Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

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Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Successioni di Funzioni e
Serie di Potenze
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Successioni e Serie di Funzioni
1.1
Successioni di Funzioni
Al lettore sono già note le successioni numeriche. Qui consideriamo una successione numerica
il cui valore dipende da una variabile che denotiamo con x, che varia in un insieme A ⊂ R: 1
f1 (x), f2 (x), .., fn (x), ...
più sinteticamente scriviamo: {fn (x)}.
Questa è detta una successione di funzioni, e sarà denotata con {fn }. Si noti che:
per n ﬁssato fn (x) è una funzione di x,
per x ﬁssato {fn (x)} è una successione numerica.
Al pari delle successioni numeriche, anche le successioni di funzioni possono assumere non
solo valori reali ma anche complessi o vettoriali.
Sia A un sottoinsieme di R, {fn } una successione di funzioni A → C, e f : A → C;
deﬁniamo allora due tipi di convergenza:
fn → f puntualmente in A
fn → f uniformemente in A
def
⇔
def
⇔
fn (x) → f (x) ∀x ∈ A;
(1.1)
sup |fn (x) − f (x)| → 0.
(1.2)
x∈A
Nella (1.1) si noti la diﬀerenza tra
fn → f
convergenza di funzioni: occorre speciﬁcarne il senso, e
fn (x) → f (x)
convergenza di numeri: non occorrono ulteriori precisazioni.
Queste convergenze possono essere lette pensando n come una variabile temporale. Fissato
un qualsiasi ε > 0 (che possiamo interpretare come massimo errore ammissibile), la convergenza
puntuale di fn a f signiﬁca che |fn (x) − f (x)| ≤ ε per ogni x, pur di prendere n abbastanza
grande. Qui “quanto grande” può dipendere da x; se poi per tutti gli x si può prendere lo stesso
n, allora la convergenza è uniforme. Con la convergenza puntuale, si guarda al comportamento individuale della successione numerica {fn (x)} per ciascun x, mentre con la convergenza
uniforme si considera il comportamento globale dell’insieme di queste successioni numeriche.
Proposizione 1.1 Sia {fn } una successione di funzioni A → C, e f : A → C. Allora
fn → f uniformemente in A
⇒
fn → f puntualmente in A
(1.3)
Si noti che i due limiti coincidono se vi è convergenza uniforme.
Dimostrazione. Poiché |fn (y) − f (y)| ≤ supx∈A |fn (x) − f (x)| per ogni y ∈ A,
sup |fn (x) − f (x)| → 0
x∈A
⇒
|fn (y) − f (y)| → 0 ∀y ∈ A.
L’implicazione opposta della (1.3) non sussiste.
1
2
Comunque A potrebbe essere sostituito da un insieme qualsiasi (non vuoto).
È importante cogliere il senso di aﬀermazioni del tipo “A non implica B” (in formula: A ⇒ B) per una
coppia di aﬀermazioni A, B. Questo signiﬁca che anche se A è vera B può essere falsa.
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2
Metodi Matematici per TLC – A. Visintin
Controesempi.
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Si ponga

n
se 0 < x < 1/n
0
se 1/n ≤ x < 1
fn (x) := 
gn (x) :=
f (x) := 0
1
se n < x < n + 1
0
se 0 < x ≤ n oppure x ≥ n + 1
∀x ∈]0, 1[,
(1.4)
∀x > 0.
g(x) := 0
(1.5)
È facile constatare che
fn → f puntualmente in ]0, 1[,
gn → g puntualmente in ]0, +∞[,
tuttavia
sup |fn (x) − f (x)| = n,
0<x<1
sup |gn (x) − g(x)| = 1
x>0
∀n;
quindi entrambe le successioni non convergono uniformemente. Si noti anche che
1
0
fn (y) dy = 1 →
+∞
0
4
1
f (y) dy = 0,
0
gn (y) dy = 1 →
+∞
g(y) dy = 0.
0
Il prossimo teorema esclude quest’ultima eventualità nel caso di convergenza uniforme.
