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I monomi
Prof. Walter Pugliese
I monomi
Def.: Il monomio è un’espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni
tra numeri e lettere. Gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.
Esempi:
Sono monomi
2𝑎𝑏𝑎3 ,
1 6
𝑎 ,
2
−𝑏𝑥𝑏 2 ,
−3𝑥 2 𝑦 5 𝑦,
3
5 + 4 𝑎.
Non sono monomi
𝑥
3 𝑦 , 2 𝑎 + 𝑏 , 4𝑎3 − 𝑏 2 ,
𝑥−𝑦
,
2𝑎
3𝑎𝑏 −2
Sono monomi particolari
•
•
0 è il monomio nullo
qualunque numero può essere considerato un monomio, per esempio possiamo
scrivere il numero 7 anche in tanti altri modi: 7𝑎0 , 7𝑏 0 , 7𝑎0 𝑏 0 𝑥 0, ecc.
La riduzione di un monomio a forma normale
Def.: Un monomio è ridotto a forma normale quando è scritto come prodotto fra
un numero e una o più lettere, diverse fra loro, con eventuali esponenti.
Esempi:
6𝑥 3 𝑦 6 𝑥 non è ridotto a forma normale. 6𝑥 4 𝑦 6 è ridotto a forma normale.
Sono monomi ridotti a forma normale:
4 2
𝑎 𝑏,
3
−3𝑥𝑧 4 , 𝑎3 𝑏 4 .
Non sono ridotti a forma normale:
12𝑎2 𝑏 3 −2 𝑎3 , 6𝑎3𝑎𝑏.
Coefficiente e parte letterale
Def.: In un monomio ridotto a forma normale, il fattore numerico è il
coefficiente, le lettere sono la parte letterale.
Esempio:
Monomio
Coefficiente
Parte letterale
4 2
𝑎 𝑏
3
𝑎3 𝑏2
4
3
1
𝑎2 𝑏
2
2
Qualunque lettera con
esponente 0
−𝑥𝑧 4
−1
𝑥𝑧 4
𝑎3 𝑏2
Il grado di un monomio
Def.: Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere.
L’esponente con cui compare ogni lettera è detto grado rispetto alla lettera.
Esempio:
Monomio
Grado
Grado rispetto ad a
Grado rispetto a b
4 2
𝑎 𝑏
3
−𝑎4
3
2
1
4
4
0
𝑏
1
0
1
10
0
0
0
0
nessuno
nessuno
nessuno
Il significato di monomio
Per capire meglio il significato di monomio possiamo pensare a ciascuna lettera che compone
il monomio come un «oggetto» e che lettere diverse indicano oggetti diversi.
•
•
Immaginiamo che in un ristorante abbiamo 2 sale; in ciascuna sala vi sono 10 tavoli e
ciascun tavolo ha 8 posti a sedere; il numero totale dei posti nel ristorante è 2 ∙ 10 ∙ 8 =
160. In questo esempio abbiamo considerato il numero esatto di tavoli e posti e sedere.
Usando i monomi invece possiamo esprimere l’oggetto «tavolo» con la lettera «a» e
l’oggetto «posto a sedere» con la lettera «b». Abbiamo così generalizzato il nostro esempio
e il numero totali di posti è 2𝑎𝑏.
Dati la base «b» e l’altezza «h» di un triangolo, l’area è uguale a
𝑏ℎ
che è un monomio.
2
Monomi simili
Def.: Monomi che hanno la stessa parte letterale si dicono simili
Esempio:
3𝑎5
3𝑎5 b
e
e
1
2
1
− 𝑎4 𝑏
2
− 𝑎5 sono simili
3𝑎5 b
e
1
2
− 𝑏𝑎5 sono simili
non sono simili
La somma o la differenza di due monomi è ancora un monomio solo se i monomi sono simili
tra loro.
Infatti la somma tra i monomi 2𝑎 e 3𝑏, che non sono simili, è rappresentata dall’espressione
2𝑎 + 3𝑏 che non è un monomio e non può essere semplificata (cioè è come voler sommare 2
tavoli e 3 sedie).
Somma di monomi simili
Regola: La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati, che ha per coefficiente la
somma dei coefficienti.
