equazione delle onde

PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
STEFANO SIMONUCCI
Sommario. Il modulo di 6 crediti (circa 52 ore) tratta argomenti dei fenomeni
ondulatori di vario tipo: onde meccaniche, elettromagnetiche, onde di materia
o probabilità.
Esso è rivolto agli studenti del Corso di Laurea in Fisica e
viene tenuto nel secondo semestre dell' anno accademico 2015/2016. Il testo
di riferimento è: Fisica vol. II di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci.
Gli argomenti citati nel programma non ricalcano esattamente i paragra
del libro di testo.
Cenni sugli strumenti matematici necessari
Algebra lineare. Numeri complessi. Derivate, integrali e equazioni dierenziali
delle funzioni di una variabile. Funzioni di più variabili. Derivate parziali e integrali
multipli. Equazioni dierenziali alle derivate parziali.
1. Onde nei mezzi elastici: equazione delle onde
In generale si denisce come onda una qualsiasi perturbazione, impulsiva o pe-
1
riodica, che si propaga con velocità ben denita
. Ci sono molti tipi di onde: o
onde sonore, sismiche, onde sulla supercie di un liquido, onde elettromagnetiche,
onde gravitazionali e così via.
Formalmente le onde sono perturbazioni dall' equilibrio di un campo.
pi possono essere di molti tipi.
I cam-
Il luogo o l' oggetto da cui viene prodotta la
perturbazione viene detto sorgente.
1.1.
Campi scalari e vettoriali.
ogni punto dello spazio tempo (R
3
In generale un campo sarà una funzione che ad
×R
) associa una grandezza sica
Φ : R3 × R → G
dove
G
rappresenta l' insieme dei valori che può assumere la grandezza sica in
questione. A seconda del tipo di grandezza possiamo avere vari tipi di campo
1.1.1.
Campo scalare:
Φ : R3 × R → R
ossia
Φ(x, y, z, t)
è una grandezza scalare.
Esempi di campi scalari le mappe di
temperatura, di pressione, di densità e così via.
1P.
Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica volume II, Elettromagnetismo e onde - Seconda
edizione - p.449
1
PROGRAMMA DEL CORSO DI
1.1.2.
Campo vettoriale.
FENOMENI ONDULATORI
2
A : R3 × R → R3
ossia
Ax (x, y, z, t)
,
Ay (x, y, z, t)
,
Az (x, y, z, t)
Esempi di campi vettoriali possono essere le mappe della velocità del vento,
oppure il campo elettrico o gravitazionale.
Esistono anche campi con più componenti ossia i campi tensoriali.
Il campo
gravitazionale relativistico ad esempio è un campo a 10 componenti, mentre il
campo elettromagnetico relativistico è a 6 componenti (3 per il campo elettrico e 3
per il campo magnetico).
1.2.
Equazione delle onde.
1.2.1.
Equazione delle onde in una dimensione.
Data una grandezza scalare
ξ
in
una dimensione spaziale abbiamo
1 ∂2ξ
∂2ξ
= 2 2
2
∂x
v ∂t
v
dove
è la velocità di propagazione dell' onda.
Le soluzioni sono del tipo
ξ(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
con
f
e
g
arbitrarie
funzioni di una variabile.
1.2.2.
Equazione delle onde in più dimensioni.
∂2ξ
∂2ξ
1 ∂2ξ
∂2ξ
+ 2+ 2 = 2 2
2
∂x
∂y
∂z
v ∂t
(1.1)
1.3.
Onde armoniche.
Le soluzioni generali sono più complicate. Possiamo allora
cercare soluzioni separabili
ξ(x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t)
per la (1.1). Otteniamo così
X 00
Y 00
Z 00
1 T 00
+
+
= 2
X
Y
Z
v T
T 00
X 00 Y 00 Z 00
X , Y , Z e T devono essere costanti. Nel caso in cui si
cerchino soluzioni in tutto lo spazio si devono escludere i casi che portano ad onde
X 00 Y 00 Z 00
T 00
esplosive, ossia
X , Y , Z e T devono essere costanti negative
Y 00
Z 00
T 00
X 00
= −kx2 ,
= −ky2 ,
= −kz2 ,
= −ω 2
da cui discende che
X
Y
Z
T
ossia le soluzioni separabili sono del tipo onda piana
~
e±i(k·~r−ωt)
Una soluzione generale si potrà dunque scrivere come sovrapposizione di onde piane
armoniche. Il laplaciano
sferiche
∇2 =
∇2 =
∂2ξ
∂x2
2
2
∂ ξ
∂ ξ
+ ∂y
2 + ∂z 2
può essere scritto anche in coordinate
1 ∂ 2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
r
+
sin
θ
+
2
r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ
∂θ r2 sin θ ∂φ2
o cilindriche
∇2 =
1 ∂ ∂
1 ∂2
∂2
r
+ 2 2+ 2
r ∂r ∂r r ∂φ
∂z
per studiare le onde cilindriche o sferiche.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
3
Propagazione di un' onda longitudinale o trasversale in una sbarra
elastica. Sia ξ lo spostamento di un punto della sbarra rispetto alla posizione di
