ 2
all' esterno
 Sulla superficie del conduttore si deve avere una densità
superficiale di carica
 c  D2   2 E2
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Campo all’esterno dei conduttori
● Si considera un sistema costituito da conduttori carichi separati da un
mezzo isolante (dielettrico)
● Si assume C  0 all’esterno dei conduttori
● Si possono avere solo linee di
campo che vanno
 da un conduttore a un altro (1)
 da un conduttore all’infinito (2)
2
● Non è possibile che una linea
di campo
 si richiuda su se stessa (3)
 colleghi due punti dello stesso
conduttore (4)
3
1
4
11
Campo all’esterno dei conduttori
● Lungo una linea di campo E è sempre diretto come il versore tangente
E  tˆ  E  0
 L’integrale di E su una linea di campo non può annullarsi
(altrimenti si dovrebbe avere E  0 in tutti i punti della linea)
● Integrando su 3 si ottiene
 E  tˆ dl  0
2
3
3
● Integrando su 4, dato che i conduttori sono equipotenziali si ha
 E  tˆ dl  V(A)  V(B)  0
1
B
A
4
 Linee del tipo di 3 o 4 non
possono essere linee di campo
4
12
Schermi elettrostatici
● Si considera un conduttore con una cavità
● Si assume che all’interno della cavità la densità di carica sia nulla
● Ragionando come nel caso precedente si dimostra che non
possono esistere linee di campo
 chiuse (1)
 che collegano due punti del conduttore (2)
 Il campo elettrico all’interno della
cavità deve essere nullo
(anche in presenza di un campo
all’esterno)
 Il conduttore si comporta come
uno schermo elettrostatico
2
1
E0
E0
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Proprietà delle superfici corrispondenti
● Si considerano due conduttori separati da un dielettrico lineare
nel quale la densità di carica è nulla
● Si considera inoltre un tubo di flusso di D che ha origine sul
conduttore 1 e termina sul conduttore 2
● Sulle superfici terminali S1 e S2 D è discontinuo, quindi devono
essere presenti due distribuzioni superficiali di carica (c1, c2)
 Si può dimostrare che le cariche sulle superfici S1 e S2 sono
uguali e opposte

S1
c1
dS1     c 2 dS 2



Q
S2



Q
14
Proprietà delle superfici corrispondenti
● Si forma una superficie chiusa unendo alla superficie laterale del
tubo di flusso e due superfici 1 e 2 interne ai conduttori
● Il flusso di D attraverso questa superficie è nullo (D è nullo
all’interno dei conduttori ed è tangente alla superficie laterale)
 Quindi risulta

S1
c1
dS1    c 2 dS 2  0 
S2

S1
c1
dS1     c 2 dS 2  Q
S2
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Flusso di D e carica
● All’esterno dei conduttori si ha D  0, quindi il flusso di D ha lo stesso
valore attraverso ogni sezione trasversale S del tubo
● Si può verificare che, con i versi di riferimento indicati nella figura, il
flusso di D coincide con la carica totale su S1
 D  n̂dS   
S
c1
dS1  Q
S1
● Per dimostrarlo è sufficiente applicare la legge di Gauss alla superficie
chiusa formata da 1, S e dal tratto della superficie laterale del tubo
compreso tra S1 ed S
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Tensione
● Le superfici S1 e S2 sono equipotenziali (e quindi ortogonali alle
linee di campo di E e di D)
● La tensione tra due sezioni terminali del tubo di flusso può
essere espressa come
v12  V( P1 )  V( P2 )   E  tˆ dl
12
● dove P1 e P2 sono due punti arbitrari di S1 e S2 e  è una linea
arbitraria che unisce i due punti
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Capacità
● Si definisce capacità C (unità di misura farad, F) del tubo di flusso il
rapporto tra il valore assoluto della carica sulle sezioni terminali e la
differenza di potenziale tra i conduttori
Q

