Appendice 3 - Siti personali

Appunti di
Compatibilità Elettromagnetica
Appendice 3 - Onde piane
Introduzione ............................................................................................... 1
Equazioni delle onde piane: equazione di Helmolthz.................................. 2
Risoluzione delle equazioni di Helmotz: il campo elettrico ........................ 5
Il vettore d’onda ................................................................................... 8
L’onda piana uniforme.......................................................................... 9
Il campo magnetico .................................................................................... 9
Riepilogo sulle onde piane........................................................................ 10
Lunghezza d’onda e velocità di fase.................................................... 11
Osservazione....................................................................................... 13
Propagazione di onde piane in un mezzo con perdite (σ≠0) ...................... 15
Espressione del campo elettrico.......................................................... 17
Il vettore di propagazione ................................................................... 18
Velocità di fase ................................................................................... 20
La costante di propagazione intrinseca γ ............................................ 21
Il campo magnetico............................................................................. 22
Impedenza caratteristica del mezzo..................................................... 22
Disposizione dei vettori di campo ....................................................... 23
Vari tipi di onde ....................................................................................... 23
INTRODUZIONE
Lo studio delle cosiddette onde piane è molto utile per due motivi essenziali:
• intanto, esse rappresentano una buona approssimazione delle onde che effettivamente si
propagano in gran parte dei casi di interesse pratico, specialmente quando ci si pone ad
una sufficiente distanza dalla sorgente che le ha generate;
• inoltre, molti casi più complessi di propagazione possono essere risolti considerando una
sovrapposizione di onde piane: un esempio tipico sono le linee di trasmissione, dove si
propagano due onde piane, una incidente e l’altra riflessa, di tipo TEM (cioè Trasverso
ElettroMagnetico, ossia con campo elettrico e campo magnetico ortogonali tra loro e
ortogonali alla direzione di propagazione).
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
EQUAZIONI DELLE ONDE PIANE: EQUAZIONE DI HELMOLTHZ
Il nostro scopo è quello di studiare l’evoluzione, SIA nello spazio SIA nel tempo, del campo
elettrico e del campo magnetico. Per prima cosa, dobbiamo ricavare le espressioni cui devono
obbedire il campo elettrico ed il campo magnetico quando si propagano in un mezzo con le seguenti
caratteristiche:
• si tratta di un mezzo omogeneo, il che significa che la conducibilità σ, la permettività µ e la
permeabilità ε sono ovunque costanti;
• si tratta inoltre di un mezzo isotropo, il che significa che σ, µ ed ε sono semplicemente degli
scalari, ed in particolare di un mezzo perfettamente isolante, il che significa σ=0;
r
• si tratta, infine, di un mezzo privo di cariche libere, cioè con ρ( r ) = 0 , e privo anche di
r r
generatori di corrente o tensioni impresse, cioè tale che J ( r ) = 0 .
Facciamo osservare che, sotto tutte queste ipotesi, il mezzo considerato può essere
tranquillamente considerato come lo spazio libero privo di perdite, il quale infatti costituisce un
dielettrico perfetto quando si tratta del vuoto (cioè quando µ=µ0 e ε=ε0).
Il punto di partenza sono naturalmente le equazioni di Maxwell ed in particolare le prime due:
r
r
∂B
∇×E=−
∂t
r
r r ∂D
∇×H=J+
∂t
Sottolineiamo che siamo nel dominio del tempo, per cui queste sono equazioni solo vettoriali,
che cioè includono solo i vettori rappresentativi del campo elettrico, del campo magnetico, del
campo di induzione magnetica
e della densità di spostamento.
r r
Avendo detto che J ( r ) = 0 , è chiaro che la seconda equazione diventa
r
r ∂D
∇×H =
∂t
Inoltre, avendo detto che µ ed ε sono degli scalari, possiamo usare le seguenti relazioni
costitutive del mezzo considerato:
r
r
D = εE
r
r
B = µH
Sostituendo, abbiamo dunque che
r
r
∂H
∇ × E = −µ
∂t
r
r
∂E
∇×H = ε
∂t
Adesso calcoliamo il rotore di entrambi i membri di entrambe queste equazioni:
Autore: Sandro Petrizzelli
2
Le onde piane
r
r
 ∂H 