1.4.
equilibrio,
S
la sezione della sbarra e
per la legge di Hooke.
E
il modulo di Young
∂ξ
1F
∂ξ
=
=⇒ F (x) = ES
∂x
ES
∂x
Quindi per un tratto di sbarra dx
la forza totale agente sul
tratto è
F (x + dx) − F (x) = ES
∂2ξ
dx
∂x2
e per la seconda legge della dinamica
F (x + dx) − F (x) = dm
∂2ξ
∂2ξ
=
ρS
dx
∂t2
∂t2
Abbiamo così
∂2ξ
∂2ξ
=ρ 2
2
∂x
∂t
q
E
v=
ρ.
E
che è un equazione delle onde con
1.5.
Propagazione di un' onda trasversale in una corda tesa.
lo spostamento
ξ
segmento di lunghezza
dx
dipende dalla inclinazione (piccola) che ha il tratto di
corda rispetto alla direzione all' equilibrio.
adiacente è
In questo caso
è trasversale rispetto alla corda. La forza agente su un singolo
∂ξ
F (x) = T ∂x
.
La forza
F (x)
dovuta al segmento
Poichè il segmento è tirato dalle parti di corda adiacenti,
la forza totale (trasversale) dipende dalla variazione della inclinazione della corda
F (x + dx) − F (x) = T
∂2ξ
dx
∂x2
Come nel caso di un' onda longitudinale dalsecondo principio ricaviamo
dm
Denotando con
ρl =
dm
dx la massa per unità di lunghezza abbiamo
che coincide con l' equazione
1.6.
∂2ξ
∂2ξ
= T 2 dx
2
∂t
∂x
ρl ∂ 2 ξ
∂2ξ
=
2
∂x
T ∂t2
q
T
delle onde se v =
ρl
Energia cinetica e potenziale di un' onda in un mezzo elastico.
L'
dx è data da
2
2
dm ∂ξ
ρS
∂ξ
=
dx
2
∂t
2
∂t
energia cinetica di un elementino
di modo che l' energia per unità di volume è data da
ρ
2
∂ξ
∂t
2
Per quanto riguarda l' energia potenziale ricordando che l' energia potenziale di una
molla è
1
2
2 k∆l . Ricordando che
E=
F l
S ∆l
=
kl
S , nel nostro caso abbiamo
k=
ES
l e
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
ESl
∆l
2
2l2 ∆l e inne osservando che nel nostro caso l
che l' energia per unità di volume è
quindi l 'energia è
E
2
∂ξ
∂x
=
4
∂ξ
∂x abbiamo
2
L' energia totale è quindi
ρ
2
1.7.
∂ξ
∂t
2
E
+
2
∂ξ
∂x
2
Potenza trasmessa e intensità di un' onda.
1.7.1.
Onda in un mezzo elastico.
potenza assorbita è
F
dx e massa dm
∂ξ
. La
F = −ES ∂x
Dato un elemento di lunghezza
la somma delle forze agenti sulla massa dalla parte sinistra è
per la velocità
∂ξ
∂t ossia
P = −ES
∂ξ ∂ξ
∂x ∂t
La potenza per unità di supercie cioè l' intensità sarà
I = −E
Nel caso in cui
∂ξ ∂ξ
∂x ∂t
ξ(x, t) = f (x − vt)
∂ξ
∂ξ
= −v
∂t
∂x
e quindi
ρ
u=
2
∂ξ
∂t
2
E
+
2
∂ξ
∂x
2
=E
∂ξ
∂x
2
e
∂ξ ∂ξ
= vE
I = −E
∂x ∂t
come se l' energia si muovesse con velocità
1.7.2.
Onda in una corda.
∂ξ
∂x
2
= vu
v.
In questo caso, l 'energia per unità di lunghezza è
ρl
ul =
2
∂ξ
∂t
2
T
+
2
∂ξ
∂x
2
=T
∂ξ
∂x
2
e la potenza trasmessa
P = −T
∂ξ ∂ξ
∂t ∂x
che nel caso in cui la perturbazione sia formata solo da un' onda progressiva o
regressiva diventa
P = vul
PROGRAMMA DEL CORSO DI
1.8.
Intensità di onde sonore.
FENOMENI ONDULATORI
5
Un' onda sonora può essere trattata come un'
onda in un mezzo elastico in cui il modulo di Young e dato dal coecienti di
compressibilità
β = −V
dp
dV
Nel caso delle onde sonore la compressione è adiabatica e quindi
β = γp.
p = cv γ
cosicché
Nell' onda sonora si può analizzare la pressione invece che lo spostamento.
Data l' intensità di riferimento
I0 = 10−12 W/m2
che rappresenta la soglia
minima per l' udibilità si denisce il livello sonoro come
B = 10 log
L' unità di misura di
Esercizio 1.
B
I
I0
è il decibel.
Trovare lo spostamento massimo delle molecole d' aria e la variazione
massima di pressione rispetto all' equilibrio, dovuti ad un' onda sonora di intensità
0dB .
1.9.
Onde stazionarie.
Matematicamente sono le onde in cui le soluzioni si pos-
sono scrivere come un prodotto di una parte spaziale per una temporale: sono cioè
soluzioni separabili.
ξ(~r, t) = f (~r)g(t)
Di per sé le onde piane potrebbero considerarsi stazionarie, tuttavia esse rappresentano grandezze complesse. Se si prende solo la parte reale o immaginaria di un'
onda piana otteniamo una soluzione non stazionaria che si muove con velocità
nella direzione del vettore
~k .
v
Sovrapponendo onde piane si possono anche ottenere
onde stazionarie reali.
1.10.
1.11.
Onde in un mezzo semi-innito.
Onde sferiche. Osservando l' equazione
delle onde scritta in coordinate
sferiche
1 ∂ 2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
2
r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
∂θ r sin θ ∂φ2
ξ=
1 ∂2ξ