C
V12
 D  nˆ dS
S
 E  tˆ dl
12
● La capacità dipende solo dalla geometria del sistema e dalle proprietà
del mezzo interposto tra i conduttori
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Analogia tra campo elettrostatico
e campo di corrente stazionario
● Il campo elettrostatico all’interno del dielettrico e il campo di corrente
stazionario in una regione in cui non sono presenti campi impressi sono
governati da equazioni simili
Campo
elettrostatico
D  0
E  0
D  E
J  0
E  0
Campo di
corrente
stazionario
J  E
 La definizione di capacità di un tubo di flusso di D è analoga alla
definizione di conduttanza di un tubo di flusso di J
C
Q

V12
 D  nˆ dS
S
 E  tˆ dl
12
Capacità
G
i
1


R V12
 J  nˆ dS
S
 E  tˆ dl
12
Conduttanza
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Analogia tra campo elettrostatico
e campo di corrente stazionario
● Per la capacità e per il suo reciproco (detto anche elastanza) si
possono fare affermazioni simili a quelle fatte riguardo alla
conduttanza e alla resistenza di un tronco di tubo di flusso di J
● In particolare, per dimostrare che la capacità dipende solo dalle
proprietà del mezzo e dalla geometria del tubo di flusso, si può
ripetere il procedimento utilizzato per la resistenza
● Inoltre si può osservare che, a parità di configurazione geometrica, le espressioni della resistenza di un tubo di flusso di J e del
reciproco della capacità di un tubo di flusso di D sono identiche,
a parte la sostituzione di  con 
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Espressioni della capacità
● Per calcolare la capacità, conviene valutare l’integrale di E su una linea
di campo e l’integrale di D su una superficie equipotenziale
● Nel caso di un tubo di flusso filiforme, seguendo un procedimento
analogo a quello visto per la resistenza si ottiene
l
l
l
1
E ( x)dx
E ( x)dx
dx



C 0  D( x)dS 0 ( x) E ( x)  dS 0 ( x) A( x)
S ( x)
S ( x)
( A(x)  area sella sezione S(x) )
● Questa espressione può essere utilizzata anche nei casi in cui si può
riconoscere che D e  sono uniformi nella sezione per ragioni di
simmetria
● Se l’area della sezione è costante si ha
1
l

C A

C 
A
l
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Condensatore
● Condensatore: sistema formato da due conduttori (armature) disposti
in modo tale che tutte le linee di campo uscenti da un conduttore
terminino sull’altro
 Le cariche totali sulle superfici dei conduttori sono uguali e opposte
● Si definisce capacità del condensatore il rapporto
C
Q
V1  V2
Q  valore assoluto della carica
V  potenziale del conduttore
con carica +Q
V  potenziale del conduttore
con carica Q
V1
V2
Q
Q
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Esempio - condensatore a facce piane parallele
● Armature piane parallele di area S
● Distanza tra le armature d piccola rispetto alle dimensioni lineari
delle armature
● Se si trascurano gli effetti di bordo, si può assumere che il campo
elettrico tra le armature sia uniforme
S
d
E
C 
S
d
23
Esempio - condensatore sferico
● Il campo si sviluppa tra due superfici
sferiche concentriche
● Il campo ha andamento radiale ed è
uniforme su ogni superficie sferica S
concentrica con le armature
r
S(r)
r
1 1 e dr
1 e dr
1 1 1
  
 
 

2
4  ri re 
C  ri S (r )  ri 4 r
C
4
1 1

ri re
ri
re
24
Esempio - condensatore cilindrico
● Il campo si sviluppa tra due superfici
cilindriche coassiali
● Se si prescinde dagli effetti di bordo
alle estremità del cilindro, il campo ha
andamento radiale ed è uniforme su
ogni superficie cilindrica coassiale
con le armature
r
h
r
r 
1 1 e dr
1 e dr
1
 
 

ln e 
C  ri S (r )  ri 2rh 2h  ri 
C
2h
r 
ln e 
 ri 
ri
re
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Campo elettrico stazionario
● Equazioni fondamentali per il campo elettrico stazionario
E  0
 E  tˆ dl  0

