Dispensa di Matematica IV Liceo Scientifico

Corso di Matematica
Graziano Donati
Graziano Donati
Corso di Matematica
Per il IVo anno del Liceo Scientifico
Centro Studi Bellini
Graziano Donati
Corso di Matematica
Per il IVo anno del Liceo Scientifico
Centro Studi Bellini
Programma di Matematica - IVo Liceo Scientifico
ANGOLI ED ARCHI. Angoli ed archi. Angoli ed archi orientati. Sistemi di misura dgli angoli: sessagesimale,
centesimale, radiale. Archi di circonferenza. Settori di cerchio. Misura in radianti di angoli fondamentali.
Trasformazione gradi-radianti e radianti-gradi.
FUNZIONI GONIOMETRICHE. Funzione seno e coseno. Funzione tangente e cotangente. Valori notevoli delle
funzioni goniometriche. Uso della calcolatrice scientifica.
RELAZIONI GONIOMETRICHE FONDAMENTALI. Relazione pitagorica. Espressione di una funzione goniometrica
mediante le altre.
ARCHI ASSOCIATI. Formule di trasformazione degli archi associati. Angoli complementari, supplementari,
esplementari.
GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE. Funzioni e loro invertibilità. Condizione di invertibilità di una
funzione. Restrizione di funzioni non invertibili. Grafici delle funzioni goniometriche e delle funzioni goniometriche
inverse.
FORMULE GONIOMETRICHE. Formula di sottrazione del coseno. Formule di addizione e sottrazione. Formule di
duplicazione. Formule di triplicazione. Formule di bisezione. Formule parametriche. Formule di Prostaferesi. Formule
di Werner.
IDENTITA' GONIOMETRICHE. Verifica di identità goniometriche per mezzo dell'utilizzo di tutte le formule
goniometriche conosciute.
EQUAZIONI GONIOMETRICHE. Equazioni goniometriche elementari. Equazioni goniometriche elementari
generalizzate. Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari.
TRIGONOMETRIA. Teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli. Soluzione dei triangoli rettangoli. Teoremi
fondamentali sui triangoli qualsiasi: teorema dei seni, teorema dei coseni (Carnot), teorema delle tangenti (Nepero).
Soluzione dei triangoli qualsiasi. Applicazioni alla geometria piana. Area di un triangolo. Teorema di Erone.
RICHIAMI SULLE POTENZE E SULLE RADICI. Potenze ad esponente naturale, relativo, razionale, reale.
Condizioni sulla base della potenza. Potenze ad esponente razionale e radici.
ESPONENZIALI E LOGARITMI. La definizione di esponenziale e di logaritmo. Le condizioni di esistenza di un
logaritmo. Teoremi fondamentali sui logaritmi. Formula del cambiamento di base. La funzione esponenziale e la
funzione logaritmica. Equazioni esponenziali ed equazioni logaritmiche.
INDICE
Prefazione............................................................................................................................................................ pag 9
Cap 1. Angoli ed archi........................................................................................................................................ pag. 11
Cap 2. Funzioni goniometriche........................................................................................................................... pag. 19
Cap 3. Grafici dele funzioni goniometriche........................................................................................................ pag. 29
Cap 4. Funzioni goniometriche inverse............................................................................................................... pag. 41
Cap 5. Relazioni goniometriche fondamentali.................................................................................................... pag. 49
Cap 6. Angoli notevoli........................................................................................................................................ pag. 55
Cap 7. Archi associati.......................................................................................................................................... pag. 61
Cap 8. Formule goniometriche............................................................................................................................ pag. 67
Cap 9. Identità goniometriche.............................................................................................................................. pag. 85
Cap 10. Equazioni goniometriche........................................................................................................................ pag. 89
Cap 11. Trigonometria......................................................................................................................................... pag. 99
Cap 12. Applicazioni della trigonometria alla geometria elementare.............................................................. pag. 109
Cap 13. Richiami sulle potenze......................................................................................................................... .. pag. 113
Cap 14. Richiami sulle radici............................................................................................................................... pag. 119
Cap 15. Esponenziali e logaritmi.......................................................................................................................... pag. 121
Cap 16. La funzione esponenziale e logaritmica.................................................................................................. pag. 135
Prefazione
La presente dispensa contiene il programma generalmente affrontato nei corsi di matematica del IVo anno del Liceo
Scientifico. Il concetto di angolo e la sua misura è il primo argomento trattato. Segue lo studio delle funzioni
goniometriche, dalla definizione del seno e coseno di un angolo, alle formule goniometriche fino alle identità e alle
equazioni goniometriche elementari e riconducibili ad elementari. Basandoci su tali nozioni, vengono sviluppati i
concetti basilari della trigonometria dei triangoli rettangoli e dei triangoli qualsiasi. Si passa poi ad una revisione ed
approfondimento delle nozioni di potenza, ad esponente naturale, relativo, razionale e reale e del concetto di radice.
Successivamente, viene affrontato lo studio della funzione esponenziale e di quella logaritmica. Sarà ovviamente
benvenuta qualsiasi segnalazione di eventuali errori od omissioni.
Graziano Donati
Centro Studi Bellini
9
Cap 1
Angoli ed Archi
Concetti basilari di Geometria Analitica
Piano cartesiano
Si fissino in un piano π due rette reali s ed s’ distinte, non parallele e poste in modo che lo 0 della s coincida con lo
0 della s’. Di solito la retta s è posta in posizione orizzontale rispetto all’osservatore con il verso positivo di
percorrenza da sinistra verso destra e viene chiamata “asse delle ascisse” (o “asse delle x” se indichiamo con x la
generica ascissa); La retta s’ è posta in posizione verticale (perpendicolare alla s) con il verso positivo di percorrenza
dal basso verso l’alto e viene chiamata “asse delle ordinate” (o “asse delle y” se con y indichiamo la generica
ordinata). Quasi sempre si assume la lunghezza dell’intervallo unitario [0,1] della s uguale alla lunghezza di quello
della s’, anche se ciò non è necessario (come non è necessario che le due rette siano tra loro perpendicolari). Le retta s
ed s’ così disposte vengono chiamate “assi cartesiani”.
s
P
y
1
O
x
1
s
E’ possibile ora definire una applicazione biiettiva f tra i punti del piano π e le coppie di ℜ2 (coppie di numeri reali):
fissato un punto P ∈ π, le rette condotte da P parallele ai due assi intersecano questi in due punti (numeri) x
(sull’asse delle ascisse) e y (sull’asse delle ordinate) e quindi individuano una ed una sola coppia (ordinata) di numeri
reali (x,y), cioè f(P) = (x,y). Viceversa, invertendo in senso cronologico le operazioni appena descritte, ogni coppia
(x,y) ∈ ℜ2 individua sul piano π quel punto P tale che f(P) =(x,y). I numeri x e y vengono chiamate “coordinate
cartesiane” del punto P e in particolare x è l’”ascissa”, mentre y è l’”ordinata” del punto P. Per indicare che P ∈ π
ha coordinate (x,y) scriveremo P ≡ (x,y) e chiameremo P “punto (x,y)”. In seguito diremo che in un piano π è
fissato un “sistema cartesiano di riferimento” (che indicheremo con il simbolo Oxy ) se in esso sono stati fissati due assi
cartesiani ortogonali e la biiezione sopra descritta.
y
2° quadrante
O
3° quadrante
1° quadrante
x
4° quadrante
In un piano cartesiano Oxy gli assi coordinati
dividono il piano stesso in quattro parti chiamati
“quadranti” Per convenzione si chiama 1°
quadrante l’insieme dei punti che hanno ascissa ed
ordinata positive, 2° quadrante l’insieme dei punti
che hanno ascissa negativa e ordinata positiva, 3°
quadrante l’insieme dei punti che hanno ascissa ed
ordinata negative, 4° quadrante l’insieme dei punti
che hanno ascissa positiva ed ordinata negativa.
11
Corso di Matematica
Graziano Donati
Distanza tra due punti in R2
In un sistema cartesiano di riferimento Oxy si chiama “distanza” tra due punti P1≡(x1,y1) e P2≡(x2,y2) (che
indicheremo con d(P1,P2)) la lunghezza del segmento congiungente i punti P1 e P2 relativamente alle unità di misura
stabilite sugli assi coordinati. Quindi, se in particolare è x1 = x2, risulta d(P1,P2) = | y1 − y2|; mentre se è y1 = y2,
risulta d(P1,P2) = |x1 − x2|. In generale se è x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2, condotta da P1 la retta parallela all’asse delle ascisse e
da P2 la retta perpendicolare a questo asse, queste si intersecano nel punto Q≡(x2,y1). I punti P1, P2, Q individuano un
triangolo rettangolo con d(P1,Q) = |x1 − x2| e d(P2,Q) = |y1 − y2|. Per il Teorema di Pitagora si ha allora
d ^ P1, P2 h = ^ x1 - x2 h2 + ^ y1 - y2 h2
y2
P2
y1=y2
y1
P1
P2
y1
P1
x1=x2
x1
x2
P2
y2
P1
x1
Q
x2
NOTA − Anche se occorrono un po’ di calcoli, si può provare facilmente che per ogni terna di punti P,Q,R ∈ ℜ2 vale
la nota “disuguaglianza triangolare”: d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q).
12
Corso di Matematica
Graziano Donati
Angoli ed archi circolari (o archi di circonferenza)
Lunghezza della circonferenza e area del cerchio
DEFINIZIONE. Si chiama circonferenza, il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un medesimo punto
fisso P, detto centro della circonferenza. La distanza costante tra il centro ed ogni punto della circonferenza è detto
raggio della circonferenza.
DEFINIZIONE. Si ciama cerchio di raggio r, la parte di piano racchiusa da una circonferenza di raggio r.
C = 2rr
A = rr 2
C
A
C = Lungezza della circonferenza
A = Area del cerchio
π = 3,14.......
r = Raggio della circonferenza
r
Concetto di Misura
Agli angoli e agli archi circolari si possono applicare le seguenti considerazioni relative ad ogni grandezza da misurare.
Si dice misura a di una grandezza A, rispetto ad una grandezza U, omogenea alla data (cioè dello stesso tipo), presa
come unità di misura, il rapporto tra A e U, cioè:
a=
A
U
Tale rapporto è quindi un numero, essendo A e U grandezze omogenee; razionale se A ed U sono commensurabili;
1
irrazionale se A e U sono incommensurabili
Angoli ed Archi.
DEFINIZIONE. Fissato un piano p , si chiama “angolo al centro” ciascuna delle due parti α e β in cui viene suddiviso
il piano p da due semirette s ed s’ su p uscenti da un medesimo punto O detto origine dell'angolo. Naturalmente ogni
coppia di semirette siffatte individua due angoli (chiamati esplementari) e bisogna indicare quale dei due si intende
fissare.
s’
α
β
O
α l(r)
s
DEFINIZIONE. Data una circonferenza avente il centro O coincidente con l'origine O dell'angolo α, si chiama arco di
circonferenza sotteso dall'angolo al centro α, la parte di circonferenza (linea curva) inclusa nell'angolo al centro α della
circonferenza stessa, ovvero il settore di circonferenza ottenuto dall’intersezione della circonferenza con i due lati
dell'angolo al centro α. A e B sono detti estremi dell’arco.
1
Due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune; si
dicono invece incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune.
13
Corso di Matematica
Graziano Donati
Se si assume come unita di misura l’arco il cui angolo al centro è l’angolo unità, per la proporzionalità esistente fra la
misura degli archi di una circonferenza e la misura del corrispondente angolo al centro, segue che lo stesso numero che
indica l’ampiezza dell’arco di una data circonferenza indica pure l’ampiezza dell’angolo al centro che insiste su questo
arco e viceversa: pertanto si parlerà indifferentemente dell’ampiezza di un arco o dell’angolo al centro corrispondente.
Da quanto detto si può concludere che archi aventi angoli al centro uguali hanno la stessa ampiezza, che è la misura del
comune angolo al centro, mentre hanno lunghezza diversa.
Angoli ed Archi Orientati
Un angolo si dice orientato se i suoi lati sono considerati in un certo ordine. L'angolo orientato avente come primo lato
la semiretta a e come secondo lato la semiretta b si indica con la scrittura:
Y
ab
Un angolo orientato può anche essere considerato come la regione di piano descritta dal primo lato a, detto origine,
nella rotazione attorno al vartice O fino a sovrapporsi al secondo lato b detto termine dell'angolo. Conveniamo di
considerare come verso positivo delle rotazioni quello antiorario e come verso negativo quello orario. Con tale
convenzione consideriamo positivi gli angoli descritti da una rotazione antioraria e negativi gli angoli descritti da una
rotazione oraria. Precisamente, stabiliremo la seguente convenzione
CONVENZIONE. Considereremo sempre il vertice di un angolo coincidente con l'origine di un sistema di assi
cartesiani ortogonali. Il primo lato dell'angolo coinciderà con il semiasse positivo delle ascisse. Un angolo α=ab dovrà
essere considerato positivo se il secondo lato b di α viene ottenuto ruotando il primo lato a attorno all'origine in senso
antiorario. L'angolo α=ab dovrà essere considerato negativo se il secondo lato b di α viene ottenuto ruotando il primo
lato a attorno all'origine in senso orario.
α = angolo positivo
b
α (+)
β = angolo negativo
a
β (-)
Misura di un angolo
L'insieme di tutti gli angoli e l'insieme di tutti gli archi, così come l'insieme di tutti i segmenti, sono classi di grandezze
omogenee e misurabili. Si potrà quindi parlare della misura di un angolo e di un arco. Come per ogni altra grandezza,
misurare un angolo α significa confrontarlo con un angolo campione preso come unità di misura, cioè determinare
quante volte l'angolo campione preso come unità di misura entra nell'angolo α che dobbiamo misurare. Per l'esattezza
diamo la seguente definizione:
DEFINIZIONE. Chiamiamo ampiezza di un angolo la sua misura rispetto ad una prefissata unità di misura; cioè, il
rapporto tra tale angolo ed un determinato angolo campione, scelto appunto come unità di misura o angolo unitario.
DEFINIZIONE. L'ampiezza di un angolo orientato viene assunta positiva o negativa a seconda che l'angolo orientato
sia positivo o negativo.
Ovviamente, la misura dell'ampiezza di un angolo varia al variare dell'unità di misura scelta. Quindi, per misurare un
angolo, occorre come prima cosa, fissare un'unità di misura. Esistono principalmente tre sistemi di unità di misura
basati sulla scelta di tre diverse unità di misura o angoli unitari:
• Sistema sessagesimale
• Sistema radiale
• Sistema centesimale
Misura in gradi sessagesimali di un angolo. Un angolo misura un grado se esso è la trecentosessantesima parte
dell’angolo giro, (l'angolo giro è l'angolo non nullo individuato da due semirette sovrapposte). [per individuare un
angolo di un grado, teoricamente si procede così: si traccia una circonferenza con il centro in O e si posizionano le due
semirette s ed s’ in modo che stacchino sulla circonferenza un arco che abbia una misura l(r) pari alla
trecentosessantesima parte dell’intera circonferenza].
14
Corso di Matematica
Graziano Donati
Misura in radianti di un angolo. Per il sistema di misurazione di un angolo α in radianti, si procede nel seguente
modo [analogo a quello precedente]: si considera una circonferenza Γ di centro O e raggio r ; se l(r) indica la
lunghezza dell’arco dato dall’intersezione di α con Γ, si definisce “ampiezza assoluta” in radianti dell’angolo α il
rapporto l(r)/r. Quindi:
l(r)
α
r = raggio della circonferenza
α = angolo al centro
l(r) = lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo
al centro
l (r)
a rad = r
r
[Si può provare che tale rapporto non dipende dal raggio r di Γ in quanto la lunghezza l(r) dell’arco è in qualche
modo proporzionale ad r. E’ anche bene notare che i radianti sono numeri puri, in quanto rapporto di lunghezze.
Ricordiamo che l’angolo giro misura in radianti 2π (dove π è il numero irrazionale trascendente dato da π =
3,141592654…….), mentre un angolo di un radiante ha un’ampiezza in gradi di poco superiore a 57 gradi. Si noti infine
che se α° e αRAD indicano le misure in gradi e in radianti rispettivamente di un angolo, risulta αR = π⋅α°/180°.]
Misura in radianti di angoli fondamentali
Angolo giro (360 gradi)
l (r)
a rad = r = 2rr
r = 2r
Angolo piatto (180 gradi)
l (r)
a rad = r =
2rr
2 =r
r
Conversione gradi-radianti,
radianti-gradi
Poichè, ovviamente risulta:
a rad
ac
360 = 2r
ne consegue
a rad
ac
ac = 2r
360 e a rad = 360
2r
ovvero:
r
ac = a rad 180
r e a rad = ac 180
Angolo retto (90 gradi)
l (r)
a rad = r =
Esercizio:
2rr
4 =r
r
2
calcolare la misura in gradi dell’angolo 17/72π radianti. (Soluzione: α° = 42°30’);
calcolare la misura in radianti dell’angolo 51°45’. (Soluzione: α = 0.90275 radianti);
calcolare la misura in gradi dell’unità radiante. (Soluzione: α° = 57°17’44’’,32);
calcolare la misura in radianti dell’unità grado. (Soluzione: α = 0,0174 radianti).
Misura in radianti di altri angoli notevoli
Angolo di 30o
r
a rad = ac 180
&
r =r
30 180
6
&
r
30c = 6 rad
&
r =r
45 180
4
&
45c = r
4 rad
Angolo di 45 o
r
a rad = ac 180
Angolo di 60 o
15
Corso di Matematica
r
a rad = ac 180
Graziano Donati
&
r
r
60 180 = 3
&
2
r
120 180 = 3 r
&
2
120c = 3 r rad
&
7
r
210 180 = 6 r
&
7
210c = 6 r rad
&
3
r
270 180 = 2 r
&
3
270c = 2 r rad
r
60c = 3 rad
&
Angolo di 120 o
r
a rad = ac 180
Angolo di 210 o
r
a rad = ac 180
Angolo di 270 o
r
a rad = ac 180
Angolo di 315 o
r
315 180 = 74 r & 315c = 74 r rad
Lunghezza di un settore di circonferenza
r
a rad = ac 180
&
Poichè, per definizione, la misura in radianti di un angolo è uguale alla lunghezza del settore di circonferenza (arco)
sotteso dall'angolo al centro diviso per il raggio della circonferenza stessa, allora la lunghezza dell'arco può essere
ottenuta come prodotto del raggio della circonferenza per l'ampiezza in radianti dell'angolo al centro che sottende l'arco
o settore di circonferenza. Cioè:
a rad = rl
&
l = r $ a rad
r
αrad
l
La lunghezza dell'arco l si ottiene moltiplicando il raggio r della circonferenza per l'angolo in radianti α che sottende
l'arco l stesso.
Area di un settore di cerchio
Dall'ovvia proporzione:
AC
AS
2r = a rad
dove Ac rappresenta l'area del cerchio, As rappresenta l'area del settore di cerchio definito dall'angolo al centro α,
possiamo ottenere:
A
AS = a rad 2rC
Poichè, AC=πr2, possiamo anche scrivere:
r2 1
rr 2
AS = a rad 2r = a rad 2 = 2 r 2 a rad
ovvero:
1
AS = 2 r 2 a rad
Oppure:
r = r 2 c
AS = 12 r 2 ac 180
360 r a
ovvero:
r r 2 ac
AS = 360
16
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Questionario
1. Dare una definizione di angolo
2. Dare una definizione di arco
3. Dare una definizione di angolo orientato
4. Dare una definizione di arco orientato
5. Definire il sistema di misura sessagesimale degli angoli
6. Definire un angolo di un grado sessagesimale
7. Definire il sistema di misura in radianti di un angolo
8. Definire un angolo di un radiante e un angolo di un grado
9. Espreimere la relazione tra un angolo in gradi e un angolo in radianti
10. Esprimere in radianti gli angoli 0o, 90o, 180o, 270o, 360o
11. Esprimere in gradi gli angoli 0 rad, π/2 rad, π rad, 3π/2 rad, 2π rad
12. A quanti gradi corrisponde un angolo di 1 radiante? Mostrare i calcoli eseguiti
13. A quanti radianti corrisponde un angolo di 1 grado? Mostrare i calcoli eseguiti
14. Scrive e spiegare la formula della distanza tra due punti del piano
15. Scrivere e spiegare la formula del punto medio di un segmento
16. Calcolare la distanza tra i due punti P(-3,5) e Q(2,7)
17. Quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo (in radianti e in gradi)?
18. Quanto vale la somma degli angoli interni di un quadrilatero (in radianti e in gradi)?
19. Scrivere la formula della lunghezza di un arco di circonferenza
20. Scrivere la formula dell'area di un settore di cerchio
Trovare la misura in radianti dei seguenti angoli espressi in gradi sessagesimali
21.
15o
30o
22o
60o
180o
270o
360o
22.
45o
35o
72o
65o
120o
240o
330o
o
o
o
o
o
o
23.
48
27
85
10
125
225
350o
o
o
o
o
o
o
24.
50
21
87
18
135
255
310o
o
o
o
o
o
o
25.
55
36
95
12
110
215
300o
Trovare la misura in gradi sessagesimali dei seguenti angoli espressi in radianti
26.
27.
28.
29.
r
2
3r
2
r
10
8r
10
r
3
2r
3
5r
4
9r
5
r
4
r
6
r
5
3r
4
7r
10
3r
10
3r
5
2r
9
5r
12
17
r
8
r
7
5r
6
6r
5
9r
2
5r
7
7r
9
13r
4
7r
8
3r
16
11r
3
Corso di Matematica
Graziano Donati
18
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 2
Funzioni Goniometriche
Seno e Coseno di un Angolo
In un sistema cartesiano di riferimento Oxy, consideriamo la circonferenza goniometrica Γ di raggio generico R. Ogni
numero reale α (angolo), individua su Γ uno ed un solo punto P ≡ (x,y) estremo dell’arco individuato dall'angolo al
centro α. Possiamo quindi per ogni α ∈ R definire le funzioni “seno” e “coseno” per mezzo delle leggi:
PH
sin ^a h = OP
OH
cos ^a h = OP
DEFINIZIONE. Si chiama seno dell'angolo orientato α, e si scrive sin(α)
il rapporto tra l'ordinata del punto P (intersezione del secondo lato
dell'angolo α con la circonferenza goniometrica) e il raggio della
circonferenza goniometrica
DEFINIZIONE. Si chiama coseno dell'angolo orientato α, e si scrive
sin(α) il rapporto tra l'ascissa del punto P (intersezione del secondo lato
dell'angolo α con la circonferenza goniometrica) e il raggio della
circonferenza goniometrica
Da quanto definito, risulta che il seno e il coseno di un angolo:
1.
2.
3.
4.
Sono numeri reali, in quanto rapporto tra grandezze omogenee (le lunghezze di due segmenti);
Sono funzioni dell’ampiezza dell’arco (o del corrispondente angolo al centro) in quanto, variando
l’estremo dell’arco e restando immutata l’origine, variano le misure dell’ordinata e dell’ascissa
dell’estremo dell’arco;
Non sono proporzionali all’ampiezza dell’arco, e cioè sen2α è diverso da 2senα;
Non dipendono dall’unità di misura prescelta, cioè dal raggio della circonferenza goniometrica.
Argomento del seno e del coseno
Nell'espressione sin(α), l'angolo α è detto argomento della funzione seno
Nell'espressione cos(α), l'angolo α è detto argomento della funzione coseno
L'angolo α, se misurato in radianti, può avere un valore massimo pari a 2π (angolo giro misurato in senso positivoantiorario) e può avere un valore minimo pari a -2π (angolo giro misurato in senso negativo-orario). Quindi, in radianti,
l'argomento α di seno e coseno può variare da un minimo di -2π ad un massimo di 2π
L'angolo α, se misurato in gradi, può avere un valore massimo pari a 360o (angolo giro misurato in senso positivoantiorario) e può avere un valore minimo pari a -360o (angolo giro misurato in senso negativo-orario). Quindi, in gradi,
l'argomento α di seno e coseno può variare da un minimo di -360o ad un massimo di 360o
Quindi:
19
Corso di Matematica
Graziano Donati
-360c G a G+ 360c
sin ^a h
gradi
3
)
&
-2r G a G+ 2r
cos ^a h
radianti
Tangente di un angolo orientato e sua interpretazione geometrica
DEFINIZIONE. Si chiama tangente di un angolo orientato α, e si scrive tan(α), il rapporto, quando esiste, tra il seno e
il coseno dello stesso angolo α. Cioè:
tan ^a h =
sin ^a h
cos ^a h
Poichè, il seno e il coseno di un angolo α sono funzioni esclusivamente dell'ampiezza dell'angolo α, allora la tangente
dell'angolo α, tan(α)=sin(α)/cos(α) è una funzione che dipende esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo α.
Sopra una circonferenza goniometrica si consideri l'angolo orientato SOP di ampiezza α, e si conduca la tangente t alla
circonferenza goniometrica nel punto S, di intersezione dell'asse x con la circonferenza goniometrica, orientando tale
retta concordamente all'asse delle y. Sia T l'intersezione della retta t con la retta OP
Osservando i due triangoli simili ORP e OST possiamo scrivere:
RP
ST
OR = OS
Dividendo numeratore e denominatore di ambo i membri per OP otteniamo:
RP
ST
OP = OP
OR
OS
OP
OP
Poichè, per definizione:
RP
^ h
OP = sin a
OR = cos ^a h
OP
possiamo anche scrivere:
ST
sin ^a h
OP
= OS
cos ^a h
OP
Poichè, è evidente che OS=OP otteniamo:
ST
ST
ST
sin ^a h
ST
OP
OS
OS
= OS = OS = 1 = OS
cos ^a h
OP
OS
quindi:
sin ^a h
ST
= tan ^a h = OS
cos ^a h
ovvero:
ST
tan ^a h = OS
Dal punto di vista geometrico, la tangente di un angolo α è uguale al rapporto tra la lunghezza del segmento intercettato
dal secondo lato dell'angolo α, sulla retta tangente t (tangente nel punto di intersezione tra il semiasse positivo delle
ascisse e la circonferenza goniometrica) e la lunghezza del raggio della circonferenza.
20
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cotangente di un angolo orientato e sua interpretazione geometrica
DEFINIZIONE. Si chiama cotangente di un angolo orientato α, e si scrive cot(α), il rapporto, quando esiste, tra il
coseno e il seno dello stesso angolo α. Cioè:
cot ^a h =
cos ^a h
sin ^a h
Poichè, il seno e il coseno di un angolo α sono funzioni esclusivamente dell'ampiezza dell'angolo α, allora la cotangente
dell'angolo α, cot(α)=cos(α)/sin(α) è una funzione che dipende esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo α.
Sopra una circonferenza goniometrica si consideri l'angolo orientato SOP di ampiezza α, e si conduca la tangente t alla
circonferenza goniometrica nel punto S, di intersezione dell'asse x con la circonferenza goniometrica, orientando tale
retta concordamente all'asse delle y. Sia T l'intersezione della retta t con la retta OP
Osservando i due triangoli simili ORP e OBS possiamo scrivere:
SB
RP
OR = OB
Dividendo numeratore e denominatore di ambo i membri per OP
otteniamo:
SB
RP
OP = OP
OR
OB
OP
OP
Poichè, per definizione:
RP
^ h
OP = cos a
OR = sin ^a h
OP
possiamo anche scrivere:
SB
cos ^a h
OP
= OB
sin ^a h
OP
Poichè, è evidente che OB=OP otteniamo:
SB
SB
SB
cos ^a h
SB
OB
OB
OP
= OB = OB = 1 = OB
sin ^a h
OB
OP
quindi:
cos ^a h
SB
= cot ^a h = OB
sin ^a h
ovvero:
SB
cot ^a h = OB
Dal punto di vista geometrico, la cotangente di un angolo α è uguale al rapporto tra la lunghezza del segmento
intercettato dal secondo lato dell'angolo α, sulla retta tangente t (tangente nel punto di intersezione tra il semiasse
positivo delle y e la circonferenza goniometrica) e la lunghezza del raggio della circonferenza.
Definizione di Secante e Cosecante
DEFINIZIONE. Si definiscono secante e cosecante di un angolo orientato α, le seguenti funzioni goniometriche:
sec ^a h =
cosec ^a h =
1
cos ^a h
21
1
sin ^a h
Corso di Matematica
Graziano Donati
Prospetto generale delle funzioni goniometriche
BC
sin ^ i h = OC
OB
cos ^ i h = OC
sin ^ i h
= AF
= 1
tan ^ i h =
cos ^ i h cot ^ i h OA
cos ^ i h
DE
= OD
= 1
cot ^ i h =
h
^
^
h
tan i
sin i
1
sec ^ i h =
cos ^ i h
1
cosec ^ i h =
sin ^ i h
Valori notevoli delle funzioni goniometriche
sin(α)
Ricordiamo che sin(α) è definito dalla seguente relazione:
QP
sin ^a h = OP
α=0 rad (0 gradi)
In questo caso l'angolo α è nullo (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse positivo delle x con la
circonferenza goniometrica). Quindi:
QP=0 da cui:
QP
0
sin ^a h = OP = OP = 0
&
QP OP
sin ^a h = OP = OP = 1
&
QP
0 =
sin ^a h = OP = OP
1
&
sin (0) = 0
α=π/2 rad (90 gradi)
In questo caso l'angolo α è un angolo retto (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse positivo delle
y con la circonferenza goniometrica). Quindi:
QP=OP da cui:
sin ` r
2j=1
α=π rad (180 gradi)
In questo caso l'angolo α è un angolo piatto (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse negativo
delle x con la circonferenza goniometrica). Quindi:
QP=0 da cui:
α=3π/2 rad (270 gradi)
sin ^ r h = 0
22
Corso di Matematica
Graziano Donati
In questo caso l'angolo α è il triplo di un angolo retto (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse
negativo delle y con la circonferenza goniometrica). Quindi:
QP=-OP da cui:
QP -OP
sin ^a h = OP = OP =- 1
3r
sin b 2 l =- 1
&
α=2π rad (360 gradi)
In questo caso l'angolo α è un angolo giro (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse positivo delle x
con la circonferenza goniometrica). Quindi:
QP=0 da cui:
QP
0
sin ^a h = OP = OP = 0
&
sin ^2r h = 0
cos(α)
Ricordiamo che cos(α) è definito dalla seguente relazione:
OQ
sin ^a h = OP
α=0 rad (0 gradi)
In questo caso l'angolo α è nullo (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse positivo delle x con la
circonferenza goniometrica). Quindi:
OQ=1 da cui:
OQ
cos ^a h = OP = OP
OP = 1
&
OQ
0
cos ^a h = OP = OP = 0
&
cos ^ 0 h = 1
α=π/2 rad (90 gradi)
In questo caso l'angolo α è un angolo retto (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse positivo delle
y con la circonferenza goniometrica). Quindi:
OQ =0 da cui:
r
cos ` 2 j = 0
α=π rad (180 gradi)
In questo caso l'angolo α è un angolo piatto (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse negativo
delle x con la circonferenza goniometrica). Quindi:
OQ =-1 da cui:
OQ -OP
cos ^a h = OP = OP =- 1
&
cos ^ r h =- 1
α=3π/2 rad (270 gradi)
In questo caso l'angolo α è il triplo di un angolo retto (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse
negativo delle y con la circonferenza goniometrica). Quindi:
OQ =0 da cui:
OQ
0
cos ^a h = OP = OP = 0
&
3r
cos b 2 l = 0
α=2π rad (360 gradi)
In questo caso l'angolo α è un angolo giro (il punto P coincide con l'intersezione del semiasse positivo delle x
con la circonferenza goniometrica). Quindi:
23
Corso di Matematica
OQ =1
Graziano Donati
da cui:
OQ OP
cos ^a h = OP = OP = 1
&
cos ^2r h = 1
tan(α)
Ricordiamo che tan(α) è definito dalla seguente relazione:
tan ^a h =
sin ^a h
cos ^a h
α=0 rad (0 gradi)
In questo caso abbiamo:
sin ^ 0 h 0
sin ^a h
= =0
=
& tan ^ 0 h = 0
tan ^a h =
^0 h 1
^
h
cos
cos a
α=π/2 rad (90 gradi)
In questo caso abbiamo:
sin ` r
sin ^a h
2j =1
=
& tan ` r
tan ^a h =
2 j non esiste
cos ^a h cos ` r j 0
2
α=π rad (180 gradi)
In questo caso abbiamo:
sin ^a h
sin ^ r h
=
= 0 =0
tan ^a h =
& tan ^ r h = 0
cos ^a h cos ^ r h -1
α=3π/2 rad (270 gradi)
In questo caso abbiamo:
l
sin b 3r
sin ^a h
2
l non esiste
= -1
=
& tan b 3r
tan ^a h =
0
2
cos ^a h cos b 3r l
2
α=2π rad (360 gradi)
In questo caso abbiamo:
sin ^2r h 0
sin ^a h
=
= =0
tan ^a h =
& tan ^2r h = 0
cos ^a h cos ^2r h 1
cot(α)
Ricordiamo che cot(α) è definito dalla seguente relazione:
tan ^a h =
α=0 rad (0 gradi)
In questo caso abbiamo:
cos ^a h cos ^ 0 h 1
=
=
&
cot ^a h =
sin ^ 0 h 0
sin ^a h
α=π/2 rad (90 gradi)
In questo caso abbiamo:
r
cos ^a h cos ` 2 j 0
=
= 1 =0
cot ^a h =
sin ^a h
j
sin ` r
2
α=π rad (180 gradi)
In questo caso abbiamo:
cos ^a h
sin ^a h
cot ^ 0 h non esiste
&
cot ` r
2j=0
24
Corso di Matematica
Graziano Donati
cos ^a h cos ^ r h -1
=
= 0
& cot ^ r h non esiste
sin ^a h
sin ^ r h
α=3π/2 rad (270 gradi)
In questo caso abbiamo:
3r
cos ^a h cos b 2 l
0 =0
l
= -1
=
& cot b 3r
cot ^a h =
2 =0
3r
sin ^a h
sin b 2 l
α=2π rad (360 gradi)
In questo caso abbiamo:
cos ^a h cos ^2r h 1
=
=
cot ^a h =
& cot ^2r h non esiste
sin ^2r h 0
sin ^a h
cot ^a h =
Tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche
π/2
1
0
Non esiste
0
0
0
1
0
Non esiste
Sin(x)
Cos(x)
Tan(x)
Cot(x)
π
0
-1
0
Non esiste
3π/2
-1
0
Non esiste
0
2π
0
1
0
Non esiste
Variazione del seno e del coseno di un angolo
Dalle definizioni date segue che:
sen 0 = 0 = sen 0°
sen π / 2 = 1 = sen 90°
sen π = 0 = sen 180°
sen (3/2) π = -1 = sen 270°
sen 2π = 0 = sen 360°
cos 0 = 1 = cos 0°
cos π/2 = 0 = cos 90°
cos π = -1 = cos 180°
cos (3/2) π = 0 = cos 270°
cos 2π = 1 = cos 360°
Inoltre:
quadrante
I
II
III
IV
α
π/2
0
sen α
cresc.