v 2 ∂t2
si può ricercare delle soluzioni separabili
ξ(r, θ, φ, t) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)T (t)
Otteniamo
∂ 2 ∂R
1
∂
∂Θ
1
∂2Φ
1 ∂2T
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
= 2
2
∂r ∂r
r sin θΘ ∂θ
∂θ
v T ∂t2
r sin θΦ ∂φ
membro di sinistra non contiene t anche il membro di destra non
1
r2 R
Poiché il
può
contenerlo, ossia deve essere costante. L' unica possibilità è quindi
1 ∂2T
= −ω 2
∂t2
v2 T
dato che se la costante fosse positiva avremmo delle onde esplosive.
Analogamente, poiché i primi due termini del membro di sinistra non contengono
φ
neanche il terzo può contenerlo, ossia
1 ∂2Φ
= −m2
Φ ∂φ2
PROGRAMMA DEL CORSO DI
Infatti la funzione
Φ
FENOMENI ONDULATORI
deve essere periodica di periodo
essere negativa; inoltre
m
2π
6
e quindi la costante deve
deve essere intero. Le soluzioni sono quindi
Φ(φ) = eimφ
Analogamente si può vedere che il primo termine del primo membro non contiene
θ
e
φ
e quindi si deduce che
1
∂
∂Θ
m2
sin θ
−
= −l(l + 1)
sin θΘ ∂θ
∂θ
sin2 θ
Le soluzioni di questa equazione dierenziale sono i polinomi associati di Legendre
Plm (cos θ) e richiedono che l sia intero perché la funzione sia regolare in θ = 0 e
θ = π e che m = −l, · · · l. Il prodotto dei polinomi associati di Legendre per eimφ
costituiscono le armoniche sferiche
s
Ylm (θ, φ) =
(2l + 1)! (l − m)! m
Pl (cos θ)eimφ
4π (l + m)!
Proseguendo otteniamo
ω2
1 ∂ 2 ∂R l(l + 1)
r
−
=
−
= −k 2
r2 R ∂r ∂r
r2
v2
Quest' ultima equazione è ben nota in matematica. Le soluzioni sono le funzioni di
Bessel sferiche
jl (kr).
j0 (kr) =
Per
l =0
l = 0, 1
Per
abbiamo ad esempio
sin(kr)
kr
,
j1 (kr) =
sin(kr) cos(kr)
−
(kr)2
kr
l' onda è sfericamente simmetrica ossia
Y00 (θ, φ) =
√1 . La soluzione
4π
separabile è allora del tipo
ξ = ξ0
1.12.
Onde cilindriche.
sin(kr)
Ylm (θ, φ)eiωt
kr
Per studiare le onde cilindriche, riprendiamo il laplaciano
in coordinate cilindriche
1 ∂2
∂2
1 ∂ ∂
r
+ 2 2+ 2
r ∂r ∂r r ∂φ
∂z
Procedendo come prima otteniamo
ξ=
1 ∂2ξ
v 2 ∂t2
ξ(r, θ, z, t) = R(r)Φ(φ)Z(z)T (t)
1 ∂2T
= −ω 2
∂t2
v2 T
1 ∂2Z
2
= −k⊥
Z ∂t2
1 ∂2Φ
= −m2
Φ ∂φ2
e
ossia, denendo
1 ∂ ∂R m2
2
r
− 2 − k⊥
= −k 2
rR ∂r ∂r
r
2
kk2 = k 2 − k⊥
,
1 ∂ ∂R m2
r
− 2 + kk2 = 0
rR ∂r ∂r
r
e
PROGRAMMA DEL CORSO DI
Le soluzioni sono le funzioni di Bessel
FENOMENI ONDULATORI
J m kk r
7
. Le soluzioni separabili sono perciò
del tipo
ξ (r, φ, z, t) = Jm kk r eimφ eik⊥ z eiωt
Come esempio riportiamo l' andamento di
J0 (x).
1
0.8
0.6
J0(x)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
10
x
Asintoticamente
r
Jm (x) '
1.13.
Eetto Doppler.
2
mπ π cos x −
−
πx
2
4
L' eetto Doppler si osserva quando sorgente di onde e
osservatore sono in moto relativo: consiste nell' osservare una frequenza dell' onda
diversa da quella emessa dalla sorgente. Un' onda elastica si propaga sempre in un
mezzo.
Consideriamo un' onda piana nel sistema in cui il mezzo è in quiete:
~
ei(k·~r−ωt)
Sia ora
~rs
la posizione del punto rispetto alla sorgente:
~S t
~r = ~rS + V
e sia
~rO
la
posizione del punto rispetto all' osservatore, ossia
~O t
~r = ~rO + V
~
~
~ ~
~
~ ~
k·VS t−ωt)
i(k·~
rO +k·VO t−ωt)
ei(k·~r−ωt) = ei(k·~rS +
= e
~O = ωS + ~k · V
~S − V
~O
ω − ~k · V
1.13.1.
ossia
~S
ωS = ω − ~k · V
Sorgente ferma e osservatore in moto. VS = 0, VO 6= 0
e
v
e
ωO =
velocità dell'
onda rispetto al mezzo
ωS = ω
1.13.2.
e
ω
~ k =
v
VO
ω
~
ωO = ω − v k̂ · VO = ω 1 − v cos θO = ωS 1 −
VO
v
Sorgente in moto e osservatore fermo. VS 6= 0, VO = 0
cos θ
e
v
velocità dell'
onda rispetto al mezzo
ωO = ω
e
~S = ω 1 −
ωS = ω − ωv k̂ · V
VS
v
cos θS
e quindi
ωO =
ωS
V
1− vS cos θS
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
8
2. Onde elettromagnetiche
2.1.
Equazioni di Maxwell.
Richiamiamo brevemente le equazioni di Maxwell:
~ ·E
~ = ρ
∇
0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×B
~ = µ0~j + 0 µ0 ∂ E
∇
∂t
Le due equazioni omogenee implicano (in domini con un opportuno tipo di connessione) l' esistenza di un potenziale vettore
~
A
e un potenziale scalare
Φ
tali
che
~
E
~ −
= −∇Φ
~
B
~ ×A
~
= ∇
~
∂A
∂t
In tal caso per i due potenziali otteniamo anche le seguenti equazioni
~ ~
ρ
A
2
∇
Φ + ∂ ∇·
∂t = − 0
~
~
~−∇
~ ∇
~ ·A
~ − 0 µ0 ∂ ∇Φ − 0 µ0 ∂ 2 A
~
∇2 A
∂t
∂t2 = −µ0 j
(2.1)
2.1.1.
Gauge di Coulomb.
