La misura dell`accelerazione di gravità

FISICA
Un’importante riflessione collaterale riguarda
la modalità con cui, in mancanza di strumenti in grado di misurare brevi intervalli di tempo
con sufficiente precisione, è comunque possibile
compiere misure dell’accelerazione di gravità. È
sufficiente fare uso di piani inclinati, in cui la relazione F = mg si trasforma in F = mg sin q, dove
q è l’inclinazione del piano rispetto all’orizzontale.
Diminuendo tale inclinazione, il valore di a (l’accelerazione del grave) può essere ridotto a piacere,
facilitandone la misura.
Infine, è interessante far notare alla classe che la
resistenza dell’aria produce una forza di attrito viscoso che si oppone al moto di caduta, causando
un’accelerazione effettiva apprezzabilmente minore del valore medio di g = 9,81 m/s2.
VIDEO 1.10 La misura dell’accelerazione
di gravità
Scopo del videolaboratorio
Questo videolaboratorio propone allo studente
una misurazione diretta dell’accelerazione subita
da un grave – in questo caso, una semplice pallina
di gomma – in caduta approssimativamente libera
(con le limitazioni descritte dal conduttore) verso
la Terra.
La misura, impossibile da praticare in laboratorio attraverso un semplice cronometro per
l’estrema brevità dell’intervallo di tempo da misurare, è qui resa possibile grazie a un sensore
di distanza.
Dopo aver valutato la velocità del grave in due
istanti successivi del moto, il valore medio dell’accelerazione nell’intervallo di tempo è ricavato attraverso l’espressione a = Dv/Dt.
La scelta di ricorrere al calcolo diretto, anziché
utilizzare le funzioni software che permetterebbero di ricavare il valore dell’accelerazione istantanea in qualsiasi punto della curva oraria, risponde
all’esigenza didattica di mostrare esplicitamente il
modo in cui si può risalire al valore dell’accelerazione di gravità partendo dall’analisi della curva
oraria e del grafico della velocità.
Dati e grandezze
• Istanti in cui è misurata la velocità:
t1 = (0,72 ± 0,01) s; t2 = (0,90 ± 0,01) s
• Velocità del pesetto nei due istanti:
v1 = (2,15 ± 0,01) m/s; v2 = (3,87 ± 0,01) m/s
(i due valori sono calcolati dal computer come
pendenza della tangente alla curva oraria)
• Accelerazione (teorica): 9,81 m/s2
• Accelerazione (sperimentale): (9,6 ± 1,2) m/s2,
calcolata come rapporto Dv/Dt
Analisi dei grafici e dei dati
Dopo una prima proiezione in aula del videolaboratorio è utile tornare a soffermarsi brevemente
sull’analisi della curva oraria e del grafico della
velocità, che vengono mostrati congiuntamente a
video al tempo 00:55.
Sebbene i grafici non siano intesi per un’analisi
quantitativa, può essere molto utile condurre una
descrizione qualitativa per spiegare alla classe il significato fisico di una curva oraria parabolica e di
un grafico della velocità rettilineo, riconducendoli
al caso del moto rettilineo uniformemente accelerato, che dovrebbe essere ben noto agli studenti.
Può inoltre essere utile far riflettere la classe sulla
natura del grafico dell’accelerazione in funzione
del tempo, che nel videolaboratorio non è direttamente mostrato (e che deve evidentemente consistere di un semplice segmento orizzontale, poiché,
trascurando le forze di attrito viscoso, l’accelerazione del grave in caduta libera è costante nel tempo ed è idealmente pari a g).
L’apparato sperimentale
La posizione del grave è misurata da un sensore
di distanza collegato a un sistema di acquisizione e analisi dati on line, che consente di tracciare in tempo reale sullo schermo del computer la
curva oraria e il grafico della velocità in funzione
del tempo. I valori di distanza, con un’incertezza
di 1 mm, sono registrati a intervalli di 0,02 s, con
un’incertezza di 0,01 s.
I valori di velocità sono calcolati dallo stesso computer in base ai dati ricavati dal sensore di distanza, senza necessità di ulteriori sensori o strumenti
di misura.
Concetti fondamentali
È importante osservare che l’esatta corrispondenza tra accelerazione del grave verso la superficie
della Terra e accelerazione di gravità g deriva dalla
seconda legge della dinamica, F = ma, in cui la forza equivale al peso della pallina, F = mg.
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Videolaboratori
dita sulla differenza concettuale tra la massa gravitazionale di un corpo (presente nel termine mg)
e la sua massa inerziale (presente nel termine ma).
La massa inerziale è definita, sin dai Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica di Newton, come
espressione della quantità di materia contenuta
in un corpo. La seconda legge della dinamica afferma che la massa inerziale è pari al rapporto tra
forza applicata e accelerazione subita da un corpo;
essa può essere dunque ricavata, operativamente,
misurando l’accelerazione (attraverso uno studio
cinematico) e la forza agente (attraverso un dinamometro a molla).
La massa gravitazionale è invece una grandezza fisica direttamente proporzionale all’interazione di
ciascun corpo con il campo gravitazionale in cui
si trova.
La proporzionalità diretta tra massa inerziale e
gravitazionale è, in meccanica classica, un dato
puramente sperimentale. In termini concreti, la
proporzionalità delle due grandezze si traduce nel
fatto che i parametri cinematici che descrivono
il moto di caduta di un grave sono indipendenti
dal valore della sua massa: trascurando gli attriti
dell’aria, un corpo pesante e un corpo più leggero
lasciati cadere da una stessa altezza raggiungono
il suolo nel medesimo istante.
Il calcolo finale dell’accelerazione di gravità utilizza i valori v1 = (2,15 ± 0,01) m/s (misurata a un
tempo t1 = (0,72 ± 0,01) s) e v2 = (3,87 ± 0,01) m/s
(con t2 = (0,90 ± 0,01) s). Da questi dati si ricava
a = Dv / Dt = (3,87 m/s – 2,15 m/s) / (0,90 s +
– 0,72 s) = 9,55 m/s2
affetto da un’incertezza relativa che può essere stimata pari a
d(a)/a = d(Dv)/(Dv) + d(Dt)/Dt) =
= (2 · 0,01 m/s)/(3,87 m/s – 2,15 m/s) +
+ (2 · 0,01 s)/(0,90 s – 0,72 s) = 0,12
ottenendo così un valore
a = (9,6 ± 1,2) m/s2
compatibile con quello teorico (9,81 m/s2), malgrado il contributo non trascurabile degli attriti
viscosi, che tendono a rallentare la caduta della
pallina di gomma.
Approfondimenti
È possibile proporre alla classe, prendendo spunto
dalla relazione m g = m a che esprime la seconda
legge della dinamica quando l’unica forza agente
è il peso di un corpo, una riflessione più approfon-
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