Elementi di Calcolo Combinatorio Def.: Dato un insieme I , con P si

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Elementi di Calcolo Combinatorio
Def.:
Dato un insieme I n , con Pn si indica il numero di
tutte le possibili permutazioni semplici di I n .
Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Esempio:
In quanti modi diversi si possono disporre tre
palline colorate (B, N, R) sui vertici di un
triangolo?
B
N
R
R N
N
B
R
N
B
B
P3 = 3!= 6
B
R R N
R
B
N
2
Def.:
Dati n elementi distinti si dicono disposizioni
semplici di n elementi presi a k a k (k ≤ n ) tutti i
possibili sottoinsiemi di k elementi distinti e
totalmente ordinati presi dagli n dati.
Dn,k =
n!
(n − k )!
Esempio:
Dati i tre elementi a, b, c, scrivere tutte le
possibili disposizioni di classe 2.
_________________________________________________________
D3, 2 =
3!
= 3!= 6
(3 − 2)!
Infatti:
a,b
b,a
a,c
c,a
b,c
c,b
Esempio:
Quanti sono i numeri naturali aventi cifre distinte
che si possono ottenere con le cifre 1, 2, 3, 4, 5?
D5,1 + D5,2 + D5,3 + D5,4 + D5,5 = 325
3
Def.:
Dati n elementi distinti si dicono combinazioni
semplici di n elementi presi a k a k (k ≤ n ) tutti i
possibili sottoinsiemi di k elementi distinti presi
dagli n dati.
n!
n
C n, k =
=
= 
k!
(n − k )! k !  k 
Dn,k
N.B.: Cn,k ≠ Dn,k perché Cn,k non tiene conto
dell’ordine.
Esempio:
Dati i tre elementi a, b, c, scrivere tutte le
combinazioni di classe 2.
a,b
a,c
b,c
3!
 3
C3,2 =   =
=3
 2  2! 1!
4
Def.:
Dati n elementi distinti si dicono disposizioni
con ripetizione degli n elementi presi a k a k
(k  n ) tutti i possibili insiemi di k elementi non
necessariamente tutti distinti ma ordinati presi
dagli n dati.
Dn′ ,k = n k
Esempio:
Dati i tre elementi a, b, c, si scrivano tutte le
disposizioni con ripetizione di classe 2.
a,a
b,b
c,c
a,b
b,a
a,c
c,a
b,c
c,b
D3′ , 2 = 32 = 9
Esempio:
Determinare tutte le possibili colonne di risultati
nel gioco del totocalcio.
D3′ ,13 = 313 = 1.594.323
5
Def.:
Dati n elementi di cui k uguali tra loro (k ≤ n ) ed
n-k distinti si dicono permutazioni con
ripetizione gli insiemi ordinati che si possono
formare con gli n elementi dati.
Pn(k ) =
n!
k!
Esempio:
Trovare tutti i possibili anagrammi della parola
ZUZZURELLONE.
_________________________________________________________
Si devono calcolare le permutazioni
ripetizione di 12 elementi non tutti distinti.
ZZZ
UU
R
EE
:3
:2
:1
:2
3 2 2 2 111
P12
LL
O
N
:2
:1
:1
12!
=
= 9.979.200
3! 2! 2!
con
6
Def.:
Dati n oggetti distinti si dicono combinazioni
con ripetizione degli n oggetti presi a k a k
(k  n ) tutti i possibili insiemi costituiti da k
elementi non necessariamente tutti distinti presi
dagli n dati.
 n + k − 1
Cn′ ,k = 

 k

Esempio:
Dati i tre elementi a, b, c, scriviamo tutte le
combinazioni con ripetizione di classe 2.
 3 + 2 − 1  4 
C3′ ,2 = 
= =6
 2   2
Infatti:
a,a
b,b
c,c
a,b
a,c
b,c
FORMULARIO PER IL
CALCOLO COMBINATORIO
Permutazioni semplici di n
oggetti distinti
Disposizioni semplici di n
oggetti distinti presi a k a k
(o di classe k), con k≤n
Combinazioni semplici di n
oggetti distinti presi a k a k
(o di classe k), con k≤n
Permutazioni con
ripetizione di n oggetti di
cui k uguali fra loro (k≤n) e
(n−k) distinti
Disposizioni con ripetizione
di n oggetti distinti presi a k
a k (o di classe k)
Combinazioni con
ripetizione di n oggetti
distinti presi a k a k (o di
classe k)
Pn = n!
n!
Dn, k =
(n − k )!
n!
n
C n, k =   =
 k  (n − k )!k!
(
k ) n!
Pn =
k!
Dn' ,k = n k
C n' , k
 n + k − 1
=

 k

Esercizi
1) Determinare il numero N in cui si possono disporre 8 canottieri in un'imbarcazione da regata,
tenendo conto che i due più forti non devono andare nè al primo nè all'ultimo posto. [R. D6,2 × P6 ]
2) Due persone possiedono 3 giacche, 4 paia di pantaloni, 5 cappelli. Determinare il numero N di
modi diversi in cui si possono vestire. [R. D3,2 × D4,2 × D5,2 ]
3) In una stanza sono presenti 12 persone nate tutte in mesi diversi; determinare il numero N1 di
modi possibili di sceglierne due nate entrambe nella stessa stagione ed il numero N 2 di modi possibili
di sceglierne tre nate tutte in stagioni diverse. [R. N1 = C4,1 × C3,2 ; N 2 = C4,3 × C3,1 ]
4) Determinare quanti sono i numeri di quattro cifre che contengono sia il numero 1 sia il numero 2,
ciascuno una sola volta, e che non contengono lo 0. [R. D4,2 × D7' ,2 ]
5) Nel gioco del poker si dispone di un mazzo di 32 carte (7,8,9,10,J,Q,K,A) e ogni mano è
composta di cinque carte; calcolare per i seguenti tipi di mani:
a) il numero N1 di coppie possibili; [R. N1 = C8,1 × C4,2 × C7,3 × D4' ,3]
b) il numero N 2 di tris possibili; [R. N 2 = C8,1 × C4,3 × C28,2 − C7,1 × C4,2 ]
c) il numero N 3 di full possibili; [R. N 3 = C8,1 × C4,3 × C7,1 × C4,2 ]
d) il numero N 4 di poker possibili; [R. N 4 = C8,1 × C4,4 × C28,1 ]
e) il numero N5 di scale possibili; [R. N5 = C5,1 × D4' ,5 ]
f) il numero N 6 di scale reali possibili. [R. N 6 = C5,1 × D4,1 ]
6) Determinare il numero N di modi possibili di ordinare in senso crescente quattro numeri dall'uno al
dieci ponendo al secondo posto il numero 3. [R. C7,2 + C7,2 ]
7) Quanti sono i numeri naturali di 4 cifre distinte che si possono formare con le cifre 0, 1, 2, 3, 4?
[R. D5, 4 − D4 ,3 ]
8) Date le sei cifre 2, 3, 5, 6, 7, 9
a) quanti sono i numeri naturali di 3 cifre distinte minori di 400 che si possono formare? [R.
D5, 2 + D5, 2 ]
b) Quanti sono i numeri pari di 3 cifre distinte che si possono formare? [R. D5, 2 + D5, 2 ]
c) Quanti sono i numeri dispari di 3 cifre distinte che si possono formare? [R.
D5, 2 + D5, 2 + D5, 2 + D5, 2 ]