determinati dai campi elettrici e magnetici. Infatti
certi campi elettrici e magnetici
~
E
~
B
~ e Φ non sono univocamente
A
~ , Φ corrisponde a
se la coppia A
I potenziali elettrodinamici
~
E
e
~,
B
detta
χ
una funzione arbitraria
∂ A
~ + ∇χ
~
~
∂χ
∂
A
~ Φ−
~ −
= −∇
−
= −∇Φ
∂t
∂t
∂t
~ ×A
~=∇
~ × A
~ + ∇χ
~
= ∇
~0 = A
~ + ∇χ
~
A
∂χ
∂t corrispondono al medesimo
campo. Questa invarianza dei campi al variare dei potenziali è detta invarianza di
cioè anche i potenziali
e
Φ0 = Φ −
gauge.
Nella gauge di Coulomb si cercano i potenziali che soddisfano alla condizione
~ ·A
~=0
∇
In tal caso l' eq. (2.1) diviene
∇2 Φ = − ρ0
~
~
∂ ∇Φ
~ − 0 µ0 ∂ 2 A
~
∇2 A
∂t2 = −µ0 j + 0 µ0 ∂t
2.1.2.
Gauge di Lorentz.
Un' altra gauge particolarmente utile è la gauge di Lorentz
nella quale
~ ·A
~ + 0 µ0 ∂Φ = 0
∇
∂t
In tal caso l' eq. (2.1) diviene
2
(2.2)
ρ
∇2 Φ − 0 µ0 ∂∂tΦ
2 = −
0
2~
~ − 0 µ0 ∂ A
~
∇2 A
2 = −µ0 j
∂t
PROGRAMMA DEL CORSO DI
2.1.3.
Equazione delle onde nel vuoto.
FENOMENI ONDULATORI
Nel vuoto
9
ρ = 0 e ~j = 0 e quindi i potenziali
soddisfano all' equazione delle onde (2.2). Poiché i campi si ricavano dai potenziali
mediante derivazione, anche i campi soddisfano all' equazione delle onde
~ − 0 µ0
∇2 E
~ − 0 µ0
∇2 B
(2.3)
~
∂2E
2
∂t
~
∂2B
∂t2
=
0
=
0
e la velocità di propagazione di queste onde è
c =
q
1
0 µ0 .
Tuttavia poiché l'
equazione delle onde (2.3) deriva dalle equazioni di Maxwell, ma non è equivalente,
non tutte le soluzioni della (2.3) sono accettabili: lo sono solo quelle che soddisfano
alle equazioni di Maxwell. Per vedere questo consideriamo una soluzione di onda
piana
~ =E
~ 0 ei(~k·~r−ωt)
E
~ =B
~ 0 ei(~k·~r−ωt)
B
,
e introduciamola nelle equazioni di Maxwell
~ ·E
~ = i~k · E
~ =0 , ∇
~ ·B
~ = i~k · B
~ =0
∇
~
~
~ − iω B
~ =0 , ∇
~ ×B
~ − 0 µ0 ∂ E = i~k × B
~ + iω0 µ0 E
~ =0
~ ×E
~ + ∂ B = i~k × E
∇
∂t
∂t
da cui si deduce
~k⊥E
~
e
~k⊥B
~
,
~ ~
~ = k × E = k̂ ×
B
ω
dalle quali si deduce anche
2.2.
~ ~
~
E
~ = −c2 k × B = −ck̂ × B
~
,
E
c ω
~
~ ~ ~
che E
= c B
e E⊥B .
Equazione delle onde e invarianza di Galileo.
leo (omogenee) sono del tipo
~ t e t = t0 .
~r0 = ~r − V
Le trasformazioni di Gali-
Nelle trasformazioni si può anche
aggiungere una traslazione dell' origine del sistema di riferimento senza alterare la
sostanza delle cose che diremo.
Supponiamo che una perturbazione
∇2 ξ −
nel primo sistema di riferimento.
sistema di riferimento
ξ(~r, t)
soddis all' equazione delle onde
1 ∂2ξ
=0
v 2 ∂t2
Consideriamo ora la stessa onda nel secondo
~ t, t)
ξ 0 (~r0 , t0 ) = ξ(~r, t) = ξ 0 (~r − V
~ =∇
~ 0ξ0
∇ξ
,
0
∂ξ
~ ·∇
~ 0 ξ 0 + ∂ξ
= −V
∂t
∂t0
da cui otteniamo
∇02 ξ 0 −
~ ·∇
~0
V
v2
2
ξ0
+2
~ ·∇
~ 0 ∂ξ 0
V
1 ∂2ξ0
− 2 02 = 0
2
0
v
∂t
v ∂t
che ha una forma diversa dalla equazione delle onde.
Per quanto riguarda il campo elettromagnetico la situazione è ancora più complicata in quanto se in un sistema di riferimento c' è solo un campo magnetico
(elettrico) in un altro sistema di riferimento ci può essere anche un campo elettrico
(magnetico).
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
10
3. Elettromagnetismo e relatività
Le equazioni di Maxwell non soddisfano al principio di relatività di Galileo:
facciamo alcuni esempi.
(1) Le equazioni delle onde (che derivano da quelle di Maxwell) per i campi
elettrici e magnetici non soddisfano al principio di relatività galileiana.
(2) Se in un sistema di riferimento è presente solo una carica statica e quindi
solo un campo elettrico in uno in moto rispetto al primo deve esserci anche
una corrente e quindi anche un campo magnetico.
3.1.
Trasformazioni di Lorentz.
Dato che le equazioni di Maxwell implicano l'
√1
0 µ0 se le equazioni
di Maxwell sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali questo signica che
esistenza di onde elettromagnetiche nel vuoto con velocità
c=
la velocità delle onde elettromagnetiche è la stessa in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, indipendentemente dalla velocità della sorgente.
Teorema 2. Le trasformazioni lineari
della luce ossia
L più generali che conservano la velocità
∆s2 − c2 ∆t2 = 0 =⇒ ∆s02 − c2 ∆t02 =0
1
 0
sono le quelle che conservano la forma quadratica η = 
 0
0
avendo denito le coordinate x0 = ct, x1 = x, x2 = y e x3 = z ,
0
−1
0
0
0
0
−1
0