∇ × ∇ × E = −µ∇ × 

 ∂t 
r
r
 ∂E 
∇ × ∇ × H = ε∇ ×  
 ∂t 
(
)
(
)
Il segno di derivata può essere portato fuori dall’operatore rotore (che è lineare), per cui
(
)
(
)
(
r
r
∂
∇ × ∇ × E = −µ ∇ × H
∂t
r
r
∂
∇× ∇×H = ε ∇×E
∂t
(
)
)
r
r
r
r
∂H
∂E
Sfruttando sempre le stesse equazioni di Maxwell ∇ × E = − µ
e ∇×H=ε
, possiamo
∂t
∂t
modificare le espressioni dei secondi membri della relazioni ottenute:
r
r
r
∂  ∂E 
∂2E
 = −µε 2
∇ × ∇ × E = −µ  ε
∂t  ∂t 
∂t
r
r
r
∂
∂H 
∂ 2H
 = −µε 2
∇ × ∇ × H = ε  − µ
∂t 
∂t 
∂t
(
)
(
)
Ponendo adesso
c = velocità della luce =
quelle equazioni diventano
(
)
(
)
r
1
∇× ∇×E = − 2
c
r
1
∇× ∇×H = − 2
c
1
µε
r
∂2E
∂t 2
r
∂ 2H
∂t 2
Passiamo
r a semplificare i secondi membri: è facile verificare che, dato un generico campo
vettoriale A , vale la relazione
r
r
r
∇ × ∇ × A = ∇∇ • A − ∇ 2 A
(
)
Applicandola al campo elettrico ed a quello magnetico, otteniamo
r
r
r
∇ × ∇ × E = ∇∇ • E − ∇ 2 E
r
r
r
∇ × ∇ × H = ∇∇ • H − ∇ 2 H
(
(
)
)
per cui le nostre relazioni diventano
3
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
r
r
r
1 ∂2E
2
∇∇ • E − ∇ E = − 2 2
c ∂t
r
r
r
1 ∂2H
2
∇∇ • H − ∇ H = − 2 2
c ∂t
r
Possiamo però ancora semplificare: in primo luogo, sappiamo che ∇ • H = 0, per cui la seconda
equazione diventa
r
r 1 ∂ 2H
2
∇ H= 2 2
c ∂t
r
Inoltre, in base alla terza equazione di Maxwell ∇ • D = ρ , avendo supposto che ρ=0, abbiamo
r
r
r
evidentemente
che
∇
•
D
=
0
e
quindi
anche,
sfruttando
la
relazione
costitutiva
D
=
ε
E
, che
r
∇ • E = 0 : di conseguenza, la prima equazione diventa
r
r 1 ∂ 2E
∇ E= 2 2
c ∂t
2
In conclusione, quindi, le equazioni che regolano la propagazione del campo elettrico e del campo
magnetico nel mezzo considerato sono
r
r 1 ∂ 2H
2
∇ H= 2 2
c ∂t
r
r 1 ∂ 2E
2
∇ E= 2 2
c ∂t
Queste sono delle equazioni differenziali lineari, del 2° ordine, che legano le derivate parziali
relative alle coordinate spaziali (cioè l’operatore ∇ 2 ) con la derivata rispetto al tempo.
Un caso particolare è quello in cui le sorgenti che generano questi due campi sono di tipo
jω t
sinusoidale e : in questo caso, supponendo di trovarci in regime sinusoidale permanente,
sappiamo di poter passare nel dominio dei fasori, semplicemente sostituendo l’operatore ∂ ∂t con
l’operatore jω e considerando i vettori presenti come anche dei fasori (cioè numeri complessi, dotati
perciò di modulo e fase). Le equazioni diventano dunque le seguenti:
r
r
∇ 2 H + ω 2 µεH = 0
r
r
∇ 2 E + ω 2 µεE = 0
Quelle appena scritte sono note come equazioni vettoriali (fasoriali) delle onde o anche
equazioni di Helmholtz: si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali, con coefficienti
costanti e dobbiamo trovare il modo di risolverle.
Autore: Sandro Petrizzelli
4
Le onde piane
RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI HELMOTZ: IL CAMPO ELETTRICO
Dobbiamo dunque risolvere le equazioni
r
r
∇ 2 H + ω2µεH = 0
r
r
∇ 2 E + ω2 µεE = 0
2
2
Per nostra comodità, poniamo k = ω µε , per cui le due equazioni diventano
r
r
∇2H + k2H = 0
r
r
∇2E + k2E = 0
Dato che si tratta di due equazioni formalmente identiche, ne risolviamo solo una, per esempio
quella del campo elettrico. Cominciamo col ricordare l’espressione dell’operatore ∇ 2 [ ] e, in
particolare, le espressioni delle sue tre componenti in un generico sistema di riferimento Oxyz:
(
r
∇2E
(
r
∇ E
(
r
∇ E
2
2
)
)
)
x
y
y
=
=
=
∂2Ex ∂2Ex ∂2Ex
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂2Ey
∂x 2
∂2Ey
∂x 2
+
+
∂2Ey
∂y 2
∂2Ey
∂y 2
+
+
∂2Ey
∂z 2
∂2Ey
∂z 2
r
r
Allora, l’equazione vettoriale (e anche fasoriale) ∇ 2 E + k 2 E = 0 equivale alle tre equazioni scalari
∂2Ex ∂2Ex ∂2Ex
+
+
+ k2Ex = 0
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂2Ey
∂x
2
∂2Ey
∂x
2
+
+
∂2Ey
∂y
2
∂2Ey
∂y
2
+
+
∂2Ey
∂z
2
∂2Ey
∂z
2
+ k2Ey = 0
+ k2Ez = 0
N.B. Già a questo punto si deduce un risultato fondamentale: ciascuna componente del
campo elettrico (e ovviamente anche di quello magnetico) evolve
nello spazio e nel tempo in modo del tutto indipendente dalla
presenza e dalla evoluzione delle altre componenti. Naturalmente,
come vedremo più avanti e come indicano le equazioni di Maxwell, il campo elettrico ed il
campo magnetico sono strettamente collegati tra loro e l’esistenza di certe componenti del
primo implica quelle di altre componente del secondo.
Anche qui abbiamo tre equazioni formalmente identiche, per cui risolviamo solo la prima: in
particolare, proviamo a verificare se essa è soddisfatta da una soluzione del tipo
E x ( x, y, z ) = f ( x) g( y) q ( z )
5
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
Per fare questa verifica, dobbiamo imporre che questa soluzione verifichi l’equazione: allora, dato
che
∂E x df ( x)
∂ 2 E x d 2 f ( x)
=
→
=
g ( y) q ( z ) 
g ( y) q ( z )
∂x
dx
∂x 2
dx 2
∂E x
∂2Ex
dg( y)
d 2 g( y )
q ( z) 
q ( z)
= f ( x)
→
= f ( x)
∂y
dy
∂y 2
dy 2
∂E x
dq ( z)
= f ( x ) g( y)
dz
∂z
∂2Ex
d 2 q ( z)
=
f
(
x
)
g
(
y
)
dz 2
∂z 2

→
l’equazione che risulta dalla sostituzione è
d 2 g( y )
d 2 q ( z)
d 2 f ( x)
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+ k 2 f ( x ) g( y) q ( z ) = 0
g
y
q
z
f
x
q
z
f
x
g
y
2
2
2
dx
dy
dz
Dividendo per f(x)g(y)q(z) otteniamo
1 d 2 f ( x)
1 d 2 g( y)
1 d 2 q ( z)
+
+
= −k 2
2
2
2
f ( x) dx
g( y) dy
q ( z) dz
Abbiamo dunque ottenuto che la somma di tre termini, uno variabile solo con x, uno variabile
solo con y ed uno variabile solo con z, deve essere pari ad una costante. Allora, poniamo
arbitrariamente
− k 2x =
1 d 2 f (x)
f ( x ) dx 2
− k 2y =
1 d 2 g ( y)
g( y) dy 2
− k 2z =
1 d 2 q ( z)
q (z) dz 2
e determiniamo questi fattori in modo che sia verificata l’equazione
k x2 + k 2y + k 2z = k 2
che prende il nome di equazione di separazione.
Dobbiamo dunque semplicemente risolvere quelle tre equazioni differenziali, che possono essere
poste, in forma per noi più comoda, nel modo seguente:
d 2 f (x)
+ k 2x f ( x ) = 0
2
dx
d 2 g ( y)
+ k 2y g ( y) = 0
2
dy
d 2 q(z)
+ k 2z q (z) = 0
2
dz
Si tratta di equazioni differenziali, ciascuna in una sola variabile, di ordine 2, omogenee a
coefficienti costanti: le rispettive soluzioni sono
f ( x) = Ae jk x x + Be − jk x x
g( y) = Ce
jk y y
+ De
− jk y y
q ( z) = Ee jk z z + Fe − jk z z
Autore: Sandro Petrizzelli
6
Le onde piane
Queste, per comodità di calcolo, possono anche essere scritte, in forma più compatta, come
f ( x ) = Ae ± jk x x
g ( y) = Be
± jk y y
q (z) = Ce ± jk z z
dove però dobbiamo sempre ricordare che, per ciascuna funzione, la costante moltiplicativa del
termine e jk x x è diversa da quella del termine e − jk x x , per cui i due termini sono ben distinti.
Ovviamente, queste soluzioni saranno univocamente determinate solo a patto di determinare le
costanti (che sono 6) che compaiono. Possiamo però semplificarci i calcoli nel modo seguente:
intanto, ricordando che E x ( x, y, z) = f ( x) g( y) q ( z) , abbiamo che
E x ( x, y, z) = Ae ± jk x x Be
Se adesso poniamo
è evidente che possiamo scrivere
± jk y y
Ce ± jk z z = ABCe
(
± j k x x +k y y+k zz
)
E 0 X = ABC
r
r
r
r
k = k xa x + k ya y + k za z
r
r
r
r
r = r x a x + ry a y + rz a z
r r
± j k• r
E x ( x, y, z) = E 0 X e ( )
Naturalmente, con un procedimento assolutamente identico, le soluzioni delle altre due equazioni
∂2Ey
∂x
2
∂ Ey
+
2
∂x
risultano essere
2
∂2 Ey
∂y
2
∂ Ey
+
2
+
∂y
2
+
∂2 Ey
∂z
2
∂2 Ey
∂z
2
+ k2Ey = 0
+ k2Ez = 0
r r
± j k• r
E y ( x, y, z) = E 0Ye ( )
r r
± j k• r
E z ( x, y, z) = E 0 Ze ( )
ed è ovvio come le tre relazioni trovate differiscano solo per i valori delle costanti E0X, E0Y ed E0Z.
Il campo elettrico totale sarà evidentemente
r
r
r
r
E = Exax + Eyay + Ezaz
7
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
ossia
r
r
r
r ± j( kr • rr )
E ( x , y , z ) = E 0 X a x + E 0Y a y + E 0 Z a z e
(
Possiamo inoltre porre
)
r
r
r
r
E 0 = E 0 X a x + E 0Y a y + E 0 Z a z
per cui la soluzione generale è
r r ± j( kr •rr )
E = E0e
Se poi vogliamo riferirci al dominio convenzionale del tempo, dobbiamo semplicemente applicare
le note formule di antitrasformazione, scrivendo che
r r
r
r
±
• r ) jωt 
j
k
(
e( x, y, z, t ) = Re  E 0e
e