0
cos α
1
π/2
1
+
1
decresc.
+
decresc.
+
π
π
0
0
0
-
-1
-1
25
3π/2
decresc
decresc.
0
3π/2
2π
cresc.
cresc.
-
-1
-1
0
0
0
-
cresc.
1
+
Corso di Matematica
Graziano Donati
Uso della calcolatrice scientifica
I valori di seno, coseno e tangente di una angolo α (e di conseguenza, anche i valori di cotangente, secante e cosecante
che sono ad essi legati), che un tempo venivano letti sulle tavole riportate in tutti i libri di testo di goniometria, al giorno
d'oggi possono essere ottenuti mediante l'utilizzo di una calcolatrice scientifica. Qualunque calcolatrice scientifica
moderna è dotata di funzioni goniometriche SIN, COS, TAN. Tuttavia si consiglia l'uso di una calcolatrice scientifica
dotata di sistema WriteView o Natural VPAM che consente la visualizzazione delle formule nello stesso modo in cui
esse sono mostrate in un libro, cioè in notazione matematica tipografica classica. Tale visualizzazione può aiutare
notevolmente l'utente non molto esperto nell'uso di sistemi di calcolo automatico. Inoltre, tali calcolatrice dispongono
della funzionalità di razionalizzazione del risultato mostrato e di semplificazione delle espressioni contenenti radicali,
che può risultare molto utile per risparmiare tempo e fatica nell'esecuzione dei calcoli. Di seguito ci riferiremo al
modello SHARP EL-W506X che oltre ad essere particolarmente diffusa sul mercato, è dotata di tutte le funzioni
scientifiche necessarie in un corso di studi superiore. Noi presenteremo solo una breve introduzione all'uso della
calcolatrice nell'esecuzione di calcoli goniometrici. Per l'apprendimento completo dell'utilizzo della calcolatrice e delle
sue innumerevoli funzioni, si rimanda alla consultazione del manuale utente fornito in dotazione con la calcolatrice
stessa.
Innanzitutto è necessario sottolineare che tutte le calcolatrici
scientifiche hanno la possibilità di lavorare in tre diverse modalità
di calcolo angolare: Gradi sessagesimali, Gradi centesimali e
Radianti. Se vogliamo eseguire i calcoli goniometrici impostando
gli angoli in gradi sessagesimali, è necessario impostare la
calcolatrice per lavorare in gradi (indicato con DEG), se invece
vogliamo eseguire i calcoli goniometrici in radianti, è necessario
impostare la calcolatrice per lavorare in radianti (indicato con
RAD). Sulla EL-W506X la scelta della modalità si esegue
premendo il tasto arancione 2ndF in alto a sinistra e premendo
successivamente il tasto "punto decimale", in tal modo si alternano
le modalità DEG (gradi sessagesimali), RAD (radianti), GRAD
(gradi centesimali). Una volta impostata la modalità desiderata, è
possibile calcolare il seno, il coseno e la tangente di un angolo
utilizzando i tasti SIN, COS, TAN. Ad esempio:
Per calcolare il seno di 30o, scriviamo:
SIN(30o) e premiamo il tasto = (in gradi)
SIN(π/6) e premiamo il tasto = (in radianti)
26
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Questionario
1. Definire il concetto di sistema di riferimento associato
2. Definire il concetto di circonferenza goniometrica
3. Definire il seno e coseno di un angolo
4. Definire la tangente e la cotangente di un angolo
5. Qual'è l'interpretazione geometrica della tangente di un angolo?
6. Qual'è l'interpretazione geometrica della cotangente di un angolo?
7. Definire la secante e la cosecante di un angolo
8. Qual'è il valore massimo e il valore minimo che può assumere il seno di un angolo?
9. Qual'è il valore massimo e il valore minimo che può assumere il coseno di un angolo?
10. Quali sono i possibili valori che può assumere la tangente di un angolo?
11. Quali sono i possibili valori che può assumere la cotangente di un angolo?
12. Per quali valori dell'angolo α è definito il sin(α) ?
13. Per quali valori dell'angolo α è definito il cos(α) ?
14. Per quali valori dell'angolo α è definita la tan(α) ?
15. Per quali valori dell'angolo α è definita la cot(α) ?
16. Quanto vale la tan(π/2)?
17. Quanto vale la cot(π)?
18. Per quali valori di α non è definita la tan(α)?
19. Per quali valori di α non è definita la cot(α)?
20. Perchè la scrittura sin(α)=-33/25 è assurda?
21. Perchè la scrittura cos(α)=75/38 è assurda?
22. Quanti e quali angoli esistono il cui seno vale 0?
23. Quanti e quali angoli esistono il cui coseno vale 1?
24. Descrivere il comportamento del seno di α al variare di α da 0 a 2π
25. Descrivere il comportamento del coseno di α al variare di α da 0 a 2π
26. Descrivere il comportamento della tangente di α al variare di α da 0 a 2π
27. Descrivere il comportamento della cotangente di α al variare di α da 0 a 2π
28. Perchè tan(π/2)=∞ ?
29. Perchè cot(π)=∞ ?
30. Perchè la scrittura tan(α)=127800 non è assurda?
Dire in quale quadrante cade il secondo lato di un angolo orientato α sapendo che:
31. sin(α)>0, cos(α)>0
32. sin(α)<0, cos(α)<0
33. sin(α)<0, tan(α)<0
34. sin(α)>0, tan(α)<0
35. sin(α)<0, cos(α)>0
36. tan(α)>0, cot(α)>0
37. sin(α)>0, tan(α)>0
38. tan(α)<0, cot(α)<0
39. tan(α)>0, cos(α)>0
40. sin(α)>0, cos(α)<0
41. sin(α)<0, tan(α)>0
42. sin(α)>0, cot(α)<0
Calcolare il valore delle seguenti espressioni
^
h 5
^ h
^ h
^
h
43. 2
3 sin 90c + 3 sin 180c - 4 sin 270c - 3 sin 90c
r
r
44. 2 sin ^ r h + 4 cos ` 2 j - 3 cos ^2r h + 5 sin ` 2 j + 2 cos ^ r h
45. 5 cos ^90ch - 3 cos ^ 0ch + 2 cos ^180ch - cos ^270ch + 4 cos ^360ch
63@
60@
46. 2 ^ cos ^180ch sin ^270ch - cos ^270ch sin ^90chh - cos ^180ch - sin ^270ch
1 - 2 sin ^270ch
47.
4 sin ^90ch - 7 cos ^ 0ch - 3 cos ^270ch - 6 cos ^180ch
48. a2 cos ^ 0ch - 2ab sin ^270ch - b 2 cos ^180ch - a cos ^270ch
49. 7 sin ^ 0ch - 2 cos ^180ch - 5 sin ^270ch + 4 cos ^ 0ch - 11 cos ^360ch
50. 5 cot ^90ch + 3 cos ^90ch - 2 tan ^ 0ch + sin ^270ch - 2 sin ^360ch
2
27
2
6-1@
62@
61 @
6^ a + b h2@
60@
6-1@
Corso di Matematica
Graziano Donati
r
3
3
3
3
51. 2 cos b 2 r l - 4 sin ^2r h + 2 sin b 2 r l - 2 tan ^ 0 h + 2 sin ` 2 j
3
3
52. 3 sin ^ r h - 5 cos ^ r h + 2 tan b 2 r l - cot ^ r h + 2 sin b 2 r l
r
2
^ h
^ h
l
53. cos ^ 0 h - 2 sin b 3
2 r + 3 tan r - cot ` 2 j + 3 tan ^2r h - cos r
54. - a sin ^270ch - b cos ^180ch + ^ a + b h tan ^360ch
55. a3 cos ^360ch + b 3 sin ^90ch + 3a2 b cos ^ 0ch - 3ab 2 cos ^180ch
60@
6 Impossibile@
64@
6a + b@
6^ a + b h3@
64ab@
56. ^ a - b h2 cos ^180ch + ^ a + b h2 cos ^360ch - 2ab tan ^180ch
3
57. ^ a + b h2 sin 2 b 2 r l - 4ab cos2 ^ r h + a tan 2 ^2r h
58. p sin ^270ch + q tan ^180ch - ^ p - q h sec ^ 0ch
^ m - n h2 sin 2 r - 3mn cos ^ r h + mn sin 2 b 3 r l
2
2
59.
m cos ^ 0 h - n cos ^ r h
3
- 3
a3 + b 3
60. a + b cos ^180ch - aa - bb sin ^270ch
61. cos ^720ch + sin ^540ch - sin ^180ch - cos ^1080ch + sin ^ 450ch - cos ^630ch - sin ^720ch
a4 - b4
62. ^ a + b h3 cos ^360ch - a - b sin ^90ch + 2ab ^ a + b h sec ^540ch
Verificare le seguenti identità
5 tan ^ r h + 6 cos ^ r h
3
63. 2 b cos ^ r h - 2 sin b 2 r l l =3 sin ` r
2j
r
3
r
64. sin 2 b 2 r l = sin 2 ` cos 2 - cos ^ r h j - sin ^ r h
r
r
2
2
l
^ h
^
h
65. b 2 cos ^ r h - a2 sin b 3
2 r - a sin ` 2 j - b cos 0 = 2b a - b sin ` 2 j - 2ab
r
2
2
^ h
^ h
^ h
^ h
66. ^ a - b h2 sin r
2 + 8ab cos 0 + 4ab cos r = a sin 2 - 2ab cos r + b cos 0
^ a3 + b 3 h sin ^ 450ch + ^ a2 - b 2 h cos ^990ch
= ^ a + b h^ sin 2 ^90ch + cos2 ^90chh
67. 2
a cos ^2880ch - ab sin ^1890ch + b 2 sec ^2160ch
a4 - b4
68. a - b sin ^90ch + ab ^ a + b h sin ^270ch = a 4 tan ^360ch + b 3 cos ^360ch - a3 cos ^180ch
Mediante l'uso della calcolatrice, calcolare il valore delle seguenti funzioni goniometriche:
69.
70.
71.
72.
73.
74.
sin ^30ch
cos ^30ch
sin ^120ch
cos ^120ch
tan ^30ch
tan ^120ch
sin ^60ch
cos ^60ch
sin ^210 h
cos ^210 h
tan ^60 h
tan ^210 h
sin ^ 45ch
cos ^ 45ch
sin ^315ch
cos ^315ch
tan ^ 45ch
tan ^315ch
sin ^110ch
cos ^110ch
sin ^330ch
cos ^330ch
tan ^110ch
tan ^330ch
Mediante l'uso della calcolatrice, calcolare il valore delle seguenti funzioni goniometriche:
75.
76.
77.
sin ` r
6j
r
cos ` 6 j
tan ` r
6j
sin ` r
3j
r
cos ` 3 j
tan ` r
3j
sin ` r
4j
r
cos ` 4 j
tan ` r
4j
28
l
sin b 4r
3
4r
cos b 3 l
l
tan b 4r
3
6^ a - b h2@
6q - 2p@
6m + n@
62ab@
61 @
60@
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 3
Grafici delle Funzioni Goniometriche
Nozione di Funzione
DEFINIZIONE. Assegnati due generici insiemi non vuoti X e Y, si chiama “applicazione” (o “funzione”) di X in
Y ogni legge o regola f che associa ad ogni fissato elemento x ∈ A ⊂ X uno ed un solo elemento y ≡ f(x) ∈ Y.
A
X
f
Y
⋅x
⋅ y=f(x)
Quindi è assegnata una funzione quando sono assegnati tre enti: un insieme X (chiamato “insieme di partenza” o
“dominio” della funzione), un insieme Y (chiamato “insieme di arrivo” della funzione o codominio della funzione) e
una legge f , cioè una regola descritta in qualche modo, che associa ad ogni elemento x ∈ A ⊂ X uno ed un solo
elemento y=f(x) ∈ Y (e si scrive f : X → Y). Riterremo diverse due funzioni se anche uno solo di questi tre enti è
diverso.
Metodi di rappresentazione di una funzione
Esistono principalmente tre metodi per la reppresentazione di una funzione f (cioè per la rappresentazione della regola
che abbina agli elementi x ∈ A ⊂ X gli elementi di Y), in ciascuno di questi tre metodi, la rappresentazione della
funzione f (cioè della regola di abbinamento) è costituita dalla esplicitazione dei precisi abbinamenti tra gli elementi,
eseguiti dalla regola f.
Rappresentazione Tabulare
La rappresentazione tabulare di una funzione f, consiste nel realizzare una tabellina divisa in due colonne. Nella colonna
di sinistra vengono elencati tutti gli elementi dell'insieme di partenza X e nella colonna di destra vengono elencati tutti i
corrispondenti elementi che vengono abbinati dalla funzione f a quelli di partenza.
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
..........
xn
29
yn
Corso di Matematica
Graziano Donati
Rappresentazione Insiemistica
La rappresentazione insiemistica di una funzione f, consiste nel raffigurare i due insiemi X (di partenza) e Y (di arrivo)
mediante la notazione di Eulero-Venn e di descrivere la funzione f mediante un gruppo di frecce che partono dagli
elementi dell'insieme X e giungono sugli elementi dell'insieme Y che la funzione f mette in corrispondenza
Rappresentazione Cartesiana
La rappresentazione cartesiana di una funzione f da X in Y, consiste nel costruire il diagramma del prodotto cartesiano
tra i due insiemi X (di partenza) e Y (di arrivo), e di segnare un punto all'incrocio di ogni coppia che viene creata dalla
corrispondenza stabilita dalla funzione f.
.
. .
.
.
Funzioni Matematiche reali di una variabile reale
Si chiamano funzioni matematiche quelle funzioni costituite da una regola f di corrispondenza che associa ad ogni
elemento x ∈ A ⊂ X di un sottoinsieme A di un insieme numerico X, uno ed un solo elemento y=f(x) ∈ Y di un
insieme numerico Y (non necessariamente uguale ad X) e nella quale la regola di corrispondenza f stessa, può essere
rappresentata in forma analitica per mezzo di una "formula", ovvero per mezzo di una relazione matematica costituita
da un certo numero di operazioni di tipo algebrico (somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamento a
potenza) o trascendente (esponenziali, logaritmi, seno, coseno, tangente, ecc) che applicate agli elementi (numeri)
dell'insieme X, fornisce i corrispondenti elementi (numeri) dell'insieme Y.
Quindi, una funzione matematica f, è una funzione nella quale gli insiemi X (di partenza) e Y (di arrivo) sono insiemi
numerici (N, Z, Q, R) e la regola di corrispondenza f può essere rappresentata da una formula (espressione matematica).
X
f
Y
In genere, noi ci occuperemo di funzioni matematiche nelle quali sia l'insieme di partenza X che l'insieme di arrivo Y,
sono costituiti dall'insieme dei numeri reali R. Tali funzioni matematiche sono anche dette funzioni reali di variabile
reale. I seguenti, sono esempi di funzioni reali di variabile reale rappresentate mediante "formula analitica":
30
Corso di Matematica
Graziano Donati
1
" R
x2 + 1
ex
R "
" R
3
x +2
R " x2 " R
R "
R "
cos(x)
" R
ln (x) + 1
x
R " 2x - 3 " R
sin (x)
R "
" R
x
In ciascuna di queste funzioni, assegnando ad x un un certo valore reale, otterremo, calcolando le operazioni presenti
nella formula, i corrispondenti valori di y. Poichè, tratteremo esclusivamente funzioni matematiche reali di variabile
reale (insieme di partenza e di arrivo costituiti entrambe dall'insieme dei numeri reali R), per semplicità di scrittura,
ometteremo l'indicazione degli insiemi e rappresenteremo le funzioni con la notazione abbreviata:
y = x2
y=
cos(x)
ln (x) + 1
1
x2 + 1
ex
y= 3
x +2
y=
x
y = 2x - 3
sin (x)
y= x
dove y rappresenta la variabile del'insieme di arrivo e x la variabile dell'insieme di partenza. Rappresentando una
espressione matematica generica con la notazione f(x), la funzione assume la seguente generica rappresentazione:
y = f (x)
Rappresentazione grafica di una funzione matematica
Per la rappresentazione grafica di una funzione matematica utilizzeremo la rappresentazione cartesiana. In questo caso,
gli elementi (numeri) dell'insieme di partenza X=R saranno rappresentati da tutti gli infiniti punti giacenti sull'asse
orizzontale, gli elementi (numeri) dell'insieme di arrivo Y=R saranno rappresentati da tutti gli infiniti punti giacenti
sull'asse verticale, la funzione f (cioè la regola espressa dalla formula) che abbiana i numeri di partenza a quelli di arrivo
sarà rappresentata da tutti i punti che si trovano all'incrocio di ogni coppia generata dalla funzione (espressione
matematica) che crea l'abbinamento. Consideriamo ad esempio la funzione:
2
+1
y= x 2
e proponiamoci di visualizzarla graficamente per mezzo della rappresentazione cartesiana. Innanzitutto si disegnano due
assi ortogonali, l'asse x (orizzontale) e l'asse y (verticale). Sull'asse x vi sono tutti gli infiniti numeri reali che
rappresentano gli elementi di partenza della funzione. Sull'asse y vi sono tutti gli infiniti numeri reali che rappresentano
gli elementi di arrivo della funzione. Cominciando ad assegnare alcuni valori (a caso) alla variabile x, possiamo
calcolare dalla formula, i corrispondenti risultati y e segnare un punto nel piano, dove questi due valori si incontrano.
Assegnamo alcuni valori arbitrari alla variabile x, (ad esempio, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5) e determiniamo gli
equivalenti valori di y eseguendo sui valori di x le operazioni indicate dalla formula. Riportiamo poi i valori assegnati
ad x e i corrispondenti valori di y ottenuti in una tabella:
x
-5
-4
-3
-2
-1
y
13
17/2
5
5/2
0
1
1/2
1
1
2
5/2
3
4
5
17/2
5
13
Tracciamo ora sul piano due assi cartesiani ortogonali (asse orizzontale x=asse delle ascisse ed
asse verticale y=asse delle ordinate) che si incontrano in un punto O detto origine degli assi.
Ad ogni punto dell'asse delle x corrisponde un numero reale e ad ogni punto dell'asse delle
ordinate corrisponde un numero reale. Ai punti dell'asse x che si trovano a destra dell'origine
corrispondono i numeri positivi ordinati in senso crescente verso destra. Ai punti dell'asse x
che stanno a sinistra dell'origine corrispondono i numeri negativi ordinati in senso decrescente
verso sinistra. Ai punti dell'asse y che stanno sopra l'origine corrispondono i numeri positivi
ordinati in senso crescente verso l'alto. Ai punti dell'asse y che stanno sotto l'origine
corrispondono i numeri negativi ordinati in senso decrescente verso il basso. Segnamo ora dei
punti sull'asse delle ascisse (asse x) in corrispondenza dei valori x che abbiamo assegnato
arbitrariamente alla variabile indipendente x della funzione (quindi segnamo dei punti in
corrispondenza dei valori -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5). Segnamo poi sull'asse delle ordinate
(asse y) dei punti in corrispondenza dei valori y che abbiamo ottenuto dal calcolo delle
operazioni indicate nella formula matematica, eseguite sui valori assegnati ad x (quindi,
segnamo dei punti in corrispondenza dei valori 13, 17/2, 5, 5/2, 1, 1/2, 1, 5,2, 5, 17/2, 13)
31
Corso di Matematica
Graziano Donati
15
10
.
.
.
..
5
6
. . . . .
4
2
. . . . .
2
4
6
5
10
15
Mediante una serie di linee verticali e orizzontali, uniamo ora i punti segnati sull'asse delle x, con i corrispondenti punti
segnati sull'asse delle y, in base alla tabella numerica che abbiamo ottenuto precedentemente. Ad ogni intersezione
segnamo un punto (indicato in colore rosso). Otteniamo così una rappresentazione grafica delle associazioni dei valori
assegnati alla variabile indipendente x con i valori corrispondenti ottenuti della variabile dipendente y, mediante la
funzione espressa dalla formula data.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .. . .
. . . . .. . . . . .
.
15
10
5
6
4
2
2
4
6
5
10
15
Potremmo ora pensare di assegnare alla variabile indipendente x un maggior numero di valori, ottenendo così una
rappresentazione grafica più dettagliata della regola di abbinamento costituita dalla formula matematica che descrive la
funzione
32
Corso di Matematica
Graziano Donati
20 valori
Il numro di valori da assegnare arbitrariamente alla variabile indipendente può essere ulteriormente incrementato
ottenendo una rappresentazione ancora più accurata della funzione.
40 valori
In teoria, potremmo aumentare indefinitamente il numero di valori da assegnare alla variabile indipendente x
(teoricamente potremmo assegnare alla variabile indipendente x un numero infinito di valori numerici, rappresentato da
tutti i possibili numeri reali) ottenendo una rappresentazione "perfetta" della funzione y=f(x) che non sarà più costituita
da un insieme di punti, ma diventerà una linea continua che viene detta "grafico della funzione y=f(x)"
100 valori
Quindi, in definitiva possiamo affermare che:
Una funzione matematica y=f(x) espressa mediante una formula analitica (espressione matematica algebrica e/o
trascendente), ha una rappresentazione grafica cartesiana costituita da una ben precisa curva nel piano, la cui forma
descrive in maniera visiva la formula stessa che definisce la funzione f(x).
33
Corso di Matematica
Graziano Donati
La condizione fondamentale di una funzione
In base alla definizione di funzione, si ha che:
Ad ogni elemento di un sottoinsieme A di X deve corrispondere uno ed un solo elemento dell'insieme Y
Cioè, ogni elemento di A⊂X deve essere messo in corrispondenza, dalla funzione f, con non più di un elemento di Y.
Ciò vuol dire, ad esempio, che nella notazione insiemistica, da ciascun elemento di A non deve partire più di una freccia
verso Y. Contrariamente, su ciascun elemento di Y poò arrivare anche più di una freccia (poichè questa situazione non
contraddice la definizione di funzione perchè ciò che conta sono gli elementi di partenza).
Y
X
f
A
f
.
.
x
y
Situazione non consentita
Situazione consentita
Dal punto di vista della rappresentazione cartesiana, questo si traduce nel fatto che a ciascun numero sull'asse delle x
non deve corrispondere, mediante il grafico, più di un numero sull'asse delle y.
Situazione non consentita
Situazione consentita
Ne consegue l'importante regola della retta verticale
REGOLA DELLA RETTA VERTICALE. Affinchè una curva nel piano cartesiano costituisca la rappresentazione
grafica di una funzione f(x) è necessario che qualsiasi retta verticale incontri il grafico in non più di un punto
Seno, Coseno, Tangente e Cotangente come funzioni goniometriche
Nelle pagine precedenti abbiamo definito sulla circonferenza goniometrica coseno, seno, tangente e cotangente. Coseno,
seno, tangente e cotangente vengono comunemente chiamate funzioni goniometriche o funzioni circolari. Vediamo
perché. Ricordiamo che in matematica una funzione y = f(x) è una corrispondenza che ad ogni valore (ammissibile)
della variabile indipendente x associa uno ed un unico valore della variabile indipendente y secondo una legge
34
Corso di Matematica
Graziano Donati
assegnata. Abbiamo poi denominato dominio della funzione l’insieme dei valori della variabile indipendente x in cui la
funzione f è definita o calcolabile e codominio della funzione l’insieme dei valori assunti dalla variabile dipendente y.
Nel nostro caso assumiamo come variabile indipendente l’angolo α positivo o negativo misurato sulla circonferenza
goniometrica; il coseno di una angolo è dunque quella funzione matematica che ad ogni angolo α associa il coseno di
quest’angolo, come definito precedentemente sulla circonferenza goniometrica. Analogamente per seno, tangente e
cotangente:
y = sin ^a h
y = tan ^a h
y = cos ^a h
y = cot ^a h
Dominio delle funzioni goniometriche
Per quanto riguarda il coseno e il seno, dato un qualsiasi angolo α, individuato corrispondentemente il punto P sulla
circonferenza goniometrica, è sempre possibile costruire le proiezioni ortogonali HO e KO sugli assi x e y e determinare
coseno e seno dell’angolo.
Pertanto il dominio sia del coseno che del seno è dunque tutto l'asse reale e si può scrivere:
Dominio(coseno) = R
Dominio(seno) = R
Consideriamo ora la funzione tangente: a mano a mano che l’angolo α si
avvicina al valore di 90° (o di π/2 in radianti), il punto P si avvicina al punto
B(0;1) e le semirette OP tendono a diventare sempre più vicine alla
verticale, determinando un aumento vertiginoso del valore dell’ordinata del
punto Q e cioè della tangente; quando l’angolo vale proprio 90° il punto P
sulla circonferenza coinciderà con il punto B, la semiretta OP sarà verticale
e parallela alla retta verticale per A: le due rette saranno parallele e pertanto
non avranno punto di intersezione o anche, avranno intersezione
all’infinito. Per questo motivo non è definito il valore della tangente per
l’angolo di 90°; si può anche dire che la tangente a 90° è infinita. Un
discorso analogo si può ripetere per l’angolo di 270° e per tutti gli angoli
impropri definiti nei giri successivi.
Con riferimento al dominio possiamo allora concludere:
r
Dominio (tangente) = R - " 90c + k180c , con: k ! Z , = R - $ 2 + kr, con: k ! Z .
A questa conclusione si poteva giungere anche per un’altra strada e cioè considerando che, grazie alla II identità
fondamentale, la tangente è definita come
tgα =
sin α
.
cos α
Poiché il denominatore di una frazione non può essere mai nullo, occorre escludere dal dominio i valori per i quali il
coseno vale zero, che risultano essere proprio 90° e 270°.
Per la funzione cotangente si può ripetere un discorso del tutto analogo; sinteticamente possiamo dire che la cotangente
non è definita quando l’angolo α vale 0° oppure 180°:
Dominio (cotangente) = R - " k180c , con: k ! Z , = R - " kr, con: k ! Z ,
Quindi, in definitiva:
y = sin ^ x h
y = cos ^ x h
-3 < x <+3
-3 < x <+3
y = cot ^ x h
-3 < x <+3
y = tan ^ x h
-3 < x <+3
35
x! r
2 + kr
x ! kr
Corso di Matematica
Graziano Donati
Segni delle funzioni goniometriche nei 4 quadranti
Le funzioni goniometriche coseno, seno, tangente, cotangente possono essere positive, negative o annullarsi. Nella
tabella seguente è riportato il segno che ognuna di esse assume nei 4 quadranti:
Quadrante
cos
sin
tan
cot
I
+
+
+
+
II
-
+
-
-
III
-
-
+
+
IV
+
-
-
-
Periodicità delle funzioni goniometriche
Supponiamo di far variare l’angolo α su tutta la circonferenza e di calcolare le funzioni goniometriche coseno e seno.
Nel momento in cui l’angolo supera il valore di 360° ritorneremo sulle stesse posizioni iniziali e ovviamente, le
funzioni goniometriche riassumeranno gli stessi valori del giro
precedente. Possiamo esprimere questo concetto dicendo che le
funzioni goniometriche coseno e seno sono funzioni periodiche, e il
periodo, definito come l’intervallo della variabile indipendente dopo
cui la funzione assume gli stessi valori, vale 360°:
cos ^ x + 360ch = cos ^ x h
sin ^ x + 360ch = sin ^ x h
Per quanto riguarda le funzioni tangente e cotangente non è necessario
aspettare un giro completo perché esse assumano gli stessi valori, ma,
come si vede nella figura a fianco, è sufficiente mezzo giro:
Possiamo esprimere questo concetto dicendo che le funzioni goniometriche tangente e cotangente sono funzioni
periodiche di periodo pari a 180°:
tan ^ x + 180ch = tan ^ x h
cot ^ x + 180ch = cot ^ x h
Codominio delle funzioni goniometriche
Coseno e seno. Coseno e seno sono state definite come l’ascissa e
l’ordinata di un punto P variabile sulla circonferenza goniometrica, di
raggio unitario. Il massimo valore dell’ascissa si ha quando P è sul punto
A, il minimo valore quando P è sul punto A’; analogamente il massimo
valore del seno si ha quando il punto P coincide con B, il minimo valore
quando P coincide con B’.
Possiamo quindi concludere dicendo che
− 1 ≤ cosα ≤ +1 e − 1 ≤ senα ≤ +1
Pertanto le funzioni goniometriche coseno e seno hanno per codominio
l’intervallo
[- 1;+1] .
Codominio(coseno) =
[- 1;+1]
36
Corso di Matematica
Codominio(seno) =
Graziano Donati
[- 1;+1]
Tangente. Per quanto riguarda la tangente, essendo definita come l’ordinata di un punto al di fuori della circonferenza
goniometrica, essa può assumere qualsiasi valore reale; ciò si esprime dicendo che:
Codominio(tangente) = R.
Per la cotangente vale un discorso analogo e dunque:
Codominio(cotangente) = R.