0
0 
,
0 
−1
Lt ηL = η
ossia quelle che lasciano invariato l' intervallo spazio temporale
∆s2 − c2 ∆t2
che per due qualsiasi punti evento non è necessariamente uguale a 0. È uguale a
zero se i punti eventi sono uniti nel vuoto da un' onda elettromagnetica.
Dimostrazione. Supponiamo che una trasformazione lineare L
 
c∆t0
c∆t
 ∆x   ∆x0
 
L
 ∆y  =  ∆y 0
∆z
∆z 0





∆x2 +∆y 2 +∆z 2 −c2 ∆t2 = 0 allora anche ∆x02 +∆y 02 +∆z 02 −c2 ∆t02 ,
0
t
allora chiamiamo η = L ηL e supponiamo che per certi i, j = 0, 1, 2, 3 con i 6= j


c∆t
 ∆x 

si abbia ηij = ηji 6= 0. Prendiamo il quadrivettore ∆ρ = 
 ∆y  e cambiamo
∆z
segno alla riga j − esima e chiamiamo il vettore ∆σ . Ovviamente risulta essere
∆ρt η 0 ∆ρ = 0 = ∆σ t η 0 ∆σ . Tuttavia
sia tale che se
0
∆ρt η∆ρ − ∆σ t η∆σ = 4∆ρi ∆ρj ηij
0
∆ρj non sono nulli deve essere nullo ηij
e dato che è sempre
t
possibile trovare un ∆ρ con ∆ρi e ∆ρj ambedue non nulli tale che ∆ρ η∆ρ = 0
0
abbiamo che tutti i termini fuori diagonale di ηij devono essere nulli. Continuando
0
è possibile dimostrare che η = λη con λ numero reale opportuno.
Quindi se
∆ρi
e
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
Per le trasformazioni con moto relativo solo lungo
L11
L12
L21
L22
1
0
0
−1
L11
L21
L12
L22
L11
Le soluzioni a questo sistema (con
con
γ=√
e
=
L22
L=
γ
−βγ
t0
= γt −
x
11
abbiamo
L211
− L221
L12 L11 − L22 L21
L11 L12 − L21 L22
−L212 + L222
maggiori di zero) sono del tipo
−βγ
γ
1
1−β 2
ossia
x0
γvx
c2
= −γvt + γx
v
c . Le trasformazioni di Lorentz preservano l' equazione delle onde, tuttavia
in sé non risolvono il problema del fatto che in un sistema ci possa essere solo un
con
β=
campo elettrico (magnetico), mentre nell' altro, in moto rispetto al primo, compaia
anche un campo magnetico (elettrico).
3.2.
Vettori covarianti e controvarianti.
I vettori covarianti sono quegli og-
getti le cui componenti si trasformano secondo la legge con cui si trasformano i
dierenziali
dx0µ =
∂x0µ ν
dx
∂xν
mentre un vettore covariante è un oggetto le cui componenti si trasformano
secondo la legge con cui si trasformano le componenti del gradiente
∂Φ0
∂xν ∂Φ
=
0µ
∂x
∂x0µ ∂xν
Un tensore covariante e controvariante è una famiglia di componenti che si trasformano da un sistema all' altro nella seguente maniera
···
Tµ0ν11µν22···
=
3.3.
∂xµ1 ∂xµ2
∂x0ν1 ∂x0ν2
···
···
· · · Tαβ11αβ22 ···
0α
0α
1
2
∂x ∂x
∂xβ1 ∂xβ2
Trasformazioni di Lorentz innitesime.
Le trasformazioni di Lorentz co-
stituiscono un gruppo. Infatti
L = I + A
otteniamo
At η + ηA = 0
ossia
At η
è una matrice antisimmetrica. Quindi una base per i generatori innite-
simi è la seguente

0
 −1

 0
0

0
 0

 0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0

0 0
0 0 

0 0 
0 0

0 0
0 0 

0 1 
−1 0

0
 0

 −1
0

0
 0

 0
0
0 −1
0 0
0 0
0 0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0 

0 
0

0
−1 

0 
0

0 0 0
 0 0 0

 0 0 0
−1 0 0

0 0 0
 0 0 1

 0 −1 0
0 0 0

−1
0 

0 
0

0
0 

0 
0
1
0
0
−1
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
12
Dalla teoria dei gruppi continui (qual'è il gruppo di Lorentz) si sa che l' applicazione
esponenziale mappa lo spazio vettoriale dei generatori innitesimi nel gruppo stesso
L si può scrivere come esponenziale di un operatore
cosicché una matrice di Lorentz

Per esempio se
0
 −1

A=
0
0
−1
0
0
0

0
0
0
0
L = eζA

0
0 
 allora
0 
0
− sinh ζ
cosh ζ
0
0
cosh ζ
 − sinh ζ
L=

0
0

0 0
0 0 

1 0 
0 1
Questa può essere identicata con la matrice di Lorentz trovata precedentemente

−γβ
γ
0
0
γ
 −γβ
L=
 0
0
sinh ζ
cosh ζ e γ = cosh ζ .
occorre fare una trasformazione
 0  
x0
γ
 x01   −γβ
 0 =
 x2   0
x03
0
di modo che
β =

0 0
0 0 

1 0 
0 1
Per capire il signicato sico di
−γβ
γ
0
0

x0
0 0
 x1
0 0 

1 0   x2
0 1
x3
γ, β
e
ζ




L'origine delle coordinate spaziali del sistema accentato è caratterizzato dal fatto
che
x01 = x02 = x03 = 0
e quindi
−γβx0 + γx1 = 0
,
Traducendo quese equazioni nella notazione
x = βct
x 2 = x3 = 0
ct, x, y , z otteniamo
,
y=z=0
ossia l' orgine del secondo sistema si muove rispetto al primo lungo l' asse
velocità
3.4.
v = βc.
Quindi
β=
v
c e
γ=√
x
con
1
.
1−β 2
Alcune conseguenze siche.
3.4.1.
Dilatazione dei tempi e tempo proprio.
Una particella solidale con il sistema
γβ
dx
c dx. D' altra parte dt
risulta anche essere la velocità della particella che a sua volta è uguale a quella del
di riferimento in moto misurerà un tempo
dt0 = γdt −
sistema di riferimento in moto. Quindi
dt0 = γ(1 − β 2 )dt =
dt
γ
ossia per la particella in moto il tempo è rallentato.
Il tempo misurato da un
orologio solidale con la particella in moto viene detto tempo proprio e si indica
con
dτ .
Nel limite di basse velocità il tempo proprio si identica con il tempo del
sistema di laboratorio.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
3.4.2.
Contrazione delle lunghezze.
FENOMENI ONDULATORI
Una sbarra di lunghezza ssa
l
nel sistema in
moto è contraddistinta dal fatto che le due estremità hanno equazioni
x02
= l.
13
x01 = 0
0 = γx1 − γβct1
l = γx2 − γβct2
,
Nel sistema di laboratorio le due estremità vanno prese contemporaneamente,
t2
e
Nel sistema di laboratorio le equazioni dei due estremi sono
t1 =
e quindi la dierenza di coordinate (ossia la lunghezza) in tale sistema risulta
essere
x2 − x1 =
3.4.3.
Trasformazioni delle velocità.
γ (dx − βcdt)
dx0
v − βc
= x βv
= β
dt0
1
− c2x
γ dt − c2 dx
vx0 =
3.5.
l
γ
vy0 =
dy
v
dy 0
= y
= 0
dt
x
γ dt − cβ2 dx
γ 1 − βv
2
c
vz0 =
dz 0
v
dz
= z
= β
dt0
x
γ dt − c2 dx
γ 1 − βv
2
c
Vettori e quadrivettori.
parte vettoriale
~
A
I quadrivettori possono essere formati con una
e una parte scalare
~
Aµ ≡ B, A
B.
,
~
Aµ ≡ B, −A
con
Aµ = ηµν Aν
dove si intende sottintesa la sommatoria fra due indici ripetuti.
3.6.
Leggi della meccanica.
La seconda e la terza legge di Netwon non sono
compatibili con le trasformazioni di Lorentz. Infatti le accelerazioni non risultano
essere le stesse in tutti i sistemi inerziali. Esse vanno dunque riscritte in maniera
tale da preservare il principio di relatività per trasformazioni di Lorentz e da ridursi
alle equazioni di Newton per velocità piccole rispetto a quelle della luce. Questo
suggerisce di sostituire i vettori dello spazio tridimensionale con dei quadrivettori
dello spazio-tempo. Così le velocità vengono sostituite dalle quadrivelocità
uµ =
La quantità di moto
m~u
dxµ
≡ (γu c, γu ~u)
dτ
è rimpiazzata dal quadrimpulso
µ
m dx
dτ
.
Con questa de-
nizione di quadrimpulso la conservazione della quantità di moto (per es.
terza
legge di Newton) in un sistema di riferimento inerziale implica la conservazione in
qualunque altro sistema di riferimento inerziale.
diventa
Fµ = m
Tenendo conto del fatto che
dt = γu dτ
La legge di Newton
duµ
dτ
abbiamo
F ≡ (γu F~ · ~v , γu F~ )
µ
v
F~ = m d~
dt
PROGRAMMA DEL CORSO DI
Dal momento che
F~ · ~v =
FENOMENI ONDULATORI
dE
dt il quadrimpulso può essere interpretato come
µ
p ≡
p~ =
u
q m~
mentre
2
1−( u
c)
E
, p~
c
q m
c2 . Tutto ciò può essere interpretato come se la
2
1−( u
c)
E=
massa inerziale crescesse con la velocità e ad un ogni corpo di massa
associata un' energia
3.7.
14
m
risultasse
mc2 .
Campo elettromagnetico.
Per studiare il campo elettromagnetico, partia-
mo dalla forza di Lorentz:
~ + q~u × B
~
F~ = q E
Costruiamo il quadrivettore forza
Fµ
F 0 = γu q (Ex ux + Ey uy + Euz )
F 1 = γu q (Ex + uy Bz − uz By )
F 2 = γu q (Ey + uz Bx − ux Bz )
F 3 = γu q (Ez + uy Bz − uz By )
Ricordando la denizione di quadrivelocità possiamo osservare che tra la quadriforza
e la quadrivelocità c'è una relazione lineare che si può esprimere per mezzo di una
matrice


