è in direzione opposta al moto (puoi vedere la figura del post n°2

MECCANICA
forza centripeta: auto in curva
Un automobile percorre una curva di raggio R = 20 m. Tra l'asfalto e i pneumatici è presente un
attrito radente  = 0.8. Calcolare la velocità massima con la quale la vettura può imboccare la curva
senza uscire di strada.
Soluzione.
Quando la vettura percorre la curva di raggio R si genera una forza centripeta che in modulo vale:
F c = m v2 / R
diretta appunto verso il centro della traiettoria circolare (vedi figura).
In questo caso la forza centripeta è data dall'attrito statico presente tra le gomme e l'asfalto.
Nota: In questo caso si parla di attrito radente, ed è perpendicolare alla direzione del moto;
viceversa l'attritovolvente, cioè quello nella direzione di rotolamento della gomma, quindi parallelo
al moto, viene qui trascurato.
Il modulo della forza d'attrito dipende dalla massa m della macchina, dal coefficiente d'attrito , e
vale (sempre in modulo):
Fa =  M g
Dal secondo principio della dinamica F = m a abbiamo:
 M g = M v2 / R
da cui semplificando si ottiene la velocità cercata
√
v= (gR)
sostituendo i dati del problema si ha v = 12.5 m/s (g = 9.81 m/s2)
Questa è la massima velocità con cui la macchina può affrontare la curva; se la velocità aumentasse
la forza d'attrito statico tra gomme e asfalto non basterebbe più a mantenere la macchina su una
traiettoria curva.
Forza d'attrito: blocco su tavolo
Per riuscire a spostare un blocco di acciaio pesante 10 kg, fermo su un tavolo in plexiglas, è
necessaria una forza F = 80 N. calcolare il coefficiente di attrito statico tra il blocco ed il tavolo ( s).
Soluzione.
Il blocco di massa M = 10 Kg è fermo su di un tavolo (vedi figura) sul quale è presente attrito.
Scegliamo per prima cosa il verso dell asse X parallelo al piano del tavolo. Per riuscire a spostare il
blocco è necessario imprimergli una forza F parallelamente al tavolo. La forza di attrito statico
opporrà resistenza allo spostamento iniziale del blocco. Essa avrà quindi (come vettore) direzione
uguale ad F lungo l'asse X, ma verso opposto , mentre il modulo sarà:
Fa =  s M g
Ci vuole quindi una forza pari (o maggiore) ad Fa per riuscire a muovere il blocco.
Dai dati del problema si trova (sperimentalmente) che è necessaria una forza F = 80 Newton per
spostare il blocco, allora questo vuol dire che si è verificata la condizione
F = Fa
F=sMg
da cui per formula inversa si ricava il coefficiente di attrito statico  s
 s = F / (M g) = 80 / 100 = 0.8 (grandezza adimensionale!)
energia meccanica: piano inclinato in salita
Un oggetto parte con velocità iniziale v0 = 20 m/s dalla base di un piano inclinato di un angolo =
45°(vedi figura) rispetto all'orizzontale e privo di attrito. Calcolare l'altezza H
(rispetto al suolo) alla quale l'oggetto si fermerà.
(Possiamo risolvere il problema in due modi)
Soluzione 1) conservazione dell'energia meccanica.
Poichè il piano è liscio, quindi è assente l'attrito, possiamo usare il principio di
conservazione dell'energia meccanica per risolvere in modo semplice e veloce
questo esercizio.
Guardando in figura possiamo distinguere i due punti A e B in cui si trova
l'oggetto rispettivamente nell'istante "iniziale" e "finale" della traiettoria (non
considerando chiaramente il successivo moto di discesa dell'oggetto).
Nel punto A l'energia meccanica sarà:
EM (A) = Ec (A) + EP (A) = ½ m v02 + 0
al suolo
Nel punto B l'energia meccanica sarà:
EM (B) = Ec (B) + EP (B) = 0 + m g H
ferma
--> l'energia potenziale vale zero poichè l'oggetto è
--> l'energia cinetica vale zero perchè l'oggetto si
Uguagliando l'energia meccanica tra i punti A e B troviamo:
EM (A) = EM (B)
-->
½ m v02 = m g H
-->
½ v02 = g H
-->
H = v02 /(2g) ≈ 20 m
Nota: dall'ultima formula si può ricavare v0 = √(2 g H) per cui se avessimo avuto H tra i dati
del problema, avremmo potuto calcolare la velocità iniziale v0 senza difficoltà.