Quindi, in definitiva:
-1 G sin ^ x h G+ 1
-1 G cos ^ x h G+ 1
-3 < tan ^ x h < + 3
-3 < cot ^ x h < + 3
Valori delle funzioni goniometriche nei principali angoli
Nella tabella seguente vengono riportati i valori che le funzioni goniometriche assumono nei principali angoli:
angolo α (°)
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
angolo α (rad)
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
2π
cos α
1
0
-1
0
1
0
2
2
2
2
1
2
sin α
3
2
1
2
3
2
1
0
-1
0
tgα
0
1
3
=
3
3
1
3
∞
0
∞
0
cotgα
∞
3
1
1
3
=
3
3
0
∞
0
∞
37
Corso di Matematica
Graziano Donati
Grafici delle funzioni goniometriche
Grafico della funzione y=sin(x)
Indicando con x la misura in radianti di un angolo e con y il corrispondente valore del seno, sappiamo che la funzione:
y = sin (x)
è definita per ogni valore reale della x. noltre la funzione "seno" è una funzione periodica di periodo 2π, e quindi, per
studiare l'andamento del suo grafico bsata limitarsi a considerate soltanto i valori che essa assume per x variabile
nell'intervallo [0,2π]. A tale scopo, tracciamo nel piano un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy e fissiamo un
segmento u come unità di misura. Sull'asse x prendiamo il segmento di misura 2π, e poi segnamo i punti di ascissa
x=π/2, x=π, x=3π/2, .... Costruiamo ora una tabella alcuni dei valori notevoli della funzione seno in corrispondenza di
determinati angoli
x
Sin(x)
0
0
π/6
1/2
π/3
√3/2
π/2
1
2π/3
√3/2
5π/6
1/2
π
0
7π/6
-1/2
4π/3
−√3/2
3π/2
-1
5π/3
−√3/2
11π/6
-1/2
2π
0
Riportiamo i valori di x sull'asse delle ascisse e i corrispondenti valori di sin(x) sull'asse delle ordinate. Nei punti di
intersezione segnamo un punto. Unendo tutti i punti otteniamo il grafico della funzione sin(x) detto anche sinusoide.
Grafico della funzione y=cos(x)
Indicando con x la misura in radianti di un angolo e con y il corrispondente valore del seno, sappiamo che la funzione:
y = cos (x)
è definita per ogni valore reale della x. noltre la funzione "coseno" è una funzione periodica di periodo 2π, e quindi, per
studiare l'andamento del suo grafico bsata limitarsi a considerate soltanto i valori che essa assume per x variabile
nell'intervallo [0,2π]. A tale scopo, tracciamo nel piano un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy e fissiamo un
segmento u come unità di misura. Sull'asse x prendiamo il segmento di misura 2π, e poi segnamo i punti di ascissa
x=π/2, x=π, x=3π/2, .... Costruiamo ora una tabella alcuni dei valori notevoli della funzione coseno in corrispondenza di
determinati angoli
x
Cos(x)
0
1
π/6
√3/2
π/3
1/2
π/2
0
2π/3
1/2
5π/6
√3/2
π
-1
7π/6
−√3/2
4π/3
−1/2
3π/2
0
5π/3
−1/2
11π/6
−√3/2
2π
1
Riportiamo i valori di x sull'asse delle ascisse e i corrispondenti valori di cos(x) sull'asse delle ordinate. Nei punti di
intersezione segnamo un punto. Unendo tutti i punti otteniamo il grafico della funzione cos(x) detto anche
cosinusoide.
38
Corso di Matematica
Graziano Donati
Grafico della funzione y=tan(x)
Indicando con x la misura in radianti di un angolo e con y il corrispondente valore della tangente, sappiamo che la
funzione:
y = tan (x)
è definita per ogni valore reale della x≠π/2+kπ. noltre la funzione "tangente" è una funzione periodica di periodo π, e
quindi, per studiare l'andamento del suo grafico basta limitarsi a considerate soltanto i valori che essa assume per x
variabile nell'intervallo [0,π]. A tale scopo, tracciamo nel piano un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy e fissiamo
un segmento u come unità di misura. Sull'asse x prendiamo il segmento di misura 2π, e poi segnamo i punti di ascissa
x=π/2, x=π, x=3π/2, .... Costruiamo ora una tabella alcuni dei valori notevoli della funzione tangente in corrispondenza
di determinati angoli
x
Tan(x)
0
0
π/6
√3/3
π/3
√3
π/2
Ind.
2π/3
√3
5π/6
√3/3
π
0
7π/6
−√3/3
4π/3
−√3
3π/2
Ind.
5π/3
−√3
11π/6
−√3/3
2π
0
Riportiamo i valori di x sull'asse delle ascisse e i corrispondenti valori di tan(x) sull'asse delle ordinate. Nei punti di
intersezione segnamo un punto. Unendo tutti i punti otteniamo il grafico della funzione tan(x) detto anche
tangentoide.
Grafico della funzione y=cot(x)
Indicando con x la misura in radianti di un angolo e con y il corrispondente valore della tangente, sappiamo che la
funzione:
y = tan (x)
è definita per ogni valore reale della x≠π/2+kπ. noltre la funzione "tangente" è una funzione periodica di periodo π, e
quindi, per studiare l'andamento del suo grafico basta limitarsi a considerate soltanto i valori che essa assume per x
variabile nell'intervallo [0,π]. A tale scopo, tracciamo nel piano un sistema di assi cartesiano ortogonali Oxy e fissiamo
un segmento u come unità di misura. Sull'asse x prendiamo il segmento di misura 2π, e poi segnamo i punti di ascissa
39
Corso di Matematica
Graziano Donati
x=π/2, x=π, x=3π/2, .... Costruiamo ora una tabella alcuni dei valori notevoli della funzione tangente in corrispondenza
di determinati angoli
x
Tan(x)
0
0
π/6
√3/3
π/3
√3
π/2
Ind.
2π/3
√3
5π/6
√3/3
π
0
7π/6
−√3/3
4π/3
−√3
3π/2
Ind.
5π/3
−√3
11π/6
−√3/3
2π
0
Riportiamo i valori di x sull'asse delle ascisse e i corrispondenti valori di tan(x) sull'asse delle ordinate. Nei punti di
intersezione segnamo un punto. Unendo tutti i punti otteniamo il grafico della funzione tan(x) detto anche
tangentoide.
40
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 4
Funzioni goniometriche inverse
La nozione di funzione inversa
Nel capitolo precedente abbiamo detto che una funzione f definita su un insieme X a valori in un insieme Y poteva
essere considerata come "una regole" che faceva corrispondere ad ogni elemento di un sottoinsieme proprio o improprio
A di X, uno ed un solo elemento dell'insieme Y.
Y
X
A
La situazione mostrata in figura, non viola la condizione fondamentale di una funzione, e cioè che ad ogni elemento di
A deve corrispondere uno ed un solo elemento di Y. La figura seguente, mostra invece una situazione simile, nella
quale però vi è la violazione della condizione fondamentale (infatti, all'ultimo elemento in A vengono fatti
corrispondere due elementi di Y).
Y
X
A
41
Corso di Matematica
Graziano Donati
Dal punto di vista della rappresentazione cartesiana, questa condizione si traduce nel fatto che a ciascun numero
sull'asse delle x non deve corrispondere, mediante il grafico, più di un numero sull'asse delle y.
Situazione non consentita
Situazione consentita
Ne consegue l'importante regola della retta verticale
REGOLA DELLA RETTA VERTICALE. Affinchè una curva nel piano cartesiano costituisca la rappresentazione
grafica di una funzione f(x) è necessario che qualsiasi retta verticale incontri il grafico in non più di un punto
La funzione inversa
DEFINIZIONE. Data una funzione f da X in Y (ovvero, "una regole" che fa corrispondere ad ogni elemento di un
sottoinsieme proprio o improprio A di X, uno ed un solo elemento dell'insieme Y), si chiama funzione inversa f-1, la
"regola inversa" che agli elementi di y associati a quelli di x dalla funzione f, mette in corrispondenza gli elementi x di
partenza.
La funzione inversa f-1 si ottiene dalla funzione f invertendo semplicemente il verso delle frecce.
Affinchè una funzione inversa f-1 di una data funzione f, sia ancora una funzione, è necessario che anche f-1 non violi la
condizione fondamentale di una funzione. Ovvero, a ciascun elemento di Y, non deve corrispondere, mediante la f-1, più
di un elemento di X. Da questo concetto nasce una seconda importante condizione che la funzione di partenza f deve
soddisfare, affinchè la sua inversa f-1 sia anch'essa una funzione (o come si suol dire, affinchè la funzione f sia
invertibile).
42
Corso di Matematica
Graziano Donati
Se osserviamo la funzione f rappresentata dalla precedente immagine, notiamo che essa è certamente una funzione,
poichè ad ogni elemento di un sottoinsieme dell'insieme di partenza, viene fatto corrispondere uno ed un solo elemento
dell'insieme di arrivo. La funzione f però non è invertibile, poichè se scambiamo il verso delle frecce non otteniamo più
una funzione (infatti avremmo l'ultimo elemento dell'insieme Y che viene messo in corrispondenza dalla f-1 con due
elementi dell'insieme X, violando così la condizione fondamentale sulle funzioni). Tale problema è avvenuto perchè la
funzione di partenza f poneva in corrispondenza due elementi di X con il medesimo elemento di Y (situazione
consentita affinchè f possa essere considerata una funzione, ma che però rende la funzione f non invertibile). Quindi,
affinche una funzione f sia invertibile è necessario che a ciascun elemento dell'insieme X venga fatto corrispondere
dalla f non più di un elemento di Y (con l'aggiunta di questa condizione, non solo la f è una funzione, ma essa è anche
invertibile). Da un punto di vista della rappresentazione cartesiana questa condizione si traduce nel fatto che affinchè
una funzione f sia invertibile, qualsiasi retta orizzontale deve incontrare il grafico della funzione f non più di una volta.
Il grafico rappresenta una funzione f
invertibile, perchè non esiste alcuna retta
orizzontale che incontra il grafico più di
una volta
Il grafico rappresenta una funzione f che
non è invertibile, perchè esiste almeno una
retta orizzontale che incontra il grafico più
di una volta
Abbiamo quindi la seguente regola
REGOLA DELLA RETTA ORIZZONTALE. Una curva sul piano cartesiano rappresenta una funzione invertibile se
e solo se qualsiasi retta orizzontale incontra la curva non più di una volta.
Metodo per la determinazione dell'inversa di una funzione invertibile
Dato il grafico di una funzione f(x) invertibile (quindi soddisfacente la regola della retta orizzontale), il grafico della
funzione inversa f-1, si ottiene facilmente mediante la seguente procedura:
1) Si traccia la bisettrice del primo e del terzo quadrante
2) Si ribalta a specchio il grafico della funzione f attorno alla
bisettrice del primo e del terzo quadrante
3) Il grafico ottenuto è il grafico della funzione inversa f-1
43
Corso di Matematica
Graziano Donati
Metodo per la determinazione dell'inversa di una funzione non invertibile
Dato il grafico di una funzione f(x) non invertibile (quindi non soddisfacente la regola della retta orizzontale), il grafico
della funzione inversa ristretta f-1, si ottiene facilmente mediante la seguente procedura:
1) Come prima cosa si esegue una restrizione, cioè si cancella la
più piccola parte possibile del grafico della funzione f, in maniera
tale che ciò che resta sia una funzione invertibile (cioè soddisfi la
regola della retta orizzontale)
2) Si traccia la bisettrice del primo e del terzo quadrante
2) Si ribalta a specchio il grafico della funzione ristretta f attorno
alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
3) Il grafico ottenuto è il grafico della funzione inversa f-1 della
restrizione di f
Ovviamente l'inversa f-1 ottenuta non è proprio l'inversa della funzione originaria, bensì di una sua restrizione, è cioè
l'inversa di un suo frammento. Nella figura è mostrata l'inversione della funzione potenza x2. Poichè tale funzione non è
invertibile (non soddisfa la regola della retta orizzontale) si è deciso di cancellare il ramo sinistro della funzione x2,
ottenendo così una funzione ristretta invertibile. A questo punto è stato sufficiente ribaltare a specchio tale funzione
rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Funzioni goniometriche inverse
Se osserviamo i grafici delle funzioni goniometriche, ci accorgiamo che esse non sono invertibili, infatti nessuna di esse
soddisfa la condizione della retta orizzontale.
sin(x)
cos(x)
tan(x)
1.0
6
1.0
4
0.5
0.5
2
6
Cos(x)
4
2
2
4
6
6
0.5
(periodica
di periodo T=2π)
1.0
4
2
2
4
6
6
4
2
2
4
6
2
0.5
4
6
1.0
per determinare quindi le "inverse" sarà necessario eseguire, su ciascuna di esse delle opportune restrizioni.
Funzione arcoseno
Per rendere invertibile la funzione sin(x) possiamo eseguire su di essa una restrizione, in modo tale che la parte di
funzione restante sia invertibile (soddisfi cioè la regola della retta orizzontale). Per eseguire la restrizione più piccola
possibile, scegliamo di cancellare tutta la funzione ad eccezione della parte definita tra -π/2 e +π/2.
44
Corso di Matematica
Graziano Donati
1.0
0.5
6
4
2
2
4
6
0.5
1.0
Possiamo ora ribaltare attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante la porzione di grafico rimasta per ottenere la
funzione inversa della restrizione del seno, che chiameremo arcoseno ed indicheremo con arcsin(x) o sin-1(x)
x
π/2
y
1
y = sen x
x
−π/2
y
−1
1
π/2
x = arcsen y
−1
−π/2
Si definisce “arcoseno” la funzione inversa della
f : [−π/2,π/2] → [−1,1]
definita da f(x) = sen x (che è monotòna crescente) e cioè
f −1 : [−1,1] → [−π/2,π/2],
−1
definita da f (y) = arcsen y, che associa ad ogni y∈[−1,1] quello e quel solo angolo x∈[−π/2,π/2] il cui
seno è y.
Funzione arcocoseno
Per rendere invertibile la funzione cos(x) possiamo eseguire su di essa una restrizione, in modo tale che la parte di
funzione restante sia invertibile (soddisfi cioè la regola della retta orizzontale). Per eseguire la restrizione più piccola
possibile, scegliamo di cancellare tutta la funzione ad eccezione della parte definita tra 0 e +π.
1.0
0.5
6
4
2
2
4
6
0.5
1.0
Possiamo ora ribaltare attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante la porzione di grafico rimasta per ottenere la
funzione inversa della restrizione del seno, che chiameremo arcoseno ed indicheremo con arcsin(x) o sin-1(x)
x
π
y
1
0
x = arccos y
y = cos x
π
x
−1
−1
0
1
y
45
Corso di Matematica
Graziano Donati
Si definisce “arcocoseno” la fun-zione inversa della funzione
f : [0,π] → [−1,1]
definita da f(x) = cos x (che è monotòna decrescente) e quindi è
f −1 : [−1,1] → [0,π]
definita da f −1(y) = arccos y, che associa ad ogni y∈[−1,1] quell’an-golo x ∈ [0,π] il cui coseno è y.
Funzione arcocotangente
Per rendere invertibile la funzione tan(x) possiamo eseguire su di essa una restrizione, in modo tale che la parte di
funzione restante sia invertibile (soddisfi cioè la regola della retta orizzontale). Per eseguire la restrizione più piccola
possibile, scegliamo di cancellare tutta la funzione ad eccezione della parte definita tra -π/2 e +π/2.
6
4
2
6
4
2
2
4
6
2
4
6
Possiamo ora ribaltare attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante la porzione di grafico rimasta per ottenere la
funzione inversa della restrizione del seno, che chiameremo arcoseno ed indicheremo con arcsin(x) o sin-1(x)
y
y = tg x
π/2
x = arctg y
x
−π/2
x
y
π/2
−π/2
Si definisce “arcotangente” la funzione inversa della funzione
f : ]−π/2,π/2[ → ℜ
definita da f(x) = tg x (che è monotòna crescente) e quindi è
f −1 : ℜ → ]−π/2,π/2[
definita da f −1(y) = arctg y, che associa ad ogni y ∈ ℜ quel solo angolo x∈]−π/2,π/2[ la cui tangente è x.
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
1.5
3.0
1.0
2.5
0.5
2.0
1.0
2
0.5
1.5
1
1
2
2
0.5
1.0
1.0
0.5
1
1
0.5
1.5
2
1
1
46
2
1.0
2
Corso di Matematica
Graziano Donati
Generalmente, sulle calcolatrici scientifiche, le
funzioni goniometriche inverse arcsin(x), arccos(x),
arctan(x) si trovano sopra ai tre tasti delle rispettive
funzioni goniometriche sin(x), cos(x), tan(x) e sono
-1
generalmente indicate con i termini sin (che è la
-1
funzione arcsin(x)) cos (che è la funzione arccos(x)) e
-1
tan (che è la funzione arctan(x)). Per attivare tali
funzioni è necessario premere prima il tasto arancione
di seconda funzione 2nd (che solitamente si trova in
alto a sinistra)
Esercizi
Mediante l'uso della calcolatrice, determinare il valore delle seguenti funzioni goniometriche inverse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
arcsin b 12 l
arccos b 12 l
arctan b 12 l
1
arcsin b 5 l
1
arccos b 5 l
arctan ^ 3 h
arcsin b - 12 l
arccos b - 12 l
arctan b - 12 l
arcsin b - 15 l
1
arccos b - 5 l
arctan ^ -3 h
3
arcsin c 2 m
3
arccos c 2 m
3
arctan c 2 m
2
arcsin b 3 l
2
arccos b 3 l
arctan ^12 h
3
arcsin c - 2 m
3
arccos c - 2 m
3
arctan c - 2 m
2
arcsin b - 3 l
2
arccos b - 3 l
arctan ^ -12 h
47
2
arcsin c 2 m
2
arccos c 2 m
2
arctan c 2 m
1
arcsin b 3 l
arccos b 13 l
1
arctan b 3 l
2
arcsin c - 2 m
2
arccos c - 2 m
2
arctan c - 2 m
1
arcsin b - 3 l
1
arccos b - 3 l
arctan b - 13 l
Corso di Matematica
Graziano Donati
48
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 5
Relazioni Goniometriche Fondamentali
Relazione Pitagorica
TEOREMA: (Relazione Pitagorica) La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo α vale sempre 1,
qualunque sia l'angolo α.
sin 2 ^a h + cos2 ^a h = 1
Dimostrazione
Per la definizione di seno e coseno di un angolo, in riferimento alla
figura, possiamo scrivere:
OH 2
PH 2
sin 2 ^a h + cos2 ^a h = b OP l + b OP l
ed anche:
2
2
2
+ OH 2
sin 2 ^a h + cos2 ^a h = PH2 + OH2 = PH 2
OP
OP
OP
Osservando la figura, per il Teorema di Pitagora risulta:
PH 2 + OH 2 = OP2
e quindi possiamo scrivere:
2
2
2
sin 2 ^a h + cos2 ^a h = PH2 + OH2 = OP2 = 1
OP
OP
OP
ovvero:
sin 2 ^a h + cos2 ^a h = 1
Con ciò il teorema è dimostrato
La relazione pitagorica ci permette di calcolare il valore del seno di un angolo quando è noto il valore del coseno dello
stesso angolo e viceversa. Da essa infatti, possiamo ricavare:
da cui:
ed anche:
sin 2 ^a h = 1 - cos2 ^a h
e
cos2 ^a h = 1 - sin 2 ^a h
sin 2 ^a h = ^1 + cos ^a hh^1 - cos ^a hh
cos2 ^a h = ^1 + sin ^a hh^1 - sin ^a hh
sin ^a h =! 1 - cos2 ^a h =! ^1 + cos ^a hh^1 - cos ^a hh
cos ^a h =! 1 - sin 2 ^a h =! ^1 + sin ^a hh^1 - sin ^a hh
Relazione tra seno e tangente di uno stesso angolo
Dalla definizione di tangente e cotangente di un angolo, abbiamo:
sin ^a h
cos ^a h
2
Ma poichè, sin ^a h =! 1 - cos ^a h e
tan ^a h =
cot ^a h =
cos ^a h
sin ^a h
cos ^a h =! 1 - sin 2 ^a h possiamo anche scrivere:
49
Corso di Matematica
sin ^a h
cos ^a h
sin ^a h
tan ^a h =
cos ^a h
Graziano Donati
! 1 - cos2 ^a h
cos ^a h
sin ^a h
& tan ^a h =
! 1 - sin 2 ^a h
! 1 - sin 2 ^a h
& cot ^a h =
sin ^a h
cos ^a h
& cot ^a h =
! 1 - cos2 ^a h
tan ^a h =
&
cos ^a h
sin ^a h
cos ^a h
cot ^a h =
sin ^a h
quindi, abbiamo:
cot ^a h =
tan ^a h =
! 1 - cos2 ^a h
=
cos ^a h
!
2
! 1 - sin ^a h
=
cot ^a h =
sin ^a h
!
tan ^a h =
sin ^a h
1 - sin 2 ^a h
cos ^a h
1 - cos2 ^a h
Seno e Coseno in funzione di Tangente e Cotangente di uno stesso angolo
Possiamo ovviamente scrivere:
sin 2 ^a h
sin 2 ^a h =
cos2 ^a h =
cos2 ^a h
1
1
=
sin 2 ^a h + cos2 ^a h possiamo anche scrivere:
1
Ed essendo
cos2 ^a h
sin 2 ^a h
2
^
h
=
a
cos
sin 2 ^a h + cos2 ^a h
sin 2 ^a h + cos2 ^a h
Dividendo numeratore e denominatore della prima per cos2(x) e numeratore e denominatore della
seconda per sin2(x) otteniamo:
cos2 ^a h
sin 2 ^a h
sin 2 ^a h
cos2 ^a h
cos2 ^a h =
sin 2 ^a h =
2
2
2
sin ^a h cos2 ^a h
sin ^a h cos ^a h
+
+
sin 2 ^a h sin 2 ^a h
cos2 ^a h cos2 ^a h
ovvero:
tan 2 ^a h
cot2 ^a h
cos2 ^a h =
sin 2 ^a h =
2
1 + cot2 ^a h
tan ^a h + 1
da cui:
cot ^a h
tan ^a h
cos ^a h =
sin ^a h =
2
! 1 + cot2 ^a h
! tan ^a h + 1
sin 2 ^a h =
Poichè: tan(α)=1/cot(α) e cot(α)=1/tan(α) possiamo anche scrivere:
sin ^a h =
!
1
cot ^a h
1
+1
cot2 ^a h
1
tan (a)
cos ^a h =
1
! 1+
tan 2 (a)
da cui:
sin ^a h =
da cui:
sin ^a h =
cot ^a h
! cot ^a h
1
tan (a)
cos ^a h =
1
! tan (a) 1 +
tan 2 (a)
1
cot ^a h
1
+1
cot2 ^a h
1
cot ^a h
+ cot2 ^a h
cot2 ^a h
tan (a)
cos ^a h =
2
!
50
1
!
tan 2 (a) +
tan 2 (a)
tan 2 (a)
Corso di Matematica
ovvero:
Graziano Donati
sin ^a h =
cos ^a h =
1
! 1 + cot2 ^a h
1
! 1 + tan 2 (a)
UNA FUNZIONE GONIOMETRICA MEDIANTE LE ALTRE
tan ^a h
sin ^a h
sin ^a h
cos ^a h
sin ^a h
sin ^a h
! 1 - cos2 ^a h
tan ^a h
! 1 + tan 2 ^a h
1
! 1 + tan 2 ^a h
cot ^a h
1
! 1 + cot2 ^a h
cot ^a h
! 1 + cot2 ^a h
cos ^a h
! 1 - sin 2 ^a h
cos ^a h
tan ^a h
sin ^a h
! 1 - sin 2 ^a h
! 1 - cos2 ^a h
cos ^a h
tan ^a h
1
cot ^a h
cot ^a h
! 1 - sin 2 ^a h
sin ^a h
cos ^a h
! 1 - cos2 ^a h
1
tan ^a h
cot ^a h
51
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Esprimere in funzione di sin(α), e poi semplificare, le seguenti espressioni goniometriche
1 + cos2 ^a h
- cosec 2 ^a h + 1
1 - cos2 ^a h
1
+ tan 2 ^a h + 1
2. sec 2 ^a h sec 2 ^a h cot2 ^a h
2 tan 2 ^a h + tan 2 ^a h cos2 ^a h - 1 + cos2 ^a h
- 2 sin 2 ^a h
3.
1 + tan 2 ^a h
1
4. 1 1 + tan 2 ^a h
E
sin 2 ^a h
1
E
;
1 - sin 2 ^a h
1
E
; 2
sin ^a h
;
1.
<
5. ^ tan 2 ^a h + cot2 ^a h + 2 h^1 - cos2 ^a hh - 1
Esprimere in funzione di cos(α), e poi semplificare, le seguenti espressioni goniometriche
6. ^ sec 2 ^a h + tan 2 ^a hh
1
sec 2 ^a h
1
6 sin ^a h @
sin 2 ^a h
F
1 - sin ^a h
62 - cos2 ^a h@
1 + cos2 ^a h
F
cos3 ^a h
1 + cos2 ^a h
<
F
cos ^a h
<
1 ^1 + tan 2 ^a hh $ 6sec 2 ^a h cosec 2 ^a h - cot2 ^a h@
sec ^a h
1
+ 1 + tan 2 ^a h
8.
sec 2 ^a h
cos2 ^a h
9. cot2 ^a h tan 2 ^a h
7.
6 cos ^a h @
Esprimere in funzione di tan(α), e poi semplificare, le seguenti espressioni goniometriche
1
1
1
m$
cos2 ^a h sin 2 ^a h cot2 ^a h
NO
JK
1
OO
KK
2
h
^
a
sec
OO
K
1
11. KKKsin 4 ^a h +
OO $ cos2 ^a h
1
O
KK
sin 2 ^a h O
P 2
L
sin ^a h
3
-1+
12. sec 2 ^a h + cos2 ^a h tan 2 ^a h
cot2 ^a h
1
sec 2 ^a h
1
4
2
^
h
^
h
+
+
sin
cos
13.
a
a
sec 2 ^a h
cosec 2 ^a h
6tan 4 ^a h - 1@
10. c
6tan 2 ^a h@
64 tan 2 ^a h@
<
tan 2 ^a h
F
1 + tan 2 ^a h
6tan 2 ^a h + 1@
14. ^ tan ^a h + cot ^a hh2 ^1 - cos2 ^a hh
Calcolare tutte le funzioni goniometriche dell'angolo il cui lato termine, nel sistema cartesiano associato, è situato
nel quadrante a fianco indicato, essendo noto:
1
15. sin ^a h = 2
3
17. sin ^a h =- 4
19. sin ^a h =- 52
21. tan ^a h =- 2
1
16. sin ^a h =- 3
I c quadrante
3
18. sin ^a h = 2
IV c quadrante
2
20. cos ^a h = 2
22. cot ^a h = 3
III c quadrante
II c quadrante
52
III c quadrante
II c quadrante
IV c quadrante
I c quadrante
Corso di Matematica
23. sin ^a h =-
1+ 2
6
25. tan ^a h = 3 - 2
Graziano Donati
24. sin ^a h = 2 - 2
III c quadrante
1
26. cos ^a h = 4 ^ 5 + 1 h
II c quadrante
53
IV c quadrante
I c quadrante
Corso di Matematica
Graziano Donati
54
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 6
Angoli Notevoli
Angoli notevoli fondamentali
Angolo α=30o
P
Se α=30o allora l'angolo al centro β=60o. La somma degli
angoli interni di un triangolo è uguale a 180o, quindi la
somma dei due angoli alla circonferenza è uguale a 180o60o=120o. Poichè tale angoli sono uguali tra loro perchè
simmetrici nella costruzione geometrica, allora ciascuno dei
due angoli è pari a 60o. Abbiamo quindi un triangolo avente i
tre angoli interni di 60o, e tre lati tutti uguali. Quindi il
triangolo è equilatero. Ciascun lato del triangolo è uguale ad r
(raggio della circonferenza). La metà di tale lato è quindi
uguale ad r/2. Quindi, OP=r, PQ=r/2. Quindi:
OP = r
PQ = r
&
OQ = OP2 - PQ2 =
r
α
O
2
1
r 2 - ` 2r j = r 1 - 4 = r
quindi:
OP = r
PQ = r
3
OQ = r 2
da cui:
r
PQ
1
2
sin ^a h = sin ^30ch = OP = r = 2
3
OQ r 2
3
cos ^a h = sin ^30ch = OP = r = 2
1
sin ^a h
3
^
h
= 2 = 1 = 3
tan a = tan ^30ch =
cos ^a h
3
3
2
1
= 3
cot ^a h = cot ^30ch =
tan ^a h
Abbiamo quindi:
sin ^30ch = 12
1
sin ` r
6j= 2
3
cos ^30ch = 2
3
cos ` r
6j= 2
3
tan ^30ch = 3
3
tan ` r
6j= 3
55
cot ^30ch = 3
cot ` r
6j= 3
β
r/2
β
β
Q
3 =r 3
4
2
Corso di Matematica
Graziano Donati
Angolo α=45o
P
o
Se α=45 e l'angolo in Q è, per costruzione geometrica, un
o
o
angolo di 90 , allora il restante angolo in P è dato da 180 o
o
o
(90 +45 )=45 . Il segmento OP è la bisettrice del primo
quadrante, quindi i segmenti PQ e OQ sono uguale. Quindi il
triangolo OPQ è isoscele. Quindi:
OQ2 + PQ2 = OQ2 + OQ2 = r 2
&
2OQ2 = r 2
&
PQ2 + PQ2 = PQ2 + PQ2 = r 2
&
2PQ2 = r 2
&
α
α β
O
r2
OQ2 = 2
r2
PQ2 = 2
&
&
Q
r
2
r
PQ =
2
OQ =
da cui:
r
PQ
2
2
sin ^a h = sin ^ 45ch = OP = r = 1 = 2
2
r
OQ
2
2
cos ^a h = cos ^ 45ch = OP = r = 1 = 2
2
2
sin ^a h
2
=
=1
tan ^a h = tan ^ 45ch =
cos ^a h
2
2
1
=1
cot ^a h = cot ^ 45ch =
tan ^a h
Abbiamo quindi
2
sin ^ 45ch = 2
2
sin ` r
4j= 2
2
cos ^ 45ch = 2
2
cos ` r
4j= 2
tan ^ 45ch = 1
tan ` r
4j=1
cot ^ 45ch = 1
cot ` r
4j=1
Angolo α=60o
P
L'angolo α=60 e i due segmenti OP e OQ sono uguali tra loro, di
conseguenza, per costruzione geometrica, i due angoli in P e in Q
sono uguali tra loro e misurano (180o-60o)/2=60o. Quindi, il
triangolo OPQ ha i tre angoli interni uguali, quindi il triangolo
OPQ è equilatero. Abbiamo quindi:
o
OP=r
OQ=r
PQ=r
OA=r/2
quindi
56
α
α
O
α
A
Q
Corso di Matematica
Graziano Donati
r
2 =1
r
2
2
OP - OA2
=
OP
3
2
3
sin ^a h
2
= 1 = 3
tan ^a h = tan ^60ch =
cos ^a h
2
3
1
= 1 = 3
cot ^a h = cot ^60ch =
tan ^a h
3
Abbiamo quindi
OA
cos ^a h = cos ^60ch = OP =
AP
sin ^a h = sin ^60ch = OP =
= 1 - 14 = 34 =
3
sin ^60ch = 2
3
sin ` r
3j= 2
1
cos ^60ch = 2
1
cos ` r
3j= 2
OP2 - OA2 =
OP2
tan ^60ch = 3
tan ` r
3j= 3
57
1 -b
OA2 l =
OP2
3
cot ^60ch = 3
3
cot ` r
3j= 3
OA 2
1 - b OP l =
1 2
1 -b 2 l =
Corso di Matematica
Graziano Donati
Regola mnemonica: Gli angoli più importanti del primo quadrante sono: 0, π/6, π/4, π/3, e π/2, ovvero 0°, 30°, 45°,
60° e 90°.
Il seno di questi angoli può esser ricordato semplicemente, se visto in questo modo:
sen (0) = √0 / 2
sen (π/6) = √1 / 2
sen (π/4) = √2 / 2
sen (π/3) = √3 / 2
sen (π/2) = √4 / 2
Ossia una scaletta crescente da 0 a 4: svolgendo i calcoli, dove possibile, si ottengono i valori scritti nella tabella; per
quanto riguarda il coseno, si ottiene la stessa scaletta, ma decrescente da 4 a 0:
cos (0) = √4 / 2
cos (π/6) = √3 / 2
cos (π/4) = √2 / 2
cos (π/3) = √1 / 2
cos (π/2) = √0 / 2
58
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Semplificare il valore delle seguenti espressioni
tan ^ 45ch - 2 cot ^90ch + tan 2 ^30ch
tan ^180ch + 2 cot ^ 45ch + cot2 ^30ch
r
r
2. 2 cos2 10 + 2 5 sin 2 10 - 5 sin r
2
2 cos r - 3 cos r + 2 2 sin r - cot 3 r
3.
4
2
6
6
3
:4D
15
1.
