esercizi di elettrostatica risolti

ESERCIZI DI ELETTROSTATICA RISOLTI
(soluzioni degli esercizi del 3.12.10)
ESERCIZIO 1. Due sferette di carica q=2µC e massa 10 grammi sono sospese in
equilibrio a due fili lunghi 1 metro che formano un angolo 2ϑ, come in figura.
2ϑ
Determinare ϑ (nell’ipotesi che sia piccolo) e la distanza tra le due sferette.
Soluzione: prendiamo in considerazione una delle due sferette; su di essa agiscono la
forza peso (di modulo mg) diretta verticalmente verso il basso e la forza elettrica,
kq 2
dovuta alla presenza dell’altra sferetta, di modulo Fe = 2 , in cui con d è stata indicata la
d
distanza tra le due sferette. Scomponendo le due forze nella direzione del filo e nella direzione
perpendicolare al filo e osservato che le componenti lungo il filo vengono equilibrate dalla tensione
F
del filo stesso, dovrà risultare mgsenϑ = Fe cos ϑ , da cui tgϑ = e . Nell’ipotesi che ϑ sia piccolo,
mg
si può supporre tgϑ = senϑ = ϑ , quindi
tgϑ = senϑ = ϑ =
− 12
−3
−1
kq 2
9 ⋅109 ⋅ 4 ⋅10
36 ⋅10
9 ⋅10
, da cui
=
=
= 2
2
−3
−2
2
2
d mg (2lsenϑ ) ⋅10 ⋅10 ⋅ 9.8 4 ⋅1 ⋅ ϑ ⋅10 ⋅ 9.8 ϑ ⋅ 9.8
−1
9 ⋅10
ϑ =
, infine ϑ = 0.45 . La distanza tra le due sferette è d = 2lsenϑ = 2lϑ = 0.9m .
9 .8
3
Un elettrone penetra con una velocità di modulo v0 in un campo
elettrico uniforme, di modulo E, in direzione perpendicolare al campo. L’elettrone è
sottoposto all’azione del campo per un tratto orizzontale di lunghezza l. Determinare
ESERCIZIO 2.
la velocità dell’elettrone all’uscita del campo, la sua deflessione rispetto all’orizzontale
e la sua energia cinetica.
Soluzione: l’elettrone è sottoposto alla forza elettrica di intensità F=Ee, dove e è la
carica
V0
d
E
− 19
dell’elettrone stesso, pari a 1.6 ⋅10 C , e alla forza peso di intensità mg. Se il campo
elettrico è diretto verticalmente dal basso verso l’alto, l’elettrone sarà attratto verso
il basso. Dalla seconda legge della dinamica si ricava l’accelerazione della particella:
a=F/m=(Ee+mg)/m e la corrispondente legge del moto dell’elettrone, che seguirà una
traiettoria parabolica, che deriva dalla composizione di un moto uniforme con velocità
V0 in direzione orizzontale e di un moto uniformemente accelerato, con accelerazione
a, in direzione verticale. Quindi risulta:
1
x(t ) = v 0 ⋅ t , y (t ) = − at 2 , assumendo come origine del riferimento il punto in cui
2
l’elettrone inizia a muoversi all’interno dello spazio, sede del campo elettrico. Il tratto
orizzontale di lunghezza l viene percorso in un tempo t = l / v 0 ; in tale intervallo lo
1  l 2 1 Ee + mg  l 2
a  =
  . All’uscita
2  v0  2
m
 v0 
dal campo la velocità ha componente orizzontale ancora v 0 , mentre la componente verticale è
spostamento in direzione y, verso il basso, è y (t ) =
vy (t ) = a ⋅ t =
Ec =
Ee + mg
⋅ l / v , da cui si ricava v =
v 02 + vy (t ) 2 , ed infine l’energia cinetica
0
m
1 2
mv .
2
ESERCIZIO 3. Stabilire come poter collegare cinque condensatori uguali di capacità
C, in modo che la capacità totale sia 7/2 C. Rappresentare anche graficamente la
situazione.
Soluzione. La capacità equivalente di tre condensatori di capacità C, disposti in
C
parallelo, è 3C; quella di due condensatori disposti in serie è
. Realizzando un
2
sistema con un parallelo tra un parallelo di tre condensatori e una serie di due, si ha la
soluzione.
ESERCIZIO 4. Relativamente alla figura che segue si sa che:
- il flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa S1 è nullo:
Φs1( E ) = 0 ;
-
il flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa S2 è nullo:
Φ s 2( E ) = 0 ;
-
il flusso attraverso la superficie chiusa S3 è di Φs 3( E ) = 2 ⋅10 Vm .
3
Determinare il valore delle tre cariche elettriche.
S1
Q2
•
S2
Q1
•
Q3
S3
•
Soluzione. Se il flusso attraverso S1 è nullo, è nulla la carica q2. Se il flusso
attraverso S2 è nullo, q1 e q3 sono cariche opposte in segno e uguali in modulo. Se il
q 2 + q3
3
3
flusso attraverso S3 è di 2 ⋅10 Vm , significa che
= 2 ⋅10 , quindi, tenendo conto che
ε
q3
3
q2 è nulla,
= 2 ⋅10 , da cui si ottiene il valore di q 3 e di conseguenza quello di q1.
− 12
8.85 ⋅10