Teorema 1.2 (Passaggio al Limite nell’Integrale) Sia {fn } una successione di funzioni continue [a, b] → C, che converge uniformemente ad una funzione f . Allora f è continua e
x
a
b
In particolare
a
x
fn (y) dy →
fn (y) dy →
f (y) dy
uniformemente in [a, b].
(1.6)
a
b
f (y) dy.
a
Dimostrazione della (1.6). Tralasciamo la veriﬁca della continuità di f , e ci limitiamo a
veriﬁcare la (1.6). Grazie alla (1.2),
sup
x∈[a,b]
≤
b
a
x
fn (y) dy
a
−
x
a
f (y) dy ≤ sup
x
x∈[a,b] a
|fn (y) − f (y)| dy
(1.7)
|fn (y) − f (y)| dy ≤ (b − a) sup |fn (y) − f (y)| → 0.
y∈[a,b]
Il seguente risultato permette, sotto opportune ipotesi, di scrivere
lim
n→∞
3
d
d
fn (x) =
lim fn (x).
dx
dx n→∞
(1.8)
Qui incontriamo un procedimento logico che si usa frequentemente in matematica. Per giustiﬁcare un’affermazione in positivo (ovvero un teorema) si fornisce una dimostrazione; per giustiﬁcare un’aﬀermazione in
negativo (ovvero la negazione di una proprietà) si esibisce un controesempio, ovvero un esempio in cui la proprietà
non vale.
In generale è utile capire quali proprietà sono vere, ma è anche importante rendersi conto di quali altre sono
false. Pertanto i controesempi non sono meno importanti dei teoremi.
4
an → a sta per “an non coverge a a”.
Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Teorema 1.3 (Passaggio al Limite nella Derivata) Siano dati una successione {fn } in C 1 ([a, b]),
g ∈ [a, b] → C, x0 ∈ [a, b] e ξ ∈ C tali che 5
fn → g
x
Allora, posto f (x) := ξ +
x0
uniformemente in [a, b],
fn (x0 ) → ξ.
g(t)dt per ogni x ∈ [a, b], si ha f ∈ C 1 ([a, b]) e
fn → f uniformemente in [a, b],
x
Dimostrazione. Poiché fn (x) = fn (x0 )+
x0
f = g in [a, b] (ovvero la (1.8)).
fn (t)dt per ogni x ∈ [a, b], fn → f uniformemente
in [a, b] per il teorema precedente. La funzione g è continua in quanto limite uniforme di funzioni
continue. Le restanti proprietà quindi seguono dalla deﬁnizione di f e dal teorema fondamentale
del calcolo integrale.
Si noti che, sotto la sola ipotesi che fn → f uniformemente in [a, b],
f e le fn sono derivabili in x0
⇒
fn (x0 ) → f (x0 ).
(1.9)
Ecco un controesempio. Sia f (x) := 0 e fn (x) := n−1 arctan(nx) per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N.
Allora fn → f uniformemente in R, ma fn (0) = 1 → f (0) = 0.
Inoltre, ancora sotto la sola ipotesi che fn → f uniformemente in [a, b],
(1.10)
le fn sono derivabili in x0 ⇒ f è derivabile in x0 .
√
Vediamo un controesempio. Sia fn (x) := x2 + n−1 per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N, quindi
fn (x) → f (x) := |x| per ogni x ∈ R. Le fn sono derivabili in 0 mentre f non lo è.
Osservazione. Se fn → f puntualmente in una famiglia di insiemi {Sa : a ∈ A} (per un
qualche insieme di indici A), allora in base alla deﬁnizione si veriﬁca immediatamente che fn →
f puntualmente nella loro unione a∈A Sa . Un’analoga proprietà non vale per la convergenza
uniforme. Ad esempio la successione {fn (x) = xn } converge uniformemente in Sa := [0, a] per
ogni a ∈]0, 1[, ma non in [0, 1[= a∈]0,1[ Sa . [Es]
1.2
Serie di Funzioni
Data una successione di funzioni {fn }, tutte deﬁnite in uno stesso insieme ed a valori complessi,
si consideri la corrispondente serie di funzioni x →
∞
fn (x). Come già per il caso delle serie
n=0
numeriche, per serie di funzioni si intende propriamente la successione di funzioni costituita
dalle somme parziali: x →
m
n=0
fn (x)
m=1,2,...