60@
4. ^ sin ^30ch + cos ^ 45chh2 + ^ cos ^30ch + sin ^ 45chh2 - 2 tan ^ 45ch
r
r
2 b 2 sin 4 - 4ab sin 6 + a2 cos ^ 0 h
2
3
r 3
r
r 2
r
6. c 2 cos ^2r h + tan 4 m ` cos 6 - cot 4 j $ 16 ` cot 4 j
5
3
r
r
r
7. sin 10 + sin ^2r h - 4 tan 4 - cos b 2 r l + 14 cot 4
sin 3 ^ 45ch + cos3 ^ 45ch
- sin ^ 45ch cos ^ 45ch
8.
tan ^ 45ch cos ^ 45ch + cot ^ 45ch sin ^ 45ch
9. 2ab sec (0c ) + ^ a2 + b 2 h sin ^90ch - 4ab cos ^180ch - 2ab cot2 ^30ch
10. 2 ^ a sin ^90ch + b tan ^ 45chh6^ a - b h sin ^30ch + ^ a + b h cos ^90ch - 2a tan ^180ch@
11. 16 cos2 (30c ) + 48 sin 2 ^ 45ch + 11 tan 3 ^ 45ch - 36 cos2 ^180ch
1
12. 2 tan ^ 45ch - 2 cos ^ 45ch - 2 sin ^ 45ch - 2 cot ^ 45ch - 2 tan ^135ch
5.
13. 2 tan ^60ch $ cos ^30ch - sin ^30ch $ cos ^60ch - cosec ^30ch $ tan ^ 45ch
14. 3 cot ^30ch - 3 tan ^60ch + 6 3 cos ^60ch + tan ^60ch
2
r
r
r
r
r
15. 2 cos r
6 + cot 3 - tan 6 + 5 sin 4 - 2 tan 4 - tan 3
cosec ^30ch - a tan ^ 45ch - b ^ a + b h sin ^30ch + ^ a - b h cos ^60ch - 2a
16.
$
tan ^ 45ch
3 ^ a + b h tan ^30ch - sec ^60ch
r cos r + 7 sin r cos r tan r
3 sin 3
r
4
6
6
3
17.
r cos r tan r - cot r cos r - 7 cos 4
sin 6
4
6
3
3
a sin ^90ch - b cos ^ 0ch + ^ a + b h tan ^ 45ch - 2a + 1
18. 2
a tan ^ 45ch - 2ab cos ^180ch + b 2 sin ^90ch - ^ a + b h2 + 1
3 tan ^60ch + 2 sin ^60ch - 3 cot ^30ch + 6 3 cos ^60ch
19.
2 cot ^30ch + 2 tan ^60ch - 2 3 cos ^30ch + 6 sin ^ 45ch cos ^ 45ch
ab 2
+ ^ a + b h2 cos ^180ch
20. a2 tan ^ 45ch + b 2 cot ^ 45ch +
cos ^ 45ch
59
:3D
2
; 2+ 6E
2
6^ a - b h2@
61 @
60@
60@
6a2 + b 2@
6a2 - b 2@
611@
: 7 2D
4
3
: D
4
64 3 @
62 2 @
6a@
6-10 ^1 + 2 h@
61 @
61 @
60@
Corso di Matematica
Graziano Donati
60
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 7
Archi associati
Angoli complementari
r
sin ` 2 - a j = cos ^a h
da cui:
r
cos ` 2 - a j = sin ^a h
r
sin ` 2 - a j cos ^a h
r
= cot ^a h
=
tan ` 2 - a j =
r
cos ` 2 - a j sin ^a h
r
cos ` 2 - a j sin ^a h
r
= tan ^a h
=
cot ` 2 - a j =
r
sin ` 2 - a j cos ^a h
Quindi, abbiamo:
^ h
sin ` r
2 - a j = cos a
sin ^90c - a h = cos ^a h
r
tan ` 2 - a j = cot ^a h
tan ^90c - a h = cot ^a h
^ h
cos ` r
2 - a j = sin a
r
cot ` 2 - a j = tan ^a h
cos ^90c - a h = sin ^a h
cot ^90c - a h = tan ^a h
Angoli che differiscono per un angolo retto
^ h
sin ` r
2 + a j = cos a
da cui:
^ h
cos ` r
2 + a j =- sin a
sin ` r
r
2 + a j = cos ^a h =- cot ^a h
tan ` 2 + a j =
- sin ^a h
cos ` r
2 + aj
r
cos ` 2 + a j - sin ^a h
r
=
=- tan ^a h
cot ` 2 + a j =
cos ^a h
j
+
a
sin ` r
2
61
Corso di Matematica
Graziano Donati
Quindi, abbiamo:
^ h
sin ` r
2 + a j = cos a
sin ^90c + a h = cos ^a h
^ h
cos ` r
2 + a j =- sin a
cos ^90c + a h =- sin ^a h
^ h
cot ` r
2 + a j =- tan a
cot ^90c + a h =- tan ^a h
^ h
tan ` r
2 + a j =- cot a
tan ^90c + a h =- cot ^a h
Angoli che hanno per somma tre angoli retti
3
sin b 2 r - a l =- cos ^a h
da cui:
3
cos b 2 r - a l =- sin ^a h
l
sin b 3
- cos ^a h
2r-a
3
=
= cot ^a h
tan b 2 r - a l =
3
cos b 2 r - a l - sin ^a h
l
cos b 3
- sin ^a h
2r-a
3
=
= tan ^a h
cot b 2 r - a l =
3
cos ^a h
sin b 2 r - a l
Quindi, abbiamo:
sin b 32 r - a l =- cos ^a h
sin ^270c - a h =- cos ^a h
3
tan b 2 r - a l = cot ^a h
tan ^270c - a h = cot ^a h
cos b 32 r - a l =- sin ^a h
3
cot b 2 r - a l = tan ^a h
cos ^270c - a h =- sin ^a h
cot ^270c - a h = tan ^a h
Angoli che differiscono di tre angoli retti
3
sin b 2 r + a l =- cos ^a h
da cui:
3
cos b 2 r + a l = sin ^a h
l
sin b 3
- cos ^a h
2r+a
3
=
=- cot ^a h
tan b 2 r + a l =
3
sin ^a h
cos b 2 r + a l
l
cos b 3
sin ^a h
2r+a
3
b
l
=
=
=- tan ^a h
+
cot 2 r a
3
cos ^a h
sin b 2 r + a l
62
Corso di Matematica
Graziano Donati
Quindi, abbiamo:
sin b 32 r + a l =- cos ^a h
sin ^270c + a h =- cos ^a h
cos b 32 r + a l = sin ^a h
cos ^270c + a h = sin ^a h
cot b 32 r + a l =- tan ^a h
cot ^270c + a h =- tan ^a h
tan b 32 r + a l =- cot ^a h
tan ^270c + a h =- cot ^a h
Angoli che differiscono di un angolo piatto
cos ^ r + a h =- cos ^a h
sin ^ r + a h =- sin ^a h
da cui:
sin ^ r + a h
- sin ^a h
=
= tan ^a h
tan ^ r + a h =
cos ^ r + a h - cos ^a h
cos ^ r + a h - cos ^a h
=
= cot ^a h
cot ^ r + a h =
sin ^ r + a h
- sin ^a h
Quindi, abbiamo:
sin ^ r + a h =- sin ^a h
cos ^ r + a h =- cos ^a h
tan ^ r + a h = tan ^a h
cot ^ r + a h = cot ^a h
sin ^180c + a h =- sin ^a h
cos ^180c + a h =- cos ^a h
tan ^180c + a h = tan ^a h
cot ^180c + a h = cot ^a h
Angoli supplementari
sin ^ r - a h = sin ^a h
cos ^ r - a h =- cos ^a h
da cui:
sin ^ r - a h
sin ^a h
=- tan ^a h
=
tan ^ r - a h =
cos ^ r - a h - cos ^a h
cos ^ r - a h - cos ^a h
=- cot ^a h
=
cot ^ r - a h =
sin ^ r - a h
sin ^a h
Quindi, abbiamo:
63
Corso di Matematica
sin ^ r - a h = sin ^a h
cos ^ r - a h =- cos ^a h
tan ^ r - a h =- tan ^a h
cot ^ r - a h =- cot ^a h
Graziano Donati
sin ^180c - a h = sin ^a h
cos ^180c - a h =- cos ^a h
tan ^180c - a h =- tan ^a h
cot ^180c - a h =- cot ^a h
Angoli esplementari
sin ^2r - a h =- sin ^a h
cos ^2r - a h = cos ^a h
da cui:
sin ^2r - a h - sin ^a h
=
=- tan ^a h
tan ^2r - a h =
cos ^2r - a h
cos ^a h
cos ^2r - a h
cos ^a h
=
=- cot ^a h
cot ^2r - a h =
sin ^2r - a h - sin ^a h
Quindi, abbiamo:
sin ^2r - a h =- sin ^a h
cos ^2r - a h = cos ^a h
tan ^2r - a h =- tan ^a h
cot ^2r - a h =- cot ^a h
sin ^360c - a h =- sin ^a h
cos ^360c - a h = cos ^a h
tan ^360c - a h =- tan ^a h
cot ^360c - a h =- cot ^a h
Angoli opposti
sin ^ -a h =- sin ^a h
cos ^ -a h = cos ^a h
da cui:
sin ^ -a h - sin ^a h
=- tan ^a h
=
tan ^ -a h =
cos ^ -a h
cos ^a h
cos ^ -a h
cos ^a h
=- cot ^a h
=
cot ^ -a h =
sin ^ -a h - sin ^a h
Quindi, abbiamo:
sin ^ -a h =- sin ^a h
cos ^ -a h = cos ^a h
tan ^ -a h =- tan ^a h
cot ^ -a h =- cot ^a h
64
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Dopo aver applicato le relazioni tra angoli associati, calcolare le seguenti espressioni
Angoli complementari
1. sin ^a h sin ^90c - a h - cos ^a h cos ^90c - a h
r
r
^ h
^ h
2. 8sin ^a h cos ` r
2 - a j + sin ` 2 - a j cos a B tan ` 2 - a j tan a
3. 6sin ^a h cosec ^90c - a h + cos ^a h sec ^90c - a h@ sin ^90c - a h cos ^90c - a h
r
r
sin 2 ` 2 - a j - cos2 ` 2 - a j
4.
r
r
r
cos ` 2 - a j tan ` r
2 - a j + sin ` 2 - a j cot ` 2 - a j
sin ^90c - a h cos ^90c - a h
cos ^90c - a h cos ^a h + sin 2 ^90c - a h - sin ^a h sin ^90c - a h
Angoli che differiscono di un angolo retto
6. sin ^90c + a h - cos ^a h - cos ^90c + a h + cos ^a h cot ^90c + a h + tan ^90c + a h
r
r
r
7. sin ` 2 + a j - cot ` 2 + a j - cos ^a h - cot ` 2 + a j
8. sin ^90c + a h tan ^90c + a h^1 + tan 2 ^a hh^ - sin ^a hh
r
r
r
cosec ` 2 + a j - cos ` 2 + a j cot ` 2 + a j
9.
- cos ` r
2 + aj
61 - sin 2 ^90c + a h@ cos2 ^90c + a h
10.
cos3 ^90c + a h
5.
60@
61 @
61 @
6cos ^a h - sin ^a h@
6tan ^a h@
6- cot ^a h@
Angoli supplementari
62 tan ^a h@
61 @
6cot ^a h@
6- sin ^a h@
cos2 ^a h + sin 2 ^ r - a h - 1 + cos ^ r - a h + cos ^a h
2 sin 2 ^180c - a h + cos 4 ^a h - sin 4 ^180c - a h + sin ^90ch
cosec ^ r - a h sin ^ r - a h + sin ^ r - a h cos ^a h sec ^a h
6cos2 ^a h $ cot ^ r - a h - cos2 ^ r - a h tan ^a h@ tan ^a h
sin 2 ^a h tan ^ r - a h + cot ^ r - a h sin 2 ^a h
15.
cos2 ^a h cot ^ r - a h + tan ^ r - a h cos2 ^a h
60@
62@
61 + sin ^a h@
6-1@
16. sin ^180c + a h cos ^180c + a h6tan ^a h + cot ^180c + a h@ sin ^180c + a h
sin ^180c + a h
17.
tan ^a h61 + cot ^180c + a h@ - tan ^180c + a h
cos ^180c + a h
sin 2 ^ r + a h + cos2 ^ r + a h
+ cos ^ r + a h + sin ^ r + a h tan ^ r + a h
18.
cos ^a h
sec ^180c + a h
19.
cosec ^180c + a h6tan ^180c + a h + cot ^a h@ sin ^180c + a h
cosec ^a h
1 + cos ^180c + a h 1 + 2 cos ^180c + a h
F tan 2 ^180c + a h sin 2 ^180c + a h
20. <
1 - cos ^180c + a h
sin 2 ^180c + a h
6- sin ^a h@
11.
12.
13.
14.
6tan 2 ^a h@
Angoli che differiscono per un angolo piatto
6tan 2 ^a h@
60@
;-
1
E
cos2 ^a h
6sin 2 ^a h@
Angoli opposti ed esplementari
21. cos ^2r - a h6sin ^2r - a h tan ^ -a h + cos ^ -a h@ sec ^ -a h
22. sin ^a h + tan ^ -a h6sin ^2r - a h cot ^ -a h + 1@ + tan ^a h + tan ^ -a h + tan ^ r + a h
65
;
1
E
cos ^a h
60@
Corso di Matematica
Graziano Donati
23. sin ^2r - a h6cos ^ -a h cot ^2r - a h + sin ^2r - a h@ - cos2 ^ -a h - sin 2 ^ -a h
cosec ^2r - a h
+ sec ^a h
24. 6sin ^2r - a h + 1@6tan ^a h - cot ^ -a h@ +
cos ^2r - a h
1 - sin ^360c - a h cos ^ -a h
cos ^ -a h
- cot ^ -a h
+
25.
sin ^ -a h
cos ^ -a h
1 + sin ^ -a h
26. sin ^ -a h cos ^ -a h tan ^ -a h cot ^ -a h sec ^ -a h cosec ^ -a h
66
60@
60@
60@
61 @
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 8
Formule goniometriche
Formule di addizione e di sottrazione
Formula di sottrazione del coseno
c
Consideriamo i due angoli
ab = a entrambi di vertice o e con a > b
2
ac = b
β
α
a
b
Si ha in ampiezza e segno
cb = ab - ac = a - b
Da vertice comune o dei due angoli considerati conduciamo la semiretta d, tale che sia:
ad = a - b
Siano A,B,C,D le intersezioni delle semirette a,b,c,d con la
circonferenza goniometrica del sistema cartesiano x0y associato agli
angoli considerati. Essendo gli angoli ad e cb congruenti, in quanto
entrambi di ampiezza:
a-b
anche le corde AD e CB che li sottendono sono congruenti, per cui si
ha:
D
C
c
AD = CB
α
α-β
in cui le misure AD e CB sono considerate in valore assoluto
Per la definizione di seno e coseno le coordinate dei punti A,B,C,D
sono date da:
A = (1,0)
B = (cos (a),sin(a))
C = (cos (b),sin(b))
D = (cos (a - b),sin(a - b))
Applicando la formula della distanza tra due punti abbiamo:
67
b
B
d
β
α-β
O
a
A
Corso di Matematica
Graziano Donati
2
AD = ^1 - cos (a - b) h + ^ 0 - sin(a - b) h2
2
BC = ^ cos (a) - cos (b) h + ^ sin(a) - sin(b)) h2
Poichè, abbiamo detto che deve risultare:
AD = CB
possiamo allora scrivere:
2
2
2
2
^1 - cos (a - b) h + ^ 0 - sin(a - b) h = ^ cos (a) - cos (b) h + ^ sin(a) - sin(b)) h
elevando al quadrato ambo i membri (trattandosi di distanze, sono certamente tutte quantità positive), otteniamo:
da cui:
2
2
2
2
^1 - cos (a - b) h + ^ 0 - sin(a - b) h = ^ cos (a) - cos (b) h + ^ sin(a) - sin(b)) h
1 + cos 2 (a - b) - 2 cos (a - b) + sin 2 (a - b) = cos 2 (a) + cos 2 (b) - 2 cos (a) cos (b) +
+ sin 2 (a) + sin 2 (b) - 2 sin(a) sin(b)
da cui:
1 + 6 cos 2 (a - b) + sin 2 (a - b)@ - 2 cos (a - b) =
= 6 cos 2 (a) + sin 2 (a)@ + 6 cos 2 (b) + sin 2 (b)@ - 2 cos (a) cos (b) - 2 sin(a) sin(b)
Poichè:
cos 2 (a - b) + sin 2 (a - b) = 1
cos 2 (a) + sin 2 (a) = 1
cos 2 (b) + sin 2 (b) = 1
abbiamo:
1 + 1 - 2 cos (a - b) = 1 + 1 - 2 cos (a) cos (b) - 2 sin(a) sin(b)
da cui:
- 2 cos (a - b) = - 2 cos (a) cos (b) - 2 sin(a) sin(b)
dividendo ambo i membri per -2 otteniamo:
cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
Formula di addizione del coseno
Per la formula di sottrazione del coseno precedentemente dimostrata, risulta:
cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
Se in tale relazione sostituiamo formalmente b con - b otteniamo:
cos (a - (- b)) = cos (a) cos (- b) + sin(a) sin(- b)
Poichè, cos (- b) = cos (b) e sin(- b) = - sin(b) allora possiamo scivere:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
quindi, in definitiva:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
Formula di sottrazione del seno
Si consideri la seguente formula degli angoli associati:
- aj
sin(a) = cos ` r
2
a con a - b possiamo scrivere:
^ a - b hj
sin(a - b) = cos ` r
2 -
se in tale formula sostituiamo formalmente
da cui:
ed anche:
sin(a - b) = cos ` r
2 - a + bj
68
Corso di Matematica
Graziano Donati
- a j+ bC
sin(a - b) = cos 9 ` r
2
Applicando al secondo membro la formula di addizione del coseno otteniamo:
- a jsin(b)
sin(a - b) = cos ` r - a jcos (b) - sin ` r
2
2
Per le formula degli angoli associati
- a j = sin(a)
cos ` r
2
- a j = cos (a)
sin ` r
2
e quindi, la precedente relazione può essere scritta come:
sin(a - b) = sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
Formula di addizione del seno
Per la formula di sottrazione del seno appena dimostrata risulta:
sin(a - b) = sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
se in tale relazione si sostituisce formalmente b con - b otteniamo:
sin(a - (- b)) = sin(a) cos (- b) - cos (a) sin(- b)
da cui:
sin(a + b) = sin(a) cos (- b) - cos (a) sin(- b)
Poichè, cos (- b) = cos (b) e sin(- b) = - sin(b) allora possiamo scivere:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
quindi, in definitiva abbiamo:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
Formula di addizione della tangente
Per la definizione di tangente, risulta ovviamente:
tan(a + b) =
sin(a + b)
cos (a + b)
poichè, per le formula di addizione del seno e del coseno risulta:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
otteniamo:
tan(a + b) =
sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro per l'espressione:
cos (a) cos (b)
otteniamo:
s in(a) cos (b)
cos (a) sin(b)
+
cos (a) cos (b) cos (a) cos (b)
tan(a + b) =
cos (a) cos (b)
sin(a) sin(b)
cos (a) cos (b) cos (a) cos (b)
Semplificando otteniamo:
sin(a)
sin(b)
+
cos (a) cos (b)
tan(a + b) =
sin(a) sin(b)
1cos (a) cos (b)
Per la definizione di tangente di un angolo, possiamo allora scrivere:
69
Corso di Matematica
Graziano Donati
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 - tan(a) tan(b)
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 - tan(a) tan(b)
Quindi, in definitiva:
Formula di sottrazione della tangente
tan(a) + tan(b)
1 - tan(a) tan(b)
se in tale relazione si sostituisce formalmente b con - b otteniamo:
tan(a) + tan(- b)
tan(a - b) =
1 - tan(a) tan(- b)
tan(a + b) =
Poichè, per la nota formula degli angoli associati risulta:
tan(- b) = - tan(b)
possiamo anche scrivere:
tan(a - b) =
tan(a) - tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
tan(a - b) =
tan(a) - tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
Quindi, in definitiva abbiamo:
Formula di addizione della cotangente
Dalla definizione di cotangente di un angolo, risulta ovviamente:
cot(a + b) =
cos (a + b)
sin(a + b)
poichè, per le formula di addizione del seno e del coseno risulta:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
otteniamo:
cot(a + b) =
cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro per l'espressione:
sin(a) sin(b)
otteniamo:
cos (a) cos (b) sin(a) sin(b)
sin(a) sin(b)
sin(a) sin(b)
=
cot(a + b)
sin(a) cos (b) cos (a) sin(b)
+
sin(a) sin(b)
sin(a) sin(b)
semplificando otteniamo:
cos (a) cos (b)
-1
sin(a) sin(b)
cot(a + b) =
cos (b) cos (a)
+
sin(b)
sin(a)
Per la definizione di cotangente di un angolo, possiamo allora scrivere:
cot(a + b) =
cot(a) cot(b) - 1
cot(a) + cot(b)
quindi, in definitiva:
70
Corso di Matematica
Graziano Donati
cot(a + b) =
cot(a) cot(b) - 1
cot(a) + cot(b)
Formula di sottrazione della cotangente
Per la formula di addizione della cotangente risulta:
cot(a) cot(b) - 1
cot(a) + cot(b)
se in tale relazione si sostituisce formalmente b con - b otteniamo:
cot(a) cot(- b) - 1
cot(a - b) =
cot(a) + cot(- b)
cot(a + b) =
Poichè, per la nota formula degli angoli associati risulta:
cot(- b) = - cot(b)
possiamo scrivere:
cot(a - b) =
- cot(a) cot(b) - 1
cot(a) - cot(b)
da cui:
cot(a - b) =
cot(a) cot(b) + 1
cot(b) - cot(a)
cot(a - b) =
cot(a) cot(b) + 1
cot(b) - cot(a)
Quindi, in definitiva:
Sommario delle formule di addizione e sottrazione:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
sin(a - b) = sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
tan(a) + tan(b)
tan(a + b) =
1 - tan(a) tan(b)
tan(a) - tan(b)
tan(a - b) =
1 + tan(a) tan(b)
cot(a) cot(b) - 1
cot (a + b) =
cot(b) + cot(a)
cot(a)
cot(b) + 1
cot(a - b) =
cot(b) - cot(a)
Formule di duplicazione
Per le formula di addizione del seno, del coseno, della tangente e della cotangente, possiamo scrivere:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
tan(a) + tan(b)
tan(a + b) =
1 - tan(a) tan(b)
cot(a) cot(b) - 1
cot(a + b) =
cot(a) + cot(b)
71
Corso di Matematica
Graziano Donati
Se in tali relazioni poniamo
b=a
otteniamo:
sin(a + a) = sin(a) cos (a) + cos (a) sin(a)
cos (a + a) = cos (a) cos (a) - sin(a) sin(a)
tan(a) + tan(a)
tan(a + a) =
1 - tan(a) tan(a)
cot(a) cot(a) - 1
cot(a + a) =
cot(a) + cot(a)
da cui:
sin(2a) = 2 sin(a) cos (a)
cos (2a) = cos 2 (a) - sin 2 (a)
2 tan(a)
tan(2a) =
1 - tan 2 (a)
cot 2 (a) - 1
co t(2a) =
2 cot(a)
Per la formula di duplicazione del coseno è possibile sviluppare anche una forma alternativa. Infatti, abbiamo appena
dimostrato che:
cos (2a) = cos 2 (a) - sin 2 (a)
Ma per la relazione pitagorica risulta
sin 2 (a) + cos 2 (a) = 1
da cui possiamo ricavare:
cos 2 (a) = 1 - sin 2 (a)
sin 2 (a) = 1 - cos 2 (a)
sostituendo prima l'una e poi l'altra nella formula di duplicazione del coseno otteniamo:
cos (2a) = 1 - sin 2 (a) - sin 2 (a)
cos (2a) = cos 2 (a) - ^1 - cos 2 (a) h
da cui:
cos (2a) = 1 - 2 sin 2 (a)
cos (2a) = 2 cos 2 (a) - 1
quindi in definitiva abbiamo anche:
cos (2a) = 1 - 2 sin 2 (a)
cos (2a) = 2 cos 2 (a) - 1
Formule di triplicazione
Formula di triplicazione del seno
Per la formula di addizione del seno risulta
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
Se in tale relazione poniamo:
b = 2a
otteniamo:
sin(a + 2a) = sin(a) cos (2a) + cos (a) sin(2a)
Per le formule di duplicazione risulta
72
Corso di Matematica
Graziano Donati
cos (2a) = 1 - 2 sin 2 (a)
sin(2a) = 2 sin(a) cos (a)
e quindi possiamo scrivere:
ovvero:
cos (a + 2a) = sin(a)61 - 2 sin 2 (a)@ + cos (a)62 sin(a) cos (a)@
sin(3a) = sin(a) - 2 sin 3 (a) + 2 sin(a) cos 2 (a)
Poichè
cos 2 (a) = 1 - sin 2 (a)
otteniamo:
sin(3a) = sin(a) - 2 sin 3 (a) + 2 sin(a)61 - sin 2 (a)@
da cui:
sin(3a) = sin(a) - 2 sin 3 (a) + 2 sin(a) - 2 sin 3 (a)
da cui:
sin(3a) = 3 sin(a) - 4 sin 3 (a)
ovvero:
sin(3a) = 3 sin(a) - 4 sin 3 (a)
Formula di triplicazione del coseno
Per la formula di addizione del coseno risulta:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
Se in tale relazione poniamo:
b = 2a
otteniamo:
cos (a + 2a) = cos (a) cos (2a) - sin(a) sin(2a)
per le formula di duplicazione risulta:
cos (2a) = 2 cos 2 (a) - 1
sin(2a) = 2 sin(a) cos (a)
quindi, possiamo scrivere:
da cui:
da cui:
cos (3a) = cos (a)62 cos 2 (a) - 1@ - sin(a)62 sin(a) cos (a)@
cos (3a) = 2 cos 3 (a) - cos (a) - 261 - cos 2 (a)@ cos (a)
cos (3a) = 2 cos 3 (a) - cos (a) - 2 cos (a) + 2 cos 3 (a)
da cui:
cos (3a) = 4 cos 3 (a) - 3 cos (a)
ovvero:
cos (3a) = 4 cos 3 (a) - 3 cos (a)
Formula di triplicazione della tangente
Per la formula di addizione della tangente risulta
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 - tan(a) tan(b)
tan(a + 2a) =
tan(a) + tan(2a)
1 - tan(a) tan(2a)
Se in tale relazione poniamo:
b = 2a
otteniamo:
Per la formula di duplicazione della tangente risulta:
73
Corso di Matematica
Graziano Donati
tan(2a) =
2 tan(a)
1 - tan 2 (a)
e quindi possiamo scrivere:
2 tan(a)
1 - tan 2 (a)
tan(a + 2a) =
2 tan(a)
1 - tan(a)
1 - tan 2 (a)
tan(a) +
da cui:
tan(a)^1 - tan 2 (a) h + 2 tan(a)
1 - tan 2 (a)
tan(a) - tan 3 (a) + 2 tan(a)
=
tan(a + 2a) =
1 - tan 2 (a) + 2 tan(a)
1 - 3 tan 2 (a)
2
1 - tan (a)
ovvero:
tan(3a) =
3 tan(a) - tan 3 (a)
1 - 3 tan 2 (a)
Formula di triplicazione della cotangente
Per la formula di addizione della cotangente risulta
cot(a + b) =
cot(a) cot(b) - 1
cot(a) + cot(b)
cot(a + 2a) =
cot(a) cot(2a) - 1
cot(2a) + cot(a)
Se in tale relazione poniamo:
b = 2a
otteniamo:
Per le formule di duplicazione della cotangente
cot(2a) =
cot 2 (a) - 1
2 cot(a)
e quindi possiamo scrivere:
cot 2 (a) - 1
-1
2 cot(a)
cot(a + 2a) =
cot 2 (a) - 1
+ cot(a)
2 cot(a)
cot(a)
da cui:
cot 2 (a) - 1 - 2
-1
cot 2 (a) - 3 2 cot(a)
2
=
=
cot(a + 2a) =
2
cot 2 (a) - 1 + 2 cot 2 (a)
3 cot 2 (a) - 1
2 cot(a)
3
= cot (a)2- 3 cot(a)
3 cot (a) - 1
e quindi:
cot(3a) =
cot 3 (a) - 3 cot(a)
3 cot 2 (a) - 1
Formule di bisezione
Per le formula alternative di duplicazione del coseno risulta:
74
Corso di Matematica
Graziano Donati
cos (2a) = 1 - 2 sin 2 (a)
cos (2a) = 2 cos 2 (a) - 1
se in queste due relazioni sostituiamo formalmente:
a con a
2
otteniamo:
2 a
=
cos (2 a
2 ) 1 - 2 sin ( 2 )
) = 2 cos 2 ( a ) - 1
cos (2 a
2
2
Da cui:
cos (a) = 1 - 2 sin 2 ` a j
2
cos (a) = 2 cos 2 ` a j- 1
2
da queste due relazioni possiamo rispettivamente ricavare:
1 - cos (a)
sin 2 ` a j =
2
2
cos
(a)
+1
=
cos 2 ` a
j
2
2
Estraendo le radici quadrate di ambo i membri delle due relazioni, otteniamo:
1 - cos (a)
j= !
sin ` a
2
2
j= !
cos ` a
2
cos (a) + 1
2
Dividendo la prima per la seconda otteniamo:
1 - cos (a)
1 - cos (a)
j !
sin ` a
2
2
2
a
=
=!
=
tan ` 2 j =
a
+1
cos
(a)
cos ` 2 j ! cos (a) + 1
2
2
cos (a)
2
= ! 1 - cos (a)
=! 1 2
cos (a) + 1
cos (a) + 1
Dividendo la seconda per la prima otteniamo:
1 + cos (a)
a j ! 1 + cos (a)
cos
`
2 =
2
2
=!
=
cot ` a j =
2
a
1
cos
(a)
1
cos
(a)
sin ` 2 j
!
2
2
2
= ! 1 + cos (a)
= ! 1 + cos (a)
2
1 - cos (a)
1 - cos (a)
Quindi, in definitiva abbiamo:
tan ` a
2 j!
cot ` a
2 j!