Il vettore d’onda
r
r
r
r
r
Il vettore k = k x a x + k y a y + k z a z , il cui modulo è evidentemente k = ω µε , prende il nome di
vettore d’onda e possiamo vedere meglio di cosa si tratta.
r
Nelle nostre ipotesi, sussiste in ogni punto dello spazio la relazione ∇ • E = 0 : vediamo allora di
calcolare l’espressione di quella divergenza, al fine di porla uguale a zero.
Supponendo di lavorare sempre nel dominio dei fasori, abbiamo che
(
)
(
r r
r r
r r
r
r
r
r
∇ • E = ∇ • E 0 e ± j(k• r ) = e ± j(k• r )∇ • E 0 + E 0 • ∇ e ± j(k• r )
)
r
r
Essendo E 0 una costante, risulta ∇ • E 0 = 0 , per cui
(
)
(
)
r r
r r
r r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∇ • E = ∇ • E 0 • ∇ e ± j(k• r ) = ∇ • E 0 • e ± j(k • r ) (k x a x + k y a y + k z a z ) = e ± j(k • r )E 0 • (k x a x + k y a y + k z a z )
r
e quindi, ricordando la definizione del vettore k , possiamo concludere che
r r r
r r r
r
∇ • E = e ± j(k• r )E 0 • k = E • k
r
D’altra parte, dovendo essere ∇ • E = 0 in ogni punto, deduciamo che
r r
E•k = 0
Questa relazione ci dice che il vettore campo elettrico
r
d’onda k sono ortogonali tra di loro.
Autore: Sandro Petrizzelli
8
r
E
ed il vettore
Le onde piane
L’onda piana uniforme
r r
r
r
La soluzione E( x , y, z, t ) = E 0 e ± jk• r e jωt prende il nome di onda piana uniforme. Vediamo il
perché di questo nome.
r r
r
r
Intanto, si chiama fase dell’onda E ( x , y , z, t ) = E 0 e ± jk • r e jωt la quantità
r r
ϕ = k • r + ωt = k x x + k y y + k z z + ωt
(ossia l’argomento complessivo dell’esponenziale). E’ evidente, allora, che, fissato un qualsiasi
istante t, il luogo dei punti dell’onda che si trovano a fase costante è definito dalla relazione
r r
ϕ = k • r + ωt = cos t
Questo luogo di punti a fase costante (che prende il nome di fronte
d’onda) risulta essere un
r
piano ortogonale alla direzione su cui giace il vettore d’onda k ed è questo il motivo per cui si
parla di onda “piana”. L’aggettivo “uniforme” si riferisce invece al fatto per cui il campo elettrico (e
vedremo anche il campo magnetico) è costante su ciascun fronte d’onda.
IL CAMPO MAGNETICO
Per ricavare il campo magnetico associato alla generica onda piana, abbiamo a disposizione due
strade: la prima è quella di effettuare gli stessi passaggi visti fino ad ora, applicati però all’equazione
r
r
∇ 2 H + ω 2 µεH = 0
La seconda strada, invece, è quella di utilizzare l’espressione ricavata per il campo elettrico e la
relazione che lo lega al campo magnetico (nel dominio sempre dei fasori) :
r
r
∇ × E = − jωµH
Seguiamo ovviamente questa seconda strada: tenendo conto che il campo elettrico è risultato
r r
r
r
essere E( x , y, z) = E 0 e ± jk • r , abbiamo che
(
)
(
)
(
)
r r
r r
r
r
r
r
v
1
1
1 ± jkr •rr
1
H=−
∇× E = −
∇ × E 0 e ± jk • r = −
e
∇ × E0 −
∇e ± jk • r × E 0
jωµ
jωµ
jωµ
jωµ
r
r
Tenendo conto che ∇ × E 0 = 0 (visto che E 0 è una costante) e facendo i calcoli solo per l’onda
r rr
E 0 e jk • r , abbiamo che
(
)
(
)
(
)
(
)
r r
r r
r rr
r
r
r
r
r
r
r
1
1
1
1 r r jkr • rr
H=−
∇e jk • r × E 0 = −
e jk• r j(k x a x + k y a y + k z a z ) × E 0 = −
je jk• r k × E 0 =
k × E0 e
jωµ
jωµ
jωµ
ωµ
9
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
r
r
r
Ponendo adesso k = ka k = ω µε a k , abbiamo che
(
(
)
)(
r r
r r
r
r
r
r
 εr
 εr
r
1
 a k × E 0 e jk • r = 
 ak × E
H=
ω µε a k × E 0 e jk• r = 

 µ
ωµ
 µ


)
(
)
(
)
Ponendo infine
η = impedenza caratteristica del mezzo =
possiamo concludere che
(
r
1 r r
H( x , y, z) = a k × E
η
µ
ε
)
Se, ancora una volta, facciamo riferimento al dominio del tempo, possiamo dunque concludere
che
r
r
1 r

h( x, y, z, t ) = Re  a k × E e jωt 
η

(
)
Da questa espressione scaturiscono due importanti considerazioni:
• in primo luogo, si osserva, in base alle proprietà del prodotto vettoriale, che il campo
magnetico ed il campo elettrico sono in ogni punto ortogonali tra loro e a loro volta
r
r r r
ortogonali al vettore d’onda k ; in particolare, la terna e, h, k rappresenta una
terna destrogira se si considera l’onda diretta (cioè se si
r r
− jk • r
considera il termine e
per il campo elettrico) oppure una
terna sinistrogira se si considera l’onda riflessa (cioè se si
r r
jk • r
considera il termine e
per il campo elettrico);
• in secondo luogo, si osserva anche che il campo elettrico e il campo
magnetico sono in fase tra di loro: ciò significa, in termini concreti, che
quando è massimo (o minimo o nullo) il campo elettrico, è massimo (o minimo o nullo) il
campo magnetico; ovviamente, sono diversi i moduli dei due campi, visto che il modulo
del campo magnetico è più piccolo di quello del campo elettrico di una quantità pari
all’impedenza caratteristica del mezzo considerato.
RIEPILOGO SULLE ONDE PIANE
Possiamo dunque riassumere quanto detto fino ad ora nel modo seguente: le soluzioni delle
equazioni
r
r
∇ 2 H + ω 2 µεH = 0
r
r
∇ 2 E + ω 2 µεE = 0
Autore: Sandro Petrizzelli
10
Le onde piane
relative ad un mezzo omogeneo (σ=0, µ e ε ovunque costanti), isotropo (σ, µ ed ε scalari)
r r e privo di
r
cariche libere ( ρ( r ) = 0 ) e di generatori di corrente o tensioni impresse ( J ( r ) = 0 ), sono
rappresentate, nel dominio del tempo, dai campi
[
]
r r
r
r
e( x , y, z, t ) = Re E 0 e ± jk• r e jωt
r
1 r r