; tuttavia a volte si usa il termine serie anche per
indicare la somma della serie, che pure è una funzione, quando esiste.
I concetti di convergenza puntuale ed uniforme si estendono in modo naturale alle serie
di funzioni, dal momento che la convergenza di una serie numerica equivale a quella della
successione delle sue somme parziali. I due prossimi due teoremi possono essere facilmente
dimostrati mediante i Teoremi 1.2 e 1.3. [Es]
Sia k ∈ N ed A ⊂ R. Si dice che una funzione f : A → C è di classe C k (e si scrive f ∈ C k (A)) se e solo se
f ammette derivate ﬁno all’ordine k, e tutte queste funzioni sono continue in A. Se f ammette derivate di ogni
ordine, f è detta di classe C ∞ .
Considereremo funzioni a valori complessi, piuttosto che reali. Questa maggiore generalità non costa quasi
nulla, e può essere uitle per le applicazioni. In quasi tutti i casi il lettore può comunque tranquillamente
interpretare i risultati pensando a funzioni reali.
5
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Metodi Matematici per TLC – A. Visintin
Teorema 1.4 (Passaggio al Limite nell’Integrale) Sia {un } una successione di funzioni continue [a, b] → C, tale che la serie di funzioni
somma della serie
∞
∞
un converga uniformemente. Allora anche la
k=0
un è una funzione continua; inoltre
k=0
x
∞
a n=0
un (y) dy =
∞ x
n=0 a
un (y) dy
∀x ∈ [a, b],
(1.11)
e quest’ultima serie converge uniformemente in [a, b].
In particolare
b
∞
a n=0
un (y) dy =
∞ b
n=0 a
un (y) dy.
Teorema 1.5 (Passaggio al Limite nella Derivata) Sia {un } una successione di funzioni di
C 1 ([a, b]) tale che, per un opportuno x0 ∈ [a, b],
∞
∞
un converge uniformemente in [a, b],
n=0
Allora
∞
un (x0 ) converge.
(1.12)
n=0
un converge uniformemente in [a, b], è derivabile in [a, b], e
k=0
∞
n=0
un
=
∞
un
in [a, b].
(1.13)
n=0
Per le serie numeriche si distinguono convergenza semplice ed assoluta (quest’ultima implica
la precedente). Lo stesso vale per successioni di funzioni e serie di funzioni.
Caveat. Per le serie di funzioni non vi è alcun legame tra convergenza semplice o assoluta
da una lato e convergenza puntuale o uniforme dall’altro. Si possono comunque accoppiare
proprietà di convergenza semplice o assoluta con proprietà di convergenza puntuale o uniforme;
ad esempio, si potrà dire che una certa serie converge assolutamente e puntualmente.
Per convenzione, se non si speciﬁca se la convergenza è semplice o assoluta, si intende
che è semplice; ad esempio, “
∞
fn converge puntualmente” signiﬁca che “
n=1
∞
fn converge
n=1
puntualmente e semplicemente”.
Naturalmente occorre tener presente che per le serie
convergenza assoluta ⇒ convergenza semplice,
convergenza uniforme ⇒ convergenza puntuale.
Quindi ad esempio convergenza assoluta e uniforme ⇒ convergenza semplice e puntuale, ecc..
Registriamo ora un’importante condizione suﬃciente per la convergenza uniforme delle serie
di funzioni, ed un suo ovvio corollario.
Teorema 1.6 * (di Weierstrass) Sia data una successione di funzioni {fn : A → C}. Se esiste
una successione numerica {Mn } tale che
|fn (x)| ≤ Mn
∀x ∈ A, ∀n ∈ N,
∞
Mn < +∞,
n=0
allora la serie di funzioni
∞
n=0
fn converge uniformemente ed assolutamente in A.
Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Corollario 1.7 * Per una successione di funzioni {fn : A → C},
∞
sup |fn (x)| < +∞
⇒
n=0 x∈A
∞
(1.14)
fn converge uniformemente ed assolutamente in A.
n=0
Per veriﬁcarlo basta porre Mn = supx∈A |fn (x)| per ogni n, ed applicare il teorema precedente.