Esempio:
•
4𝑎 2 𝑏 + 3𝑎 2 𝑏 − 𝑎 2 𝑏 = 4 + 3 − 1 𝑎 2 𝑏 = 6𝑎 2 𝑏
•
3𝑎 − 𝑎 = 3 −
1
1
2
2
𝑎=
6−1
2
5
a= 𝑎
2
Due monomi simili sono opposti se sono opposti i loro coefficienti. La somma di due monomi opposti è 0.
Esempio:
•
•
5𝑎𝑏 + −5𝑎𝑏 = 5𝑎𝑏 − 5𝑎𝑏 = 5 − 5 𝑎𝑏 = 0
5𝑥𝑦 + −7𝑥 + −𝑥𝑦𝑧 + −2𝑥𝑦 + 𝑥 = 5𝑥𝑦 − 7𝑥 − 𝑥𝑦𝑧 − 2𝑥𝑦 + 𝑥 =
= 5 − 2 𝑥𝑦 + −7 + 1 𝑥 + −1 𝑥𝑦𝑧 = 3 𝑥𝑦 + −6 𝑥 + −1 𝑥𝑦𝑧 = 3𝑥𝑦 − 6𝑥 − 𝑥𝑦𝑧
Due monomi simili sono uguali se sono uguali i loro coefficienti.
La moltiplicazione di monomi
Regola: Il prodotto di monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto
dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali.
Esempio:
3 2 3 2
3
3 5 4 2
3
2 3 3
2
− 𝑎 𝑏 𝑐 ∙ −2𝑎 𝑏 = − ∙ −2 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏𝑐 = + 𝑎 𝑏 𝑐
4
4
2
La potenza di un monomio
Regola: La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la
potenza del coefficiente dato e per parte letterale la potenza della parte letterale.
Esempio:
3 3 2
− 𝑎 𝑏
4
2
3
= −
4
2
3 2 2
𝑎 𝑏
9 6 4
=+ 𝑎 𝑏
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Divisibilità tra monomi
Un monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio (divisore) quando in esso
compaiono tutte le lettere del divisore, con gli esponenti maggiori o uguali.
Esempio:
3 2
5𝑎 𝑏
1 2
𝑐𝑑 è divisibile per − 𝑎 𝑏𝑐.
3
Il monomio divisore non può essere nullo. Quindi la divisione 𝟑𝒂𝒃: 𝟎 non ha
significato.
Quoziente fra monomi
Regola: Dati due monomi, il secondo non nullo e il primo divisibile per il secondo,
il loro quoziente è un monomio che ha come coefficiente il quoziente dei
coefficienti e come parte letterale il quoziente delle parti letterali.
Esempio:
1 2
1
5𝑎 𝑏 𝑐𝑑: − 𝑎 𝑏𝑐 = 5: −
3
3
3 2
𝑎3 : 𝑎2 𝑏 2 : 𝑏 𝑐: 𝑐 𝑑: 𝑑 0 = −15𝑎𝑏𝑑
Massimo comune divisore tra monomi
Regola: Il massimo comune divisore (M.C.D.) tra due o più monomi è un monomio che ha:
• Per coefficiente
Il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi.
1 se i coefficienti non sono tutti interi
• Per parte letterale
Il prodotto delle sole lettere comuni a tutti i monomi, ognuna presa una sola volta e con
l’esponente minimo.
Esempio:
Il M.C.D. tra i monomi −8𝑥 3 𝑦 2 𝑧
8
7
Il M.C.D. tra i monomi − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧
e +10𝑥 2 𝑦 è 2𝑥 2 𝑦
e +10𝑥 2 𝑦 è 𝑥 2 𝑦
minimo comune multiplo tra monomi
Regola: Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più monomi è un monomio che ha:
• Per coefficiente
Il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi.
1 se i coefficienti non sono tutti interi
• Per parte letterale
Il prodotto di tutte le lettere dei monomi, ognuna presa una sola volta e con l’esponente massimo.
Esempio:
Il m.c.m. tra i monomi −8𝑥 3 𝑦 2 𝑧
8
7
Il m.c.m. tra i monomi − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧
e +10𝑥 2 𝑦 è 40𝑥 3 𝑦 2 𝑧
e +10𝑥 2 𝑦 è 𝑥 3 𝑦 2 z