h ( x , y, z, t ) = Re  a k × E e jωt 
η

(
)
Tali campi rappresentano un onda piana uniforme, ossia una perturbazione elettromagnetica
avente le seguenti caratteristiche:
• il campo elettrico ed il campo magnetico siano in ogni punto ortogonali tra loro e
ortogonali alla direzione di propagazione dell’onda;
• i fronti d’onda sono piani a fase costante ortogonali alla direzione di propagazione;
r
r
• tale direzione di propagazione è rappresentata dal vettore d’onda k = ω µε a k .
(
)
In base a quanto appena detto, questo tipo di propagazione prende il nome di onda TEM o anche
modo TEM dove l’acronimo TEM sta per Transverse Electric Magnetic.
Lunghezza d’onda e velocità di fase
r r
r
r
Abbiamo detto prima che la funzione E( x , y, z) = E 0 e ± jk• r rappresenta l’andamento spaziale del
campo elettrico (nel dominio della frequenza); sappiamo, invece, che il campo elettrico fisico
corrispondente a questo campo
si ottiene prendendo la parte reale di quella quantità: allora,
r
nell’ipotesi in cui il termine E 0 sia reale, tale campo elettrico fisico è
[
]
[
]
(( )
r r
r r
r r
r
r
r
E( x , y, z, t ) = Re E 0 e ± jk• r e jωt = E 0 Re e ± jk• r e jωt = E 0 cos k • r − ωt
)
dove abbiamo sfruttato la nota formula e x+ jy = e x ( cos y + jsiny) ed abbiamo inoltre considerato, nel
calcolare la parte reale, solo l’onda diretta e
Diamo adesso qualche definizione:
Def.
r r
− jk • r
.
Si definisce lunghezza d’onda (simbolo: λ) la distanza
l’onda deve percorrere perché la sua fase cambi di 2π
che
Da un punto di vista analitico, quindi, la lunghezza d’onda λ è quella quantità che soddisfa la
relazione kλ = 2π , dalla quale, quindi, si ricava che
λ=
2π
k
11
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
(
)
r
r
Ma, avendo detto che k = ω µε a k , è chiaro che
λ=
2π
1
c
=
=
ω µε f µε f
(dove c è la velocità della luce nel mezzo considerato, mentre f è la frequenza) e questo è dunque il
valore della lunghezza d’onda per un’onda piana uniforme.
Altra definizione importante è la seguente:
Def. Si definisce velocità di fase di un’onda (simbolo vP dove “P”
sta per “phase”) la velocità alla quale deve muoversi un
osservatore perché veda una fase complessiva costante.
In alternativa, la velocità di fase si può definire come la velocità con cui si spostano i punti in cui
il campo ha la stessa fase.
L’espressione
r ranalitica della velocità di fase si ricava nel modo seguente: perché l’osservatore
veda una fase k • r − ωt costante, deve accadere che
r r
k • r − ωt = cos t
Indicato con θ l’angolo tra il vettore d’onda ed il raggio vettore, quella relazione diventa
kr cos θ − ωt = cos t
Differenziando membro a membro rispetto a t, otteniamo
kdr cos θ − ωdt = 0
da cui quindi otteniamo
vP =
dr
ω
=
dt k cos θ
Sostituendo il valore del modulo del vettore d’onda, otteniamo
vP =
ω
ω µε cos θ
1
=
µε cos θ
Ricordandoci adesso che abbiamo definito la velocità della luce nel mezzo considerato come
1
c=
, quella relazione diventa
µε
vP =
c
cosθ
Dato che cosθ≤1, è evidente che la velocità di fase nella direzione x è sempre maggiore della
velocità della luce, che è invece la velocità dell’onda lungo la direzione del vettore d’onda, ossia
lungo la direzione di propagazione.
Autore: Sandro Petrizzelli
12
Le onde piane
y
θ
r
aK
r
r
x
vP
z
Osservazione
Torniamo per un attimo alle equazioni da cui siamo partiti all’inizio:
r
1
∇ H= 2
v
r
1
∇2E = 2
v
2
r
∂ 2H
∂t 2
r
∂2E
∂t 2
Supponiamo di effettuare una scelta del sistema di riferimento in modo tale che la direzione di
r
propagazione, individuata dal versore a K , venga a coincidere con l’asse z. In questa situazione,
avendo detto che sul generico fronte d’onda (che adesso è un piano ortogonale all’asse z) il campo
elettromagnetico è costante, deduciamo che tale campo non presenta variazioni con x e con y, per cui
rimangono solo la dipendenza dalla coordinata z e dal tempo: ciò comporta che quelle due equazioni
si riducano semplicemente a
r
r
1 ∂2H
∂2H
= 2
∂z 2
v ∂t 2
r
r
∂2E 1 ∂2E
=
∂z 2 v 2 ∂t 2
Si tratta di due equazioni vettoriali che possono essere poi proiettate lungo le tre direzioni del
sistema di riferimento prescelto: rispetto all’asse x, per esempio, abbiamo che
∂2HX
∂z 2
∂2EX
∂z 2
1 ∂2HX
v 2 ∂t 2
1 ∂2EX
= 2
v ∂t 2
=
Consideriamo solo l’equazione relativa al campo elettrico, visto che l’altra è formalmente
identica: è possibile dimostrare che le soluzioni di tale equazione sono del tipo
E X ( z , t ) = Af 1 ( z − vt ) + Bf 2 ( z + vt)
13
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
In base a quella relazione, E X ( z , t ) è somma di due onde:
• la prima onda è Af 1 ( z − vt ) , dove A è una costante arbitraria (che viene fuori dalla
integrazione e dipende dalle cosiddette “condizioni al contorno” del problema), mentre
f 1 ( z − vt) è una funzione arbitraria dell’argomento ( z − vt ) , che rappresenta una onda che si
propaga nel verso positivo dell’asse z;
• la seconda onda è Bf 2 ( z + vt) , dove B è un’altra costante arbitraria (sempre dipendente
dalle “condizioni al contorno”), mentre f 2 ( z + vt) rappresenta una onda che si propaga nel
verso negativo dell’asse z.
E’ immediato accorgersi f 1 ( z − vt) e f 2 ( z + vt) sono delle “onde piane” : intanto, queste onde, non
presentando dipendenza dalle coordinate x ed y, assumono ciascuna, all’istante t generico, un valore
costante su tutti i punti di ogni piano perpendicolare all’asse z. Cerchiamo allora di capire meglio
quali sono le caratteristiche di queste onde.
Consideriamo ad esempio f 1 ( z − vt) : fissati un punto z1 ed un istante t1, il valore che essa assume
in tale punto ed in tale istante è chiaramente dato da f 1 ( z 1 − vt 1 ) ; se ora prendiamo un nuovo punto
z 1 + ∆z ed un nuovo istante t 1 + ∆t , il corrispondente valore della funzione sarà
f 1 ( ( z 1 + ∆z) − v( t 1 + ∆t )) . Allora, se imponiamo l’uguaglianza tra questi due valori, ossia imponiamo
che
f 1 ( ( z 1 + ∆z) − v( t 1 + ∆t )) = f 1 ( z 1 − vt 1 )
è chiaro che questa relazione sussiste solo a patto che coincidano i due argomenti di f1, ossia che
risulti
( z 1 + ∆z) − v( t 1 + ∆t) = z 1 − vt 1
∆z
.
∆t
Questo risultato significa che i valori che
che corrisponde a v =
all’istante
t1
si
trasferiscono,
f 1 ( z − vt)
durante
il
assume nei vari punti
tempo
∆t,
nel verso
∆z
1
positivo dell’asse z (onda progressiva), con una velocità v =
=
.
∆t
ε 0µ 0
Potremmo adesso ripetere lo stesso discorso con riferimento a f 2 ( z + vt) : la conclusione è, in
questo caso, che f 2 ( z + vt) rappresenta un’onda piana che viaggia nel verso
negativo dell’asse x (onda regressiva). Infatti, il valore assunto da f 2 ( z + vt) nel
punto z1 al tempo t1 viene successivamente assunto da f 2 ( z + vt) nel punto z 1 − ∆z in un nuovo
∆z
istante t 1 + ∆t , propagandosi con una velocità v = −
.
∆t
Autore: Sandro Petrizzelli
14
Le onde piane
PROPAGAZIONE DI ONDE PIANE IN UN MEZZO CON PERDITE (σ
σ≠ 0)
Nel paragrafo precedente abbiamo studiato l’evoluzione, sia nello spazio sia nel tempo, del campo
elettrico e del campo magnetico in un mezzo omogeneo,
isotropo, perfettamente isolante (σ=0),
r r
r
privo di cariche libere ( ρ( r ) = 0 ) e privo di sorgenti ( J ( r ) = 0 ). Adesso vogliamo condurre lo stesso
studio con riferimento, però, ad un mezzo con perdite, ossia ad un mezzo che possiede una
conducibilità σ finita ma non nulla.
Dobbiamo come al solito partire dalle equazioni di Maxwell:
r
r
∂H
∇ × E = −µ
∂t
r
r
r
∂E
∇×H = ε
+ σE
∂t
jω t
e che si sia instaurato un regime
Nella “solita” ipotesi che le sorgenti siano di tipo armonico e
sinusoidale permanente, possiamo riscrivere tali equazioni nella forma fasoriale
r
r
∇ × E = − jωµH
r
r
r
r