1.3
Esercizi e Complementi
– Sia {fn } una successione di funzioni R → R, che convergono puntualmente ad una funzione f .
Se tutte le fn sono non decrescenti, anche f è non decrescente? Se tutte le fn sono strettamente
crescenti, anche f è strettamente crescente? Cambia qualcosa se la convergenza è uniforme?
— Per ciascuna delle seguenti successioni di funzioni R → R
fn (x) :=

−1






nx
se −1/n < x < 1/n
1
se x ≥ 1/n,
gn (x) :=

0
hn (x) := 
n
se x ≤ −1/n
0
se x ≤ n
ex−n
se x > n,
(1.15)
(1.16)
se x < −1/n oppure x > 1/n
(1.17)
se −1/n ≤ x ≤ 1/n,
n (x) := e−nx
2
∀x ∈ R,
(1.18)
si disegni il graﬁco, e si dica se c’è convergenza puntuale e/o uniforme. In caso aﬀermativo si
indichi la funzione limite.
2
Serie di Potenze
È naturale sviluppare questa teoria in C piuttosto che in R. Si deﬁnisce serie di potenze una
serie di funzioni della forma
∞
an (z − z0 )n := a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + an (z − z0 )n + · · · ,
(2.1)
n=0
ove z0 , z ∈ C sono rispettivamente pensati come ﬁssato e variabile, e an ∈ C per ogni n ∈ N.
6
Qui si è posto 00 := 1. 7 Questa serie deﬁnisce la funzione
f (z) =
∞
n=0
6
an (z − z0 )
n
:= m→∞
lim
m
an (z − z0 )
n
n=0
Tipicamente si usa z per indicare una variabile complessa, x per una variabile reale.
Questa uguaglianza non è da intendersi come una regola di calcolo, ma esclusivamente come una notazione
che applichiamo solo all’ambito delle serie di potenze. In altri termini, la scrittura con la sommatoria è da
intendersi solo come un’abbreviazione della somma di destra.
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6
Metodi Matematici per TLC – A. Visintin
per gli z per cui questa serie converge. Qui enunciamo le proprietà più elementari delle serie
di potenze, e rimandiamo al capitolo sulle funzioni di variabile complessa per il proseguimento
del discorso.
L’insieme in cui una generica serie di funzioni ∞
n=0 un converge può essere alquanto generale;
in base al seguente teorema, l’insieme di convergenza delle serie di potenze ha invece una forma
ben precisa.
Teorema 2.1 (Teorema di Abel) Per ogni serie di potenze esiste R ∈ [0, +∞] tale che:
(i) la serie converge assolutamente per ogni z ∈ C tale che |z − z0 | < R (se R > 0),
(ii) la serie non converge nemmeno semplicemente per ogni z ∈ C tale che |z − z0 | > R (se
R < +∞).
Inoltre la serie converge uniformemente in ciascun cerchio Br (z0 ), con 0 < r < R (se
R > 0). 8
Pertanto se R = 0 la serie converge solo per z = z0 , mentre se R = +∞ la serie converge
assolutamente per ogni z ∈ C. La convergenza uniforme della serie in ciascun cerchio Br (z0 ) con
0 < r < R non implica la convergenza uniforme della serie nel cerchio BR (z0 ). Analogamente,
anche se R = +∞ non è detto che la serie converga uniformemente in tutto C.
Si noti che il teorema non dice nulla circa il comportamento della serie nei punti della
circonferenza di convergenza, ovvero per |z − z0 | = R per 0 < R < +∞. La convergenza
della serie in quei punti dipende dalla serie e dal particolare z: non esiste una regola generale.
Pertanto, denotato con S l’insieme dei punti in cui la serie converge, in generale si può solo
aﬀermare che
{z ∈ C : |z| < R} ⊂ S ⊂ {z ∈ C : |z| ≤ R}.
Esempi. (i) La serie
∞
z n /n2 ha raggio di convergenza R = 1, e converge (addirittura
n=0
assolutamente) in ogni punto della circonferenza di convergenza.
(ii) La serie
∞
z n ha raggio di convergenza R = 1, e non converge in alcun punto della
n=0
circonferenza di convergenza, poiché z n → 0 per |z| = 1.
