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Introduzione alla Meccanica Quantistica
25 Marzo 2011
1) a) Trovare lo stato fondamentale di un oscillatore armonico e l’autovalore relativo,
senza risolvere alcuna equazione differenziale, e senza fare uso degli operatori a e ↠,
sfruttando il principio di indeterminazione di Heisenberg, il metodo variazionale, il teorema
del viriale e il fatto che la gaussiana è la curva a indeterminazione minima:
- dimostrare che lo stato a indeterminazione minima è quello a energia minima, e viceversa,
e dedurre da ciò l’autovalore relativo;
- sapendo che la gaussiana ψ = N exp(−αx2 ) è la funzione a indeterminazione minima,
trovare il valore di α per l’oscillatore.
b) Determinare l’autofunzione del primo stato eccitato, utilizzando l’operatore di creazione.
2) Sia dato un rotatore spaziale di momento d’inerzia I e dipolo elettrico d parallelo
all’asse del rotatore, immerso in un campo elettrico uniforme E , da considerare quale
perturbazione.
- Trovare autovalori e autostati imperturbati.
- Trovare le correzioni all’autovalore fondamentale.
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SVOLGIMENTI
1) - Per il primo punto, osserviamo che per potenziali pari, detti | n i gli autostati:
h n|x|n i = 0
e
h n|p|n i = 0 ,
in quanto gli autostati sono pari o dispari e gli operatori dispari. Pertanto:
∆2n x = h n | x2 | n i − (h n | x | n i)2 = h n | x2 | n i = x2n ,
e, analogamente:
∆2n p = h n | p2 | n i = p2n .
Quindi, il principio di Heisenberg sugli autostati diventa:
∆2n x ∆2n p = x2n p2n ≥ h̄2 /4 .
Per quanto riguarda il valore medio dell’energia dell’oscillatore armonico:
s q
s
s
2
p
k
h̄
1
p
k
k
k
W n = n + x2n =
p2n x2n =
∆2n x ∆2n p ≥
= h̄ω = W0 .
2µ 2
µ
µ
2
µ
2
Nell’espressione precedente abbiamo sfruttato due proprietà . La prima eguaglianza deriva
dalla banale relazione (x−y)2 ≥ 0 , e dal teorema del viriale valido per potenziali omogenei
di grado p , per i quali:
p
h ψ|T |ψ i = h ψ|V |ψ i ,
2
che nel caso dell’oscillatore armonico si riduce alla eguaglianza. La successiva eguaglianza
deriva da quanto visto prima, e la diseguaglianza finale dal principio di Heisenberg.
Segue che l’autovalore minimo si ha solo incorrispondenza con il minimo del principio di
indeterminazione, e viceversa.
- Applichiamo ora il principio di Riesz, utilizzando ψ come funzione di prova con α
parametro variazionale. Da quanto visto prima, il minimo esatto dell’energia corrisponde
alla funzione a indeterminazione minima, e dovendo questa essere una gaussiana, il risultato
che otteniamo sarà quello esatto, sia per l’autovalore che per il parametro α , cioè per
l’autofunzione. Valutiamo quindi i valori di aspettazione sulla funzione di prova data.
Z ∞
Z ∞
1
2
2
x2 =
dx exp[−2αx ] x /
dx exp[−2αx2 ] =
,
4α
−∞
−∞
p2
= −h̄
2
∞
d2
dx exp[−αx ]
exp[−αx2 ] /
2
dx
−∞
Z
2
Z
∞
dx exp[−2αx2 ] = h̄2 α .
−∞
Da cui segue:
Wψ
h̄2
k 1
=
α+
,
2µ
2 4α
e dall’annullamento della derivata dW ψ /dα = 0 si ricava finalmente:
√
kµ
µω
1
µω 2
α=
=
,
W (α) = h̄ω
,
ψ0 = N0 exp[−
x ].
2h̄
2h̄
2
2h̄
139
Trovata la funzione d’onda dello stato fondamentale, possiamo agire su di esso con l’operatore di creazione:
1
d
µω 2
†
ψ1 = â ψ= √
h̄
+ µω x N0 exp[−
x ]=
dx
2h̄
2µh̄ω
r
=
√
2µω
µω 2
x N0 exp[−
x ] = 2α x ψ0 .
h̄
2h̄
Quest’ultima è la usuale espressione del primo stato eccitato.
2) L’Hamiltoniana classica del rotatore è data da:
H=
M2
,
2I
e, assumendo la quantizzazione canonica, l’espressione precedente fornisce anche l’energia
quantistica. Le autofunzioni dell’operatore M 2 sono le armoniche sferiche, con gli usuali
autovalori:
h̄2 l(l + 1)
ψlm = R(r)Ylm (θ, φ)
Wl =
,
2I
dove R(r) è un’arbitraria funzione della sola r , che possiamo pensare normalizzata, e
gli autovalori, salvo il primo, sono degeneri.
Scegliamo l’asse delle z diretto come il campo elettrico, e introduciamo la perturbazione:
V 0 = −d · E = −d
r
· E = −d E cos θ .
r
Dobbiamo ora calcolare i valori di aspettazione di V 0 sullo stato fondamentale, non
degenere. Al primo ordine si ottiene zero, in quanto cos θ è dispari, mentre per il secondo
ordine possiamo osservare che:
r
0
V = −d E cos θ = −d E
4π
Y10 ,
3
e quindi che l’unico elemento di matrice diverso da zero è :
h Y00 | V 0 | Y10
r
1
i = −d E √
4π
1
4π
h Y10 | Y10 i = −d E √ .
3
3
(0)
(0)
Questa espressione va quadrata e divisa per W0 − W1
cosı̀ al risultato richiesto:
W0 =
(0)
W0
+
W00
+
W000
= −2h̄2 /2I = −h̄2 /I , portando
d2 E 2 I
+ ... = W0 = −
.
3h̄2
140
00