Lezione 11: 25 Febbraio 2014

Tutorato
di
Algoritmi
e
Strutture
Dati
[CT0371]
Lezione 11: 25 Febbraio 2014
Tutor: Alberto Carraro
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Esse dunque possono essere distribuite al di fuori di queste lezioni solo con il permesso del docente.
In questa lezione rivediamo gli argomenti visti a lezione nelle settimane precedenti:
• Quicksort e analisi della complessità nei casi migliore, peggiore e medio.
• Ottimizzazioni del quicksort:
– Partizionamento triplice (problema della bandiera olandese)
– Utilizzo dell’Insertion Sort per vettori di piccole dimensioni
– Randomizzazione della scelta dell’elemento pivot
• Struttura dati Heap:
– Definizione di Heap
– Dimostrazione che l’altezza di un heap di n elementi è pari a log n
– Illustrato che nell’array che rappresenta un heap di n elementi, le foglie sono i nodi con indici
n
n
2 + 1, 2 + 2, . . . , n.
– Ilustrato che esistono al massimo
n
2h +1
nodi di altezza h in un qualsiasi heap di n elementi
– Max Heap e Min Heap
– Funzione Max Heapify max heapify(Heap A, NodeIndex i) e calcolo della sua complessità
– Funzione build heap(Array A) per costruire un heap e illustrazione dell’invariante sul ciclo for
presente nella stessa.
Consideriamo la terminologia data nel libro [CLRS]. Un albero binario T è:
• bilanciato (in altezza) se per ogni nodo x di T , abbiamo che |height(x.lef t) − height(x.right)| ≤ 1.
• completo se ogni nodo interno di T ha esattamente due figli
• completamente bilanciato se T è completo e tutte le foglie hanno la stessa profondità
Un max-heap
Esercizio 1 (Es 2 appello del 18/06/2010, parte II) Sono dati due alberi binari completamente bilanciati A e B, aventi la stessa altezza h e tali che la somma del loro numero di nodi è n. Le chiavi memorizzate
nei nodi di A e B soddisfano la proprietà di maxheap. Si vogliono fondere i due alberi, ottenendo un maxheap
di altezza h + 1 con n nodi.
(a) Progettare una soluzione di costo in tempo Θ(n) e in spazio aggiuntivo Θ(n).
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(b) Progettare una soluzione di costo in tempo O(log n) e spazio aggiuntivo costante.
La rappresentazione dell’albero binario utilizza esclusivamente i campi left, right e key.
Svolgimento:
(b) Anche se poò sembrare strano, risulta pù semplice risolvere il punto (b). Infatti basta accostare i due
alberi A, B e renderli figli rispettivamente destro e sinistro di un nuovo nodo. Resta solo da assegnare
un valore chiave a tale nuovo nodo radice. Per farlo togliamo la foglia più a destra dell’albero messo
come figlio destro (ovvero B) e diciamo che è la nuova radice. A questo punto abbiamo un quasi-max
heap e ci dobbiamo applicare la funzione MAX HEAPIFY. Supponiamo di avere:
– una funzione RIMUOVI ULTIMA FOGLIA(x) modifica un albero binario x rimuovendo l’ultima foglia
più a destra, diciamo f , e restituisce f .
– una funzione MAX HEAPIFY(x) che lavora direttamente sulla rappresentazione a puntatori invece
che sugli array
FUSIONE(x,y)
if (x == NIL)
return NIL
Node r = RIMUOVI_ULTIMA_FOGLIA(y)
r.left = x
r.right = y
MAX_HEAPIFY(r)
return r
(a) Ispirati dalla soluzione del punto (b), sappiamo che basta copiare i due alberi in un nuovo array C
di dimensione n copiando A in tutte le posizioni corrispondenti a nodi del sottoalbero sinistro di una
nuova radice, e copiando B in tutte le posizioni corrispondenti a nodi del sottoalbero destro della nuova
radice. Infine abbiamo lasciato fuori un solo nodo (l’ultima foglia a dx di B) e la mettiamo nella prima
cella di C. Concludiamo applicando MAX HEAPIFY a C.
COPIA(x,i,C,dim)
if (x != NIL){
C[i] = x.key
Node z = COPIA(x.left,left(i),C,dim)
if (right(i) < dim){
return COPIA(x.right,right(i),C,dim)
else
return x.right
}
return NIL
FUSIONE(x,y){
Key_Type C[n]
Node z = COPIA(x,2,C,n)
z = COPIA(y,3,C,n)
C[1] = z.key
MAX_HEAPIFY(C)
return C
}
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References
[1] C. Demetrescu, I. Finocchi, G.F. Italiano, Algoritmi e strutture dati 2/ed. McGraw-Hill, 2008.
[2] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Introduzione agli algoritmi e strutture dati 3/ed,
McGraw-Hill, 2010.