1 - cos (a)
1 + cos (a)
1 + cos (a)
1 - cos (a)
Formule parametriche
Per le formula di duplicazione del seno e del coseno dimostrate precedentemente, risulta:
75
Corso di Matematica
Graziano Donati
sin(2a) = 2 sin(a) cos (a)
cos (2a) = cos 2 (a) - sin 2 (a)
Se in tali relazioni sostituiamo formalmente
a con a
2
otteniamo:
sin ` 2 a j = 2 sin ` a jcos ` a j
2
2
2
cos ` 2 a j = cos 2 ` a j- sin 2 ` a j
2
2
2
ovvero:
possiamo allora scrivere:
a
sin ^ a h = 2 sin ` a
2 jcos ` 2 j
cos ^ a h = cos 2 ` a j- sin 2 ` a j
2
2
a
a
sin ^ a h = 2 sin ` 2 jcos ` 2 j
sin ^ a h = 1
1
2 a
2 a
cos ^ a h = cos ` 2 j- sin ` 2 j
cos ^ a h = 1
1
Inoltre, per la relazione pitagorica risulta:
j+ cos 2 ` a
1 = sin 2 ` a
2j
2
Quindi:
2 sin ` a
jcos ` a
^ ah
sin
2
2j
sin ^ a h = 1 =
a j+ cos 2 ` a j
sin 2 ` 2
2
2 a
2 a
^ a h cos ` 2 j- sin ` 2 j
cos
=
cos ^ a h = 1
j+ cos 2 ` a j
sin 2 ` a
2
2
Dividendo numeratore e denominatore dei secondi membri per
j
cos 2 ` a
2
otteniamo:
a
2 sin ` a
2 jcos ` 2 j
cos 2 ` a j
sin ^ a h
2
^
h
=
=
sin a
1
2 a
sin ` j cos 2 ` a j
2 +
2
2 a
2 a
cos ` j cos ` j
2
2
cos 2 ` a j sin 2 ` a j
2 2
2 a
2 a
cos ^ a h cos ` 2 j cos ` 2 j
=
cos ^ a h = 1
sin 2 ` a j cos 2 ` a j
2 +
2
2 a
2 a
cos ` j cos ` j
2
2
76
Corso di Matematica
ovvero:
da cui:
Poichè
Graziano Donati
2 sin ` a j
2
a
cos ` j
sin ^ a h
2
=
sin ^ a h =
1
2 a
sin ` j
2 +1
2 a
cos ` j
2
sin 2 ` a j
2
12 a
cos ` j
cos ^ a h =
2
cos ^ a h =
1
2 a
sin ` j
2 +1
cos 2 ` a j
2
j
sin ` a
2
2
cos ` a j
^ ah
sin
2
sin ^ a h = 1 =
2
a
sin ` 2 j
f
p+1
cos ` a j
2
2
j
sin ` a
2
1-f
p
j
cos ` a
^ ah
cos
2
=
cos ^ a h = 1
2
a
sin ` 2 j
f
p+1
cos ` a j
2
sin ` a
2 j = tan ` a j
2
cos ` a
2j
otteniamo:
quindi:
2 tan ` a
^ ah
sin
2j
=
sin ^ a h =
1
tan 2 ` a
2 j+ 1
2 a
^ a h 1 - tan ` 2 j
cos
=
cos ^ a h = 1
a j+ 1
tan 2 ` 2
2 tan ` a
2j
sin ^ a h =
a j+ 1
tan 2 ` 2
1 - tan 2 ` a
2j
cos ^ a h =
a j+ 1
tan 2 ` 2
Dividendo la prima per la seconda otteniamo:
77
Corso di Matematica
Graziano Donati
2 tan ` a j
2
a
a
2 a
2 a
sin ^ a h tan ` 2 j+ 1 = 2 tan ` 2 j tan ` 2 j+ 1 = 2 tan ` 2 j
=
tan ^ a h =
cos ^ a h 1 - tan 2 ` a j tan 2 ` a j+ 1 1 - tan 2 ` a j 1 - tan 2 ` a j
2
2
2
2
2 a
tan ` j+ 1
2
Dividendo la seconda per la prima otteniamo:
1 - tan 2 ` a
2j
2 a
2 a
2 a
2 a
cos ^ a h = tan ` 2 j+ 1 = 1 - tan ` 2 j tan ` 2 j+ 1 = 1 - tan ` 2 j
cot ^ a h =
sin ^ a h
j
2 tan ` a
j
1 2 tan ` a
tan 2 ` a
2 tan ` a
2
2
2 j+
2j
tan 2 ` a
2 j+ 1
quindi:
2 tan ` a
2j
tan ^ a h =
1 - tan 2 ` a j
2
1 - tan 2 ` a j
2
cot ^ a h =
a
2 tan ` j
2
Riassumendo le quattro formula parametriche, otteniamo:
2 tan ` a
2j
sin ^ a h =
tan 2 ` a
2 j+ 1
1 - tan 2 ` a
2j
cos ^ a h =
j+ 1
tan 2 ` a
2
j
2 tan ` a
2
tan ^ a h =
j
1 - tan 2 ` a
2
aj
1 - tan 2 ` 2
cot ^ a h =
j
2 tan ` a
2
Se nelle precedenti 4 relazioni poniamo
=t
tan ` a
2j
possiamo anche scrivere:
78
Corso di Matematica
Graziano Donati
sin ^ a h =
2t
t2 + 1
2
cos ^ a h = 12 - t
t +1
tan ^ a h = 2t 2
1-t
t2
cot ^ a h = 1 2t
con
tan ` a j = t
2
Formule di prostaferesi
Formule di prostaferesi del seno
Per le formula di addizione e di sottrazione del seno risulta:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
sin(a - b) = sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
Sommando la prima alla seconda membro a membro otteniamo:
sin(a + b) + sin(a - b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b) + sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
Sottrando la seconda dalla prima membro a membro otteniamo:
sin(a + b) - sin(a - b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b) - sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
da cui:
sin(a + b) + sin(a - b) = 2 sin(a) cos (b)
sin(a + b) - sin(a - b) = 2 cos (a) sin(b)
Ponendo:
Z
]] a = p + q
=
=
a
p
^
a
q
h
2a
p
+
q
2
& )
& )
& [
p-q
b = ^ p - bh - q
2b = p - q
]b =
2
\
a+b=p & a=p-b
)
)
a-b=q
b=a-q
quindi:
Z
]] a = p + q
2
[
p
-q
]b =
2
\
Sostituendo tali espressioni nelle due precedenti relazioni otteniamo:
p+q
sin(p) + sin(q) = 2 sin b 2 lcos `
p+q
sin(p) - sin(q) = 2 cos b 2 lsin `
p - qj
2
p - qj
2
Formule di prostaferesi del coseno
Per le formula di addizione e di sottrazione del coseno risulta:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
Sommando la prima alla seconda membro a membro otteniamo:
cos (a + b) + cos (a - b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b) + cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
Sottrando la seconda dalla prima membro a membro otteniamo:
cos (a + b) - cos (a - b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b) - cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
da cui:
79
Corso di Matematica
Graziano Donati
cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos (a) cos (b)
cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin(a) sin(b)
Ponendo:
)
a+b=p & a=p-b
)
a-b=q
b=a-q
quindi:
Z
]a = p + q
=
=
a
p
^
a
q
h
2a
p
+
q
2
& )
& )
& ][
b = ^ p - bh - q
2b = p - q
]b = p - q
2
\
Z
]a = p + q
]
2
[
p-q
]b =
2
\
Sostituendo tali espressioni nelle due precedenti relazioni otteniamo:
p+q
p-q
cos (p) + cos (q) = 2 cos b 2 lcos ` 2 j
p+q
p-q
cos (p) - cos (q) = - 2 sin b 2 lsin ` 2 j
Formule di Werner
Per le formula di addizione e di sottrazione del seno risulta:
sin(a + b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
sin(a - b) = sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
Sommando la prima alla seconda membro a membro otteniamo:
sin(a + b) + sin(a - b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b) + sin(a) cos (b) - cos (a) sin(b)
Sottrando la seconda dalla prima membro a membro otteniamo:
sin(a + b) - sin(a - b) = sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b) - sin(a) cos (b) + cos (a) sin(b)
da cui:
sin(a + b) + sin(a - b) = 2 sin(a) cos (b)
sin(a + b) - sin(a - b) = 2 cos (a) sin(b)
da cui:
sin(a) cos (b) = 1 6 sin(a + b) + sin(a - b)@
2
cos (a) sin(b) = 1 6 sin(a + b) - sin(a - b)@
2
Per le formula di addizione e di sottrazione del coseno risulta:
cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
Sommando la prima alla seconda membro a membro otteniamo:
cos (a + b) + cos (a - b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b) + cos (a) cos (b) + sin(a) sin(b)
Sottrando la seconda dalla prima membro a membro otteniamo:
cos (a + b) - cos (a - b) = cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b) - cos (a) cos (b) - sin(a) sin(b)
da cui:
cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos (a) cos (b)
cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin(a) sin(b)
da cui:
80
Corso di Matematica
Graziano Donati
6
@
cos (a) cos (b) = 1
2 cos (a + b) + cos (a - b)
6
@
sin(a) sin(b) = - 1
2 cos (a + b) - cos (a - b)
Esercizi
2
sin ^a h = 3
Sapendo che è
1. cos ^a - 45ch
3. tan ^a + 45ch
0 < a < 90c
; 2 ^ 5 + 2 hE
6
calcolare:
4. cos ^a + 30ch
; 2 ^ 5 + 2 hE
6
; 15 - 2 E
6
-8 5E
9
3
;
11
8. cos ^ 45c + a h
; 2E
10
2. sin ^a + 45ch
69 + 4 5 @
; 2 - 15 E
6. tan ^30c - a h
6
cos ^a h =- 53
180c < a < 270c
calcolare:
Sapendo che è
5. sin ^a - 60ch
7. sin ^a + 60ch
;- 4 + 3 3 E
10
3
cos ^a h = 3
Sapendo che è
9. sin ^a + b h
11. tan ^a + b h
0c < a < 90c
^
h
; 3 3-4 2 E
15
; -25 2 + 36 E
2
e sin ^ b h = 53
90c < b < 180c
calcolare:
^
h
; 3 3 2 -4 E
15
; 25 2 - 36 E
23
10. cos ^a - b h
12. cot ^a - b h
Semplificare le seguenti espressioni
60@
62 sin ^a h cos ^a h@
13. sin ^60c + a h - sin ^60c - a h - sin ^a h
14. 2 sin 2 ^a + 45ch - 2 cos ^ 45ch
sin ^2a h
+ cos ^2a h + sin 2 ^a h + cos ^2a h
15.
2 sin ^a h
cos ^a h + sin ^a h
^ sin ^a h - cos ^a hh
16.
cos ^2a h
17. cos ^ 45c + a h + cos ^ 45c - a h - 2 cos ^a h
cos ^a - b h + cos ^a + b h
tan ^a h
18.
sin ^a - b h + sin ^a + b h
sin ^2a h
tan ^a h
F
19. <tan ^2a h tan ^ 45ch - tan ^a h 1 - cos2 ^a h
63 cos2 ^a h + cos ^a h - 1@
6-1@
60@
61 @
20. - sin ^a + 120ch sin ^30ch - cos ^60ch sin ^240c + a h
Applicando le formule di bisezione, calcolare:
81
;
2
E
1 + tan ^a h
sin ^a h
;
E
2
Corso di Matematica
21. sin ^22, 5ch
23. tan ^22, 5ch
25. cos ^105ch
Graziano Donati
:1 2 - 2D
2
22. cos ^22, 5ch
6 2 - 1@
24. sin ^105ch
;- 2 ^ 3 - 1 hE
4
26. tan ^105ch
Trasformare in prodotto le seguenti somme
27. sin ^80ch + sin ^ 40ch
30. cos ^34ch - cos ^10ch
33. sin ^100ch + sin ^70ch
3
36. 2 + cos ^80ch
28. sin ^60ch - sin ^ 45ch
31. sin ^75ch - sin ^50ch
1
34. cos ^60ch - 2
2
37. sin ^70ch - 2
Trasformare in somme i seguenti prodotti
39. sin ^5a h sin ^ 4a h
42. sin ^a h cos ^7a h
40. sin ^3a h cos ^2a h
b5 l
43. sin ` a
2 j sin 2 a
:1 2 + 2D
2
; 2 ^ 3 + 1 hE
4
6-^2 + 3 h@
29. cos ^185ch + cos ^115ch
32. cos ^53ch - cos ^23ch
35. sin ^80ch + 1
38. cos ^ 40ch - 1
41. cos ^a h cos ^6a h
^ h
44. cos ` a
4 j cos a
Semplificare le seguenti espressioni goniometriche applicando opportunamente le formule di prostaferesi
60@
1
1
45. sin ^a h sin ^ b h - 2 cos ^a - b h + 2 cos ^a + b h
a-b
sin ^a h - sin ^ b h
- tan 2
46.
cos ^a h + cos ^ b h
sin ^ 40ch + sin ^10ch
-2
47.
sin ^25ch cos ^15ch
sin ^30c + a h sin ^30c - a h
48.
cos ^3a h + cos ^a h
2 cos ^a + b h cos ^a - b h
49.
cos ^2a h + cos ^2b h
60@
60@
;
1
E
2 cos ^2a h
61 @
Semplificare le seguenti espressioni goniometriche applicando opportunamente le formule di prostaferesi o
quelle di Werner
50. sin ^a h sin ^ b h - 12 cos ^a - b h
51.
52.
53.
54.
55.
:- 1 cos ^a + b hD
2
sin ^a h - sin ^ b h
cos ^a h + cos ^ b h
sin ^ 40ch + sin ^10ch
sin ^25ch cos ^15ch
sin ^30c + a h + sin ^30c - a h
cos ^3a h + cos ^a h
2 cos ^a + b h cos ^a - b h
cos ^2a h + cos ^2b h
sin 2 ^2a h - sin 2 ^2b h
sin 62 ^a - b h@ sin 62 ^a + b h@
:tan
62@
;
1
E
2 cos ^2a h
61 @
61 @
Usando le varie formule di trasformazione, si verifiche che:
56. sin 2 ^a + b h + cos2 ^a - b h - 4 sin ^a h sin ^ b h cos ^a h cos ^ b h = cos2 ^a h + sin 2 ^a h
57. tan ^a h + 1 + ^ tan ^a h - 1 h tan ^ 45c + a h = 0
82
a - bD
2
Corso di Matematica
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
Graziano Donati
tan ^a + 45ch - tan ^a h
= tan ^ 45ch
1 + tan ^a h tan ^a + 45ch
^ h
sin ^ b h - 2 sin ` r
4 + b j =- cos b
2 sin ^30c + a h - 3 sin ^a h - cos ^a h = 0
cos ^a + b h cos ^a - b h - cos2 ^a h + sin 2 ^ b h + sin ^a + b h sin ^a - b h = sin 2 ^a h - sin 2 ^ b h
1
tan ^2a hb cos ^a h - 2 sec ^a h l - sin ^a h = 0
^ tan ^a h + tan ^ b hh sin ^a - b h - ^ tan ^a h - tan ^ b hh sin ^a + b h = 0
cos ^2a h = 2 cos ^ 45c + a h cos ^ 45c - a h
2 a
2 a
^ h
tan ^a h + sin ^a h - 2 tan ^a h cos2 ` a
2 j = 2 sin a ` cos ` 2 j - sin ` 2 jj - sin ^2a h
^1 + cos ^a hh`1 + tan 2 ` a jj = 2 6sin 2 ^a h + cos2 ^ -a h@
2
sin ^ b + 2a h + sin ^ b h
= cos ^a h
2 sin ^ b + a h
2 cos ^a - 45ch - sin ^90c - a h = sin ^a h
2 cos ^a + 45ch + sin ^a h = sin ^90c + a h
sin ^60c + a h - sin ^60c - a h
= tan ^a h
cos ^60c + a h + cos ^60c - a h
a
2 cos2 ` 2 j - 1
- tan ^30ch = 0
sin ^60c + a h + sin ^60c - a h
a
2 sin 2 ` 2 j + sin ^a h cot ^a h = 1
3 + cos ^2a h
a
a
=0
cot2 ` 2 j + tan 2 ` 2 j - 2
1 - cos ^2a h
sin ^a h + sin ^90c - a h - 2 cos ^a - 45ch = 0
1 - cos ^2a h
a
=0
4 sin 2 ` 2 j 1 + cos ^a h
83
Corso di Matematica
Graziano Donati
84
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 9
Identità Goniometriche
Introduzione
Precedentemente abbiamo dimostrato che esistono alcune uguaglianze fra due espressioni contenenti funzioni
goniometriche di uno o più angoli, le quali sono soddisfatte qualunque siano i valori che si attribuiscono alle ampiezze
degli angoli. Godono di tale proprietà:
• Le relazioni tra le funzioni goniometriche degli archi associati
• Le formule di addizione, sottrazione, duplicazione, triplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi,
Werner, nonchè le relazioni goniometriche fondamentali.
Le uguaglianze espresse dalle relazioni sopra richiamate sussistono ovviamente per tutti i valori dell'ampiezza degli
angoli per i quali le relazioni hanno significato. Ad esempio, l'uguaglianza sin2(α)+cos2(α)=1 è sempre verificata,
qualunque sia l'ampiezza α dell'angolo considerato, mentre l'uguaglianza tan(α)=sin(α)/cos(α) è verificata per i valori di
α per i quali tan(α) è definita e cos(α) risulta diverso da zero, cioè, per α≠π/2+kπ. Da questi esempi si vede dunque che
esistono delle uguaglianze tra espressioni goniometriche, verificate da tutti i valori che si possono attribuire alle
variabili contenute nelle due espressioni (escusi s'intende, quei particolari valori per i quali almeno una delle due
espressioni perde di significato). Questi particolari tipi di uguaglianze si chiamano identità goniometriche.
Identità goniometriche
DEFINIZIONE. Si chiama identità goniometrica un'uguaglianza fra due espressioni contenenti funzioni goniometriche
(sin, cos, tan,...) di uno o più angoli (α,β,γ,...) che è verificata qualsiasi siano i valori che si attribuiscono alle misure
degli angoli contenuti (esclusi, se esistono, quei valori per i quali, una almeno delle due espressioni perde significato)
Dalla definizione data segue che, per verificare se due espressioni goniometriche sono o no identiche, esse si devono
calcolare soltanto per quei valori delle variabili per i quali risultano entrambe definite.
Esempi:
sec ^a h -
tan ^a h
= cos ^a h
cosec ^a h
cos ^a + b h 1 - tan ^a h tan ^ b h
=
cos ^a - b h 1 + tan ^a h tan ^ b h
85
tan ^2a h
= cos ^ 4a h
tan ^ 4a h - tan ^2a h
Corso di Matematica
Graziano Donati
Verifica delle identità goniometriche
DEFINIZIONE. Verificare un'identità goniometrica significa trasformare le due espressioni date, che formano
l'uguaglianza, senza alterarne il significato, in modo che esse, assumano la stessa forma.
Non esistono regole o formule di carattere generale per la verifica delle identità, possiamo però indicare delle strategie
classiche che possono semplificare tale verifica, che comunque rimane un processo per tentativi.
• L'uguaglianza deve essere verificata per tutti i valori delle variabili per i quali entrambe le espressioni a 1 e a 2
membro hanno significato.
• In genere si considera una sola delle due espressioni (quella a 1 membro o quella a 2 membro hanno
significato), generalmente si sceglie quella che appare più complessa, e si esamina la possibilità di trasformarla
nella stessa forma dell'altra espressione, utilizzando tutte le formula algebriche e goniometriche a disposizione,
le formule degli archi associati e gli angoli notevoli.
• Se la trasformazione di una delle due espressioni nell'altra non appare possibile con facili calcoli, si può tentare
di verificare l'identità trasformando entrambe le espressioi al 1 e al 2 membro per portarle ad una stessa forma
(si opera un po' sull'una e un po' sull'altra)
• Spesso è opportuno trasformare le espressioni in modo che entrambe contengano soltanto le funzioni seno e
coseno.
86
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Verificare le seguenti identità goniometriche
1. sin ^a h sec ^a h - tan ^a h = 0
sin ^a h cos ^a h
= tan ^a h
3.
1 - sin 2 ^a h
2. ^1 - sin 2 ^a hh sec 2 ^a h = 1
4. cos ^a h - cot ^a h sin ^a h = 0
sin 2 ^a h
1 - cos ^a h
sin ^a h + tan ^a h
sin 2 ^a h
=
7.
cot ^a h + cosec ^a h
cos ^a h
2
2
9. cos ^a h^1 + cot ^a hh = cot2 ^a h
11. 1 - sin ^a h cos ^a h tan ^a h = cos2 ^a h
5. 1 + cos ^a h =
6. cos 4 ^a h - sin 4 ^a h - 2 cos2 ^a h =- 1
8. tan ^a h +
1
= sec ^a h $ cosec ^a h
tan ^a h
10. ^1 - cos2 ^a hh sec 2 ^a h = tan 2 ^a h
12. sin ^a h tan 2 ^a h cot3 ^a h = cos ^a h
13. ^1 + tan 2 ^a hh cos2 ^a h = 1
sec 2 ^a h
=1
15.
1 + tan 2 ^a h
14. ^ sec 2 ^a h - 1 h cos2 ^a h = sin 2 ^a h
cos2 ^a h
= 1 - sin ^a h
16.
1 + sin ^a h
17. ^1 + sin ^a hh2 + cos2 ^a h = 2 ^1 + sin ^a hh
cos ^a h
+ tan ^a h = sec ^a h
19.
1 + sin ^a h
18. tan 2 ^a h - sin 2 ^a h = tan 2 ^a h sin 2 ^a h
20. sec 2 ^a h cosec 2 ^a h = sec 2 ^a h + cosec 2 ^a h
^2 cos2 ^a h - 1 h sec ^a h
= 1 + tan ^a h
cos ^a h - sin ^a h
sin ^a h
1 - cos ^a h
+
= 2 cosec ^a h
24.
1 - cos ^a h
sin ^a h
21. cos2 ^a h^ tan ^a h + cot ^a hh = cot ^a h
23.
22.
tan 2 ^a h
1 - cos ^a h
=
sec ^a h + 1
cos ^a h
Verificare le seguenti identità goniometriche usando, fra l'altro, le formula relative agli angoli associati
25. ^ sin ^a h + cos ^a hh2 + 2 sin ^ -a h cos ^a h = tan ^ 45ch
r
26. ^ sin ^a h - cos ^a hh2 + 2 sin ^a h sin ` 2 - a j = 2 sin 2 ^ 45ch
27. ^ sin ^90ch + cos ^90chh^ sin ^90ch - cos ^90chh = tan ^ 45ch
cos2 ^ -a h
= 1 + cos b 32 r + a l
28.
1 + sin ^ -a h
r
29. - sin ^a h cos ^ r - a h cot ^a h = 1 + cos ` r
2 - a j cos ` 2 + a j
30. cos ^180c - a h sin ^180c + a h tan ^90c - a h - cos ^90c - a h cos ^90c + a h = 1
31. sin ^180c - a h sec ^ -a h + sin ^90c + a h cosec ^a h = sec ^ -a h cosec ^a h
r
r
32. tan 2 ` 2 + a j - cot2 ` 2 - a j = cosec 2 ^a h - sec 2 ^a h
Verificare le seguenti identità goniometriche usando, fra l'altro, le formule di addizione e sottrazione
33.
2 cos ^a - 45ch = cos ^a h + sin ^a h
35. 2 sin ^60c + a h = 3 cos ^a h + sin ^a h
37.
cos ^ b - a h tan ^a h + cot ^ b h
=
cos ^ b + a h cot ^ b h - tan ^a h
39. cos ^120c + a h + sin ^30c + a h = 0
87
34. sin ^135c - a h + cos ^135c + a h = 0
tan ^ 45c + a h
= tan 2 ^ 45c + a h
36.
tan ^ 45c - a h
3
38. tan b 4 r + a l tan b 34 r - a l = 1
sec ^a h sec ^ b h
1
=
40.
1 - tan ^a h tan ^ b h cos ^a + b h
Corso di Matematica
Graziano Donati
Verificare le seguenti identità goniometriche usando, fra l'altro, le formule di duplicazione
42. 1 - cos ^2a h = 2 sin 2 ^a h
1 + cos ^2a h
= cot ^a h
44.
sin ^2a h
sin ^ 4a h
cos ^2a h
= tan ^a h
46.
$
^
h
1 + cos 4a 1 + cos ^2a h
48. 2 cot ^2a h = cot ^a h - tan ^a h
41. 1 + cos ^2a h = 2 cos2 ^a h
1 - cos ^2a h
= tan ^a h
43.
sin ^2a h
cot ^a h + 1 1 + sin ^2a h
=
45.
cos ^2a h
cot ^a h - 1
47. sin ^2a h + cot ^a h cos ^2a h = cot ^a h
1 - sin ^2a h 1
= 2 ^ cot ^a h - 1 h2
49.
^
h
1 cos 2a
50. tan ^2a h - tan ^a h = tan ^a h sec ^2a h
r
r
52. sin 2 ` 4 + a j - sin 2 ` 4 - a j = sin ^2a h
51. tan ^a h + cot ^2a h = cosec ^2a h
Verificare le seguenti identità goniometriche usando, fra l'altro, le formule di bisezione
a
54. 2 sin 2 ` 2 j + sin ^a h cot ^a h = 1
^ h
^ hh
^ h
^
53. 2 sin 2 ` a
2 j = tan a - sin a cot a
a
a
56. cos 4 ` 2 j - sin 4 ` 2 j = cos ^a h
a
55. ^ tan ^a h - sin ^a hh cosec 2 ` 2 j = 2 tan ^a h
1 + cos ^2a h
= 4 cos2 ` a
2j
1 - cos ^a h
a
r a
^ h
60. 2 cos ` r
4 + 2 j cos ` 4 - 2 j = cos a
4 a
2
^ h
62. 2 cos 4 ` a
2 j + 2 sin ` 2 j = 2 - sin a
sin ^a h
j
=
57. tan ` a
2
1 + cos ^a h
2 a
59. cos ^a h`1 + tan 2 ` a
2 jj = 1 - tan ` 2 j
^1 + cos ^a hh^1 + cos ^2a hh
= cot ` a
61.
2j
sin ^2a h cos ^a h
58.
88
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 10
Equazioni Goniometriche
Definizione di equazione
Siano date due funzioni f(x1,x2,...,xn) e g(x1,x2,...,xn) delle stesse n variabili reali x1,x2,...,xn (cioè, (x1,x2,...,xn)ϵRn). Il
problema di determinare quei valori (α1, α2,..., αn), se esistono, appartenenti tanto al dominio di f(x1,x2,...,xn) quanto al
dominio di g(x1,x2,...,xn), la cui immagine f(α1, α2,..., αn) coincida con l'immagine g(α1, α2,..., αn), si dice equazione nelle
n incognite x1,x2,...,xn e si scrive:
f ^ x1, x2, ..., xn h = g ^ x1, x2, ..., xn h
f: R n $ R
g: R n $ R
Se le due funzioni f e g sono funzioni goniometriche aventi argomenti contenenti una o più variabili, allora
l'uguaglianza f=g si dice equazione goniometrica.
Equazioni goniometriche
Anche per le equazioni goniometriche si usa la stessa terminologia adottata per le equazioni algebriche.
DEFINIZIONE Si chiama equazione goniometrica ogni uguaglianza tra due espressioni goniometriche di una o più
variabili, la quale risulta verificata solo da particolari valori delle variabili.
Sono esempi di equazioni goniometriche le seguenti uguaglianze:
2 sin (x) = 1
tan (x) + cot(2x) = 12 + sin (xy)
5 sin 2 (x) - 3 sin (x)cos(x) - 2 cos2 (x) = 0
2
sin (x) + cos(y) + tan (z) = 2 sin ^ xyz h
DEFINIZIONE. Le variabili che compaiono in un'equazione goniometrica si dicono le sue incognite.
1
sin ^2x + y h = 2 cos ^ x h + cos ^2y h
x, y = variabili = angoli incogniti
DEFINIZIONE. Le due espressioni o funzioni che formano l'equazione (uguaglianza), e che si trovano l'una asinistra e
l'altra a destra del simbolo di uguaglianza "=" si chiamano membri dell'equazione. L'espressione che sta a sinistra del
segno di uguaglianza si dice primo membro dell'equazione, mentre l'espressione che sta alla destra del segno di
uguaglianza si dice secondo membro dell'equazione
DEFINIZIONE. Si chiama soluzione dell'equazione, ogni insieme di valori che, attribuiti alle incognite, fanno assumere
al primo membro dell'equazione, lo stesso valore del secondo membro.
DEFINIZIONE. Un'equazione goniometrica si dice ad una, due, tre, ... incognite, se in essa figurano una, due, tre,...
variabili.
DEFINIZIONE. Due equazioni goniometriche si dicono equivalenti quando esse ammettono le stesse soluzioni
DEFINIZIONE. Un equazione goniometrica si dice impossibile se non ammette soluzioni
sin ^ x h = 3
impossibile (perchè?)
89
Corso di Matematica
Graziano Donati
Equazioni goniometriche elementari
Qualunque equazione goniometrica ad una sola incognita x (presente solo come argomento di funzioni goniometriche)
può sempre essere ricondotta ad una delle tre seguenti equazioni goniometriche elementari:
tan (x) = p
-3 < p <+3
cos(x) = n
- 1 G n G+ 1
sin (x) = m
-1 G m G+ 1
dove x è la misura dell'angolo incognito e m,n,p sono numeri reali noti
Equazione goniometrica elementare sin(x)=m
Risolviamo l'equazione:
Z]
]] x = angolo incognito
]
con: []-1 G m G+ 1
sin (x) = m
]]
]m ! R
Si tratta quindi di determinare tutti i valori di x che soddisfano \l'equazione sin(x)=m, nota come equazione elementare
del seno. La risoluzione di tale equazione è possibile solo se risulta:
-1 G m G+ 1
Poichè, m=sin(x) è l'ordinata del punto di intersezione P del secondo lato b dell'angolo incognito ab=x, tale valore si
troverà sull'asse y (e sarà un numero compreso tra -1 ed 1). Tracciando una retta orizzontale passante per il punto m
sull'asse y, tale retta orizzontale incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti, che determineranno due diversi
angoli, aventi per valore del seno, proprio il numero m. Gli angoli il cui seno è uguale ad m sono quindi i due angoli αx
e π-αx indicati in figura
• Il primo angolo indicato in figura αx avrà ampiezza data
da:
a x = arcsin ^ m h
m
e quindi, l'equazione sarà soddisfatta per:
π-αx
αx
•
x = a x + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
con: a x = arcsin ^ m h
Il secondo angolo indicato in figura π-αx avrà ampiezza
data da:
r - a x = r - arcsin ^ m h
e quindi l'equazione sarà soddisfatta per:
x = ^ r - a x h + k2r
con: a x = arcsin ^ m h
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Quindi, in definitiva, l'equazione sin(x)=m avrà le due seguenti soluzioni:
x = a x + k2r
x = ^ r - a x h + k2r
con: a x = arcsin ^ x h
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Quindi:
sin (x) = m
)
x = arcsin ^ m h + k2r
x = ^ r - arcsin ^ m hh + k2r
90
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Corso di Matematica
Graziano Donati
Equazione goniometrica elementare cos(x)=n
Risolviamo l'equazione:
Z]
]] x = angolo incognito
]
con: []-1 G n G+ 1
cos(x) = n
]]
]n ! R
Si tratta quindi di determinare tutti i valori di x che soddisfano\l'equazione cos(x)=n, nota come equazione elementare
del seno. La risoluzione di tale equazione è possibile solo se risulta:
-1 G n G+ 1
Poichè, n=cos(x) è l'ascissa del punto di intersezione P del secondo lato b dell'angolo incognito ab=x, tale valore si
troverà sull'asse x (e sarà un numero compreso tra -1 ed 1). Tracciando una retta verticale passante per il punto n
sull'asse x, tale retta verticale incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti, che determineranno due diversi
angoli, aventi per valore del coseno, proprio il numero n. Gli angoli il cui coseno è uguale ad n sono quindi i due angoli
αx e -αx indicati in figura
Il primo angolo indicato in figura αx avrà ampiezza data da:
•
a x = arccos ^ n h
e quindi, l'equazione sarà soddisfatta per:
αc
-αc
n
x = a x + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
con: a x = arccos ^ n h
•
Il secondo angolo indicato in figura -αx avrà ampiezza data da:
-a x =- arccos ^ n h
e quindi l'equazione sarà soddisfatta per:
k = 0, ! 1, ! 2, ...
x =-a x + k2r
con: a x = arccos ^ n h
Quindi, in definitiva, l'equazione cos(x)=n avrà le due seguenti soluzioni:
x = a x + k2r
x =-a x + k2r
con: a x = arccos ^ n h
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Quindi:
cos(x) = n
)
x = arccos ^ n h + k2r
x = arccos ^ n h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
91
Corso di Matematica
Graziano Donati
Equazione goniometrica elementare tan(x)=p
Risolviamo l'equazione:
Z]
]] x = angolo incognito
]
con: []-3 < p < + 3
tan (x) = p
]]
]p ! R
Si tratta quindi di determinare tutti i valori di x che soddisfano\l'equazione tan(x)=p, nota come equazione elementare
del seno. A differenza delle due equazioni elementeri del seno e del coseno, la risoluzione di tale equazione è possibile
qualunque sia il valore del numero p. Poichè, p=tan(x) è l'ordinata del punto di intersezione P del secondo lato b
dell'angolo incognito ab=x con la tangente alla circonferenza goniometica, tale valore si troverà sulla tangente all'alla
circonferenza goniometrica (e sarà un numero compreso tra -∞ e +∞). Tracciando una retta verticale passante per il
punto n sull'asse x, tale retta verticale incontrerà la circonferenza goniometrica in due punti, che determineranno due
diversi angoli, aventi per valore del coseno, proprio il numero n. Gli angoli il cui coseno è uguale ad n sono quindi i due
angoli αx e -αx indicati in figura
• Il primo angolo indicato in figura αx avrà ampiezza data
p
da:
a x = arccos ^ n h
e quindi, l'equazione sarà soddisfatta per:
αx
•
x = a x + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
con: a x = arccos ^ n h
Il secondo angolo indicato in figura -αx avrà ampiezza data
da:
-a x =- arccos ^ n h
e quindi l'equazione sarà soddisfatta per:
k = 0, ! 1, ! 2, ...
x =-a x + k2r
con: a x = arccos ^ n h
Quindi, in definitiva, l'equazione cos(x)=n avrà le due seguenti soluzioni:
x = a x + k2r
x =-a x + k2r
con: a x = arccos ^ n h
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Quindi:
tan (x) = p
x = arctan ^ p h + kr
k = 0, ! 1, ! 2, ...
