Storia della relatività ristretta: 1862-1913
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S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE Storia della relatività ristretta: 1862-1913 Gruppo scientifico dell’associazione culturale “Albatros” S ISTEMI DI COORDINATE I NDICE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE S ISTEMI DI COORDINATE Sistemi di coordinate Il principio di relatività galileiano Il principio di sovrapposizione Fenomeni ondulatori E LETTROMAGNETISMO Campo elettrico Campo magnetico Legami fra elettricità e magnetismo Teorema di Ampére Legge dell’induzione Teorema di Gauss (1/2) Teorema di Gauss (2/2) Misura sperimentale della velocità della luce Le equazioni di Maxwell Onde elettromagnetiche Trasformazioni di Galileo R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE “S ISTEMI DI COORDINATE ” Un sistema di coordinate nello spazio è l’insieme delle quaterne di numeri (n1 , n2 , n3 , t). Una specifica quaterna è detta evento. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE “S ISTEMI DI COORDINATE ” Un sistema di coordinate nello spazio è l’insieme delle quaterne di numeri (n1 , n2 , n3 , t). Una specifica quaterna è detta evento. S.Dalì, “La persistenza della memoria”, olio su tela, 1931. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE “S ISTEMI DI COORDINATE ” Un sistema di coordinate nello spazio è l’insieme delle quaterne di numeri (n1 , n2 , n3 , t). Una specifica quaterna è detta evento. Può essere pensato come l’insieme delle possibili misurazioni effettuate mediante un regolo ed un orologio (definizione operativa). S.Dalì, “La persistenza della memoria”, olio su tela, 1931. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMA DI COORDINATE CARTESIANO ORTOGONALE ( NEL PIANO ) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMA DI COORDINATE CARTESIANO ORTOGONALE ( NEL PIANO ) Ciascun punto del piano è individuato da due numeri (x, y), l’ascissa x e l’ordinata y. Possono essere pensati, rispettivamente, come la lunghezza dei percorsi da fare verso est e verso nord per andare dall’origine verso il punto in esame. L’ordine non conta... S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMA DI COORDINATE CARTESIANO ORTOGONALE ( NEL PIANO ) Ciascun punto del piano è individuato da due numeri (x, y), l’ascissa x e l’ordinata y. Possono essere pensati, rispettivamente, come la lunghezza dei percorsi da fare verso est e verso nord per andare dall’origine verso il punto in esame. L’ordine non conta... La distanza l dall’origine del sistema di coordinate è data dal teorema di Pitagora l2 = x2 + y2 (1) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMA DI COORDINATE POLARI ( NEL PIANO ) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMA DI COORDINATE POLARI ( NEL PIANO ) Ciascun punto del piano è individuato da due numeri (r, θ), la distanza r e l’angolo θ. Possono essere pensati, rispettivamente, come la L’ordine non conta... S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMA DI COORDINATE POLARI ( NEL PIANO ) Ciascun punto del piano è individuato da due numeri (r, θ), la distanza r e l’angolo θ. Possono essere pensati, rispettivamente, come la L’ordine non conta... La distanza l dall’origine del sistema di coordinate è data dal teorema di Pitagora l2 = r2 (2) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE INERZIALI Collochiamo ora un orologio in ogni punto di un sistema di coordinate. Come cambia la descrizione di un fenomeno, a seconda dello stato di moto dell’osservatore? S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE “Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti: siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca che sia posto a basso; e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza. [...] Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia mentre il vascello sta fermo non debbano succedere così: fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti; né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina, o pure sta ferma. ‘’ S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE “Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti: siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca che sia posto a basso; e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza. [...] Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia mentre il vascello sta fermo non debbano succedere così: fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti; né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina, o pure sta ferma. ‘’ (Salviati nella Giornata Seconda del “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANO Galileo Galilei (Pisa, 1564 – Arcetri, 1642) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANO Tutti i sistemi di riferimento per i quali non è possibile accorgersi del moto (rettilineo ed uniforme) con esperimenti interamente svolti “senza riferirsi all’esterno” sono detti inerziali (cfr. “Sul ruolo delle simmetrie in fisica”).. Galileo Galilei (Pisa, 1564 – Arcetri, 1642) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANO Tutti i sistemi di riferimento per i quali non è possibile accorgersi del moto (rettilineo ed uniforme) con esperimenti interamente svolti “senza riferirsi all’esterno” sono detti inerziali (cfr. “Sul ruolo delle simmetrie in fisica”).. Tutte le leggi della natura, ad ogni istante, si presentano nella stessa forma. Galileo Galilei (Pisa, 1564 – Arcetri, 1642) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE Conclusione: il moto relativo di due osservatori inerziali, O ed O0 , è rettilineo ed uniforme. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE Conclusione: il moto relativo di due osservatori inerziali, O ed O0 , è rettilineo ed uniforme. Senza perdere di generalità, scegliamo coordinate cartesiani ortogonali con ascisse lungo la congiungente le due origini O0 ed O0 . Tali origini sono scelte coincidenti a t = t0 = 0. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T RASFORMAZIONI GALILEIANE T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T RASFORMAZIONI GALILEIANE x0 = x − vt y0 = y z0 = z t0 = t T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T RASFORMAZIONI GALILEIANE x0 = x − vt y0 = y z0 = z t0 = t “[tempus] sine relatione ad externum quodvis equabiliter fluit” (Isaac Newton, “Philosophiae naturalis principia mathematica”,Libro I, Scolio alle Definizione VIII) T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASPORTO IN UNA DIMENSIONE Una certa perturbazione muove lungo l’asse x a velocità v. L’osservatore O “riceve” la perturbazione la quale, in generale, è funzione delle sue coordinate (x, t), evolvendo nel tempo. Pertanto, descriverà il fenomeno con una certa funzione u = u(x, t). L’osservatore O0 , che si trova a cavallo della perturbazione, la vede ferma nel suo sistema di riferimento (mentre vede O muoversi a velocità −v). Questi, quindi, fornisce una descrizione puramente spaziale della perturbazione descrivendola con una certa funzione F = F(x0 ). S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASPORTO IN UNA DIMENSIONE Una certa perturbazione muove lungo l’asse x a velocità v. L’osservatore O “riceve” la perturbazione la quale, in generale, è funzione delle sue coordinate (x, t), evolvendo nel tempo. Pertanto, descriverà il fenomeno con una certa funzione u = u(x, t). L’osservatore O0 , che si trova a cavallo della perturbazione, la vede ferma nel suo sistema di riferimento (mentre vede O muoversi a velocità −v). Questi, quindi, fornisce una descrizione puramente spaziale della perturbazione descrivendola con una certa funzione F = F(x0 ). Dal principio di relatività galileiano discende che u(x, t) = F(x0 ) = F(x − vt) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE I L PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE “L’effetto dipende linearmente dalle cause cioè, triplicando l’intensità della causa triplica l’effetto. Questo accade se le equazioni che legano gli effetti alle cause sono lineari.” R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO P OZZANGHERE E PROIETTILI Un corpo in moto in un mezzo può essere pensato, istante per istante, come sorgente puntiforme di perturbazioni che possono interferire costruttivamente (o distruttivamente) in altri punti dello spazio, ad istanti successivi. T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C OS ’ È UN ’ ONDA I I Un’onda è una oscillazione o perturbazione locale di una certa quantità che si propaga nello spazio con certe regolarità. Esempi di onde meccaniche comuni: I I L’altezza del pelo d’acqua di un bacino spazzato dai venti. Il suono, che propaga in aria, in acqua o in uno sfigmomanometro. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE Q UANTITÀ FONDAMENTALI RELATIVE AD UN ’ ONDA I Ampiezza (e.g.altezza di una cresta d’onda marina). I Lunghezza d’onda λ. A tempo fissato (e.g.: fotografia), è la distanza tra due punti omologhi sul profilo d’onda. I Frequenza ν. Misura la differenza temporale tra due configurazioni omologhe a posizione fissata (e.g.: stare in piedi sul bagnasciuga). Jean-Baptiste d’Alembert (1717-1783) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L’ EQUAZIONE DELLE ONDE O DI D ’A LEMBERT ϕ(x, t) = 0 = ∇2 − 1 ∂2 c2 ∂t2 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L’ EQUAZIONE DELLE ONDE O DI D ’A LEMBERT ϕ(x, t) = 0 = ∇2 − 1 ∂2 c2 ∂t2 N.B.=c è la velocità di propagazione dell’onda. Nel caso di una corda vibrante con estremità fissate, la forza di richiamo locale sentita da un punto della corda è proporzionale alla curvatura (anch’essa, locale). S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L’ EQUAZIONE DELLE ONDE O DI D ’A LEMBERT ϕ(x, t) = 0 = ∇2 − 1 ∂2 c2 ∂t2 N.B.=c è la velocità di propagazione dell’onda. Nel caso di una corda vibrante con estremità fissate, la forza di richiamo locale sentita da un punto della corda è proporzionale alla curvatura (anch’essa, locale). Jean-Baptiste d’Alembert (1717-1783) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L’ EQUAZIONE DELLE ONDE O DI D ’A LEMBERT ϕ(x, t) = 0 = ∇2 − 1 ∂2 c2 ∂t2 N.B.=c è la velocità di propagazione dell’onda. Nel caso di una corda vibrante con estremità fissate, la forza di richiamo locale sentita da un punto della corda è proporzionale alla curvatura (anch’essa, locale). Tipico profilo d’onda sinusoidale S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Carica positiva S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Cariche di prova S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Doppia carica positiva S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Dipolo S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Quadrupolo S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Cilindro e filo carichi S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO ELETTRICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica. Condensatore S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO MAGNETICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica IN MOTO (corrente). Spira percorsa da corrente S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE C AMPO MAGNETICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica IN MOTO (corrente). ‘Corrente’ di prova R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C AMPO MAGNETICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica IN MOTO (corrente). Filo percorso da corrente S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE C AMPO MAGNETICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica IN MOTO (corrente). Doppio filo R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE C AMPO MAGNETICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica IN MOTO (corrente). Solenoide toroidale R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE C AMPO MAGNETICO É la PERTURBAZIONE dello spazio generata da una (distribuzione di) carica elettrica IN MOTO (corrente). Magnete R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE L EGAMI FRA ELETTRICITÀ E MAGNETISMO Hans Christian Ørsted (1717-1783) ‘Ago e filo’ R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T EOREMA DI A MPÉRE André-Marie Ampére (1775-1836) Doppio filo percorso da corrente La CIRCUITAZIONE di un campo magnetico lungo una linea CHIUSA è pari alla densità di corrente che passa all’interno. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T EOREMA DI A MPÉRE André-Marie Ampére (1775-1836) Doppio filo percorso da corrente ∇ × B = µ0 J S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L EGGE DELL’ INDUZIONE ‘Trasformatore’ Michael Faraday (1791-1867) La CIRCUITAZIONE (forza elettromotrice) di un campo elettrico lungo una linea CHIUSA è pari all’opposto della variazione temporale del FLUSSO di un campo magnetico attraverso la superficie che ha quella linea come contorno. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE L EGGE DELL’ INDUZIONE ‘Trasformatore’ Michael Faraday (1791-1867) ∇×E=− ∂B ∂t R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T EOREMA DI G AUSS (1/2) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Filo carico Il FLUSSO di un campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA è pari alla quantità di carica contenuta all’interno. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T EOREMA DI G AUSS (1/2) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Dipolo Il FLUSSO di un campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA è pari alla quantità di carica contenuta all’interno. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T EOREMA DI G AUSS (1/2) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Condensatore Il FLUSSO di un campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA è pari alla quantità di carica contenuta all’interno. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE T EOREMA DI G AUSS (1/2) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Condensatore ∇·E= ρ ε0 R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T EOREMA DI G AUSS (2/2) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Magnete Il FLUSSO di un campo magnetico attraverso una superficie CHIUSA è zero. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE T EOREMA DI G AUSS (2/2) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Magnete ∇·B=0 R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE FARADAY: Mi è capitato di scoprire una relazione diretta fra magnetismo e luce, e anche fra elettricità e luce, e il campo di studi che ciò apre è così vasto e - credo - ricco. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE M ISURA SPERIMENTALE DELLA VELOCITÀ DELLA LUCE Hyppolite Fizeau (1819-1896) Apparato sperimentale di Fizeau Fizeau trova c = 310000 km/s. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE L E EQUAZIONI DI M AXWELL James Clerk Maxwell (1831-1879) I Teorema di GaussE I Teorema di GaussB I Teorema di Ampére∗ I Legge dell’induzione R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL ∇·E= ρ ε0 ∇·B=0 ∇ × B = µ0 (J + ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E=− ∂B ∂t ∂E ) ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL ∇·E= ρ ε0 ∇·B=0 ∇ × B = µ0 (J + ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E=− ∂B ∂t ∂E ) ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL ∇·E= ρ ε0 ∇·B=0 ∇ × B = µ0 (J + ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E=− ∂B ∂t ∂E ) ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL ∇·E= ρ ε0 ∇·B=0 ∇ × B = µ0 (J + ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E=− ∂B ∂t ∂E ) ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL ∇·E= ρ ε0 ∇·B=0 ∇ × B = µ0 (J + ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E= ∂B ∂t ∂E ) ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL ∇·E= ρ ε0 ∇·B=0 ∇ × B = µ0 (J + ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E=− ∂B ∂t ∂E ) ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L E EQUAZIONI DI M AXWELL NEL VUOTO ∇·E=0 ∇·B=0 ∇ × B = µ 0 ε0 James Clerk Maxwell (1831-1879) ∇×E=− ∂E ∂t ∂B ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE I campi E e B hanno un’ENERGIA IMMAGAZZINATA in ogni punto dello spazio (che determina il moto delle cariche). Antenna Le eq. di Maxwell determinano una CONCATENAZIONE dei campi E e B che genera un TRASPORTO DI ENERGIA nello spazio circostante. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE Eq. di Maxwell ∇·E=0 I campi E e B accoppiati dalle eq. di Maxwell sono ortogonali: E · B = 0. ∇·B=0 ∇ × B = µ 0 ε0 ∇×E=− ∂E ∂t ∂B ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE Eq. di Maxwell Come variano i campi nel tempo e nello spazio? Bisogna fare i conti! ∇·E=0 ∇·B=0 ∇ × B = µ 0 ε0 ∇×E=− ∂E ∂t ∂B ∂t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE Eq. di Maxwell Come variano i campi nel tempo e nello spazio? Bisogna fare i conti! ∇·E=0 ∇·B=0 ∇ × B = µ 0 ε0 ∇×E=− ∂E ∂t ∂B ∂t ∇ 2 E − µ0 ε 0 ∂2E =0 ∂t2 ∇ 2 B − µ0 ε 0 ∂2B =0 ∂t2 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE Otteniamo che LA RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA (cioè il trasporto dell’energia immagazzinata dai campi) È UN FENOMENO ONDULATORIO. ∇2 A(x, t) − µ0 ε0 ∂ 2 A(x, t) =0 ∂t2 