Fνµ = 

0
Ex
c
Ey
c
Ez
c
Ex
c
Ey
c
0
−Bz
By
Bz
0
−Bx
Ez
c

−By 

Bx 
0
dove l'indice di controvarianza indica la riga, mente l' indice di covarianza la colonna
m
Da
Fνµ
duµ
= qFνµ uν
dτ
possiamo ottenere, per mezzo del tensore metrico
ηµν = η µν
, il tensore
antisimmetrico del campo elettromagnetico


F µν = 

Esercizio 3.
0
Ex
c
Ey
c
Ez
c
− Ecx
0
Bz
−By
E
− cy
−Bz
0
Bx

− Ecz
By 

−Bx 
0
Risolvere le equazioni del moto relativistiche in un campo magnetico
costante e in un campo elettrico costante.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
Equazioni di Maxwell in forma relativistica.
3.8.
15
Con la denizione data
sopra di tensore del campo elettromagnetico cerchiamo di riscrivere le equazioni di
Maxwell non omogenee
~ ·E
~ = ρ
∇
0
~
~ ×B
~ − 0 µ0 ∂ E = µ0~j
∇
∂t
,
ossia
c
ρ
∂F µ0
=
µ
∂x
0
e denendo il
∂F µ2
∂F µ1
=
µ
j
,
= µ0 jy
0
x
∂xµ
∂xµ
µ
quadrivettore j ≡ cρ, ~
j otteniamo
,
,
∂F µ3
= µ0 jz
∂xµ
∂F µν
= µ0 j ν
∂xµ
Per questa via le equazioni omogenee sono più dicili da scrivere. Si potrebbe far
vedere che esse possono essere scritte come
al variare degli indici
∂Fνσ
∂Fσµ
∂Fµν
+
+
=0
∂xσ
∂xµ
∂xν
µ, ν, σ . Le 64 equazioni che ne risultano
non sono indipen-
denti. Soltanto 4 sono indipendenti e corrispondono alle quattro componenti delle
equazioni non omogenee. Dal fatto che il tensore
F µν
è antisimmetrico discende
immediatamente l' equazione di continuità
∂j µ
=0
∂xµ
che corrisponde all' equazione classica
∂ρ ~ ~
+∇·j =0
∂t
Teorema di Green.
3.9.
~ · Ψ∇Φ
~ − Φ∇Ψ
~
∇
= Ψ∇2 Φ − Φ∇2 Ψ
e quindi
Z
Z
Ψ∇2 Φ − Φ∇2 Ψ dV
=
V
I ~ · Ψ∇Φ
~ − Φ∇Ψ
~
~ − Φ∇Ψ
~
∇
dV =
Ψ∇Φ
· n̂dΣ
V
Σ
I =
∂Φ
∂Ψ
Ψ
−Φ
∂n
∂n
dΣ
Σ
Σ è la frontiera del volume V ), n̂ è la normale
∂
è la derivata normale sulla supercie Σ.
∂n
Nel caso in cui trattiamo un campo Φ che soddisfa all' equazione delle onde
dove
Σ = ∂V
(ossia la supercie
esterna alla supercie
Σ
e
∇2 Φ −
1 ∂2Φ
=0
c2 ∂t2
potremmo cercare delle soluzioni del tipo
Φ(~r, t) = Φ(~r)e−iωt
La
Φ(~r)
soddisfa all' equazione
∇2 Φ +
ω2
Φ=0
c2
PROGRAMMA DEL CORSO DI
Dato un punto
FENOMENI ONDULATORI
16
r −R |
eik|~
che soddisfa all' equa|~r−R~ |
~
~
R
consideriamo la funzione
Ψ(~r) =
zione
∇2 Ψ +
ω2
Ψ=0
c2
~ . Allora se consideriamo la supercie
k = ωc )quasi ovunque tranne che in ~r = R
~ incluso nel volume V ed escludiamo dal volume
chiusa Σ che circonda il punto R
~
V una sferetta R di raggio e centro in R
Z
Ψ∇2 Φ − Φ∇2 Ψ dV = 0
(con
V −R
e quindi
I ∂Ψ
∂Φ
−Φ
Ψ
∂n
∂n
I
dΣ =
Σ
eik
∂Φ
1
− ikΦ + Φ dΣ
∂n
∂R
D' altra parte
I
lim
→0
∂R
eik
∂Φ
1
~
− ikΦ + Φ dS = 4πΦ(R)
∂n
e quindi
~ =
Φ(R)
(3.1)
1
4π
I
eiks
s
∂Φ
cos θ
− ikΦ cos θ + Φ
∂n
s
dΣ
Σ
dove
~ s = ~r − R
e
θ
è l' angolo fra
~
~r − R
e la normale (esterna) alla supercie
n̂.
Se invece si utilizza la normale interna il segno del coseno deve essere cambiato.
3.10.
Caso di una sorgente puntiforme.
Kirchhoff's_diffraction_formula
Nel caso della equazione delle onde per lo
https://en.wikipedia.org/wiki/
~ t possiamo applispostamento ξ R,
care la formula (3.1) al caso in cui l' onda sia prodotta da una sorgente puntiforme
ssa.
Per semplicità poniamo l' origine degli assi nella sorgente e prendiamo in
questo caso la normale interna.
Allora