σ r
E = jωε C E
∇ × H = jωεE + σE = jωε1 +
jωε 

La differenza tra queste
equazioni e quelle usate
r
r nel caso senza perdite sta evidentemente nella
presenza del termine σE nell’espressione di ∇ × H : come si osserva, la presenza di quel termine fa
si che il mezzo venga modellato non più con una costante dielettrica ε reale, ma con una costante
dielettrica equivalente complessa:

σ 
ε C = ε 1 +


jωε 
Il termine σ/ωε, la cui presenza contribuisce a differenziare εC da ε, prende il nome di tangente
di perdita del materiale ed è evidentemente funzione della frequenza1. Esso consente di classificare
i materiali nel modo seguente:
• quando σ/ωε è molto piccolo (<<1), abbiamo un buon isolante;
• quando σ/ωε è molto grande (>>1), abbiamo un buon conduttore;
r
r
r
Possiamo interpretare nel modo seguente la presenza delle perdite: l’equazione ∇ × H = jωεE + σE
dice sostanzialmente che ci sono due componenti di corrente nella legge di Ampere: una densità di
r
r
corrente di conduzione σE ed una densità di corrente di spostamento jωεE ; come ben sappiamo, la
corrente di conduzione è associata ad un fenomeno di perdita di energia (che invece sarebbe assente
se fosse σ=0), mentre la corrente di spostamento è associata all’immagazzinamento di energia. Il
rapporto tra queste due correnti è un indice dell’entità delle perdite nel materiale: tale rapporto è
evidentemente rappresentato dalla tangente di perdita σ/ωε; quindi, si ha un buon isolante
quando prevale la corrente di spostamento, mentre si ha un buon
conduttore quando prevale la corrente di conduzione.
1
I valori della tangente di perdita vengono misurati sperimentalmente e si trovato tabulati per parecchie frequenze
15
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
Notiamo inoltre che i fasori della corrente di conduzione e di quella di spostamento sono sfasati di
90°.
Ad ogni modo, a prescindere da queste considerazioni, il discorso da seguire, per risolvere le
equazioni, è lo stesso visto nel caso senza perdite, nel senso che dobbiamo arrivare alle espressioni
r
r
di ∇ 2 H e/o di ∇ 2 E .
Cominciamo dai secondi membri:
• per la prima equazione, abbiamo che
r
r
r
r
r
∇ × ∇ × E = − µ∇ × jωH = − jωµ ∇ × H = − jωµ jωε C E = ω 2 µε C E
(
)
(
)
(
)
(
)
• per la seconda equazione, in modo del tutto analogo, abbiamo che
(
)
( )
(
)
(
)
r
r
r
r
r
∇ × ∇ × H = ε∇ × jωE + σ∇ × E = ( jωε + σ ) ∇ × E = ( jωε + σ ) − jωµH =
r
r

jσ  r
σ r

2
H = ω2µε C H
= ω2µε − jωµσ H = ω2µε1 −
H = ω µε1 +
jωε 
 ωε 

(
)
Per quanto riguarda i primi membri delle due equazioni, abbiamo visto in precedenza (per cui non
ripetiamo la dimostrazione) che risulta
r
r
r
r
∇ × ∇ × E = ∇∇ • E − ∇ 2 E = −∇ 2 E
r
r
r
r
∇ × ∇ × H = ∇∇ • H − ∇ 2 H = −∇ 2 H
(
(
)
)
per cui possiamo concludere che le equazioni da risolvere sono
r
r
∇ 2 E = ω 2 µε C E
r
r
∇ 2 H = ω 2 µε C H
Abbiamo dunque a che fare, ancora una volta, con delle equazioni di Helmholtz, con la
differenza, rispetto al caso senza perdite, che la costante ε è stata sostituita dalla costante εC. Mentre,
nel caso senza perdite, ponevamo a questo punto k 2 = ω 2 µε , con k che risultava quindi reale, in
quest’altro caso poniamo