92
Corso di Matematica
Graziano Donati
Tabella per la soluzione di equazioni goniometriche elementari
sin(x) = m
a c = sin 1 (m) = angolo fornito dalla calcolatrice
- 1 G m G+ 1
m
π-αx
sin (x) = m
αx
)
cos (x) = n
x = arcsin ^ m h + k2r
x = ^ r - arcsin ^ m hh + k2r
a c = cos 1 (n) = angolo fornito dalla calcolatrice
- 1 G n G+ 1
αc
-αc
n
cos(x) = n
)
tan(x) = p
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
- 3 G p G+3
x = arccos ^ n h + k2r
x =- arccos ^ n h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
a c = tan 1 (p) = angolo fornito dalla calcolatrice
p
αc
tan (x) = p
x = arctan ^ p h + kr
93
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Corso di Matematica
Graziano Donati
Equazioni goniometriche elementari generalizzate
Se f(x) è un'espressione algebrica dell'ampiezza x di un angolo incognito, si dicono equazioni goniometriche elementari
generalizzate, le equazioni:
sin 6 f (x)@ = m
- 1 G m G+ 1
cos 6 f (x)@ = n
- 1 G n G+ 1
tan 6 f (x)@ = p
-3 < p <+3
dove x è la misura dell'angolo incognito e m,n,p sono numeri reali noti.
Equazione elementare generalizzata sin[f(x)]=m
L'equazione goniometrica elementare generalizzata del seno è data da:
sin 6 f (x)@ = m
- 1 G m G+ 1
con:
Se in tale equazione poniamo f(x)=t otteniamo:
sin 6 t @ = m
con:
- 1 G m G+ 1
Quest'ultima è l'equazione elementare del seno e la sua soluzione è data da:
)
t = arcsin ^ m h + k2r
t = ^ r - arcsin ^ m hh + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
poichè, t=f(x) otteniamo infine:
sin (x) = m
)
- 1 G m G+ 1
f (x) = arcsin ^ m h + k2r
f (x) = ^ r - arcsin ^ m hh + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Equazione elementare generalizzata cos[f(x)]=n
L'equazione goniometrica elementare generalizzata del coseno è data da:
cos 6 f (x)@ = m
con:
- 1 G n G+ 1
Se in tale equazione poniamo f(x)=t otteniamo:
cos 6 t @ = n
con:
- 1 G n G+ 1
Quest'ultima è l'equazione elementare del coseno e la sua soluzione è data da:
)
t = arccos ^ n h + k2r
t =- arccos ^ n h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
poichè, t=f(x) otteniamo infine:
cos(x) = n
)
- 1 G n G+ 1
f (x) = arccos ^ n h + k2r
f (x) =- arccos ^ n h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Equazione elementare generalizzata tan[f(x)]=p
L'equazione goniometrica elementare generalizzata della tangente è data da:
tan 6 f (x)@ = p
con:
-3 < p <+3
Se in tale equazione poniamo f(x)=t otteniamo:
tan 6 t @ = p
con:
-3 < p <+3
Quest'ultima è l'equazione elementare della tangente e la sua soluzione è data da:
t = arctan ^ p h + kr
k = 0, ! 1, ! 2, ...
poichè, t=f(x) otteniamo infine:
-3 < p <+3
tan (x) = p
f (x) = arctan ^ p h + kr
k = 0, ! 1, ! 2, ...
94
Corso di Matematica
Graziano Donati
Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari
Se f(x) e g(x) sono due espressioni algebriche dell'ampiezza x di un angolo incognito, si dicono equazioni
goniometriche riconducibili ad elementari, le tre segenti equazioni:
sin 6 f (x)@ = sin 6 g (x)@
cos 6 f (x)@ = cos 6 g (x)@
Equazione goniometrica riconducibile ad elementare del seno
L'equazione goniometrica riconducibile ad elementare del seno è data da:
Se in tale equazione poniamo:
f (x) = y
otteniamo:
sin 6y@ = m
sin 6 g (x)@ = m
tan 6 f (x)@ = tan 6 g (x)@
sin 6 f (x)@ = sin 6 g (x)@
Questa è un'equazione elementare del seno. La sua soluzione è data da:
y = arcsin ^ m h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
y = ^ r - arcsin ^ m hh + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
6
@
=
=
(x)
g
sin
m
e
(x)
f
y
possiamo anche scrivere:
Poichè
k = 0, ! 1, ! 2, ...
f (x) = arcsin 6sin (g (x))@ + k2r
)
k = 0, ! 1, ! 2, ...
f (x) = ^ r - arcsin 6sin (g (x))@h + k2r
)
Le funzioni sin e arcsin (una l'inversa dell'altra si annullano) e quindi otteniamo:
)
f (x) = g (x) + k2r
f (x) = r - g (x) + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
e quindi:
sin 6 f (x)@ = sin 6 g (x)@
)
&
f (x) = g (x) + 2kr
f (x) + g (x) = ^2k + 1 h r
Equazione goniometrica riconducibile ad elementare del coseno
L'equazione goniometrica riconducibile ad elementare del seno è data da:
Se in tale equazione poniamo:
f (x) = y
otteniamo:
cos 6y@ = n
cos 6 g (x)@ = n
cos 6 f (x)@ = cos 6 g (x)@
Questa è un'equazione elementare del seno. La sua soluzione è data da:
y = arccos ^ n h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
y =- arccos ^ n h + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
Poichè y = f (x) e n = cos 6 g (x)@ possiamo anche scrivere:
k = 0, ! 1, ! 2, ...
f (x) = arccos 6cos(g (x))@ + k2r
)
k = 0, ! 1, ! 2, ...
f (x) =- arccos 6cos(g (x))@ + k2r
)
Le funzioni cos e arccos (una l'inversa dell'altra si annullano) e quindi otteniamo:
)
f (x) = g (x) + k2r
f (x) =- g (x) + k2r
k = 0, ! 1, ! 2, ...
k = 0, ! 1, ! 2, ...
e quindi:
cos 6 f (x)@ = cos 6 g (x)@
&
)
f (x) = g (x) + 2kr
f (x) + g (x) = 2kr
Equazione goniometrica riconducibile ad elementare della tangente
L'equazione goniometrica riconducibile ad elementare della tangente è data da:
Se in tale equazione poniamo:
f (x) = y
tan 6 g (x)@ = p
tan 6 f (x)@ = tan 6 g (x)@
95
Corso di Matematica
Graziano Donati
otteniamo:
tan 6y@ = p
Questa è un'equazione elementare del seno. La sua soluzione è data da:
k = 0, ! 1, ! 2, ...
y = arctan ^ p h + kr
Poichè y = f (x) e p = tan 6 g (x)@ possiamo anche scrivere:
k = 0, ! 1, ! 2, ...
f (x) = arctan 6tan (g (x))@ + kr
Le funzioni tan e arctan (una l'inversa dell'altra si annullano) e quindi otteniamo:
f (x) = g (x) + kr
e quindi:
k = 0, ! 1, ! 2, ...
tan 6 f (x)@ = tan 6 g (x)@
&
f (x) = g (x) + 2r
Tabella per la soluzione di equazioni goniometriche elementari generalizzate
Equazione
Soluzione
sin 6 f(x)@ = sin 6 g (x)@
f(x) = g(x) + k2r
f(x) + g(x) = (2k + 1) r
cos 6 f(x)@ = cos 6 g (x)@
f(x) = g(x) + k2r
f(x) + g(x) = k2r
tan 6 f(x)@ = tan 6 g(x)@
f(x) = g(x) + kr
sin 6 f(x)@ = - sin 6 g(x)@
f(x) + g(x) = k2r
f(x) = g(x) + (2k + 1) r
cos 6 f(x)@ = - cos 6 g(x)@
f(x) + g(x) = (2k + 1) r
f(x) - g(x) = (2k - 1) r
f(x) + g(x) = ` 2k + 1 jr
2
1
f(x) - g(x) = ` 2k + jr
2
sin 6 f(x)@ = cos 6 g(x)@
f(x) - g(x) = ` 2k - 12 jr
f(x) + g(x) = ` 2k + 32 jr
sin 6 f(x)@ = - cos 6 g(x)@
96
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari
1. sin ^ x h = 12
3
5. cos ^ x h = 2
2. sin ^ x h = 1
6. cos ^ x h =- 1
3
3. sin ^ x h = 2
7. cos ^ x h =- 12
1
4. sin ^ x h =- 2
9. cos ^ x h = 2
10. sin ^ x h =- 3
3
11. cos ^ x h =- 2
5
12. sin ^ x h = 2
3
17. sin ^ x h =- 2
3
21. tan ^ x h =- 3
18. tan ^ x h = 0
19. sec ^ x h = 2
20. sin ^ x h =- 1
3
13. tan ^ x h = 3
15. cot ^ x h = 0
14. tan ^ x h =- 1
23. sec ^ x h =- 2
22. cosec ^ x h =- 2
3
8. cos ^ x h =- 2
16. cot ^ x h =- 3
3
24. cot ^ x h = 3
Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari
25. 2 sin 2 (x) - 1 = 0
27. 3 tan 2 (x) - 1 = 0
29. tan 2 (x) - 1 = 0
31. sin 2 (x) - 1 = 0
26. 4 cos2 (x) - 3 = 0
28. cot2 (x) - 3 = 0
30. cot2 (x) - 1 = 0
1
32. cos2 (x) - 4 = 0
Risolvere le seguenti equazioni goniometriche riconducibili ad elementari
33. sin (8x) =- 1
35. 2 cos(5x) = 1
x
37. cos ` 4 j = 0
2
4
39. sin b 2 x l =- 2
41. sin ^2x h =- 12
3
x
42. cos ` 3 j = 2
43. tan ^6x h =- 1
l
34. cot b 3
2x = 3
l
36. 2 cosec b 2
3x =4
5
38. tan b 3 x l = 0
x
40. cot ` 2 j =- 1
6 x = 105c + k180c ; x = 165c + k180c@
6 x =! 90c + k180c@
6 x = 22c 30l + k30c@
6 x = 15c + k360c ; x = 75c + k360c@
3
44. sin ^ x + 45ch = 2
45. cos ` 2x - r
5j=1
r
46. tan ` 3x + 6 j =- 1
2
47. sin ^ 4x + 15ch = 2
1
48. cos b 32 x + 40cl =- 2
r + B
8x = 10
kr
:x = 7 r + k r D
36
3
6 x = 7c 30l + k90c ; x = 30c + k90c@
6 x = 53c 20l + k240c ; x =- 106c 40l + k240c@
97
Corso di Matematica
Graziano Donati
49. tan ` 3x - r
7j= 3
rl
50. cot b 2
3 x + 5 =- 3
2
l
51. sin b - 3
2 x + 20c =- 2
3
rl
52. cos b 2x
3 +3 = 2
2 3
53. cosec ^ x - 30ch =- 3
54. tan ^30c - 2x h = 1
2
55. sin b 52 r - 4x l = 2
:x = 10 r + k r D
63
3
19
3
:x =
D
20 r + k 2 r
6 x =- 136c 40l + k240c ; x = 43c 20l + k240c@
:x =- r + k3r; x =- 3 r + k3rD
4
4
6 x = 270c + k360c ; x =- 30c + k360c@
6 x =- 7c 30l + k90c@
:x = 3 r + k r ; x =- 7 r + k r D
80
2
80
2
Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari generalizzate
56. cos ^ 4x h = cos ^2x h
57. sin ^5x h = sin ^3x h
6 x = k60c@
60. cos ^7x - 15ch = cos ^ x - 20ch
61. sin ^2x - 45ch = cos ^ x + 30ch
6 x =- 50l + k60c ; x = 4c 22l 30m + k45c@
6 x = 75c + k360c ; x = 5c + k120c@
6 x = k180c ; x = 22c 30l + k45c@
6 x = 22c 30l + k90c ; x =- 45c + k180c@
6 x =- 6c 30l + k180c ; x = 50c 45l + k90c@
58. sin ^ x h = cos ^3x h
59. sin ^3x - 5ch = sin ^ x - 18ch
6 x =- 7c 30l + k45c@
62. tan ^ x + 20ch = tan ^50c + 5x h
63. sin ^ x h = cos ^ x - 60ch
6 x = 75c + k180c@
6 x = 110c + k360c ; x =- 23c 20l + k120c@
6 x =- 5c 12l + k36c@
64. tan ^2x - 20ch =- sin ^ x h
65. tan ^60c - 2x h = tan ^3x + 86ch
:x =- 7 r + k r D
4
8
11
r
7
:x =
D
160 r + k 4 ; x =- 40 r + kr
6 x =- 13c 20l + k60c ; x = 10c + k45c@
:x = r + k 2 r; x = 11 r + 2krD
5
30
150
:x =- 6 r + k12r; x = 36 r + k 12 rD
5
7
35
6 x =- 17c 30l + k60c ; x = 11c 15l + k90c@
r + rB
8x =- 12
k4
r
8x =- r
8 +k 4B
66. tan ^3x + 5r h = cot ^ x - r h
r + 3x j = cos `5x - r j
67. sin ` 20
10
68. cos ^7x h = cos ^ x - 80ch
r
r
69. sin ` 2x - 3 j =- cos ` 5 - 3x j
r x
70. sin ` 3x j = sin ` 7 + 2 j
71. sin ^15c - x h = cos ^30c + 5x h
r
72. tan ` x + r
3 j =- cot ` 2 - 3x j
73. cot ^3x - 2r h = tan ^3r + x h
98
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 11
Trigonometria
Proprietà fondamentali dei triangoli
1)
2)
3)
4)
5)
Dato un qualsiasi triangolo, è sempre possibile inscrivere in esso una circonferenza
Dato un qualsiasi triangolo, è sempre possibile circoscrivere ad esso una circonferenza
La misura di un lato è sempre minore della somma degli altri due
La misura di un lato è sempre maggiore della differenza degli altri due
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180 gradi
Primo teorema fondamentale sui triangoli rettangoli
Sia ABC un triangolo rettangolo in C e indichiamo con a,b,c le misure dei lati del triangolo (il lato a è opposto al vertice
A, il lato b è opposto al vertice B, il lato C è opposto al vertice C) e con α,β,γ le ampiezze dei tre angoli (α ha il vertice
in A, β ha il vertice in B, γ ha il vertice in C). Siccome le definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo orientato
non dipendono dal raggio della circonferenza goniometrica, possiamo assumere l'ipotenusa AB del triangolo rettangolo
come raggio di tale circonferenza, prendendo come centro della circonferenza il vertice A del triangolo e come asse x
del sistema di riferimento associato la retta AC.
Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AB. Poniamo a
=BC, b =AC,
c =AB, α = BÂC, β =ABC, γ = ACB= π/2.
Si immagini di fissare un sistema di assi cartesiani Oxy con O
coincidente con A, il cateto AC sovrapposto ad un segmento
del semiasse positivo delle ascisse ed il punto B nel 1°
quadrante. Si consideri poi il cerchio goniometrico Γ (con
centro in O), si indichi con P l’intersezione di Γ con la
semiretta di origine A e passante per B e si indichi con H la
proiezione di P sull’asse delle ascisse. Così P è l’estremo
dell’arco α. Dalla similitudine dei triangoli ABC e OPH si
può scrivere:
Ricordando le definizioni di seno e coseno, possiamo scrivere:
OB
cos ^a h = OA
AB
sin ^a h = OA
Ricordando la definizione di tangente:
tan ^a h =
Al B l = AB
l l
OB (essendo i due tringoli OB A e OBA simili)
OB l
Quindi, in definitiva:
a
sin ^a h = c
b
cos ^a h = c
Dalle quali possiamo ricavare:
a = c sin ^a h
b = c cos ^a h
B
a
tan ^a h = b
β
c
a = b tan ^a h
Poichè, per le formule degli angoli complementari risulta:
A
99
a
γ
α
b
C
Corso di Matematica
Graziano Donati
sin ^a h = cos ` r
2 - aj
cos ^a h = sin ` r
2 - aj
tan ^a h = cot ` r
2 - aj
le precedenti espressioni possono essere scritte nella forma:
r
a = c sin ^a h = c cos ` 2 - a j
r
b = c cos ^a h = c sin ` 2 - a j
r
a = b tan ^a h = b cot ` 2 - a j
Poichè, per la proprietà dei triangoli risulta α+β+γ=π e poichè γ=π/2 (triangolo rettangolo in C), allora:
r
a+b+ 2 = r
ovvero, ricavando β otteniamo:
r
r
r
b = r- 2 -a & b = 2 -a & 2 -a = b
Sostituendo nelle ultime relazioni scritte, otteniamo:
a = c sin ^a h = c cos ^ b h
b = c cos ^a h = c sin ^ b h
a = b tan ^a h = b cot ^ b h
Quindi, in definitiva:
B
β
c
A
a
γ
α
b
C
a = c sin ^a h = c cos ^ b h
b = c cos ^a h = c sin ^ b h
a = b tan ^a h = b cot ^ b h
Quindi:
TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'ipotenusa per il
seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto considerato.
TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell'altro cateto per la
tangente dell'angolo opposto o per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto considerato.
Queste formule (particolarmente utili in svariate situazioni) affermano quindi che in un triangolo rettangolo un cateto ha
la lunghezza pari a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto (allo stesso cateto); oppure un
cateto ha la lunghezza pari a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo adiacente non retto; infine il
rapporto fra le lunghezze dei due cateti è uguale alla tangente dell’angolo opposto al primo cateto.
Area di un triangolo qualsiasi
Teorema della corda
Sia data una circonferenza di centro O e raggio r. Una qualsiasi corda AB divide la circonferenza in due archi entrambi
di estremi A e B.
Gli angoli inscritti nell'arco maggiore AB , aventi il vertice E in un qualsiasi punto dell'arco, sono tutti congruenti tra
loro (in quanto sono angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco maggiore AB)
Gli angoli inscritti nell'arco minore AB , aventi il vertice D in un qualsiasi punto dell'arco, sono tutti congruenti tra loro
(in quanto sono angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco minore AB)
100
Corso di Matematica
Graziano Donati
Gli angoli in P e in Q sono supplementari (la loro somma è π) poichè
sono angoli opposti di un quadrilatero ADBE inscritto in una
circonferenza
Dalla geometria elementare sappiamo che gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono
supplementari (hanno come somma π). Quindi:
|
|
&
ADB = r - a
1) Se AEB = a
Note:
1) Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti
2) Qualunque triangolo inscritto in una semicironferenza è sempre rettangolo nell'angolo opposto al diametro (cioè, la
loro somma è π)
3) Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari
Poichè, per gli angoli associati:
2) sin ^a h = sin ^ r - a h
allora, è ovvio che:
3) sin ^ AEB h = sin ^ ADB h
Se AC è il diametro della circonferenza, viene allora a formarsi il triangolo rettangolo in B (perchè inscritto in una
|
|
|
|
semicirconferenza). Inoltre, per quanto detto prima l'angolo AEB è congruente all'angolo ACB , cioè:
|
AEB
|
congruente ad ACB
Se applichiamo il teorema fondamentale dei triangoli rettangoli, al triangolo rettangolo ACB rettangolo in B, si ottiene:
|
4) AB = AC sin ^ ACB h
|
|
|
Ma poichè ACB è congruente ad AEB , nella precedente espressione possiamo sostituire all'angolo ACB , l'angolo
|
AEB
. Abbiamo allora:
| h
AB = AC sin ^ AEB
5)
e per la 3) possiamo anche scrivere:
6) AB = AC sin ^ ADB h
Poichè AC=diametro=2r la 5) e la 6) possono anche essere scritte nella seguente forma:
|
| h
AB = 2r sin ^ AEB
| h
AB = 2r sin ^ ADB
D
B
A
TEOREMA DELLA CORDA
La misura della corda di una circonferenza è uguale al
prodotto della misura del diamtro della circonferenza
per il seno di uno degli angoli inscritti in uno dei due
archi da essa
TEOREMA
DEIsottesi
SENI
101
C
Corso di Matematica
Graziano Donati
Teorema dei Seni
Sia dato un generico triangolo ABC, sia r la misura del raggio della circonferenza circoscritaa (Ricordiamo
che ad ogni triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza, il cui centro è l'intersezione degli assi
dei lati)
Per il teorema della corda applicata al lato a=BC, la misura di a è uguale al
prodotto del diametro della circonferenza per il seno dell'angolo opposto alla
corda BC (cioè α). Ovvero:
a = 2r sin ^a h
Per il teorema della corda applicata al lato b=AC, la misura di b è uguale al
prodotto del diametro della circonferenza per il seno dell'angolo opposto alla
corda AC (cioè β). Ovvero:
b = 2r sin ^ b h
Per il teorema della corda applicata al lato c=AB, la misura di c è uguale al
prodotto del diametro della circonferenza per il seno dell'angolo opposto alla
corda AB (cioè γ). Ovvero:
Q
c = 2r sin ^c h
In definitiva abbiamo:
b = 2r sin ^ b h
c = 2r sin ^c h
a = 2r sin ^a h
Se, dividiamo ambo i membri della prima per sin(α), dividiamo ambo i membri della seconda per sin(β),
dividiamo ambo i membri della terza per sin(γ), otteniamo:
a = 2r
b
c
= 2r
= 2r
sin ^a h
sin ^ b h
sin ^c h
Confrontando le precedenti tre relazioni otteniamo:
b
a =
= 2r
= c
sin ^a h sin ^ b h sin ^c h
Abbiamo quindi:
TEOREMA DEI SENI
In un triangolo qualunque il rapporto fra la misura di
un lato e il seno dell'angolo opposto è costante ed è
uguale alla misura del diametro della circonferenza
circoscritta
b
a =
= 2r
= c
sin ^a h sin ^ b h sin ^c h
102
Corso di Matematica
Graziano Donati
Teorema delle proiezioni
Consideriamo due triangoli qualsiasi, uno acutangolo e uno ottusangolo
Considerato il triangolo acutangolo di figura
(ciascun angolo interno non è maggiore di π/2). Se
D è la proiezione ortogonale del vertice B, sul lato
opposto AC, possiamo allora scrivere:
1) b=AC=AD+DC
Applicando il teorema fondamentale dei triangoli
rettangoli al triangolo ABD possiamo scrivere:
2) AD=ABcos(α)=ccos(α)
Applicando il teorema fondamentale dei triangoli
rettangoli al triangolo BCD possiamo scrivere:
3) DC=BCcos(γ)=acos(γ)
Se sostituiamo i valori forniti dalle 2) e 3) nella 1)
otteniamo:
b= ccos(α)+ acos(γ)
Considerato il triangolo ottusangolo di figura,
ottuso nell'angolo γ di vertice C (tale angolo interno
è maggiore di π/2). Se D è la proiezione ortogonale
del vertice B, sul lato opposto AC (proiezione che
cade esternamente al lato AC stesso), possiamo
allora scrivere:
1) b=AC=AD-DC
Applicando il teorema fondamentale dei triangoli
rettangoli al triangolo ABD possiamo scrivere:
2) AD=ABcos(α)=ccos(α)
Applicando il teorema fondamentale dei triangoli
rettangoli al triangolo BCD possiamo scrivere:
3) DC=BCcos(γ)=acos(γ)
Se sostituiamo i valori forniti dalle 2) e 3) nella 1)
otteniamo:
b= ccos(α)+ acos(γ)
Quindi, sia nel caso di un triangolo acutangolo sia nel caso di un triangolo ottusangolo, il lato a del triangolo è stato
calcolato mediante la medesima relazione. Ovviamente, in entrambe i casi, anche i restanti due lati b e c possono essere
calcolati nel medesimo modo. Abbiamo quindi:
TEOREMA DELLE PROIEZIONI
In un triangolo qualunque (acutangolo o ottusangolo) la misura di un lato è uguale alla somma dei
prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell'angolo che essi formano con il primo.
a = b cos ^c h + c cos ^ b h
b = c cos ^a h + a cos ^c h
c = a cos ^ b h + b cos ^a h
103
Corso di Matematica
Graziano Donati
Teorema del Coseno (o di Carnot)
Dato un qualsiasi triangolo (ottusangolo o acutangolo), per il teorema delle proiezioni risulta
a = b cos ^c h + c cos ^ b h
b = c cos ^a h + a cos ^c h
c = a cos ^ b h + b cos ^a h
Moltiplicando ambi i membri della prima uguaglianza per a, ambo i membri della seconda uguaglianza per -b ed ambo i
membri della terza uguaglianza per -c otteniamo:
a2 = ab cos ^c h + ac cos ^ b h
-b 2 =- bc cos ^a h - ab cos ^c h
-c 2 =- ac cos ^ b h - bc cos ^a h
Sommando mambro a membro otteniamo:
a2 - b 2 - c 2 = ab cos ^c h + ac cos ^ b h - bc cos ^a h - ab cos ^c h - ac cos ^ b h - bc cos ^a h
ovvero:
a2 - b 2 - c 2 =- 2bc cos ^a h
da cui:
a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos ^a h
Similmente, moltiplicando ambi i membri della prima uguaglianza per -a, ambo i membri della seconda uguaglianza
per b ed ambo i membri della terza uguaglianza per -c otteniamo:
-a2 =- ab cos ^c h - ac cos ^ b h
b 2 = bc cos ^a h + ab cos ^c h
-c 2 =- ac cos ^ b h - bc cos ^a h
Sommando mambro a membro otteniamo:
-a2 + b 2 - c 2 =- ab cos ^c h - ac cos ^ b h + bc cos ^a h + ab cos ^c h - ac cos ^ b h - bc cos ^a h
ovvero:
-a2 + b 2 - c 2 =- 2ac cos ^ b h
da cui:
b 2 = a2 + c 2 - 2ac cos ^ b h
Similmente, moltiplicando ambi i membri della prima uguaglianza per -a, ambo i membri della seconda uguaglianza
per -b ed ambo i membri della terza uguaglianza per c otteniamo:
-a2 =- ab cos ^c h - ac cos ^ b h
-b 2 =- bc cos ^a h - ab cos ^c h
c 2 = ac cos ^ b h + bc cos ^a h
Sommando mambro a membro otteniamo:
-a2 - b 2 + c 2 =- ab cos ^c h - ac cos ^ b h - bc cos ^a h - ab cos ^c h + ac cos ^ b h + bc cos ^a h
ovvero:
-a2 - b 2 + c 2 =- 2ab cos ^c h
da cui:
c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos ^c h
Quindi, in definitiva abbiamo:
104
Corso di Matematica
Graziano Donati
TEOREMA DEL COSENO (O DI CARNOT)
In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle
misure degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno
dell'angolo da essi compreso
a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos ^a h
b 2 = a2 + c 2 - 2ac cos ^ b h
c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos ^c h
Formule di Briggs
Dato un generico triangolo (ottusangolo o acutangolo), per il teorema di Carnot possiamo scrivere:
1)
2)
3)
a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos ^a h
b 2 = a2 + c 2 - 2ac cos ^ b h
c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos ^c h
Le tre precedenti relazioni possono anche essere scritte nella seguente forma:
4) cos ^a h =
5) cos ^ b h =
b 2 + c2 - a2
2bc
a2 + c2 - b 2
2ac
6) cos ^c h =
a2 + b 2 - c2
2ab
Considerati i tre angoli interni α,β,γ del triangolo qualsiasi, per ciascuno degli angoli, per le formule di bisezione,
possiamo scrivere:
7)
9)
a
sin ` 2 j =
b
sin b 2 l =
c
11) sin ` 2 j =
1 - cos ^a h
2
1 - cos ^ b h
2
1 - cos ^c h
2
8)
1 + cos ^a h
2
1 + cos ^ b h
2
1 + cos ^c h
2
cos ` a
2j=
b
10) cos b 2 l =
c
12) cos ` 2 j =
Se nelle 7) - 12) sostituiamo i valori di cos(α), cos(β), cos(γ) forniti dalle 4), 5), 6) possiamo scrivere:
sin ` a
2j=
cos ` a
2j=
b
sin b 2 l =
c
sin ` 2 j =
c
cos ` 2 j =
2
+ c2 - a2
1 - b 2bc
=
2
2
+ c2 - a2
1 + b 2bc
=
2
2
+ c2 - b2
1 - a 2ac
=
2
a2 + b 2 - c2
2ab
=
2
2
+ b2 - c2
1 + a 2ab
=
2
1-
ovvero:
13) sin ` a
2j=
b
15) sin b 2 l =
2bc - b 2 - c 2 + a2 =
4bc
a2 - ^ b - c h2
=
4bc
^ a + b - c h^ a - b + c h
2bc + b 2 + c 2 - a2 =
4bc
^ b + c h2 - a2
=
^ b + c + a h^ b + c - a h
2ac - a2 - c 2 + b 2 =
4ac
b 2 - ^ a - c h2
=
4ac
^ b + a - c h^ b - a + c h
2ab - a2 - b 2 + c 2 =
4ab
c 2 - ^ a - b h2
=
4ab
^ c + a - b h^ c - a + b h
2ab + a2 + b 2 - c 2 =
4ab
^ a + b h2 - c 2
^ a + b + c h^ a + b - c h
^ a + c + b h^ a + c - b h
4ac
^ b + a - c h^ b - a + c h
4ac
4bc
14) cos ` a
2j=
b
16) cos b 2 l =
105
4ab
=
4bc
4bc
4ac
4ab
4ab
^ b + c + a h^ b + c - a h
4bc
^ a + c + b h^ a + c - b h
4ac
Corso di Matematica
c
17) sin ` 2 j =
Graziano Donati
^ c + a - b h^ c - a + b h
c
18) cos ` 2 j =
4ab
^ a + b + c h^ a + b - c h
4ab
Se indichiamo con p il semiperimetro del triangolo, allora abbiamo:
19)
a + b + c = 2p
p = semiperimetro
Sottraendo ad ambo i membri della 19) la quantità 2a otteniamo:
20)
a + b + c - 2a = 2p - 2a
Sottraendo ad ambo i membri della 19) la quantità 2b otteniamo:
21)
a + b + c - 2b = 2p - 2b
Sottraendo ad ambo i membri della 19) la quantità 2c otteniamo:
21)
a + b + c - 2c = 2p - 2c
Riassumendo le 20), 21), 22) abbiamo:
23)
24)
25)
26)
a + b + c - 2a = 2p - 2a = 2 ^ p - a h
a + b + c - 2b = 2p - 2b = 2 ^ p - b h
a + b + c - 2c = 2p - 2c = 2 ^ p - c h
a + b + c = 2p
Sostituendo le 23) - 26) nelle 13) - 18) otteniamo:
27) sin ` a
2j=
b
29) sin b 2 l =
c
31) sin ` 2 j =
da cui:
33) sin ` a
2j=
b
35) sin b 2 l =
c
37) sin ` 2 j =
2^ p - ch $ 2^ p - bh
4bc
^
2 p - ch $ 2 ^ p - ah
4ac
2 ^ p - bh $ 2 ^ p - ah
4ab
^ p - c h^ p - b h
bc
^ p - c h^ p - a h
ac
^ p - b h^ p - a h
ab
28) cos ` a
2j=
b
30) cos b 2 l =
c
32) cos ` 2 j =
34) cos ` a
2j=
b
36) cos b 2 l =
c
38) cos ` 2 j =
2p $ 2 ^ p - a h
4bc
2p $ 2 ^ p - b h
4ac
2p $ 2 ^ p - c h
4ab
p ^ p - ah
bc
^
p p - bh
ac
p^ p - ch
ab
Dividendo membro a membro la 33) per la 34) otteniamo:
sin ` a
a
2j =
39) tan ` 2 j =
cos ` a
2j
^ p - c h^ p - b h
bc
p ^ p - ah
bc
^ p - c h^ p - b h
=
bc
bc
=
p ^ p - ah
^ p - c h^ p - b h
p ^ p - ah
Dividendo membro a membro la 35) per la 36) otteniamo:
b
sin b 2 l
b
=
40) tan b 2 l =
bl
b
cos 2
^ p - c h^ p - a h
ac
p^ p - bh
ac
^ p - c h^ p - a h
=
ac
ac
=
p^ p - bh
^ p - c h^ p - a h
p^ p - bh
ab
=
p^ p - ch
^ p - b h^ p - a h
p^ p - ch
Dividendo membro a membro la 37) per la 38) otteniamo:
c
sin ` 2 j
c
41) tan ` 2 j =
c =
cos ` 2 j
^ p - b h^ p - a h
ab
p^ p - ch
ab
=
^ p - b h^ p - a h
ab
Quindi, riassumendo le formule 33) - 41) abbiamo:
106
Corso di Matematica
Graziano Donati
FORMULE DI BRIGGS
sin ` a
2j=
b
sin b 2 l =
c
sin ` 2 j =
^ p - c h^ p - b h
bc
^ p - c h^ p - a h
ac
^ p - b h^ p - a h
ab
a
cos ` 2 j =
b
cos b 2 l =
c
cos ` 2 j =
p ^ p - ah
bc
p^ p - bh
ac
p^ p - ch
ab
107
tan ` a
2j=
b
tan b 2 l =
c
tan ` 2 j =
^ p - c h^ p - b h
p ^ p - ah
^ p - c h^ p - a h
p^ p - bh
^ p - b h^ p - a h
p^ p - ch
Corso di Matematica
Graziano Donati
108
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 12
Applicazioni della trigonometria alla
geometria elementare
Area di un triangolo
Calcolo dell'area di un triangolo, note le misure di due lati e l'ampiezza dell'angolo compreso (teorema
dell'area)
Sia assegnato un qualsiasi triangolo ABC di cui siano note, per esempio, le misure b e c dei lati AC e AB e l'ampiezza α
dell'angolo compreso tra i lati b e c.