 1 I eiks ∂Φ
cos θ
~ t =<
ξ R,
+ ikΦ cos θ − Φ
dΣ
 4π

s
∂n
s
Σ
~q la posizione dell'
cos(kq − ωt). Quindi
Inoltre chiamiamo
Φ(~q, t) =
ξ0
q
elemento
dΣ
a partire dalla sorgente, allora



 ξ I eik(q+s)−iωt cos
θ
cos
θ
0
0
~ t =<
ξ R,
ik cos θ0 −
+ ik cos θ −
dΣ
 4π

qs
q
s
Σ
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
cos θ = n̂ · ŝ e cos θ0 = n̂ · q̂ . Se facciamo l' approssimazione k = 2π
λ 2π
1
k = λ s ossia λ q, s otteniamo



 iξ I eik(q+s)−iωt
0
~ t
(3.2)
(cos θ0 + cos θ) dΣ
ξ R,
= <

 4π
qs
Σ
I
cos k(q + s) − ωt + π2
ξ0
=
(3.3)
(cos θ0 + cos θ) dΣ
2λ
qs
dove
17
1
q e
Σ
L' ultima formula dierisce solo per un segno inessenziale da quella del libro di testo
(14.1).
Esercizio 4.
Riessione e rifrazione nel passaggio da due mezzi diversi.
Consideriamo un' onda piana che incida su un piano di separazione fra due semispazi costituiti di materiali diversi
1 , µ1
e
2 , µ2 .
Fissiamo l' asse
alla supercie di separazione ed entrante nel mezzo
z
ortogonalmente
1.
4. Interferenza
4.1.
Interferenza da due sorgenti.
renti (stessa
ω)
due sorgenti lungo l' asse
a
y=D
ξ (~r, t)
Consideriamo due sorgenti puntiformi coe-
e in fase fra loro e distanti
z
e sul piano
yz
d
fra loro. Per semplicità mettiamo le
e andiamo a vedere in uno schermo posto
qual' è l' intensità dell' onda
=
'
=
q
q
d 2
d 2
2
2
2
2
ξ0 cos k x + y + z + 2 − ωt
ξ0 cos k x + y + z − 2 − ωt
q
q
+
2
2
x2 + y 2 + z − d2
x2 + y 2 + z + d2
p
p
ξ
kzd
kzd
√ 0
cos k D2 + z 2 − ωt −
+ cos k D2 + z 2 − ωt +
2D
2D
D2 + z 2
p
2ξ0
kzd
√
cos k D2 + z 2 − ωt cos
2D
D2 + z 2
Per quanto riguarda la intensità, essa è proporzionale al quadrato di questa
ampiezza, ossia è proporzionale a
cos
2
kzd
2D
una volta che si sia fatta la media temporale. Per il
consecutivi è
π
e quindi nello schermo la distanza
cos2 la distanza fra due massimi
∆z sarà
k∆zd
D
= π =⇒ ∆z = λ
2D
d
4.2.
Interferenza da due fenditure.
5. Diffrazione
5.1.
Dirazione di Fraunhofer.
5.2.
Dirazione di Fresnel.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
18
6. Ottica geometrica
Lo studio dell' ottica geometrica si fa con l' assunzione che i raggi viaggino
in linea retta e che alla supercie di separazione fra due mezzi rifrangenti i raggi
seguano le usuali leggi della riessione e della rifrazione
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
Specchi.
6.1.
6.1.1.
Specchi sferici concavi.
6.1.2.
Specchi sferici convessi.
Diottri.
6.2.
6.2.1.
Diottro semplice.
6.2.2.
Lenti sottili.
7. Proprietà corpurscolari e ondulatorie della materia
Appendice A. Esercizi
A.1.
Campo elettromagnetico relativistico.
(1) In un laboratorio una particella, di carica
in presenza di un campo magnetico
al campo stesso.
B
e
e massa a riposo
m,
si muove
uniforme, in un piano ortogonale
Risolvere le equazioni del moto relativistiche e, con le
trasformazioni di Lorentz, trovare la legge oraria della particella in un altro
sistema di riferimento in moto rispetto al primo in una direzione ortogonale
al campo e con velocità costante
v.
Mostrare che anche nel secondo sistema
la particella verica le equazioni relativistiche del moto.
z
5V /m, mentre il campo magnetico è diretto lungo l' asse x
−3
di 10
T . Esiste un sistema di riferimento inerziale in cui
(2) In un sistema di riferimento inerziale il campo elettrico è diretto lungo
con intensità
con intensità
si annulla il campo elettrico?
Ne esiste uno in cui si annulla il campo
magnetico? Eventualmente, qual' è la velocità di questi sistemi?
(3) Determinare il moto relativistico di una particella inizialmente ferma in un
campo elettrico di intensità e direzione costanti
A.2.
~.
E
Ottica geometrica.
(1) Il prisma di vetro riportato in gura viene attraversato da una raggio di
luce incidente sulla faccia sinistra con angolo di incidenza
che l' indice di rifrazione dell' aria sia
n.
Trovare la relazione tra
r0
e
i
1
i.
Assumiamo
e che l' indice di rifrazione sia
che tiene conto dell' angolo
φ
al vertice
superiore del triangolo.
(a) Quanto vale l' angolo
δ
di deviazione del raggio uscente rispetto al ragφ
i
gio incidente, nel caso
i = 45, φ = 45o e n = 2?
r
i’
r’
PROGRAMMA DEL CORSO DI
(b) (facoltativo)
FENOMENI ONDULATORI
φ = 60o , i = 45o
e
δ = 70o
quanto vale
n
19
(calcolare in
maniera approssimata)?
i
r
i’=r
r’
(2) Rifrazione di una goccia d' acqua
.
r' e i e tra la deviazione totale (ossia l' angolo fra il
raggio entrante nella goccia e il raggio uscente dalla goccia) δ conoscendo
l' indice di rifrazione n.
Trovare la relazione fra
A.3.
Onde meccaniche.
E = 200 GP a mentre la densità è
7.5 · 103 kg/m3 . Determinare la velocità del suono nell' acciaio.
a