σ 

γ 2 = −ω2µε C = −ω2µε1 +
 jωε 
per cui le equazioni diventano
Autore: Sandro Petrizzelli
∇
2
∇
2
r
r
E − γE = 0
r
r
H − γH = 0
16
Le onde piane
Espressione del campo elettrico
Risolviamo una delle due equazioni, ad esempio quella del campo elettrico: anche qui, il discorso
è identico a quello fatto nel caso senza perdite, salvo a tener conto del fatto che γ è una costante
complessa (mentre nel caso senza perdite avevamo la costante reale k).
Ricordando quali sono le espressioni delle tre componenti dell’operatore ∇ 2 [ ] in un riferimento
r
r
cartesiano, possiamo intanto proiettare l’equazione ∇ 2 E + γ 2 E = 0 sui tre assi cartesiani:
∂2 Ex ∂2 Ex ∂2 Ex
+
+
+ γ 2Ex = 0
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂2 Ey
∂x
2
∂2 Ey
∂x
2
+
+
∂2 Ey
∂y
+
2
∂2 Ey
∂y
+
2
∂2 Ey
∂z
2
∂2 Ey
∂z
2
+ γ 2Ey = 0
+ γ 2Ez = 0
Abbiamo ancora una volta tre equazioni formalmente identiche, per cui risolviamo solo la prima:
in base allo stesso teorema applicato nel caso senza perdite, sappiamo che l’equazione è soddisfatta
da una soluzione del tipo
E x ( x, y, z ) = f ( x) g( y) q ( z )
dove le tre funzioni f(x), g(y) e q(z) soddisfano le condizioni
S 2x =
1 d 2 f ( x)
f ( x) dx 2
S 2y =
1 d 2 g( y)
g( y) dy 2
S 2z =
1 d 2 q ( z)
q ( z) dz 2
e dove vale l’ equazione di separazione
S 2x + S 2y + S 2z = γ 2
Le equazioni differenziali nelle incognite f(x), g(y) e q(z) sono di ordine 2, omogenee e a
coefficienti costanti, per cui le rispettive soluzioni sono del tipo
f ( x) = Ae Sx x + Be − Sx x brevemente
→ f ( x) = Ae ± Sx x
g( y) = Ce
Sy y
+ De
− Sy y

→ g( y) = Ce
± Sy y
q ( z) = Ee Sz z + Fe − Sz z 
→ q ( z) = Ee ± Sz z
Possiamo semplificare ulteriormente
Ex (x, y, z) = f(x)g(y)q(z), possiamo scrivere che
le
E x ( x , y , z) = Ae ± S x x Be
nostre
± Sy y
notazioni:
infatti,
ricordando
che
± S x + S yS z
Ce ± S z z = ABCe ( x y z )
17
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
Se adesso poniamo
S 0X = ABC
r
r
r
r
S = Sx a x + Sy a y + Sza z
r
r
r
r
r = rx a x + ry a y + rz a z
è evidente che possiamo scrivere
r r
± S• r
E x ( x , y , z) = E 0 X e ( )
Naturalmente, con un procedimento assolutamente identico, possiamo determinare le componenti
del campo elettrico lungo le direzioni x ed y:
r r
± S• r
E y ( x , y , z) = E 0 Y e ( )
r r
± S• r
E z ( x, y, z) = E 0Ze ( )
r
r
r
r
Il campo elettrico totale sarà evidentemente E = E x a x + E y a y + E z a z , ossia
r
r
r
r ± ( Sr • rr ) r ± ( Sr • rr )
E( x, y, z) = E 0X a x + E 0Y a y + E 0 Z a z e
= E 0e
(
)
Se poi vogliamo riferirci al dominio convenzionale del tempo, abbiamo
[
r ± ( Sr•rr ) jωt
r
e( x, y, z, t ) = Re E 0e
e
]
Il vettore di propagazione
A questo punto,
così come, nel caso senza perdite, abbiamo esaminato le caratteristiche del
r
r
r
r
vettore d’onda k = k x a x + k y a y + k z a z , vediamo adesso di fare le opportune osservazioni sul nuovo
vettore
r
r
r
r
S = Sx a x + Sy a y + Sza z
che prende il nome di vettore di propagazione.
r
r
La prima osservazione è stata già fatta in precedenza: mentre k è un vettore a componenti reali, S
r r r
è un vettore complesso, dotato perciò di un modulo ed anche di una fase. Poniamo allora S = b + jk ,
r
r
dove b prende ilr nome di vettore di attenuazione, mentre k (inteso come coefficiente della parte
immaginaria di S ), prende il nome di vettore di fase.
Autore: Sandro Petrizzelli
18
Le onde piane
In base alle relazioni S 2x + S 2y + S 2z = γ 2 e γ 2 = −ω 2 µε C , deduciamo inoltre che
14
42
3
r 4
r4
= S•S
r r
S • S = −ω 2 µε C
r r r
Sostituendo S = b + jk , questa diventa
r r
r r
r r r
r r r r r r r r r r r
−ω 2 µε C = b + jk • b + jk = b + jk • b + j b + jk • k = b • b + jk • b + jb • k − k • k =
r r
r r r r
= b • b + 2 jb • k − k • k
(
)(
) (
)
(
)
r r r2
r
r
Tenendo adesso conto che i vettori b e k sono a componenti reali, deduciamo che b • b = b e
r r r2
r
k • k = k , per cui possiamo concludere che le due componenti del vettore S devono soddisfare la
condizione
r2
r r r2
b + 2 jb • k − k = −ω 2 µε C
r Possiamo inoltre esprimere il campo elettrico totale in funzione delle due componenti del vettore
S : abbiamo in tal caso che
r
r ± ( br •rr ) ± j( kr •rr )
E ( x , y , z) = E 0 e
e
r
r
r r
± jk • r
N.B. Confrontando questa espressione con l’espressione E( x, y, z) = E 0 e
ottenuta nel caso
senza perdite, ci accorgiamo immediatamente che la differenza è nella presenza del termine
r
r
± b• r
e ( ).
Sulla base di questa espressione, andiamo ad individuare i luoghi ad ampiezza costante, ossia
r
r
r ± br • rr ± j kr • rr
l’insieme dei punti nei quali si ha E = cos t . Dall’espressione E( x, y , z) = E 0 e ( ) e ( ) , è intanto
r ± br • rr
evidente che il modulo dell’onda è E 0 e ( ) , per cui i luoghi ad ampiezza costante sono quelli
corrispondenti a
r ± ( br • rr )
E e
= cos t
0
r r
ossia a b • r = cos t . Nello spazio a tre dimensioni, i punti che soddisfano questa condizione sono i
piani di equazione
b x x + b y y + b z z = cos t
r
e tali piani sono ortogonali al vettore di attenuazione b .
Passiamo adesso ai luoghi a fase costante, cioè ai cosiddetti fronti d’onda: in questo caso, è il
r r
± j k• r
termine e ( ) che deve rimanere costante, per cui deduciamo che si tratta dei punti tali che
r r
k • r = k x x + k y y + k z z = cos t
19
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
r
Si tratta ancora una volta di piani, i quali risultano ortogonali al vettore di fase k .
Possiamo trovare ancora altre relazioni interessanti: ad esempio, se consideriamo il primo
r2
r r r2
r2 r2
membro della relazione b + 2 jb • k − k = −ω 2 µε C , ci accorgiamo che il termine b − k è reale,
r r
mentre
il
termine
è
immaginario;
allora,
ricordando
che
2 jb • k