Se nel triangolo ABC assumiamo come base il lato AC=b, allora dalla geometria elementare sappiamo che l'area A è
data da:
bh
A= 2
Applicando il teorema fondamentale dei triangoli rettangoli al triangolo ABD (sia nel caso del triangolo ABC
acutangolo sia nel caso del triangolo ABC ottusangolo), risulta:
h = c sin ^a h
Sostituendo tale espressione nella precedente uguaglianza otteniamo:
A = 12 bc sin ^a h
In modo analogo, si calcola l'area di un triangolo qualsiasi nellipotesi che siano noti a,b e γ oppure a,c e β. Abbiamo
quindi le seguenti formule per il calcolo dell'area di un triangolo note le misure di due lati e l'angolo compreso tra i due
lati.
Teorema dell'Area
L'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure dei due lati per il seno dell'angolo
compreso
1
A = 2 bc sin ^a h
1
A = 2 ac sin ^ b h
1
A = 2 ab sin ^c h
109
Corso di Matematica
Graziano Donati
Calcolo dell'area di un triangolo, nota la misura di un lato e le ampiezze degli angoli adiacenti
Consideriamo il triangolo ABC della figura sottostante
Supponiamo che siano note, la misura c del lato AB e le ampiezze α e β degli angoli adiacenti. Per il teorema
precedente possiamo scrivere:
1)
1
A = 2 bc sin ^a h
Inoltre, per il teorema dei seni possiamo anche scrivere:
2)
da cui:
3)
b
= c
sin ^ b h sin ^c h
b=
c sin ^ b h
sin ^c h
Sostituendo la 3) nella 1) otteniamo:
4)
1 sin ^ b h sin ^a h
A = 2 c2
sin ^c h
Osservando che risulta:
5)
allora:
6)
quindi:
7)
c = 6r - ^a + b h@
sin ^c h = sin 6r - ^a + b h@ = sin ^a + b h
proprietà degli angoli supplementari
sin ^c h = sin ^a + b h
Sostituendo la 7) nella 4) otteniamo:
8)
1 sin ^ b h sin ^a h
A = 2 c2
sin ^a + b h
In modo analogo si dimostrano le formule nell'ipotesi che siano noti a, β e γ oppure b, α e γ. Pertanto sussistono le
seguenti formula per il calcolo dell'area di un triangolo quando è noto un lato e i due angoli adiacenti.
1 sin ^ b h sin ^c h
A = 2 a2
sin ^ b + c h
^a h sin ^c h
sin
1
A = 2 b2
sin ^a + c h
^a h sin ^ b h
sin
A = 12 c 2
sin ^a + b h
L'area di un triangolo è uguale al semiprodotto del quadrato della misura di un lato per i seni degli angoli ad esso
adiacenti, diviso per il seno della somma degli stessi angoli.
110
Corso di Matematica
Graziano Donati
Calcolo dell'area di un triangolo, note le misure dei tre lati (Teorema di Erone)
Consideriamo il triangolo ABC della figura sottostante
Per il primo teorema sull'area del triangolo, possiamo scrivee:
1)
A = 12 bc sin ^a h
Per la formula di duplicazione del seno abbiamo:
2)
a
a
sin ^a h = 2 sin ` 2 j cos ` 2 j
Per la formula di Briggs abbiamo:
3)
4)
sin ` a
2j=
cos ` a
2j=
^ p - b h^ p - c h
bc
p ^ p - ah
bc
Sostituendo la 3) e la 4) nella 2) otteniamo:
5)
sin ^a h = 2
^ p - b h^ p - c h
bc
p ^ p - ah
=2
bc
1 p ^ p - a h^ p - b h^ p - c h
= 2 bc
Quindi:
6)
p ^ p - a h^ p - b h^ p - c h
=
^ bc h2
1
sin ^a h = 2 bc p ^ p - a h^ p - b h^ p - c h
Sostituendo la 6) nella 1) otteniamo:
7)
da cui:
8)
2
A = 12 bc bc
p ^ p - a h^ p - b h^ p - c h
A = p ^ p - a h^ p - b h^ p - c h
Quindi, in definitiva:
TEOREMA DI ERONE
L'area di un triangolo qualsiasi è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le
differenze tra il semiperimetro e le misure di ognuno dei lati.
A = p ^ p - a h^ p - b h^ p - c h
111
Corso di Matematica
Graziano Donati
112
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 13
Richiami sulle potenze
Elevamento a potenza
In algebra elementare la potenza è un operazione che associa ad una coppia di numeri x ed α detti rispettivamente base
ed esponente, il numero dato dal prodotto di 1 per α fattori tutti uguali ad x; ovvero:
Potenza della base x elevata all'esponente α ⇒ 𝑥 𝛼 = 1 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ … ∙ 𝑥
α volte
In generale il numero x è un numero reale (appartenente cioè all’insieme R, e quindi può essere un intero positivo o
negativo, una frazione o un numero irrazionale come π). In base alla tipologia di insieme numerico a cui appartiene
l’esponente α, possiamo avere i seguenti quattro casi:
Z
]]] Se x ! R e a ! N
]]
]
x a = ][ Se x ! R e a ! Z
]]
+
]]] Se x ! R e a ! Q
]]
Se x ! R + e a ! R
\
potenza ad esponente naturale
potenza ad esponente relativo
potenza ad esponente razionale
potenza ad esponente reale
Si noti che l’esponente può assumere valori in insiemi numerici via via più vasti, ma contemporaneamente si devono
imporre delle limitazioni sulla base. In particolare, se l’esponente α è un numero razionale Q o un numero reale R,
allora la base x non può più essere un numero reale qualsiasi ma deve essere un numero reale rigorosamente positivo
R+.
Potenza ad esponente naturale
Dall’algebra elementare si conosce il significato di potenza di un numero reale a elevato all’esponente naturale n.
Scritture del tipo 32, (-6)5, (-1/3)4, π7 sono ben note e comprensibili. Nel seguito ci proponiamo di estendere gradualmente definizioni e proprietà così da assegnare un significato preciso ad espressioni analoghe dove però l’esponente
non sia necessariamente un numero naturale, ma in generale appartenga all’insieme R. Dovremo innanzitutto definire
espressioni del tipo a-n e am/n con n,m Z e successivamente estendere la scrittura ad un qualsiasi esponente reale
irrazionale. Seguiremo quindi un processo graduale che manterrà inalterate le proprietà fondamentali pur estendendole
via via ad insiemi sempre più ampi di numeri.
DEFINIZIONE. La potenza di una base x ∈ ℝ elevata all'esponente n ∈ ℕ è definita come:
x n = 1 $ 1x44444
$ x 2$ ...
$ 4x3
44444
n fattori
113
x!R e n!N
Corso di Matematica
Graziano Donati
Casi particolari:
6x ! R
x1 = 1 $ x = x
0
6x ! R (x ! 0)
x =1
0
0 = non definito
Proprietà delle potenze ad esponente naturale
PROPRIETA' 1
a n $ a m = a n +m
Dimostrazione
$ a42
$ ...
$ 4a3 $ 1 $ a
$ a42
$ ...
$ 4a3 = 1 $ 1 $ a
$ a42
$ ...
$ 4a3 = 1 $ a
$ a42
$ ...
$ 4a3 = a n + m
an $ am = 1 $ a
144444
44444
144444
44444
144444
44444
144444
44444
n fattori
m fattori
n + m fattori
n + m fattori
PROPRIETA' 2
amn = a n - m
a
Dimostrazione
n fattori
n fattori
644444474444448
644444474444448
a = 1 $ a $ a $ ... $ a = 1 a $ a $ ... $ a = 1 $ a $ a $ ... $ a = a n -m
$ ...
$ 4a3
a m 1 $ a $ a $ ... $ a 1 $ a
$ a42
144444
424444443
144444
44444
144444
424444443
n -m fattori
m fattori
m fattori
n
PROPRIETA' 3
^ a n hm = a n $ m
Dimostrazione
^ a n hm = 1 $ 1 $ a $ a $ ... $ a $ 1 $ a $ a $ ... $ a $ ... $ 1 $ a $ a $ ... $ a =
144444
424444443
144444
424444443
144444
424444443
n fattori
n fattori
n fattori
1444444444444444444444444444444
2
3
444444444444444444444444444444
m fattori
= 1144444
$ 12
$ ...
$ 13 $ a
$ a42
$ ...
$ 4a3 = 1 $ a
$ a42
$ ...
$ 4a3 = a m $ n
44444
1
44444
44444
1
44444
44444
m + 1 fattori
n $ m fattori
n $ m fattori
PROPRIETA' 4
^ a $ b hn = a n $ b n
Dimostrazione
^ a $ b hn = 1 $ ^ a $ b h $ ^ a $ b h $ ... $ ^ a $ b h = 1 $ a $ a $ ... $ a $ 1 $ b $ b $ ... $ b = a n $ b n
424444444444444443
144444444444444
n fattori
PROPRIETA' 5
424444443
144444
n fattori
144444
2444443
n fattori
n
n
` ab j = ab n
Dimostrazione
n
... $ a = a n
` ab j = 1 $ ` ab j $ ` ab j $ ... $ ` ab j = 11 $$ ab $$ ab $$ ...
$b
bn
144444444444
2
44444444444
3
n fattori
Proprietà delle potenze ad esponente naturale
xn $ xm = xn + m
xn = n - m
x
xm
m
_ xn i = xn $ m
Dimostrazione della proprietà a0=1
Possiamo ovviamente scrivere:
n
n -n
0
0
1= a
an = a = a & a = 1
x n $ y n = _ xy i
x n = a x kn
y
yn
n
114
Corso di Matematica
Graziano Donati
Potenze ad esponente relativo
Siano dati un numero reale x ∈ ℝ ed un numero relativo n ∈ ℕ,allora possiamo ovviamente scrivere:
x!R, n!N
x -n = x 0 -n
Ma per le proprietà delle potenze risulta 𝑥0−𝑛 =
𝑥0
𝑥𝑛
e quindi otteniamo:
0
x -n = x 0 -n = xxn
0
x!R, n!N
Poichè sappiamo che risulta 𝑥 = 1 possiamo anche scrivere:
0
x -n = x 0 -n = xxn = x1n
x!R, n!N
e quindi:
x -n = x1n
x!R, n!N
DEFINIZIONE. Possiamo allora affermare che, la potenza di una base reale x ∈ ℝ elevata all'esponente relativo
−𝑛 ∈ ℤ (cioè n ∈ ℕ) è data da:
x -n = x1n
Casi particolari:
x!R, n!N
1 = 1l
x1 x
1
1
b infatti x -0 = 0 = = 1 l
x -0 = 1
6x ! R, (x ! 0)
1
x
1
1
b infatti x -0 = 0 =
0 -0 = non definito
non definito = non definito l
0
0 -n = non definito 6n ! N b infatti 0 -n = 01n = 10 = non definito l
x -1 = 1x
6x ! R, (x ! 0)
b infatti x -1 =
Quindi, in definitiva:
1
x 0 = x -0 = 1
x -1 = x
0 -n = non definito per nessun n ! N
Il numero 0 non è elevabile ad esponente negativo
x1 = x
Proprietà delle potenze ad esponente relativo
Proprietà 1
x -n $ x -m = x -^ n + m h
Dimostrazione
1
1
1 1
x -n $ x -m = x n $ x m = x n $ x m = n +m = x -^ n +m h
x
Proprietà 2
-n
x-m
-n +m
x =x
Dimostrazione
1n
-n
1n $ x m = x mn = x m - n = x -n + m
x-m
x
=
=
x
x
x
1
xm
Proprietà 3
^ x -n h-m = x n $ m
115
Corso di Matematica
-m
^1 h-m
^ x h = b x1n l = n -m
^x h
-n -m
Graziano Donati
1
1m = 1 = xn$m
1
1
xn$m
^ x n hm
Potenze ad esponente razionale
Poichè, le potenze ad esponente razionale possono essere definite in termini di radicali, è necessario anticipare alcuni
concetti sulle radici che vedremo in maniera più compiuta in seguito. Dall'aritmetica elementare sappiamo che la radice
m-esima di un numero reale x è uguale a qual numero reale y che a sua volta, elevato alla potenza m, da come risultato il
numero x di partenza; ovvero, la radice m-esima di un numero reale x può essere definito dalla seguente doppia
implicazione:
def
m
x=y
+
ym = x
Adesso è necessario distinguere il caso di indice m pari dal caso di indice m dispari. Abbiamo, per la regola dei segni:
m pari y m = x = y $ y $ ... $ y & x sempre positivo &
144444m 2pari444443
m
x x sempre positivo
m dispari y m = x = y $ y $ ... $ y & x positivo o negativo &
2444443
144444
m dispari
m
x x pos. o neg.
Quindi, in definitiva:
Se m è pari, allora è definita solo per x reale positiva
m
x
Se m è dispari, allora è definita solo per x reale positiva sia per x
reale negativa
Quindi, abitualmente tutte le radici di indice naturale dispari si ritengono definite sia per radicando positivo che per
radicando negativo (cioè, le radici di indice naturale dispari si ritengono definite per il radicando x appartenente
all'intero insieme R). Non tutti i matematici però concordano su questo. In effetti, anche nel caso di indice naturale
dispari, vi sono dei problemi nell'uso delle proprietà dei radicali quando si trattano dei radicandi negativi. Consideriamo
infatti il seguente esempio:
2
6
Vogliamo calcolare il valore di (- 1)
Eseguiamo questo calcolo in due modi diversi:
Primo modo (sicuramente corretto):
Calcoliamo il quadrato sotto radice, come prima cosa, e successivamente calcoliamo la radice. Ovvero:
6
(- 1) 2 = 6 (- 1) (- 1) = 6 1 = 1
Secondo modo:
Come prima cosa usiamo le proprietà dei radicali e semplifichiamo l'indice del radicale con l'esponente della potenza
sotto radice e successivamente calcoliamo la radice risultante. Ovvero:
6
(- 1) 2 = 3 (- 1) =- 1
2
6
Quindi, eseguendo il calcolo di (- 1) con i due diversi metodi, abbiamo ottenuto due risultati diversi,
ovvero:
6
(- 1) 2 = 1
& 1 =- 1
Assurdo!
6
(- 1) 2 =- 1
4
Questo evidenzia che lavorando con radicandi negativi, le proprietà dei radicali non sono più valide poichè conducono a
risultati errati. Si possono verificare queste difficoltà anche nei comuni software di calcolo simbolico (Mathematica,
Matlab, Derive, Geogebra, Maple, ...). Per evitare questi problemi, si conviene di definire, nell'algebra, dove si
utilizzano le proprietà dei radicali, la radice solo per radicandi positivi (anche nel caso di indici dispari) e si parla in
questo caso di radicali aritmetici, mentre nell'analisi matematica, le radici ad indice dispari (e solo quelle) vengono
definite per radicandi sia positivi che negativi (rinunciando all'uso delle proprietà dei radicali), e in questo caso si parla
di radicali algebrici. Quindi:
Se m è pari
116
Corso di Matematica
m
Graziano Donati
x è definita in ogni caso solo per x ! R +
Se m è dispari
m
In algebra
In analisi
m
x è definita solo per x ! R +
x è definita per x ! R
Quindi:
In algebra si definisce radice m-esima di un numero x ! R quel numero y che elevato all'esponente m da come
risultato x, ovvero:
+
def
x=y
con: m ! N (pari o dispari), m ! 0, x ! R +
m
+
ym = x
Quindi, per la definizione di radice m-esima abbiamo:
m
1 a,b)
&
x=y
ym = x
Elevando alla potenza m entrambe i membri della 1a) abbiamo:
^m x h = x
m
m
e poichè per la 1b) risulta y = x otteniamo:
^m x h = x
m
m ! N (pari o dispari), m ! 0, x ! R +
La potenza ad esponente razionale
+
Siano dati un numero x ! R e due numeri n, m ! Z , allora possiamo ovviamente scrivere:
n
n m
xn = x m m = ^ x m h
quindi:
xn = ^ x m h
n m
Calcolando la radice m-esima di ambo i membri di quest'ultima uguaglianza otteniamo:
m
xn =
e quindi:
m
^ x m hm = x m
n
m
n
xn = x m
n
x ! R +, n, m ! Z
Possiamo allora affermare che:
DEFINIZIONE. La potenza di una base x ! R elevata all'esponente razionale n/m (con n, m ! Z, m ! 0 è data da:
+
n
x m = m xn
x ! R +, n, m ! Z, m ! 0
117
Corso di Matematica
Graziano Donati
118
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 14
Richiami sulle Radici
Radicali
Definizione
Si chiama radice m-esima di un numero reale x qual numero reale y che a sua volta, elevato alla potenza m, da come
risultato il numero x di partenza; ovvero, la radice m-esima di un numero reale x può essere definito dalla seguente
doppia implicazione:
def
m
x=y
+
ym = x
Terminologia
Z]
] L'espressione m x n è detta radicale
]]]
]]
m
x n & ][ Il numero reale x è detto radicando
]] Il numero naturale m è detto indice della radice
]]]
]
]] Il numero naturale n è detto esponente del radicando
Condizioni sui\parametri del radicale
Radicali aritmetici (Si possono usare le proprietà dei radicali)
m
x=y
)
Con m pari & x ! R 0+, y ! R 0+
Con m dispari & x ! R 0+, y ! R 0+
Radicali algebrici (Si deve rinunciare alle proprietà dei radicali)
m
x=y
)
Con m pari & x ! R 0+, y ! R 0+
Con m dispari & x ! R, y ! R
Segno del radicale
Radicali aritmetici
Sia n un numero naturale diverso da zero, allora:
&
Se y = m p (x)
)
Con m pari & y H 0 sempre
Con m dispari & y H 0 sempre
Radicali algebrici
Sia n un numero naturale diverso da zero, allora:
&
Se y = m p (x)
)
Con m pari & y H 0 sempre
Con m dispari & y ha lo stesso segno di p (x)
Condizioni di esistenza del radicale
Radicali aritmetici
m
p (x)
&
Radicali algebrici
m
p (x)
&
)
Con m pari & il radicale esiste solo per p (x) H 0
Con m dispari & il radicale esiste solo per p (x) H 0
)
Con m pari & il radicale esiste solo per p (x) H 0
Con m dispari & il radicale esiste 6 p (x)
Proprietà dei radicali
identità fondamentali
119
Corso di Matematica
)
^m x h = x
x H 0 per m pari
x ! R per m dispari
x per m pari
xm = )
x per m dispari
m
m
Graziano Donati
x =)
+x se x H 0
-x se x < 0
Casi particolari
0
1
m
m
x non ha significato
x=x
0 = 0 (con m ! 0)
1 = 1 (con m ! 0)
Proprietà di semplificazione
x n = mk x nk
m
x$m y =m x$y
m
x m x
= y
m
y
x $ m y = m xm $ y
x $ m y = m xm $ y
k
^m x h = m xk
k m
x = k$m x
x + x2 - y
+
=
+
x
y
2
x + x2 - y
x- y =
2
con: x H 0, m ! N, k ! N
con: x H 0 / y H 0
m
con: x H 0 / y H 0
6x, y ! R con m dispari
6x, y ! R 0+ con m pari
6x H 0
6x H 0
x - x2 - y
2
x - x2 - y
2
Funzione radice e suo grafico
Radicali aritmetici
3.0
3.0
2.5
2.5
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
2
2
2
4
6
8
2
4
6
8
10
10
Radicali algebrici
3.0
1.0
2.5
2.0
0.5
1.5
2
1
1
2
1.0
0.5
0.5
1.0
2
2
4
6
8
10
Nell'ambito dell'algebra, verranno utilizzati i radicali aritmetici, rinunciando così a trattare
radicandi negativi
120
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 15
Esponenziali e Logaritmi
I concetti di esponenziale e di logaritmo
Per capire il concetto di logaritmo di un numero, in una data base, è necessario rivedere la nozione da cui esso trae
origine: l'innalzamento a potenza, e la sua operazione inversa; la radice. Immaginiamo di avere un quadrato di lato l, e
di voler calcolare la sua area A. Dalla geometria elementare sappiamo che, l'area del quadrato è data dal valore del lato l
moltiplicato per se stesso, ovvero elevato alla seconda. Di conseguenza, conoscendo il valore dell'area A, è possibile
determinare la lunghezza del lato l, calcolando la radice quadrata dell'area A del quadrato.
&
A = l # l = l2
A
l= A
l
l
Allo stesso modo, immaginiamo di avere un cubo di lato l, e di voler calcolare il suo volume V. Dalla geometria
elementare sappiamo che, il volume del cubo è dato dal valore del lato l moltiplicato per se stesso tre volte, ovvero
elevato alla terza. Di conseguenza, conoscendo il valore del volume V, è possibile determinare la lunghezza del lato l,
calcolando la radice cubica del volume V del cubo
&
V = l # l # l = l3
l=3 V
l
V
l
l
Quindi:
Se:
Se:
y = x2
y = x3
&
&
x= y
x=3 y
In generale, risulta allora:
Se:
y = xn
&
x=n y
Da queste considerazioni si potrebbe affermare che la radice costituisce l'operazione inversa dell'elevamento a potenza
(quindi, la radice quadrata è l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato, la radice cubica è l'operazione inversa
dell'elevamento al cubo, la radice quarta è l'operazione inversa dell'elevamento alla quarta, ecc). Quindi, possiamo dire
che:
121
Corso di Matematica
Graziano Donati
La radice ennesima di un numero y, da come risultato quel numero x che elevato ad n fornisce proprio y.
E' però necessario sottolineare un fatto molto importante:
In realtà l'operazione di elevamento a potenza non ha una sola funzione inversa (cioè la radice), ma bensì due tipi di
operazioni inverse (la radice e il logaritmo), dipendentemente da come essa viene considerata.
Per chiarire questo concetto, facciamo il seguente esempio:
Esempio.
1 caso. La potenza vista come "potenza".
Consideriamo la seguente espressione:
x3 = 8
Vogliamo determinare quel numero incognito x (base della potenza) che elevato alla 3, da come risultato 8.
2 caso. La potenza vista come "esponenziale"
Consideriamo la seguente espressione:
2 x = 16
Vogliamo determinare quel numero incognito x (esponente della potenza) che dato alla base 2, da come risultato 16.
La soluzione del primo caso è semplice. Per trovare quella base x che elevata alla 3 da come risultato 8, è sufficiente
eseguire l'operazione inversa di elevamento al cubo (cioè la radice cubica) sul numero 8. Abbiamo cioè:
Se: x 3 = 8
&
x=3 8 =3
&
x=3
quindi, il numero 3 è il valore cercato dell'incognita x.
La soluzione del secondo caso, non può essere cercata mediante l'operazione di radice, come abbiamo fatto per il primo
caso, poichè ora l'incognita non è più la base, bensì l'esponente. Nel caso precedente cercavamo quella base x da dare
all'esponente 3 per ottenere 8, ora cerchiamo quell'esponente x da dare alla base 2 per ottenere 16 (cioè, un problema
completamente rovesciato). Questo tipo particolare di elevamento a potenza (quando la variabile incognita x è costituita
dall'esponente, anzichè dalla base è detta esponenziale, proprio per porre l'attenzione sul fatto che si tratta di una
"potenza" in cui l'incognita è costituita dall'esponente). Per ricavare l'esponente incognito x da dare alla base 2 per
ottenere 16, è necessario "inventare" una nuova funzione inversa di questo particolare tipo di potenza (anzi, di
esponenziale). Tale funzione inversa è detta Logaritmo in base 2 di 16. Cioè:
Se: 2 x = 16
&
x = log2 (16) = 4
&
x=4
quindi, il numero 4 è il valore cercato dell'incognita x.
Quindi, in generale:
Se:
&
y = ax
x = log a (y)
Cioè, se il numero y è dato dalla base a elevata all'esponente x, allora l'esponente x può essere ottenuto calcolando il
logaritmo in base a (base dell'esponenziale) del numero y. Quindi:
Il logaritmo in base a di un numero y, ci fornisce l'esponente x a cui devo elevare la base a, per ottenere proprio il
numero y.
Nella seguente tabella sono riassunte le definizioni formali di elevamento a potenza e relativa operazione inversa
(radice) e di esponenziale e relativa operazione inversa (logaritmo).
def
y = xn
+
x=n y
def
y = ax
+
122
x = log a (y)
Corso di Matematica
Graziano Donati
Perchè non si può calcolare il logaritmo di un numero negativo
Premessa importante. I matematici non sono riusciti a definire il concetto di potenza a base negativa, nel caso in cui
sia la base che l'esponente siano numeri reali (quindi, se sia la base che l'esponente sono numeri reali, ci dobbiamo
limitare a potenze a base rigorosamente positiva). Quindi:
Se:
y = ax
^ con: a ! R, x ! R h
&
a deve essere positivo
Detto questo, dimostriamo che non esiste il logaritmo di un numero negativo o nullo. Per la definizione di logaritmo
risulta:
y = ax
+
x = log a (y)
Ipotizziamo per assurdo, che y (argomento del logaritmo) sia un numero negativo. Allora:
y = ax
è un numero negativo
La base a e l'esponente x, possono essere in generale due numeri reali. Quindi, per la premessa che abbiamo fatto, la
base a deve essere un numero rigorosamente positivo (poichè le potenze a base reale ed esponente reale sono definite
solo per base positiva). Ma una potenza a base positiva fornisce sempre un risultato positivo (indipendentemente dal
valore e dal segno dell'esponente x). Ad esempio:
3 4 = 81 > 0
1
3 -2 = 12 = 9 > 0
3
2
5 3 = 3 5 2 = 3 25 > 0
3
1
1
2- 7 = 3 = 7 3 > 0
7
2
2
r
5 = 156, 99... > 0
1
3 -r = 31r = 31, 54... = 0, 031... > 0
come si vede, utilizzando una base positiva è praticamente impossibile (indipendentemente dall'esponente utilizzato)
ottenere un risultato negativo. Quindi, il valore di:
y = a x non può essere negativo
cioè:
y deve per forza essere positivo. Ovvero:
log a (y) può essere calcolato solo se y è positivo
In conclusione:
Il logaritmo può essere calcolato solo di numeri strettamente positivi; cioè:
log a (x)
x>0
Non esiste il logaritmo di un numero negativo
Non esiste il logaritmo di zero
Perchè non esiste il logaritmo in una base negativa
Dalla definizione di logaritmo, possiamo scrivere che
y = log a (x)
+
x = ay
Ipotizziamo per assurdo che la base a sia un numero negativo. Allora abbiamo:
y = log a (x)
a<0
+
x = ay
a<0
Ma abbiamo detto che le potenze a base ed esponente reale (come nel nostro caso) non sono definite per basi negative.
Quindi non può essere a<0. Di conseguenza deve essere:
a>0
Cioè:
123
Corso di Matematica
Graziano Donati
La base di un logaritmo deve sempre essere positiva
y = log a (x)
a>0
Non esiste il logaritmo in una base negativa
Perchè non esiste il logaritmo in base 1
Dalla definizione di logaritmo, possiamo scrivere che
y = log a (x)
+
x = ay
Ipotizziamo per assurdo, che la base a sia uguale ad 1. Allora risulta:
y = log1 (x)
+
x = 1y
Consideriamo adesso, due diversi valori della variabile x, chiamiamoli x1 e x2. Il logaritmo in base 1 di x1 darà come
valore y1 e il logaritmo in base 1 di x2 darà come valore y2. Poichè, per ipotesi x1≠x2 dovrà di conseguenza essere y1≠y2.
Cioè:
y1 = log1 (x1)
y2 = log1 (x2)
+
+
x1 = 1 y
x2 = 1 y
1
2
Poichè x1≠x2 dovrà essere y1≠y2.
Ma poichè, il numero 1 elevato a qualsiasi esponente da come risultato sempre 1, allora:
x1 = 1 y = 1 & x = 1 = x & x = x
1
2
1
2
2
x2 = 1 y = 1
1
Contraddicendo l'ipotesi
2
Ciò dimostra, che l'ipotesi assunta (base a del logaritmo uguale a 1) era un'ipotesi assurda. Cioè:
La base di un logaritmo deve sempre essere diversa da 1
a!1
y = log a (x)
Non esiste il logaritmo in base 1
Le condizioni fondamentali dei logaritmi
Riassumendo le condizioni che abbiamo ricavato precedentemente sui valori che possono assumere tutti i parametri
relativi ad un logaritmo, possiamo affermare che:
L'argomento di un logaritmo deve sempre essere un numero positivo (non esistono logaritmi di quantità negative o
nulle)
La base di un logaritmo deve sempre essere un numero positivo e diverso da 1 (non esistono i logaritmi in base negativa
o i logaritmi in base 1)
Il valore del logaritmo di un qualsiasi numero positivo, in una qualsiasi base positiva e diversa da 1, può essere positivo,
negativo o nullo.
Queste condizioni sono riassunte nello schema seguente:
può essere >0
Condizioni sui valori dei
parametri relativi al
logaritmo
log a (x) = y
può essere =0
può essere <0
deve sempre essere >0
deve sempre essere > 0 e ≠1
124
Corso di Matematica
Graziano Donati
Le basi fondamentali dei logaritmi
Ovviamente, possono esistere i logaritmi in un numero infinito di basi (sempre ovviamente positive e diverse da 1).
Possiamo quindi avere:
log 3 (x), log 27 (x), log 23 (x), log 2 (x), log r (x),
Le tre basi di logaritmi più utilizzate sono:
Logaritmo in base 10. Il logaritmo in base 10 è anche detto logaritmo di Briggs, ed è indicato semplicemente con il
simbolo Log (o alcune volte con Lg). Quindi:
log10 (x) = log(x)
Logaritmo in base 2. Il logaritmo in base 2 è anche detto logaritmo binario, ed è indicato semplicemente con il simbolo
Log2. Questo logaritmo è frequentemente utilizzato nella teoria statistica dell'informazione.
