Lezione 1 - Università degli studi di Bergamo

Elettrostatica
LEGGE DI COULOMB (~1788)
dell'inverso del quadrato della distanza
fondamento della ELETTROSTATICA
CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB (1736-1806)
contemporaneo di Galvani
z
O
x
q
Q
y
f
Se la carica è misurata in
coulomb (C) allora
P
Qq
Qq OP
f = ke
=
k
OP
e 2
3
r r
OP
ke ≈ 9(109) N⋅m2/C2
Qq
f = ke 2
r
5
Elettrostatica
Il campo elettrico prodotto
dalla carica Q su q è
f
E=
q
E
Il campo elettrico E è
misurato in
forza
newton  N  N ⋅ m
volt  V 
=
=
 =
 
carica coulomb  C  C ⋅ m metro  m 
6
E
Campo elettrico da carica
puntiforme di modulo q,
positiva (a) o negativa (b)
(simmetria sferica)
(a)
(b)
E
r
E
Campo elettrico da piano di
carica, distribuita con densità
superficiale uniforme σ
(simmetria planare)
Campo elettrico da due cariche
puntiformi uguali ma con segno
opposto (dipolo elettrico)
Elettrostatica
Coulomb non ha “misurato” la sua
legge ma l’ha “copiata” da quella
gravitazionale di Newton
g
con
=G
M
OP
3
(
g
PO
G = 6.67 10
−11
)
3
m
2
kg ⋅ s
7
Elettrostatica
Il campo elettrico è “intrinsecamente” molto più intenso di
quello gravitazionale
massa = 1.67(10−27) kg
massa = 9.1(10−31) kg
forza gravitazionale (fg) ≈1.0(10−67)N
1 metro
protone
elettrone
forza elettrica ≈2.3(10−28)N ~ 1040 fg
carica = +1.6(10−19) C
carica = −1.6(10−19) C
8
Elettrostatica
LA LEGGE DI GAUSS
9
Karl Friedrich Gauss 1777-1855 (scoperta ~1840, ma già Newton…)
Il flusso di E uscente da una qualunque superficie chiusa S contenente
la carica Q è pari alla carica diviso per la costante dielettrica del
E(r)
E(r2)
vuoto
r2
q
Φ (E ) ≡ ∫ E ⋅ n dS = E (r1 )4πr12 = E (r2 )4πr22 = 4πk e Q ≡
S
Q
r
ε0
La costante dielettrica del vuoto
(
Q
)
1
C2
−12
≈ 8.85 10
ε0 =
4πk e
N ⋅ m2
r1
E(r1)
Elettrostatica
LA FORMA PUNTUALE
DELLA LEGGE DI GAUSS: il teorema della divergenza
Sia E(P) il campo elettrico
generato da distribuzione didQ
cariche con densità ρ ( P) = dV
Il flusso di E uscente dalle
due facce in azzurro consta
di due contributi
dy
dy 

, z ) − E y ( x, y −
, z ) dxdz =
 E y ( x, y +
2
2


∂ E y ( x, y , z )
∂ E y ( x, y , z )
=
dxdydz =
dV
∂y
∂y
10
E
dx
k
P
n
dz
n
dy
i
j
E
Il flusso di E attraverso un superficie chiusa si può sempre esprimere
come somma degli integrali di volume delle derivate parziali ∂Ex/ ∂x….
 ∂E x ∂E y ∂E z 
∫ E ⋅ n dS ≡ ∫  ∂x + ∂y + ∂z dV ≡ ∫ divE ⋅ dV
s
V
V
LA FORMA PUNTUALE
DELLA LEGGE DI GAUSS
Elettrostatica
Il flusso di E uscente dalla superficie che circonda un volume
elementare è proporzionale alla densità di carica ed è pari a
dQ
ε0
=
ρ ( P )dV ρ ( P )dxdydz
=
ε0
ε0
Per il teorema della divergenza (identità matematica) tale
flusso è pari all’integrale di volume di divE. Perciò
ρ
divE =
ε0
la divergenza di E(P) (uno scalare) è
proporzionale a ρ(P) (legge fisica)
11
Formulazioni della elettrostatica
Elettrostatica
12
L'elettrostatica (studio del campo elettrico generato da cariche "quasi"
ferme) è riassunta da un’equazione che collega E alla sua sorgente (la
distribuzione di carica). Questa equazione ha le tre forme equivalenti
E(P ) = k e
Coulomb (per carica puntiforme)
Q
r (P )
2
Qi
∫ E ⋅ n dS = ∑ ε 0
Gauss (forma integrale)
s
Gauss (forma puntuale)
con
∂E x ∂E y ∂E z
ρ
∇⋅E ≡
+
=
+
ε0
∂x
∂z
∂y
∂
∂ 
∂
∇⋅ ≡  i +
j + k ⋅ ≡ grad ⋅
∂z 
∂y
 ∂x
APPLICAZIONI DELLA
LEGGE DI GAUSS
Elettrostatica
Il piano carico infinito
E
E
E
S1
σS
S2
σS
σ
Φ ( E ) = ES1 + ES 2 =
⇒E=
ε0
2ε 0
E
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Elettrostatica
APPLICAZIONI DELLA
LEGGE DI GAUSS
La sfera conduttrice carica
⇒cariche mobili "ferme"
14
⇒E(r<R)= 0, E(r=R)⊥S
R
⇒dQ=ρdR= 0 all'interno
⇒carica "solo" superficiale (∆Q=σ∆S)
∆S
E=0
σ=
E
σ ∆S
σ
E∆ S =
⇒E=
ε0
ε0
Q
⇒ E (r > R) = E (da Q in centro)
2
4πR
Elettrostatica
IL POTENZIALE DEL CAMPO E
PRODOTTO DA UNA CARICA Q
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Differenza di potenziale tra punto P e punto O di riferimento =
"lavoro" del campo elettrico lungo una qualunque linea L da P ad O
O
P
rP
L
∫ E ⋅ dL ≡
L
P → O
Q
∫ ke r 2 dr
r
P
r
Q
⇓
Q 0
Q
Q