σ 
2
γ 2 = −ω 2 µε 1 +
 = −ω µε + jωµσ , deduciamo immediatamente che

jωε 
r2 r2
b − k = Re γ 2 = −ω 2 µε
r r
2 b • k = Im γ 2 = ωµσ
[ ]
[ ]
r r
Dalla seconda relazione deduciamo che, se il mezzo è senza perdite (cioè σ=0), risulta b • k = 0 :
r
r
r
r
dovendo essere k ≠ 0 , questo accade solo se b = 0 oppure se b ed k sono ortogonali tra di loro:
r
nel caso senza perdite: infatti, l’espressione del campo elettrico
• se b = 0 , ritroviamo quanto visto
r
r ± jkr • rr
totale diventa E( x, y, z) = E 0 e
e il modulo di questo campo è costante sul fronte d’onda
(abbiamo cioè l’onda piana uniforme);
r r
r
• se, invece, risulta b⊥k , allora i piani ad ampiezza costante (che sono ortogonali a b ) risultano
r
ortogonali ai fronti d’onda (che sono piani ortogonali a k ) e si parla in questo caso di onda
evanescente o anche onda piana non uniforme.
r r
Se, invece, il mezzo considerato è con perdite (cioè σ≠0), allora la relazione 2 b • k = ωµσ dice
r r
che b • k > 0 e questo accade se e solo se sono contemporaneamente verificate due condizioni: deve
r
essere b ≠ 0 , ma deve anche accadere che l’angolo compreso tra i due vettori sia minore di π/2. In
questo caso, si parla di onda piana dissociata.
r
r
Un caso particolare di onda dissociata è quello in cui i vettori b ed k sono paralleli (cioè formano
un angolo nullo): in questo caso, abbiamo un’onda caratterizzata da piani equiampiezza coincidenti
con i piani equifase (cioè i fronti d’onda) e si parla ancora una volta di onda piana uniforme.
Velocità di fase
Cerchiamo adesso di caratterizzare la “velocità di fase” con cui si muove l’onda che stiamo
esaminando. Vediamo, in particolare, cosa succede quando σ=0.
In primo luogo, ricordiamo che l’espressione
r ranalitica della velocità di fase si ricava
r r nel modo
seguente: perché l’osservatore veda una fase k • r − ωt costante, deve accadere che k • r − ωt = cos t ;
r
r
indicato con θ l’angolo tra il vettore di fase k ed il raggio vettore r , quella relazione diventa
r
k r cos θ − ωt = cos t
Differenziando membro a membro rispetto al tempo e riarrangiando, otteniamo
vP =
Autore: Sandro Petrizzelli
dr
ω
= r
dt k cos θ
20
Le onde piane
r
r
Se facciamo l’ipotesi che la direzione r coincida con la direzione del vettore di fase k (cioè θ=0),
questa diventa
ω
vP = r
k
Considerando adesso la relazione
r2 r2
b − k = Re γ 2 = −ω2 µε
[ ]
deduciamo che ci sono due possibilità:
r
• se b = 0 (abbiamo cioè l’onda piana uniforme), allora risulta
r2
r
1
k = ω 2 µε 
→ k = ω µε 
→ v P =
=c
µε
il che significa che la velocità di fase coincide con quella della luce nel mezzo considerato;
r r
• se, invece, b⊥k (abbiamo cioè l’onda evanescente), allora
r2
1
k > ω 2 µε 
→ v P <
µε
ossia la velocità di fase è inferiore a quella della luce nel mezzo: si parla, in questa situazione, di
onda lenta.
Se il mezzo considerato è con perdite, allora abbiamo solo onde lente.
La costante di propagazione intrinseca γ
Consideriamo adesso la costante di propagazione γ che compare nelle equazioni fino ad ora
utilizzate. Tale costante è stata introdotta mediante la relazione γ 2 = −ω 2 µε C , per cui il suo valore
numerico (complesso) può essere ricavato come