(iii) La serie
∞
z n /n ha raggio di convergenza R = 1; essa converge per z = −1, grazie al
n=0
criterio di Leibniz; invece diverge per z = 1, poiché ivi coincide con la serie armonica.
Teorema 2.2 Sia data una successione {an }. Se esiste L := limn→∞ |an |1/n , allora la serie
∞
an (z − z0 )n ha raggio di convergenza
n=0
R = 1/L se 0 < L < +∞,
R = +∞ se L = 0,
R = 0 se L = +∞.
Lo stesso vale per L̃ := limn→∞ |an+1 |/|an |, se an = 0 a partire da un certo n in avanti e se
questo limite esiste.
La semplice dimostrazione è basata sul criterio della radice nel primo caso, sul criterio del
rapporto nel secondo caso. [Es]
Osservazioni. (i) Il Teorema implica che se esistono sia L che L̃, allora essi coincidono.
Comunque si può dimostrare che se esiste L̃ allora esiste anche L. Quindi la prima parte del
8
Denotiamo Br (z0 ) il cerchio aperto di centro z0 e raggio r, ovvero Br (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}.
Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
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Teorema è di applicazione più generale della seconda; tuttavia spesso è più agevole calcolare L̃
piuttosto che L.
(ii) Non sempre i limiti L ed L̃ esistono. Invece esistono sempre (ﬁniti o inﬁniti) i massimi
limiti
|an+1 |
|an+1 |
max lim |an |1/n := lim sup |an |1/n ,
max lim
:= lim sup
n→∞
m→∞ n≥m
n→∞
m→∞
|an |
n≥m |an |
(per il secondo occorre comunque che sia an = 0 a partire da un certo n). Il teorema si può
formulare in modo più generale sostituendo i limiti L e L̃ con i corrispondenti massimi limiti.
* Illustriamo brevemente il concetto di massimo limite di una successione a valori reali. Si
consideri l’insieme delle sottosuccessioni estratte dalla successione data; queste sono le successioni ottenute cancellando un numero qualsiasi di termini, lasciandone comunque in numero
inﬁnito e conservandone l’ordine. Tra queste si considerino le sottosuccessioni aventi limite
ﬁnito o inﬁnito; il massimo limite coincide con l’estremo superiore (ﬁnito o inﬁnito) dei limiti
di queste sottosuccessioni.
Ad esempio la successione {(−1)n } non ha limite, ma ha massimo limite 1. A diﬀerenza
del limite, il massimo limite esiste per ogni successione. Inoltre, quando il limite esiste, esso
coincide con il massimo limite; quest’ultimo è quindi un concetto più generale.
Si deﬁnisce anche il minimo limite min limn→∞ an in modo analogo, parlando di estremo
inferiore invece di estremo superiore, oppure ponendo
min lim an := − max lim(−an ).
n→∞
n→∞
Per ogni successione {an } a valori reali,
−∞ ≤ min lim an ≤ max lim an ≤ +∞.
n→∞
n→∞
Esempi. (i) Si ﬁssi α ∈ R e si consideri la serie
∞
nα z n . Si ha
n=0
L = lim (nα )1/n = lim eα(log n)/n = elimn→∞ α(log n)/n = e0 = 1,
n→∞
n→∞
pertanto la serie ha raggio di convergenza 1 per ogni α ∈ R. Tuttavia il comportamento sulla
circonferenza di convergenza dipende da α, come si è visto negli esempi precedenti.
(ii) È facile veriﬁcare che il raggio di convergenza delle serie
n=0
rispettivamente +∞ e 0.
2.1
∞
z n /n! e
∞
n!z n vale
n=0
Esercizi e Complementi
— Sia data una successione {an }. Sulla base del Teorema di Abel 2.1 si studi l’insieme di
convergenza della serie di funzioni
base al Teorema 2.2?
— La serie di funzioni
∞
an z −n . Quali ulteriori conclusioni si possono trarre in
n=0
∞
n=0
e−n(z−1) non è una serie di potenze. Nondimeno se ne studi
l’insieme di convergenza mediante il Teorema di Abel 2.1.