− ke r  = ke r − ke r
 rP

P
O
r
∆L
∫ Ex dx + E y dy + E z dz
P → O
rO
E
Q
≡ V ( P ) − V (O) ⇒ V ( P ) = k e
rP
Elettrostatica
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IL CAMPO ELETTROSTRATICO E È CONSERVATIVO ⇔
⇔ E È ESPRIMIBILE MEDIANTE IL SUO POTENZIALE
rO
 ∂V
∂V
∂V 
∂V
∫L E x dx + E y dy + E z dz = − ∫  ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz  ⇒ E x, y, z = − ∂x, y, z
rP
P → O
La scelta più naturale del riferimento è
Il potenziale è numericamente uguale al lavoro della
forza sulla carica q unitaria
e si misura in volt (V)
O ≡ ∞ con V (∞ ) = 0
lavoro
joule
J
=
= = volt (V)
carica coulomb C
newton
volt
campo elettrico =
=
coulomb metro
Elettrostatica
CALCOLO DI E MEDIANTE V : esempio
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j
+Q(0,y0)
P(x,y)
O
−Q(0,−y0)
E
i

Q
−
V ( x, y ) = k e 
2
2
 x + (y − y )
0

(
∂V
 1
Ey = −
= − k e Q  − x 2 + ( y − y 0 )2
∂y
 2
)
−3 / 2
y >> y 0 ⇒ E y ≈ −k e
Q
x 2 + ( y + y0 )
2
(




1
⋅ 2( y − y 0 ) + x 2 + ( y + y 0 )2
2
2 y0Q
(x
2
+y
2
)
3
= −k e
2 y0Q
OP
3
)
−3 / 2

⋅ 2( y + y 0 ) 

Elettrostatica
STATICA DI PARTICELLE CARICHE (m,q)
Condizione di equilibrio
L
qE = k e
ϑ
qE
qE
2r
mg
mg
q⋅q
(2r )
2
= ke
q2
(2 L cosϑ )
2
= mg tan ϑ
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DINAMICA DI
PARTICELLE CARICHE
Elettrostatica
qE = ma
E
m,q
qE
L
qE
a=
m
1
2
− v in2 = qEL = q∆V
m v fin
2
2 q ∆V
v in = 0 ⇒ v fin =
m
(
)
19
Moto di cariche in un campo elettrico
Esempio: un elettrone lanciato orizzontalmente in un campo
uniforme prodotto da due piani paralleli con cariche opposte
ax = 0
ay = −
qe E
me
v x = v 0 = cost
vy = a t
x = v0 t
y=
1
ay t 2
2
DINAMICA DI PARTICELLE
CARICHE: L'ATOMO DI BOHR
(
)
Elettrostatica
me = 9.1 10 −31 kg
(
)
(
v
me, q
qE
q e = −1.6 10 −19 C
me vr = h = 1.055 10
20
−34
)J ⋅ s
forza di Coulomb = me × accelerazione centripeta
⇒
q e2
v2
k e 2 = me
r
r
2
2
h
h
−11
⇒ k e q e2 = me v 2 r =
⇒r=
≈
5
(
10
)m
2
me r
me k e q e
r
Commenti sul modello di Bohr
L'energia potenziale elettrica dell'elettrone
(carica e) nel campo prodotto da una
carica Q positiva è negativa e per 1H vale
L'elettrone possiede un'energia cinetica
Perciò la sua energia totale vale
Elettrostatica
ke
21
eQ
= − | e | 27.2V = −27.2 eV
r
1
v2
eQ 1
= me
ke
2
2
r
r
ke
eQ
= −13.6 eV
2r
che è pari all'energia di ionizzazione dell'atomo di idrogeno