σ 
γ = −ω 2 µε C = ± jω µε C = ± jω µε 1 +


jωε 
Delle due soluzioni che si ottengono, scegliamo quella che cade nel primo quadrante del piano
complesso: ciò significa che, se poniamo γ = α + jβ , sia α (detta costante di attenuazione
intrinseca del mezzo considerato) sia β (detta costante di fase intrinseca del mezzo) sono
delle quantità (reali) positive.
21
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
Il campo magnetico
Dopo tutte le considerazioni fatte a proposito del campo elettrico, andiamo adesso a ricavare il
campo magnetico associato alla generica onda piana che stiamo considerando. Ci basta utilizzare
l’espressione ricavata per il campo elettrico e la relazione che lo lega al campo magnetico:
r
r
∇ × E = − jωµH
r
r ± ( Sr • rr )
Avendo trovato che E( x, y, z) = E 0 e
, abbiamo che
(
)
(
)
((
))
r r
r r
r
r
r
r
v
1
1 ± (Sr• rr )
1
1
∇×E = −
∇ × E 0 e ± (S• r ) = −
∇ × E0 −
∇ e ± (S• r ) × E 0
e
H=−
jωµ
jωµ
jωµ
jωµ
r
r
Tenendo conto che ∇ × E 0 = 0 (visto che E 0 è una costante) abbiamo dunque che
((
))
r r
r
v
1
∇ e ± (S• r ) × E 0
H=−
jωµ
r
r Sr • rr
e facendo i calcoli solo per l’onda E( x, y, z) = E 0 e ( ) , abbiamo che
(
)
(
)
(
)
r r
r r
r r r
r
r
r
r
r
r
r
1
1
1
H=−
∇e (S• r ) × E 0 = −
e (S• r ) (S x a x + S y a y + S z a z ) × E 0 =
e (S• r )S × E 0 =
jωµ
jωµ
jωµ
r
1 r r (S• rr )
1 r r
=
S× E0 e
=
S× E
jωµ
jωµ
(
)
(
)
Impedenza caratteristica del mezzo
Anche in questo caso possiamo introdurre il concetto di impedenza caratteristica del
mezzo: in questo caso, si trova facilmente che tale impedenza è una quantità complessa che vale
η=
jωµ
σ + jωε
Ovviamente, per σ=0 riotteniamo la stessa espressione vista nel caso senza perdite.
E’ importante non confondere quest’ultima espressione con quella della costante di
propagazione, che è anch’essa una quantità complessa, ma definita come
γ=
Autore: Sandro Petrizzelli
jωµ (σ + jωε )
22
Le onde piane
Disposizione dei vettori di campo
Tornando adesso ai discorsi di prima, possiamo studiare meglio come sono disposti
i tre vettori
r
r
r r r
S, E , H . Infatti, ricordando che devono valere in ogni punto le due condizioni ∇ • E = 0 e ∇ • H = 0 ,
deduciamo (dalle espressioni ricavate per i due campi) che deve essere
r r
S• E = 0
r r
S• H = 0
r
r
r
Queste due condizioni, rsiar pure
unite
a
quella
secondo
cui
H
è
ortogonale
sia
ad
E
sia
ad
S
, non
r
r
garantiscono che la terna S, E , H sia tri-rettangola e questo perché, essendo S un vettore complesso,
r* r
r* r
le condizioni di ortogonalità con gli altri due campir sono
S
•
E
=
0
e
S
• H = 0. Da ciò si deduce
r
r
che l’unico caso in cui la terna S, E , H è tri-rettangolo è quello in
r
r
cui i vettori S ed S * sono tra loro paralleli.
r
r*
sono paralleli: la condizione di parallelismo è che
Ci chiediamo allora quando
i
vettori
S
ed
S
r r r
r r*
S × S = 0 ; ricordando che S = b + jk , quel prodotto vettoriale ha espressione
r r
r r
r r r r r r r r r2
r r
r r r2
r r
S × S * = b + jk × b − jk = b × b + jk × b − jb × k + k × k = b + j − b × k − jb × k + k =
r2
r r r2
= b − j2 b × k + k
(
) (
)
(
)
r r
r r
Deduciamo che la condizione S × S * = 0 è verificata se e solo se − j2 b × k = 0 , il che significa che
r
r
i vettori S ed S * sono tra loro paralleli se e solo se sono
r
r
paralleli i vettori b ed h e questo si verifica solo se l’onda è
piana uniforme.
Per concludere, verifichiamor se rsono ortogonali tra loro il campo elettrico ed il campo magnetico:
dobbiamo verificare se risulta H • E * = 0: sostituendo l’espressione del campo elettrico, abbiamo che
r r
1 r r r*
H • E* =
S× E •E
jωµ
(
)
e, per una nota proprietà del prodotto misto, il secondo membro è nullo solo nel caso in cui l’onda è
piana uniforme.
VARI TIPI DI ONDE
Sulla scorta di quanto abbiamo visto nei paragrafi precedenti, passiamo in rassegna i principali
tipi di onde con cui si può avere a che fare. Facendo riferimento ad un mezzo privo di perdite (σ=0),
consideriamo la sovrapposizione di due onde piane ed uniformi, caratterizzate da vettori di
r
r
r
r
propagazione S = jk e S * = − jk : dobbiamo semplicemente considerare la sovrapposizione tra
un’onda diretta ed una inversa, ossia
r
r − j( kr • rr ) r j( kr • rr )
+ ERe
E( x, y, z) = E I e
23
Autore: Sandro Petrizzelli
Appunti di “Compatibilità elettromagnetica” - Appendice 3
Il valore istantaneo di questo campo si ottiene con il metodo “solito” di antitrasformazione:
[
] [
r
r − j kr • rr
r j kr • rr
r
e ( t ) = Re E ( x , y , z ) e jωt = Re E I e ( ) e jωt + Re E R e ( ) e jωt
[
]
]
r
r
Considerando che, in generale, anche le costanti E I ed E R sono complesse, possiamo porre
r
r
r
r
r
r
E I = E Ir + jE Ij e E R = E Rr + jE Rj , per cui abbiamo che
[(
]
)
[(
)
]
[
]
al
secondo
r r
r r
r
r
r
r
r
e( t ) = Re E Ir + jE Ij e − j(k • r )e jωt + Re E Rr + jE Rj e j(k • r )e jωt =
r r
r r
r r
r r
r
r
r
r
= Re E Ir e − j(k • r )e jωt + jE Ije − j(k • r )e jωt + Re E Rr e j(k • r )e jωt + jE Rje j(k • r )e jωt =
r r
r r
r r
r r
r
r
r
r
= E Ir Re e − j(k • r )e jωt + E Ij Re je − j(k • r )e jωt + E Rr Re e j(k• r )e jωt + E Rj Re je j(k • r )e jωt =
r r r
r r r
r r r
r r
r
= E Ir cos ωt − k • r − E Ijsin ωt − k • r + E Rr cos ωt + k • r − E Rjsin ωt − k • r
[
[
]
(
[
)
]
(
[
]
)
(
A questo punto, sommiamo e sottraiamo,
r
r r r
r r
ERr cos ωt − k • r − ERj sin ωt − k • r : otteniamo che
(
)
(
)
(
) (
) [ (
[ (
)
]
[
)
]
(
)
(
(
membro,
)
la
quantità
)]
r r r
r r
r r
r
r
r
e( t ) = E Ir − E Rr cos ωt − k • r + E Rr cos ωt − k • r + cos ωt + k • r +
r r r
r r
r r
r
r
+ E Ij − E Rj sin ωt − k • r + E Rj sin ωt − k • r + sin ωt + k • r
(
) (
)
)]
Applicando le formule di duplicazione del Seno e del Coseno, questa può anche essere scritta
nella forma
r r
r r
r
r
r
r
e( t ) = E Ir − E Rr cos ωt − k • r + 2E Rr cos(ωt )cos k • r +
r r
r r
r
r
r
+ E Ij − E Rj sin ωt − k • r + 2E Rjsin (ωt )cos k • r
(
(
) (
) (
)
)
( )
( )
Adesso esaminiamo l’espressione ottenuta:
r
r
r r
• il termine E Ir − E Rr cos ωt − k • r
(
progressive:
) (
)
rappresenta la sovrapposizione di due onde puramente
[
r r
r
r
r r
r
r
j ωt − k • r ) t
E P ( t ) = E Ir − E Rr cos ωt − k • r = E Ir − E Rr Re e (
(
) (
) (
)
]
r
r r
• il termine 2 E Rr cos(ωt) cos k • r rappresenta invece la sovrapposizione di due onde puramente
(
)
stazionarie, ossia di onde che NON progrediscono nel tempo:
r
r
r r
r
r r
E S ( t ) = 2 E Rr cos(ωt ) cos k • r = 2 E Rr cos k • r Re e jωt
(
)
(
) [ ]
r
r r
Tali onde puramente stazionarie hanno una ampiezza 2 E Rr cos k • r che varia lungo la direzione
r
r ; in particolare, possiamo osservare quanto segue:
(
)
r r
r r
( 2 n + 1)π
r
• l’ampiezza si annulla nei punti r0 tali che cos k • r0 = 0 , ossia tali che k • r0 =
2
per n=0,1,2,....; a tali punti si dà il nome di “nodi” dell’onda;
(
Autore: Sandro Petrizzelli
24
)
Le onde piane
r r
r
• l’ampiezza assume il valore massimo nei punti rM tali che cos k • rM = 1, ossia tali che
r r
k • rM = nπ per n=0,1,2,....; a tali punti si dà il nome di “ventri” dell’onda.
(
)
N.B. Ricordiamo che una qualsiasi onda è sempre scomponibile nella somma di un’onda
progressiva ed un’onda stazionaria.
r r
r r
r
r
r
r
Con riferimento all’espressione E( x , y, z) = E I e − j(k• r ) + E R e j(k• r ) , osserviamo che, se E I = 0 oppure
r
E R = 0 , si ottiene un’ onda progressiva pura: per esempio, se otteniamo
[
[
]
[(
[
]
)
[
]
r r
r r
r r
r r
r
r
r
r
r
r
e( t ) = Re E R e j(k • r )e jωt = Re E Rr + jE Rj e j(k • r )e jωt = Re E Rr e j(k • r )e jωt + jE Rje j(k• r )e jωt =
r r
r r
r r r
r r
r
r
r
= E Rr Re e j(k • r )e jωt + E Rj Re je j(k • r )e jωt = E Rr cos ωt + k • r − E Rjsin ωt − k • r
]
]
(
)
(
)
r
r
Al contrario, se entrambe le costanti (complesse) E I e E R sono diverse da zero e, inoltre, risulta
r
r
E I = E R , allora si ottiene un’ onda stazionaria pura.
Se adesso passiamo a considerare un mezzo dispersivo e consideriamo ancora la sovrapposizione
r r
r r r r
di due onde progressive, caratterizzate da vettori di propagazione S = b + jk e S * = b − jk , otteniamo
un’onda il cui modulo varia con andamento stazionario.
Autore: SANDRO PETRIZZELLI
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Autore: Sandro Petrizzelli