disequazioni SCOMPOSTE

DISEQUAZIONI SCOMPOSTE
DI GRADO SUPERIORE A DUE
f(x)*g(x) >0
f(x)*g(x) <0
Una disequazione di grado superiore a due
deve sempre essere scomposta
nel prodotto di fattori di I e II grado .
DISEQUAZIONI SCOMPOSTE: come risolverle
- scompongo in prodotto di due o più fattori di I o II grado
f(X)*g(X)<0
f(X)*g(X)>0
oppure
- PONGO sempre I FATTORI N1>0 N2>0 e risolvo
- costruisco il grafo dei segni
( metto + dove c’è soluzione e - nell’altro intervallo)
- moltiplico i segni verticalmente in ciascun intervallo
N1>0 f(x)>0
N2>0 g(x)>0
x>a
x>b
segno del prodotto
f(x)*g(x)
a
+
b
+
-
+
+
-
+
Ora guardo il verso richiesto nella forma normale:
SE è >0: soluzione= intervalli con segno + cioè: x<a v x>b
SE è <0: soluzione = intervalli con segno - cioè: a<x<b
Esempio 1
x ! 3x + 2x < 0
4
3
2
x ! (x " 3x + 2) < 0
2
2
N1
N1>0
N2>0
Prima devo scomporre:
raccoglimento totale
Pongo i fattori N1 N2 sempre>0
N2
x > 0 ! "x # R $ {0}
0
2
x ! 3x + 2 > 0
x <1! x > 2
2
3± 9 ! 8 3±1
x=
=
=
2
2
1
+
+
+
+1
+2
+
+
+
-
+
-
+
+
+
2
Guardo il verso (<) e scelgo gli intervalli con il “meno”
+1< x < +2
Esempio 2
x ! 4x ! x + 4 > 0
2
x (x ! 4) !1" (x ! 4) > 0
2
(x ! 4) " (x !1) > 0
2
N1
N1>0
N2
x!4>0
Prima devo scomporre :
raccoglimento parziale
PONGO sempre N1>0 , N2>0
x>4
x !1> 0
2
2
x !1= 0 " x = 1" x = ±1 x < !1" x > +1
N2>0
2
-1
+1
+4
-
-
+
-
+
+
-
3
-
+
-
+
Guardo il verso (>) e scelgo gli intervalli con +
!1< x < +1" x > +4
+
Esempio 3
2x +11x + 5x < 0
3
2
x ! (2x + 11x + 5) < 0
2
N1>0
N2>0
scompongo: raccoglimento totale
Pongo sempre N1>0 N2 >0
x >0
-3/2
2x 2 + 11x + 5 > 0
"11± 121" 40 3± 9
2x +11x + 5 = 0 ! x =
=
4
4
3
3
x1 = ! ; x 2 = 3 " x < ! 1# x > 3
2
2
-
0
-
2
+3
+
+
-
-
+
+
-
Guardo il verso (<) e scelgo gli intervalli con il -
3
x < ! " 0 < x < +3
2
+
+
Esempio 4
x ! 25 " 0
4
Scompongo: differenza di due quadrati
(x 2 + 5) ! (x 2 " 5) # 0
N1
Pongo i fattori N1 N2 sempre ≥0
N2
N1≥0
x +5!0
N2≥0
x2 ! 5 " 0 x = ± 5 ! x " # 5 $ x % + 5
2
x = ± !5 " # < 0
!x " R
! 5
+
+
+
+ 5
+
+
-
+
+
Costruisco il “ grafo dei segni”
Guardo il verso ( ≥ ) e scelgo gli intervalli con il “più”
x !" 5#x $+ 5
Esempio 5
x + x !12 " 0
4
2
(x 2 + 4) ! (x 2 " 3) # 0
N1
N1≥0
x + 4 !0
2
Scompongo con la “Regola dei due
numeri” applicata al trinomio di grado 4
Pongo i fattori sempre ≥0
N2
x = ± !4 " # < 0
! 3
!x " R
N2≥0 x ! 3 " 0 x = ± 3 ! x " # 3 $ x % + 3
2
+
+
+
+ 3
+
+
-
+
+
Costruisco il “ grafo dei segni”
Guardo il verso ( ≤ ) e scelgo gli intervalli con il “meno”
! 3 "x " + 3