Logaritmo in base e. Il logaritmo in base e, è anche detto logaritmo Naturale o Neperiano, ed è indicato semplicemente
con il simbolo Ln. Questo logaritmo è frequentemente utilizzato nell'analisi matematica. Quindi:
log e (x) = ln (x)
In numero e è un numero irrazionale (con un numero infinito di decimali) al pari di π e il suo valore approssimato è:
e=2,71
Il valore esatto di e proviene dal calcolo del seguente limite (operazione del calcolo infinitesimale)
x
e = lim b1 + 1x l
x"3
PROPRIETA' DEI LOGARITMI
PROPRIETA' 1 Il logaritmo del prodotto di due o più numeri reali positivi x e y è uguale alla somma dei logaritmi dei
singoli fattori.
log a ( x ⋅=
y ) log a ( x ) + log a ( y )
Dimostrazione
Poniamo:
α = log a ( x )
β = log a ( y )
si ha per la definizione di logaritmo:
aα = x
aβ = y
Moltiplicando membro a membro queste due ultime uguaglianze otteniamo:
a α ⋅ a β =x ⋅ y
Per le proprietà delle potenze abbiamo:
aα +β = x ⋅ y
Per la definizione di logaritmo risulta:
aα +β = x ⋅ y
quindi:
Poichè
def
α + β =log a ( x ⋅ y )
⇔
α +=
β log a ( x ⋅ y )
α = log a ( x ) e β = log a ( y )
possiamo anche scrivere:
log a ( x ) + log a ( y ) =log a ( x ⋅ y )
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 2 Il logaritmo di una potenza ad esponente reale e base positiva è uguale al prodotto dell'esponente della
potenza per il logaritmo della base positiva:
log a ( x k ) = k log a ( x )
Dimostrazione
Poniamo:
125
Corso di Matematica
Graziano Donati
α = log a ( x )
si ha per la definizione di logaritmo:
aα = x
Elevando ambo i membri di questa uguaglianza alla potenza k, otteniamo:
(a )
α k
= xk
aαk = x k
ovvero
Da quest'ultima uguaglianza, per la definizione di logaritmo possiamo scrivere:
def
a α k =x k
Poichè avevamo posto
α = log a ( x )
α k =log a ( x k )
⇔
possiamo anche scrivere:
k log a ( x ) = log a ( x k )
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 3 Il logaritmo del quoziente di due numeri reali positivi x e y è uguale alla differenza tra il logaritmo del
dividendo e quello del divisore:
x
log=
a
 log a ( x ) − log a ( y )
 y
Dimostrazione
Possiamo ovviamente scrivere:
x
 1
1
log a  =
log a  x ⋅ =
log a ( x ⋅ y −1=
log a ( x ) + log a ( y −=
)
)


 y
 y
= log a ( x ) + ( −1) ⋅ log=
log a ( x ) − log a ( y )
a ( y)
Ovvero:
x
log=
a
 log a ( x ) − log a ( y )
 y
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 4 Il logaritmo di un radicale di indice m è uguale al quoziente del logaritmo del radicando per l'indice
del radicale:
log a
( x ) = m1 log ( x)
m
a
Dimostrazione
Possiamo ovviamente scrivere:
 m1  1
m
log
log
log a ( x )
=
x
=
a
ax 
  m
( )
dove l'ultima uguaglianza deriva dalla proprietà 3.
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 5 Il logaritmo di un radicale di indice m della potenza n-esima del numero positivo x è uguale al
prodotto del fattore n/q per il logaritmo del numero x:
log a
( x ) = mn log ( x)
m
n
a
Dimostrazione
Dato un numero positivo x, trasformando il radicale in potenza ad esponente razionale, abbiamo:
log a
( )
m
 n
x n = log a  x m 
 
Ma per la proprietà 2, possiamo anche scrivere:
( )
 mn  n
m n
log
=
x
log
=
log a ( x )
a
ax 
  m
e quindi:
126
Corso di Matematica
log a
Graziano Donati
( x ) = mn log ( x)
m
n
a
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 6 (Formula del cambiamento di base). Il logaritmo in base a di un numero positivo x è uguale al
rapporto tra il logaritmo in un'altra base b dello stesso numero positivo x, e il logaritmo in base b del numero a.
log a ( x ) =
log b ( x )
log b (a)
Dimostrazione
Per la definizione di logaritmo si ha:
=
y log a ( x )
1a,b)
def
⇔
=
x ay
Consideriamo la seconda uguaglianza 1b) e calcoliamo il logaritmo in una data base b di ambo i membri. Otteniamo:
log b ( x ) = log b ( a y )
Ma per la proprietà 2, abbiamo
log b ( a y ) = y log b ( a ) e quindi:
log b ( x ) = y log b ( a )
y = log a ( x ) possiamo anche scrivere:
log b ( x ) = log a ( x ) log b ( a )
Ma poichè, per la 1a) risulta
da cui:
log a ( x ) =
log b ( x )
log b (a)
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 7. Il logaritmo in base an di un numero positivo x è uguale al prodotto del fattore 1/n per il logaritmo in
base a dello stesso numero x. Cioè:
f(x)
2 0 & ) f(x) > 0 , ) f(x) < 0
g(x)
g(x) > 0 g(x) < 0
Dimostrazione
Dato un numero positivo x, per la proprietà precedente (cambiamento di base) risulta:
log a n ( x ) =
log a ( x )
log a ( a n )
Ma per la proprietà 2 risulta anche
log a n ( x ) =
log a ( x )
n log a ( a )
Poichè, sappiamo che
log a n ( x ) =
log a ( a n ) = n log a ( a ) e quindi:
log a ( a ) = 1 possiamo anche scrivere:
log a ( x )
n
ovvero:
log a n ( x ) =
1
log a ( x )
n
Con ciò, la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 8. Il logaritmo in base an di una potenza xm è uguale al prodotto del fattore m/n per il logaritmo in base a
dello stesso numero x. Cioè:
log a n ( x m ) =
m
log a ( x )
n
Dimostrazione
Dato il numero positivo x, per la proprietà precedente possiamo scrivere:
log a n ( x m ) =
1
log a ( x m )
n
127
Corso di Matematica
Ma per la proprietà 2 risulta
log a n ( x m ) =
Graziano Donati
log a ( x m ) = m log a ( x m ) e quindi:
m
log a ( x m )
n
Con ciò il teorema è dimostrato.
PROPRIETA' 9. Il logaritmo in base 1/a di un numero positivo x è uguale al negativo del logaritmo in base a dello
stesso numero x; cioè:
log 1 ( x ) = log a −1 ( x ) = − log a ( x )
a
Dimostrazione
Dato il numero positivo x, per la definizione di potenza ad esponente relativo, possiamo scrivere:
log 1 ( x ) = log a −1 ( x )
a
Per la proprietà precedente risulta log a −1 ( x ) =
log 1 ( x ) = log a −1 ( x ) = − log a ( x )
1
log a ( x ) e quindi:
−1
a
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 10. Il logaritmo in base a del reciproco del numero positivo x, è uguale al negativo del logaritmo in base
a del numero x. Cioè:
1
log a   = log a ( x −1 ) = − log a ( x )
x
Dimostrazione
Dato il numero reale positivo x, per la definizione di potenza ad esponente relativo, possiamo scrivere:
1
log a   = log a ( x −1 )
x
−1
Per la proprietà 2 risulta log a ( x ) = ( −1) log a ( x ) e quindi:
1
log a   = log a ( x −1 ) = − log a ( x )
x
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 11. Il logaritmo in base 1/a del reciproco del numero positivo x, è uguale al logaritmo in base a del
numero positivo x; cioè:
1
log 1   log
x −1 ) log a ( x )
=
=
a −1 (
a  x
Dimostrazione
Dato il numero reale positivo x, per la proprietà 9, possiamo scrivere:
1
1
log 1   = − log a  
x
a  x
Ma per la proprietà 10 risulta
1
log a   = − log a ( x ) e quindi:
x
1
log 1   =− ( − log a ( x ) )
a  x
da cui:
1
log 1   = log a ( x )
a  x
Con ciò la proprietà è dimostrata.
128
Corso di Matematica
Graziano Donati
PROPRIETA' 12. Il logaritmo in base a del numero positivo x, è uguale al reciproco del logaritmo in base x del
numero a. Cioè:
log a ( x ) =
1
log x (a)
Dimostrazione
Dato un numero reale positivo x, per la proprietà 6 (formula del cambiamento di base) possiamo scrivere:
log a ( x ) =
log x ( x )
log x (a)
log x ( x ) = 1 otteniamo:
1
log a ( x ) =
log x (a)
Poichè
Con ciò la proprietà è dimostrata.
PROPRIETA' 13. Qualunque numero x, può sempre essere scritto come:
x = log a a x
Dimostrazione
Per la proprietà 2 possiamo scrivere:
log a a x = x log a a
Ma
log a a = 1 quindi:
log a a x = x
Con ciò la proprietà è dimostrata.
Tabella Delle Proprietà dei Logaritmi
log a ^ x $ y h = log a (x) + log a (y)
1
log a (x) = n log a (x)
m
log a (x m) = n log a (x)
log 1a (x) =- log a (x)
1
log a b x l =- log a (x)
1
log 1a b x l = log a (x)
1
log a (x) =
log x (a)
n
x
log a ` y j = log a (x) - log a (y)
n
log a ^ x n h = n $ log a ^ x h
1
log a ^ m x h = m log a ^ x h
n
log a ^ m x n h = m log a ^ x h
logb (x)
log a ^ x h =
logb (a)
Inoltre:
Ogni numero x può sempre essere scritto come: )
129
x = log a a x
x = a log (x)
a
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
1. Questionario
a. Dare la definizione di logaritmo
b. Esiste il logaritmo di un numero negativo?
c. Esiste il logaritmo di zero?
d. Esiste il logaritmo in base 1?
e. Esiste il logartmo in base negativa?
f. Qual'è la differenza tra potenza ed esponenziale?
g. Qual'è l'operazione inversa della potenza?
h. Qual'è l'operazione inversa dell'esponenziale?
2. Completare le seguenti frasi
a. Non si può parlare di logaritmo di un numero rispetto alla base 1, perchè ...
b. Non si può parlare di logaritmo in base 0 di un numero, perchè ...
c. Non si può parlare di logaritmo in una base negativa di un numero, perchè ...
d. Non esiste il logaritmo di un numero negativo, perchè ...
e. Non esiste il logaritmo di zero perchè ...
f. Il logaritmo del numero 1 è ... perchè ...
g. Esistono ... sistemi di logaritmi perchè ..., in pratica ne sono usati prevalentemente ..., e cioè ...
Basandosi sulla definizione di logaritmo, calcolare i seguenti logaritmi
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
log2 ^ 8 h
log2 ^64 h
1 l
log2 b 32
log2 ^ 0, 25 h
63; 6; - 5; - 2@
log9 ^ 3 h
log8 ^ 2 h
log9 ^27 h
log8 ^128 h
:1 ; 1 ; 3 ; 7 D
2 3 2 3
6-4; - 3; 2; 3@
log3 ^ 9 h
log 12 ^16 h
log8 ^32 h
1
log3 b 9 l
1
log2 b 8 l
16
log 23 b 81 l
11.
log 3 ^243 h
12.
log 2 ^ x h = 3
log3 ^27 h
log 13 ^27 h
1
log 15 b 625 l
log0,2 ^ 0, 008 h
1
log3 b 81 l
log3 b 19 l
log 12 ^ 0, 25 h
log 73 ^1 h
log36 ^ 6 h
log0,5 ^ 0, 125 h
log 19 ^ 3 h
l
log 25 b 25
4
log x ^ x 2 h
log0,5 ^ 0, 25 h
log2 ^ 0, 0016 h
log a c 1 m
a
Determinare il numero x, conoscendone il logaritmo in data base:
13.
14.
15.
16.
17.
18.
3 log ^ 37 h
3
log 32 ^ x h = 1
log5 ^ x h = 3
1
log 15 ^ x h = 2
log 54 ^ x h =- 1
log0,2 ^ x h = 2
5
log 23 ^ x h = 2
log7 ^ x h =- 2
log 12 ^ x h = 2
log8 ^ x h =- 2
3
log 94 ^ x h = 2
2
log 2 ^ x h =- 3
log 13 ^ x h =- 2
log0,5 ^ x h = 34
log 34 ^ x h = 3
log3 ^ x h = 4
log0,2 ^ x h = 4
log 32 ^ x h =- 2
log2 ^ x h = 4
2
log 12 ^ x h =- 3
log 13 ^ x h =- 2
log 2 ^ x h = 2
3
4
log 3 ^ x h = 3
Determinare la bese dei seguenti logaritmi
19.
log a ^ x h = 2
130
62; 3; - 2; - 4@
: 5 ; 4; 0D
3
:-2; 3; - 1 D
2
:-3; 1 ; 2D
2
64; - 2; 4@
:10; 2; 37; - 1 D
2
68; 81; 125@
1 ; 5F
< 3 1 ; 625
5
4
69; 1, 5; 0, 8@
4
: 1 ; 4 ; 16D
8 9
1
: ;4 2; 1 D
25 9 3 49
: 27 ; 9; 3 4 D
64
1
: ; 1 ; 81 D
4 4 16
7a; 3 9 ; 3 2 A
Corso di Matematica
log x ^64 h = 6
20.
1
log x b 16 l =- 2
21.
log x ^ 0, 00032 h = 5
22.
Graziano Donati
log x ^81 h = 4
log x ^ 8 h = 3
2
64
log x b 27 l = 3
log x b 19 l = 2
log x ^ 3 16 h = 2
log x ^16 h =- 4
16
9l= 2
log x ^ 5 16 h = 54
log x b 81 l = 4
4
3
4
1
log x ^10 8 h =- 0, 3
log x ^3 3 3 h = 3
24.
log x ^ 3 25 h = 6
5
3
2
81 l
49 l =- 2
1
log
log
25.
log x b 64 l =- 6
xb
xb
5
16 =- 3
25
26. Calcolare il logaritmo in base 2 dei seguenti numeri:
2 2
1
2, 4, 8, 16, 2, 3 2 , 1, 12 , 14 , 18 , 16
, 2 2, 4 2, 2 , 4
27. Calcolare il logaritmo di 64 nelle basi seguenti: 2, 4, 8, 16, 32, 64
28. Determinare i logaritmi in base 3, dei seguenti numeri:
1
9
1
,
, 3 3 , 2187, 1
1, 9, 19 , 27, 13 , 3 , 3 9 , 729,
3 3
3 4 3
3
29. Calcolare il valore dei seguenti logaritmi in base 8:
1
1
1
log8 ^ 2 h, log8 ^ 4 h, log8 ^ 8 h, log8 b 2 l, log8 b 4 l, log8 b 8 l
30. Calcolare il logaritmo in base 1/2 dei seguenti numeri:
1
1, 12 , 14 , 18 , 16
, 2, 4, 8, 16
31. Calcolare il logaritmo in base 10 dei seguenti numeri:
10, 1000, 3 10 , 3 100
32. Calcolare il logaritmo in base 5/2 dei seguenti numeri:
5l
4 b
2
5 , 6, 25, 1, 25 , 15 + 8
33. Trovare il numero il cui logaritmo in base a è uguale ad a
[aa]
34. Determinare:
68@
a) 2 log (8)
log x b
23.
3
2
61/3@
6? @
b) 3 -log (3)
c) 3 -log (7,5)
d) 25 log (3)
log (1)
e) b 12 l
2
f) ^2 log (5) h
g) 3 3log (2)
3
3
69@
5
6? @
1
2
2
3
h) 25 -log (10)
i) 49 0,5log (0,25)
5
7
l) 2 2 -log (5)
m) 5 log (10) - 2
n) 2 2log (5) + log (3)
o) ^3, 6 hlog (10) + 1
1
p) 8 log ( 121) + 3
2
q) 27 log ( 12) - 3
2
5
2
2
3,6
2
3
3
3
6? @
68@
61/100@
61/4@
64/5@
636@
675@
636@
6242@
64/3@
131
62; 3; 4@
:4; 3 4 ; 4 D
3
:1 ; 1 ; 1 D
5 2 3
: 3 ; 2 ; 2D
2 3
:625; 3; 1 D
2
:2; 5 ; 4 D
7 9
Corso di Matematica
Graziano Donati
Applicando i teoremi sui logaritmi, trasformare, se è possibile, le seguenti espressioni in somme algebriche,
qualunque sia la base
35.
36.
37.
38.
log ^6xyz h
log 6a ^ x 2 - 1 h@
x2 - y2
log 2xy
log 62a3@
log 63a ^ c + d h@
1D
log : ab
3 ^ a2 - b 2 h x
log x + y
log 6^ a + b h^ m + n h@
ab - cd
log mn
- pq
log ^ a2 - b 2 h
log 5mx 2
1-m
log 6ab 2@
log 6^ ab h2@
log 17
log 60, 1@
log 6^ a + b h3@
log 65a2 x 3@
39.
log 12
log 13
40.
log 2
3
log 72
log 73
41.
2 5
log b 3 $ 7 l
2 4
3 3
log :b 11 l ' b 7 l D
log 65x 2 y@
42.
log
43.
log ^16a3 b 2 c h
44.
log
45.
ab 3
c2
a3 b 4 c
d3 e 4 l3
^ x + y h^ y + z h
log
x+z
a2 3
log b b l
log 14
1
3a2 b 2 c 4
a2 - b 2
log 3
a + 8b 3
log
1
2a3 b 4 c 2
4a2 b 4 c 5
log
3
xy 2 z3
ab
a2 3 a2 b 3
3a2 b
log
a6 b
2b 2 a
Ridurre le somme in un unico logaritmo, qualunque sia la base:
46.
47.
48.
49.
50.
51.
3y 2
log 2x
3
ab
log
c2
log 3xy
log 6 a3 bc 4 d @
log 3
8
log 2a 2
2bx
log
x y
log ^ xy h + log b y - x l
4 log x - 3 log y
log x - log y + log ^ x + y h
1
^
h
^
h
2 log 2 a - 1 - log 4 - log a + 1
x 3 x 3 y 3 xy 2
log
3
xy 2
^3a - b h5 $ 4 b 2 + c
3
log
3a2 b c
3 log x + 12 log y
log ^ a3 - b 3 h - log ^ a - b h
log 5 - log ^2a - 3 h
1
1
2 log ^7a - 2 h - 2 log ^6a + 1 h
log a + 1x log a - 1y ^ log a + log b h
2 log 3 - 13 b 2 log 5 + 12 log 7 l
2 log ^5 - a h + log ^35 + 3a h
2
3
b3
l
3 log a - 2 log b + 4 log c
1
1^
53.
5 2 log a + 3 log b h - 2 6log ^ a + b h + log ^ a - b h@
1
1:
1
b
lD
^
h
54.
3 log a + 3 log a - b - 2 log b + 3 log 3
1
55.
log ^ a + b h + 2 log a - 2 6log ^ a - b h + 3 log b@
1
1
56.
2 log ^ x - y h - 2 log ^ x + y h - 2 log ^ x 2 - xy + y 2 h
57.
x log x - log 6log x@
Applicando i teoremi inversi sui logaritmi, ricavare il valore della x dalle seguenti eguaglianze
6 x = ab@
58. log ^ x h = log ^ a h + log ^ b h
8x = ab B
59. log ^ x h = log ^ a h - log ^ b h
52.
132
Corso di Matematica
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
Graziano Donati
6x = a $ 3 b @
1
1
log ^ x h = 2 log ^ a h + 3 log ^ b h
1
1
log ^ x h = 2 log ^ a h - 3 log ^ b h
1
log ^ x h = 2 log ^ a h + 2 log ^ b h + 3 log ^ c h
2
1
log ^ x h = 2 log ^ a h + 2 log ^ b h - 3 log ^ c h
<x =
3
a
F
b
6x = a2 c3 $ b @
<x =
log ^ x h = log ^ a + b h - log ^ a - b h
log ^ x h = 2 log ^ a h + 12 ^ log ^ b h + log ^ c hh - 5 log ^ c h
log ^ x h = log ^ a h + 12 & log ^ a h + 14 :log ^ a h + 13 b log ^ a h + 12 log ^ a h lD 0
a2 b
F
3
c2
:x = a + b D
a-b
a2 bc
;x =
E
c5
8x = a a 4 a 3 a a B
a $ 3 b ^a + b h
<x =
F
log ^ x h = 13 log ^ a + b h - 2 log ^ a2 + b 2 h + 12 log ^ a h + 13 log ^ b h
^ a2 + b 2 h2
Utilizzando la calcolatrice scientifica, calcolare i logaritmi in base 10 dei seguenti numeri:
68.
200
2
0, 2
0, 002
69.
1, 7
0, 81
0, 0083
743
70.
9, 81
0, 00909
2728
31, 18
71.
0, 004299
0, 07089
15923
127, 48
72.
0, 479489
1, 00081
2, 000739
28, 4715
73.
33, 66988
15, 279
0, 0034218
4975, 39
Utilizzando la calcolatrice scientifica, calcolare i logaritmi in base e dei seguenti numeri:
74.
2
0, 2
200
0, 002
75.
1, 7
0, 81
0, 0083
743
76.
9, 81
0, 00909
2728
31, 18
77.
0, 004299
0, 07089
15923
127, 48
78.
0, 479489
1, 00081
2, 000739
28, 4715
79.
33, 66988
15, 279
0, 0034218
4975, 39
Utilizzando la calcolatrice scientifica, calcolare i logaritmi in base 2 dei seguenti numeri:
2
0, 2
200
80.
0, 002
81.
1, 7
0, 81
0, 0083
743
82.
9, 81
0, 00909
31, 18
2728
0, 07089
15923
0, 004299
127, 48
83.
84.
0, 479489
1, 00081
2, 000739
28, 4715
85.
33, 66988
15, 279
0, 0034218
4975, 39
67.
133
Corso di Matematica
Graziano Donati
134
Corso di Matematica
Graziano Donati
Cap 16
La Funzione Esponenziale e Logaritmica
La funzione esponenziale
Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo :
y = a x , con a > 0 fissato,
x ∈ R.
Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R . Il codominio, cioè l'insieme
dei valori che la funzione assume è R+ (la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva).
Si distinguono tre casi:

a >1 :
funzione crescente :
x > y ⇒ ax > ay ;

a =1 :
funzione costante :
a x = 1 per ogni x ∈ R ;

0 < a <1 :
x
y
funzione decrescente : x > y ⇒ a < a .
I seguenti grafici illustrano il comportamento della funzione esponenziale nei vari casi :
Di seguito sono riportati i grafici della funzione esponenziale y=ax (nel caso in cui sia a>1 e nel caso in cui sia 0<a<1)
Grafico della funzione esponenziale y=ax (a>1)
La funzione y=ax (a>1) è definita per tutti i valori reali
(cioè, il suo campo di esistenza è tutto R). E' una
funzione crescente in senso stretto. Per x negativo ha un
valore positivo sempre compreso tra 0 ed 1. Per x =0 vale
esattamente 1 e per x positivo ha valori compresi tra 1 e
+∞. Quando x tende a -∞, il valore della funzione si
avvicina indefinitamente all'asse x senza mai toccarlo. La
funzione è sempre positiva
7
6
5
4
3
2
1
2
1
1
2
Grafico della funzione esponenziale y=ax (0<a<1)
La funzione y=ax (0<a<1) è definita per tutti i valori
reali (cioè, il suo campo di esistenza è tutto R). E' una
funzione decrescente in senso stretto. Per x negativo ha
un valore positivo sempre compreso tra 1 e +∞ 1. Per x
=0 vale esattamente 1 e per x positivo ha valori compresi
tra 0 e 1. Quando x tende a -∞, il valore della funzione
diventa infinitamente grande, quando x tende a +∞ il
valore della funzione si avvicina indefinitamente all'asse
x senza mai toccarlo. La funzione è sempre positiva
7
6
5
4
3
2
1
2
1
1
2
135
Corso di Matematica
Graziano Donati
La funzione logaritmica
Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo :
y = loga x , con a > 0 e a ≠ 1 fissato,
x∈ R+.
La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio
risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale.
Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R+ ;
il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R .
Si distinguono due casi:
x > y ⇒ loga x > loga y ;

a >1 :

0 < a < 1 : funzione decrescente : x > y ⇒ loga x < loga y ;
funzione crescente :
I grafici della funzione logaritmi
Di seguito sono riportati i grafici della funzione esponenziale y=ax (nel caso in cui sia a>1 e nel caso in cui sia 0<a<1)
1
2
1
1
2
3
4
5
1
Grafico della funzione logaritmica y=loga(x) (a>1)
La funzione y=loga(x) (a>1) è definita per tutti i valori
di x strettamente positivi. E' una funzione crescente in
senso stretto. Per x compreso tra 0 ed 1 assume tutti i
possibili valori compresi tra -∞ e 0, per x =1 vale
esattamente 0 e per gli x maggiori di 1 assume tutti i
possibili valori compresi tra 0 e +∞.
2
2
1
2
1
1
2
3
4
5
Grafico della funzione logaritmica y=loga(x) (0<a<1)
La funzione y=loga(x) (0<a<1) è definita per tutti i valori
di x strettamente positivi. E' una funzione decrescente in
senso stretto. Per x compreso tra 0 ed 1 assume tutti i
possibili valori compresi tra 0 e +∞, per x=1 vale
esattamente 0 e per gli x maggiori di 1 assume tutti i
possibili valori compresi tra 0 e -∞.
1
136
Corso di Matematica
Graziano Donati
Esercizi
Determinare l'insieme di esistenza delle seguenti funzioni logaritmiche
6 x > 0@
:x > 1 D
3
6 x > 0, con x ! 1@
1. f (x) = 1 - log (x)
2. f (x) = log ^3x - 1 h + 2 log ^ x + 1 h
3. f (x) = log x (2)
4. f (x) = log ^ log ^ x + 2 hh
5. f (x) = log (- x)
6. f (x) = log ^ 4 - x h
7. f (x) = log2 (x 2 - 4)
8. f (x) = log 12 ^3 - x 2 h
9. f (x) = log5 (x 2)
10. f (x) = log ^ x h
11. f (x) = log (x 2 + 2x)
+
12. f (x) = ln 22 - xx
6 x > - 1@
6x < 0@
6 x < 4@
6 x < - 2, x > 2@
6- 3 < x < 3 @
6 x ! 0@
6 x > 0@
6 x < - 2, x > 0@
6-2 < x < 2@
6 x > 4@
13. f (x) = log2 ^ log3 ^ log 4 x hh
ln ^1 + x h
14. f (x) = x - 1
15. f (x) = log x - 2x + 1 ^ 4 h
6-1 < x < 1; x > 1@
6R - " 0, 1, 2 ,@
2
:x < - 1; x > 7 D
3
6R@
:x ! 1 D
2
6 x < - 2, - 1 < x < 1, x > 2@
16. f (x) = log ^3x 2 - 4x - 7 h
17. f (x) = log ^ x 2 + x + 1 h
18. f (x) = log ^ 4x 2 - 4x + 1 h
19. f (x) = log ^ x 4 - 5x 2 + 4 h
20. f (x) = log 3 x 2 - x - 2
1
21. f (x) = log 2
x +1
1
22. f (x) = log 2
x -1
6 x < - 1, x > 2@
6R@
6 x > 1@
Costruire il grafico delle seguenti funzioni logaritmiche
23. y =- log ^ x h
24. y = log3 ^ x - 1 h
25. y = log 12 ^ x - 1 h
y = log ^1 + x h
y = ln ^ x 2 h
y = ln x
Risolvere le seguenti equazioni esponenziali
1. 6 x = 36
2. 4 x = 8
3. 27 x = 81
4. a x + 2 = a5
5. a 4 - x = a2
6. a x = 1
7. 8
2x + 12
3x
= 4 32
10. a 4 - 3 = 5 a x + 1
8. 16
x
2 -1
= 5 128
9. a0,1x = a3
11. a15 $ a^ x - 1 h^ 5x - 1 h = a x - 8 $ a^ x - 2 h^ 5x - 7 h
137
:2; 3 ; 4 D
2 3
63; 2; 0@
:- 1 ; 27 ; 27 D
24 10 2
64
: , - 1D
11
Corso di Matematica
12. 8
x +1
= 64
15. 9
x -2
= 81
Graziano Donati
13. 16
x -1
=8
4x -5
61, 1@
6-3; - 1@
61, 4@
24. 8 x $ 4 3x = 16 x + 5
6-7; - 2@
3 3x -11 = b 5 l3 - 7x
26. b 5 l
3
2
28. 3 x -1 $ 3 x +2 $ 3 x - 3 =
27. 4 x -6 = 64
3
:!3, 13 D
18
3
3
2
2
30. 7 x -8x -9 = 1
29. 3 2x -7x -6 = 27
x +1
31. 5 $ 125 x +2 = 3125
5
2x + 1
33. 8 = 0, 125 4 - 3x
32. 3 5 $ 9
2x +10
x -7
= 27
2x +34
x -3
34. 0, 510x - 9 = 2 3 - 13x
4x
36. 8 -x = 32
35. 16 x = 0, 25 x - 6
Risolvere le seguenti equazioni esponenziali
37. 2 x +3 + 2 x = 144
38. 3 = 270 - 3
:6, - 7 D
2
6-2; - 1@
2x +1
1 -x
16. 4 x -1 = 8 $ x2+1
64
8
18. 100 2x = 0, 0001
2 -3x 27
20. b 3 l = 8
1
22. 3 3x = 27
17. 10 x = 0, 01
5 2x 25
19. b 3 l = 9
21. 2 x = 18
1
23. 9 -2x = 81
4 7
3 x
25. b 4 l = b 3 l
x
:3; 29 ; 2 D
20 3
14. 100 x -1 = 10 x -2
x -2
611; - 2@
66; 1@
64@
65@
6-1@
4
39. 5 3x + 1 - 9 $ 5 3x - 1 = b 52 l
62@
40. a2x - 1 + a2x + 1 = a3 + a5
60@
41. 2 x - 2 x -3 - 2 x -4 + 2 x -5 + 2 x -6 = 55
64
x -2
x
42. b 38 l - 3 3x = 13
2
61 @
:1 D
2
60@
6-3@
43. 5 2x + 1 + 25 x + 1 = 5 2x - 1 + 149
44. 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 2 = 5 x + 2 - 2 $ 5 x + 1 - 2 $ 5 x
45. 8 $ 2 x = 81 $ 3 x -1
60@
62@
6-1@
65@
3 x +1 + 7 x = 3 x + 3 $ 7 x
2 3x -2 - 2 3x -3 - 2 3x -4 = 4
7 $ 3 x +1 - 5 x +2 = 3 x +4 - 5 x +3
9 2x -3 - 9 2x -2 = 3 3x -1 - 3 3x +1
50. 2 $ 9 x +1 - 3 $ 4 x = 6 $ 4 x +1 + 6 $ 9 x
Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche
46.
47.
48.
49.
61 @
610@
:5 D
4
64@
:4D
3
1. log ^ x - 9 h + log ^ x h = log ^10 h
2. log ^2x + 1 h - log ^ 2 h = log ^3 - x h
3. log ^ 3 h + log ^ x h = log ^12 h
4. log ^ x h + 12 log ^16 h = log ^ x + 4 h
138
: 9 , - 1; 9, - 1D
2
:- 3 ; 11, 23D
8
Corso di Matematica
Graziano Donati
66@
68@
621@
5. log ^7 - x h - log ^2x 2 - 11x h =- log ^ x h
6. 2 log ^ x h = 3 log ^ 4 h
7. log ^ x - 16 h = log ^105 h - log ^ x h
1
8. log ^1 - x 2 + 2 h = 2 log ^3x + 7 h
9. log ^ x h - log ^ x - 1 h = log ^ 7 h - log ^ 6 h
10. log ^ x h + log ^ 4 h - log ^ x - 1 h = log ^ 5 h
6-2@
67@
65@
: 19 D
5
64@
: 19 D
5
11. log ^5 - x h + log ^ 3 h = log ^ 2 h + log ^ x - 2 h
12. log ^ x h - 2 log ^ x - 1 h = log ^ 4 h - log ^ 9 h
13. log ^ x - 2 h + log ^2x - 3 h = 2 log ^ x h
6 x 3 = a2@
14. 13 log ^ x h = 2 log ^ a h
1
15. log ^ 2 h + log ^ x h = 2 log ^ 4x - 15 h
16. log ^35 - x 3 h = 3 log ^5 - x h
17. log ^2x h - log ^2x - 1 h = 3 log ^ 2 h - log ^ 7 h
18. log ^ x - 1 h - log ^ x - 2 h = log ^ x - 4 h - log ^ x - 6 h
19. log ^ 2 h + 2 log ^3x - 2 h - log ^13 h = log ^6x - 4 h
log ^ x h + log ^2x - 1 h - log ^2x + 5 h = log ^ 3 h
log ^ x 2 - 7x + 110 h = 2
log ^ x 2 + 3x + 36 h = 1 + log ^ x + 3 h
log ^ x 2 + 3 h - 2 log ^ x h - log ^ 2 h = log ^ 4 h - log ^ x 2 - 3 h
24. log x + 1 + log x - 1 = 2 - log ^ 2 h
20.
21.
22.
23.
25. log ^5x h + log ^2x + 3 h = 1 + 2 log ^3 - x h
26. 2 log ^ x - 7 h - log ^ x + 1 h = 1
27. x log ^ x h - log ^ x h = log ^ 2 h
28. log ^ x h + log ^2x h + log ^ 4x h =- 3
29. log ^16x h - log ^2x h + log ^3x h = log ^ 9 h + log ^ 4 h - log ^ 6 h
1
30. log 4x 2 + 3x + 4 - log x 2 - x + 1 = 2
139
:9D
2
62, 3@
64@
6 Impossibile@
65@
65@
62, 5@
61, 6@
63@
6 5@
:6 D
5
612 + 105 @
62@
:1 D
20
1
: D
4
:3 , 2D
2 3