La 1 corda di una chitarra classica è cilindrica di raggio 0.65mm, lunga
65cm e composta di nylon (densità 1.35 · 103 kg/m3 ). Trovare la tensione
(1) Il modulo di Young dell' acciaio è circa
(2)
della corda supponendo che la frequenza fondamentale dell' onda stazionaria
è il
M i (330Hz ).
Appendice B. Compiti di esame
B.1.
5 Luglio 2016.
(1) Data una corrente
I
uniforme in un lo rettilineo innito a riposo, calcolare
campi magnetici ed elettrici e poi calcolarli in un sistema in moto rispetto
al primo lungo la direzione del lo con velocità
V
(a) per mezzo delle leggi di trasformazione del campo elettromagnetico;
(b) calcolando i campi dalle correnti e le cariche nel sistema in movimento.
(2) Date due lenti sottili biconvesse di distanza focale
50cm poste nel medesimo
asse ottico alla distanza di un metro,
(a) trovare a che distanza (dalla seconda lente) si forma l' immagine di un
oggetto posto a
5m
dalla prima lente
(b) trovare l' ingrandimento globale del sistema di lenti e dire se l' immagine è diritta o capovolta.
B.2.
6 Settembre 2016.
(1) Sia
λ
la carica per unità di lunghezza di un lo rettilineo innito, a riposo,
carico. Calcolare campi magnetici ed elettrici e poi calcolarli in un sistema
in moto rispetto al primo lungo la direzione del lo con velocità
V
(a) per mezzo delle leggi di trasformazione del campo elettromagnetico;
(b) calcolando i campi dalle correnti e le cariche nel sistema in movimento.
(2) Rifrazione di una goccia d' acqua sferica
(a) Trovare la relazione fra
r'
e
i
e tra la deviazione totale (ossia l' angolo
fra il raggio entrante nella goccia e il raggio uscente dalla goccia)
conoscendo l' indice di rifrazione
n.
δ
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
20
(b) (Facoltativa) Spiegare perché alcuni arcobaleni sono archi di cerchio il
i
r
i’=r
r’
cui centro è il sole.
B.3.
.
28 Settembre 2016.
(1) Sia dato un piano carico a riposo e sia
σ
la carica per unità di supercie.
Calcolare campi magnetici ed elettrici e poi calcolarli in un sistema in moto
rispetto al primo lungo una direzione parallela al piano con velocità
V
(a) per mezzo delle leggi di trasformazione del campo elettromagnetico;
(b) calcolando i campi dalle correnti e le cariche nel sistema in movimento.
(2) Un' onda sonora piana armonica di pulsazione
−6
I = 10
2
W/m
ω = 2 · 103 rad/s
e intensità
si può propagare in tre mezzi, aria, acqua e ferro, per i quali
ρ1 = 1.29kg/m3 ,
v2 = 1493m/s,ρ3 = 7 − 8 · 103 kg/m3 ,v3 =
densità e velocità di propagazione sono rispettivamente
3
3
v1 = 344m/s, ρ2 = 10 kg/m ,
5130m/s. Calcolare nei tre mezzi i valori
(a) lunghezza d' onda λ,
(b) dell' ampiezza ξ dell' onda di spostamento
(c) dell' ampiezza ∆p dell' onda di pressione
B.4.
e
2 Febbraio 2017.
(1) Sia dato un lo carico a riposo e sia
λ
la carica per unità di supercie.
Calcolare campi magnetici ed elettrici e poi calcolarli in un sistema in moto
rispetto al primo lungo una direzione parallela al lo con velocità
V
(a) per mezzo delle leggi di trasformazione del campo elettromagnetico;
(b) calcolando i campi dalle correnti e le cariche nel sistema in movimento.
(2) Una sbarra d'acciaio (ρ
d = 4mm
= 7.8 · 103 Kg/m3 , E = 2.1 · 1011 N/m2 ) di diametro
è utilizzata per trasmettere onde longitudinali generate da un
oscillatore; tali onde sono armoniche di frequenza
ν = 10Hz
e ampiezza
ξ0 = 0.2mm.
(a) Calcolare la velocità massima dei singoli punti della sbarra e confrontarla con la velocità di propagazione dell' onda lungo la sbarra.
(b) Calcolare inoltre la densità di energia della sbarra e la potenza dell'
oscillatore necessaria per mantenere l' onda in assenza di assorbimento.
B.5.
23 Febbraio 2017.
(1) Due sorgenti sonore, di eguale frequenza
W,
poste a distanza
d = 12.5cm,
ν = 680Hz
propagano nell' aria circostante con velocità
dell' asse, distante
r = 5m
spostamento ha l' ampiezza
(a) l' ampiezza
ξ1 dell'
ed uguale potenza
emettono in fase onde sferiche che si
v = 340m/s.
In un punto
P
dal punto di mezzo tra le sorgenti, l' onda di
ξP = 10−8 m.
Calcolare
onda di spostamento di ciascuna sorgente,
(b) la potenza di ciascuna sorgente,
(c) l' ampiezza dell' onda di pressione.
PROGRAMMA DEL CORSO DI
FENOMENI ONDULATORI
(2) Un osservatore posto sul fondo di una piscina profonda
h = 3m
21
guarda
verso l' alto. Tutti gli oggetti che stanno al di sopra della supercie dell'
acqua sono visti entro un cono di semiapertura
θ con centro nell' occhio dell'
osservatore. Anche gli oggetti posti sul fondo della piscina sono egualmente
visibili per riessione, purché ad un distanza maggiore di
(a) Calcolare i valori di
1.33.
θ
e
dm .
dm .
L' indice di rifrazione dell' acqua è
n=