LEZIONI SISTEMI LINEARI

SISTEMI
LINEARI
RISOLUZIONE DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Dato il seguente sistema lineare di m equazioni in n incognite:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ...a1n xn = h1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ...a2 n xn = h2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ...a3n xn = h3
..............

am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ...am n xn = h m
I numeri aij si dicono coefficienti dell’incognita x, i numeri hi si chiamano termini noti e le lettere
x1 , x2 ,... xn le incognite del sistema.
Il sistema è OMOGENEO se i termini noti h1 , h2 , h3 ,...hm sono TUTTI NULLI.
Un sistema lineare si dice possibile se ammette almeno una soluzione, impossibile se non ammette
soluzioni.
Un sistema lineare possibile può essere:
a) determinato , una soluzione
b) indeterminato, infinite soluzioni
RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DI UN SISTEMA DI EQUAZIONI LINEARI
indichiamo con
A = la matrice dei coefficienti o matrice incompleta
X = la matrice colonna delle incognite e B = la matrice dei termini noti
A’ = la matrice completa
Il sistema può essere scritto sotto la forma A*X=B.
FACOLTÀ DI ARCHITETTURA PESCARA Corso di Laurea Triennale Pianificazione del territorio e dell’ambiente Classe L-21
Istituzioni di Matematica ed elementi di Statistica Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
Pagina 1 di 3
SISTEMI
LINEARI
SISTEMA DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE
Primo caso : determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero A ≠ 0 , si possono
applicare i due metodi descritti.
METODO DELLA MATRICE INVERSA : da A ⋅ X = B si ottiene X = A−1 ⋅ B oppure
REGOLA DI CRAMER
Data la matrice A dei coefficienti il sistema ammette una e una sola soluzione.
Il valore della generica incognita è xi =
Ai
dove Ai è il determinante della matrice che si ottiene
A
dalla matrice A sostituendo alla i-esima colonna ( quella dei coefficienti dell’incognita che si vuole
calcolare) la colonna dei termini noti del sistema.
2 1
2 x + x2 = 5
A=
= −3 ≠ 0
Esempio:  1
1 −1
 x1 − x2 = 1
A
A
−6
−3
x1 = 1 =
= 2 x2 = 2 =
=1
A −3
A −3
A1 =
5
1
1 −1
= −6
A2 =
2 5
1 1
= −3
Se A = 0 | per decidere se il sistema ammette o no soluzioni bisogna ricorrere al teorema di
Rouchè-Capelli.
SISTEMA DI
m
EQUAZIONI IN n INCOGNITE
Un sistema lineare è possibile ( soluzioni determinate o indeterminate) se e soltanto se la matrice
dei coefficienti e la matrice completa del sistema hanno lo STESSO RANGO .
Pertanto , indicato con k il rango comune delle due matrici e con n il numero delle incognite segue
che:
a.
se k < n il sistema ammette infinite soluzioni dove n − k indica il numero delle incognite alle
quali si possono attribuire valori arbitrari;
b.
se k = n il sistema ammette una sola soluzione.
Se le due matrici, completa e incompleta, A e A’, non hanno lo stesso rango il sistema non
ammette soluzioni.
FACOLTÀ DI ARCHITETTURA PESCARA Corso di Laurea Triennale Pianificazione del territorio e dell’ambiente Classe L-21
Istituzioni di Matematica ed elementi di Statistica Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
Pagina 2 di 3
SISTEMI
LINEARI
Procedimento risolutivo di un sistema lineare:
indicato con k il rango delle due matrici A e A’ ,
a) si individua una matrice quadrata H non singolare ( cioè che non abbia il determinante
nullo ) di ordine k ;
b) se risulta k < m si considerano le k equazioni del sistema corrispondenti alle righe di H ,
trascurando le rimanenti m − k equazioni. Nel caso che sia m = k si conservano tutte le equazioni;
c) si prendono come incognite del sistema , le k incognite corrispondenti ai coefficienti che
costituiscono le colonne di H , e si attribuiscono, alle eventuali n − k incognite restanti, dei valori
particolari, scelti ad arbitrio;
d) si è così ottenuto un sistema di k equazioni in k incognite la cui matrice dei coefficienti
è H. Essendo per ipotesi il determinante di questa matrice diverso da 0 il sistema risulta possibile e
determinato e lo si può risolvere con il metodo di Cramer oppure con il metodo della matrice
inversa .
Osservazioni e conclusioni:
1) se il rango delle due matrici coincide e
a) k = n il sistema è determinato
b) k < n il sistema ammette infinite soluzioni ∞n − k
2) Se m = n e A ≠ 0 il sistema è possibile e determinato
3) Se m = n e A = 0 si dovrà applicare il teorema di Rouchè-Capelli.
Per la ricerca delle soluzioni di un sistema omogeneo , oltre alla soluzione nulla , bisogna che esso
verifichi le condizioni poste dal teorema di Rouchè-Capelli: infatti la matrice completa del sistema
si ottiene dalla incompleta aggiungendo una colonna di elementi nulli: esse hanno quindi lo stesso
rango.
METODO DI ELIMINAZIONE
Il metodo consiste nell’applicazione ripetuta di combinazioni lineari in modo da eliminare
un’incognita per volta nelle successive equazioni:
1) si sceglie un’equazione con il coefficiente della prima incognita diverso da zero am1 ≠ 0 (
possibilmente con il coefficiente uguale a uno ) ;
2) si riscrive questa equazione e si eliminano gli altri coefficienti am1 ≠ 0 mediante una
combinazione lineare tra le due equazioni ( applicando la stessa proprietà dei determinanti );
3) si ripete il procedimento fino ad avere la soluzione dell’ultima incognita e da questa risalire alle
soluzioni delle precedenti incognite
4) se m = n , numero delle equazioni uguale al numero delle incognite il sistema ammette una sola
soluzione
5) se m < n , numero delle equazioni minore del numero delle incognite, si hanno h = n − m
incognite a cui si possono assegnare valori arbitrari;
6) se nel procedimento figurano uguaglianze false il sistema è incompatibile.
FACOLTÀ DI ARCHITETTURA PESCARA Corso di Laurea Triennale Pianificazione del territorio e dell’ambiente Classe L-21
Istituzioni di Matematica ed elementi di Statistica Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
Pagina 3 di 3