  D  c
 D  nˆ dS   
S
c
dV
V
● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo
D  E
J  E
 All’interno dei conduttori il campo elettrico può essere
determinato studiando il campo di corrente
 All’esterno dei conduttori (  0) le equazioni coincidono con
quelle del campo elettrostatico
26
Densità di carica nei conduttori
● All’interno di un conduttore in condizioni stazionarie i vettori D E
e J soddisfano le equazioni
  D  c
D  E
J  0
E  J
● Se il conduttore è omogeneo si ottiene
 J  
c    E          J  0
 
 All’interno di un conduttore omogeneo la densità volumetrica di
carica è sempre nulla
● A differenza del caso elettrostatico, in presenza di correnti
stazionarie questa proprietà vale solo se il mezzo è omogeneo
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Interfaccia tra due mezzi conduttori
Condizioni di continuità:
1
J1n  J 2 n
1 E1n   2 E2 n
E1t  E2t
J1t J 2t

1  2
2
J1
J2
J1
J1t
J1n
E1
E2
J2
J 2t
E1
E1t
E1n
J 2n
E2
E 2t
E2n
linee di flusso di J
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Interfaccia tra due mezzi conduttori
● La condizione di continuità per la densità di corrente richiede che
sia verificata la relazione
1 E1n   2 E2 n
 In generale la componente ortogonale di D non può essere
continua
 Sulla superficie di separazione tra due mezzi aventi conducibilità
diversa deve essere presente una distribuzione superficiale di
carica con densità c tale che
 c  D2 n  D1n   2 E2 n  1 E1n
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Interfaccia tra un conduttore e un dielettrico
● Nel dielettrico (  0) la densità di corrente è nulla
 Dalle condizioni di continuità deriva che nel conduttore J deve
essere tangente alla superficie
● Nel conduttore E è parallelo a J, quindi è tangente alla superficie
 La superficie del conduttore non è equipotenziale
 Dato che la componente tangente di E deve essere continua,
nel dielettrico E non è ortogonale alla superficie di
separazione
ED
EDn
0
EDt
J0
0
J
EC
30
Interfaccia tra un conduttore e un dielettrico
● Nel conduttore E e D sono tangenti alla superficie
 La componente di D normale alla superficie di separazione
è discontinua
 Sulla superficie del conduttore deve essere presente una
distribuzione di carica con densità
 c  DDn   D EDn
0
ED
EDn
J0
EDt
0
J
EC
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Campo elettrico all’esterno
di conduttori percorsi da corrente
● Si assume c  0 all’esterno dei conduttori
● Come nel caso del campo elettrostatico, il potenziale soddisfa
l’equazione di Laplace
2 V  0
● In questo caso le condizioni al
contorno sono diverse dato che
i conduttori non sono equipotenziali
● A differenza di quanto avviene
nel caso elettrostatico, sono
presenti anche linee di campo
che collegano due punti dello
stesso conduttore
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Proprietà delle superfici corrispondenti
● Si considera un tubo di flusso di D che inizia e termina sulla superficie
di un conduttore omogeneo percorso da corrente
● Si assume che all’esterno del conduttore sia c  0
● Anche in questo caso vale la proprietà delle superfici corrispondenti:
le cariche sulle superfici terminali sono uguali e di segno opposto
● La proprietà deriva dal fatto che è nullo il flusso di D attraverso la
superficie chiusa formata dalla superficie laterale del tubo di flusso e
dalle due superfici 1 e 2 interne al conduttore
(e quindi la carica totale racchiusa
dalla superficie deve essere nulla)

S1
c1
dS1     c 2 dS 2



Q
S2



Q
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Proprietà delle superfici corrispondenti
● Il flusso di D attraverso la superficie laterale è nullo perchè D è
tangente alla superficie
● Per dimostrare che il flusso di D attraverso 1 e 2 è nullo si osserva
che è nullo il flusso di J attraverso la superficie chiusa formate da 1 e
S1 e la superficie chiusa formata da 2 e S2 (dato che J è solenoidale)
● J è tangente alle superfici S1 e S2  deve essere nullo il flusso di J
attraverso 1 e 2
● Il conduttore è lineare e omogeneo
 D è proporzionale a J
 Quindi anche il flusso di D
attraverso 1 e 2 è nullo
34