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE Otteniamo che LA RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA (cioè il trasporto dell’energia immagazzinata dai campi) È UN FENOMENO ONDULATORIO. ∇2 A(x, t) − µ0 ε0 ∂ 2 A(x, t) =0 ∂t2 v≡c= √ 1 µ 0 ε0 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE ε0 = 8.8541878 × 10−12 F/m, µ0 = 1.256637 × 10−6 H/m S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE ε0 = 8.8541878 × 10−12 F/m, c= √ µ0 = 1.256637 × 10−6 H/m 1 = 299800 km/s µ 0 ε0 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE O NDE ELETTROMAGNETICHE ε0 = 8.8541878 × 10−12 F/m, c= √ µ0 = 1.256637 × 10−6 H/m 1 = 299800 km/s µ 0 ε0 cFizeau = 310000 km/s I due valori di c coincidono con un errore del 5%. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE M AXWELL: L’accordo dei risultati suggerisce che luce e magnetismo siano declinazioni di una medesima sostanza, e che la luce sia un disturbo elettromagnetico propagato attraverso il campo seguendo le leggi dell’elettromagnetismo. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t " 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇ − 2 c 02 ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. Termine SBAGLIATO ?! Che ( succede? Tutto quello che x0 = x − vt abbiamo detto non vale più? t0 = t " 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇ − 2 c 02 ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t " S TIAMO CALMI . 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇02 − 2 c ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t " 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇02 − 2 c ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S TIAMO CALMI . Per gli altri fenomeni ondulatori non ci sono problemi perché si propagano in un MEZZO. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t " 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇02 − 2 c ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S TIAMO CALMI . Per gli altri fenomeni ondulatori non ci sono problemi perché si propagano in un MEZZO. Q UINDI anche la luce si deve propagare in un mezzo. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t " 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇02 − 2 c ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S TIAMO CALMI . Per gli altri fenomeni ondulatori non ci sono problemi perché si propagano in un MEZZO. Q UINDI anche la luce si deve propagare in un mezzo. M A la luce sembra propagarsi nel vuoto. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE T RASFORMAZIONI DI G ALILEO Trasformiamo le eq. di Maxwell da un sistema di riferimento inerziale all’altro. ( x0 = x − vt t0 = t " 1 ∂2 ∇ − 2 2 A(x, t) = 0 c ∂t 2 1 ∇02 − 2 c ∂ −v∇0 ∂t0 2 # A(x0 , t0 ) = 0 S TIAMO CALMI . Per gli altri fenomeni ondulatori non ci sono problemi perché si propagano in un MEZZO. Q UINDI anche la luce si deve propagare in un mezzo. M A la luce sembra propagarsi nel vuoto. =⇒ Il VUOTO non è vuoto ma c’è l’ETERE. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE P ROBLEMA CONDUTTORE - MAGNETE Spira vs magnete R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE P ROBLEMA CONDUTTORE - MAGNETE La corrente generata nella spira è la stessa, ma per l’osservatore A) la forza che muove le cariche ha origine elettrica, per B) magnetica. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE P ROBLEMA CONDUTTORE - MAGNETE Un osservatore vede o meno un campo magnetico a seconda che sia o meno in moto relativo rispetto alla carica. Osservatore in moto rispetto a una carica S OLUZIONE : le eq. di Maxwell valgono solo nel sistema di riferimento privilegiato in cui l’etere è a riposo. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE A BERRAZIONE STELLARE Si tratta di un fenomeno astronomico che produce uno SPOSTAMENTO APPARENTE degli oggesti celesti rispetto alla loro posizione, in dipendenza dalla VELOCITÀ DELL’ OSSERVATORE. James Bradley (1693-1762) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE A BERRAZIONE STELLARE Si tratta di un fenomeno astronomico che produce uno SPOSTAMENTO APPARENTE degli oggesti celesti rispetto alla loro posizione, in dipendenza dalla VELOCITÀ DELL’ OSSERVATORE. Osservatore sulla stella Osservatore sulla Terra S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE A BERRAZIONE STELLARE Si tratta di un fenomeno astronomico che produce uno SPOSTAMENTO APPARENTE degli oggesti celesti rispetto alla loro posizione, in dipendenza dalla VELOCITÀ DELL’ OSSERVATORE. Osservatore sulla Terra S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO A BERRAZIONE STELLARE E l’etere? T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE A BERRAZIONE STELLARE E l’etere? Se lo spazio fra la Terra e la stella fosse permeato da un mezzo NON vedremmo aberrazione... ... a meno che l’etere non sia IMMOBILE rispetto alla Terra: S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE E TERE IMMOBILE P ROBLEMI : Thomas Young (1773-1829) I Risultati diversi per telescopi a indice di rifrazione diverso. I L’etere dev’essere IMMATERIALE e i pianeti lo devono attraversare senza attrito o altri effetti discernibili, MA allo stesso tempo deve rispondere molto rapidamente a compressioni/dilatazioni meccaniche per garantire l’alta velocità della luce. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE E TERE TRASCINATO ? Trascinamento dell’etere da parte dei corpi (in dipendenza dall’indice di rifrazione). I raggi di luce vengono deviati vicino ai corpi. Augustin-Jean Fresnel (1788–1827) Sir George Gabriel Stokes (1819–1903) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE E TERE TRASCINATO ? Trascinamento dell’etere da parte dei corpi (in dipendenza dall’indice di rifrazione). I raggi di luce vengono deviati vicino ai corpi. P ROBLEMI : I Effetti di turbolenza dell’etere non osservati. I Difficoltà con la polarizzazione della luce. I Problemi con la matematica. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE E TERE TRASCINATO ? Trascinamento dell’etere da parte dei corpi (in dipendenza dall’indice di rifrazione). I raggi di luce vengono deviati vicino ai corpi. P ROBLEMI : I Effetti di turbolenza dell’etere non osservati. I Difficoltà con la polarizzazione della luce. I Problemi con la matematica. =⇒ Idea non buona. L’etere torna immobile. I problemi con l’aberrazione restano irrisolti. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L’ ESPERIMENTO DI M ICHELSON E M ORLEY Albert A. Michelson (1852-1931) Edward W. Morley (1838–1923) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE L’ ESPERIMENTO DI M ICHELSON E M ORLEY Interferometro di Michelson R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE L’ ESPERIMENTO DI M ICHELSON E M ORLEY R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L 1905, L’annus mirabilis di A LBERT E INSTEIN I “Un punto di vista euristico sulla produzione e sulla trasformazione della luce” (18 marzo 1905) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L 1905, L’annus mirabilis di A LBERT E INSTEIN I “Un punto di vista euristico sulla produzione e sulla trasformazione della luce” (18 marzo 1905) I “Sul moto di piccole particelle sospese in un liquido stazionario, come richiesto dalla teoria cinetica molecolare del calore” (11 maggio 1905) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L 1905, L’annus mirabilis di A LBERT E INSTEIN I “Un punto di vista euristico sulla produzione e sulla trasformazione della luce” (18 marzo 1905) I “Sul moto di piccole particelle sospese in un liquido stazionario, come richiesto dalla teoria cinetica molecolare del calore” (11 maggio 1905) I “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento” (30 giugno 1905) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I L 1905, L’annus mirabilis di A LBERT E INSTEIN I “Un punto di vista euristico sulla produzione e sulla trasformazione della luce” (18 marzo 1905) I “Sul moto di piccole particelle sospese in un liquido stazionario, come richiesto dalla teoria cinetica molecolare del calore” (11 maggio 1905) I “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento” (30 giugno 1905) I “L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto energetico?”(27 settembre 1905) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I PRINCIPI DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA I I Vale il principio di relatività. La velocità della luce nel vuoto è fissa, sia per osservatori a riposo che per osservatori in moto rettilineo uniforme. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE I PRINCIPI DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA I I Vale il principio di relatività. La velocità della luce nel vuoto è fissa, sia per osservatori a riposo che per osservatori in moto rettilineo uniforme. x0 = γ(x − vt) y0 = y z0 = z t0 = γ(t − v x) c2 S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE C ONO DI LUCE X2 t2 2 = xt2 = c2 è un vincolo geometrico sugli eventi “causalmente connessi” con un evento dato. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L ORENTZ E LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE Hendrik Lorentz (1853-1928) S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L ORENTZ E LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE x0 = x − vt y0 = y z0 = z t0 = t Un regolo si muove lungo l’asse x. O’, l’osservatore a cavallo del regolo (coordinate primate) lo misura e dichiare che è lungo l0 = x02 − x01 . Quanto è lungo secondo l’osservatore O? Se trasformiamo secondo galileo l0 = x02 − x01 = x2 − vt − (x1 − vt) = x2 − x1 = l. I due osservatori concordano sulla lunghezza del regolo. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE L ORENTZ E LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE x0 = x − vt y0 = y x0 = γ(x − vt) y0 = y z0 = z z0 = z t0 = t t0 = γ(t − v x) c2 Un regolo si muove lungo l’asse x. O’, l’osservatore a cavallo del regolo (coordinate primate) lo misura e dichiare che è lungo l0 = x02 − x01 . Quanto è lungo secondo l’osservatore O? Se trasformiamo secondo galileo l0 = x02 − x01 = x2 − vt − (x1 − vt) = x2 − x1 = l. I due osservatori concordano sulla lunghezza del regolo. Se trasformiamo secondo Lorentz l0 = γ(x2 − vt) − γ(x1 − vt) = γ(x2 − x1 − vt + vt) = γl S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ DELLA SIMULTANEITÀ R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE D ILATAZIONE DEI TEMPI La legge di trasformazione dei tempi dipende dalla velocità e coinvolge anche la posizione: il tempo è locale. S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE D ILATAZIONE DEI TEMPI La legge di trasformazione dei tempi dipende dalla velocità e coinvolge anche la posizione: il tempo è locale. Osservatore comobile S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE D ILATAZIONE DEI TEMPI La legge di trasformazione dei tempi dipende dalla velocità e coinvolge anche la posizione: il tempo è locale. Osservatore comobile Osservatore a riposo S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE D ILATAZIONE DEI TEMPI La legge di trasformazione dei tempi dipende dalla velocità e coinvolge anche la posizione: il tempo è locale. Osservatore comobile Osservatore a riposo ∆t0 = γ∆t S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO I L MESONE µ I La vita media di un muone µ+ misurata in laboratorio è di 2, 2x10−6 s. T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO I L MESONE µ I La vita media di un muone µ+ misurata in laboratorio è di 2, 2x10−6 s. I I muoni sono tra i prodotti dell’ìnterazione tra raggi cosmici e gli strati più esterni dell’atmosfera terrestre. T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO I L MESONE µ I La vita media di un muone µ+ misurata in laboratorio è di 2, 2x10−6 s. I I muoni sono tra i prodotti dell’ìnterazione tra raggi cosmici e gli strati più esterni dell’atmosfera terrestre. I Supponendo che viaggino al 0, 98c, percorrerebbero in media ∼ 600m prima di decadere. Eppure, li riveliamo a terra. T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO I L PARADOSSO DEI GEMELLI T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE U N PO ’ DI FOLKLORE I fenomeni elettromagnetici possono essere descritti con un formalismo (relativistico) che risolve i problemi da cui siamo partiti. Le equazioni di Maxwell sono: d ∗ F = 4π ∗ J , ove Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ S ISTEMI DI COORDINATE E LETTROMAGNETISMO T EORIA D ’ ETERE R ELATIVITÀ SPECIALE B IBLIOGRAFIA ESSENZIALE Tutte le immagini dei campi sono state ottenute con applicazioni del sito http://www.falstad.com/mathphysics.html Buona parte delle immagini è stata reperita su http://en.wikipedia.org/ Il concept della presentazione è basato sulle lezioni introduttive del corso ‘Meccanica Quantistica e Relatività’ tenute dal Prof. F. Rapuano dell’Università degli Studi di Milano-Bicocca. R.P.Feynman Sei pezzi meno facili Adelphi, 2007