Soluzione 2) leggi del moto rettilineo uniformemente ritardato.
Assegnando un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel punto iniziale del moto e l'asse X parallelo al piano
inclinato, possiamo notare che la componente lungo X della forza peso (vettore) è in direzione opposta al moto (puoi
vedere la figura del post n°2 - Febbraio 2006) e vale:
Fpx = - m g sin ()
dividendo la forza per la massa troviamo l'accelerazione
ax = Fpx / m = - g sin ()
Lungo l'asso X avremo allora le due equazioni per la coordinata x e la velocità:
1) x(t) = v0 t - ½ g t2 sin ()
2) v(t) = v0 - g t sin ()
Quando l'oggetto si ferma abbiamo v(t) = 0 nell'equazione (2) quindi
v0 - g t sin () = 0
v0 = g t sin ()
t = v0 / [g sin ()]
Questo tempo, necessario ad arrivare fino a quota H, inserito nell'equazione (1) ci da la lunghezza del tratto d (vedi
figura):
d = v02 / [2 g sin ()]
non dimentichiamoci però che nel triangolo formatosi, d è l'ipotenusa ed H è il cateto, per cui
H = d sin ()
H = v02 sin () / [2 g sin ()]
H = v02 / (2 g ) ≈ 20 m.
moto parabolico - il lancio del giavellotto
Il record del mondo di lancio del giavellotto appartiene all'atleta Ceco Jan Železný che nel Maggio
del 1996 raggiunse la distanza di ben 98,48 metri! Considerando trascurabile l'attrito dell'aria e
l'influenza del vento sulla traiettoria, calcolare la velocità iniziale v0 (in m/s) impressa al giavellotto
dall'atleta per un angolo di lancio  = 45° rispetto al suolo.
Se invece supponiamo che la forza impressa dall'atleta nel lancio sia sempre costante e che possa
essere variato solo l'angolo, per quale valore di si ottiene la gittatamassima?
Soluzione.
Questo problema si può facilmente affrontare con le leggi del moto parabolico, possiamo
immaginare un piano perpendicolare al suolo (un grande foglio) che contenga il lanciatore stesso, la
traiettoria ed il punto di impatto del giavellotto.
Per prima cosa assegniamo un sistema di riferimento cartesiano che combaci proprio col piano di
cui parlavamo ed in cui l'origine sia nella posizione del lanciatore all'istante iniziale e l'asse delle X
sia parallelo al terreno (vedi figura). Le equazioni che ci servono per questo tipo di moto sono
quattro:
1. coordinata x = velocità lungo x per tempo
2. coordinata y = velocità lungo y per tempo, “meno” un fattore dovuto all'accelerazione di
gravità moltiplicato per il tempo al quadrato
3. velocità lungo x = modulo della velocità iniziale v0 per il coseno dell'angolo 
4. velocità lungo y = modulo della velocità iniziale v0 per il seno dell'angolo  “meno” un
fattore dovuto all'accelerazione di gravità moltiplicato per il tempo
come si vede tutti e quattro questi parametri sono funzioni esplicite del tempo e le componenti x
non dipendono da g.
Dal momento in cui lascia la mano dell'atleta il giavellotto risente solo della forza peso e quindi
dell'accelerazione di gravità, la quale ovviamente sarà diretta verso il basso [ vettore g = (0: - g) ],
per cui
x(t) = v0 cos () t
y(t) = v0 sin () t - ½ g t 2
vx(t) = v0 cos ()
vy(t) = v0 sin() -g t
Per trovare la gittata cioè la distanza coperta dal giavellotto prima di cadere al suolo possiamo usare
la seconda equazione “imponendo” y(t) = 0, in questo modo troviamo il tempo necessario a
percorrere tutta la traiettoria fino al momento dell'impatto al suolo:
½ g t 2 – v0 sin () t = 0 “ho cambiato tutti i segni dell'equazione 2”
½ g t – v0 sin () = 0
“ho diviso ambo i membri per t”
t = (2 v0 /g ) sin ()
“isolo la variabile t”
quest'ultimo è quindi il tempo di arrivo al suolo. Se lo inseriamo nella prima equazione, quella della
coordinata x(t), troveremo la distanza coperta dal giavellotto, cioè la gittata:
x(t) = v0 cos () (2 v0 /g ) sin () = (2 v0 2 /g ) sin () cos ()
L = (2 v0 2 /g ) sin () cos ()
> gittata <
Dai dati del problema conosciamo  ed L ma ci manca v0, possiamo perciò sfruttare una formula
inversa:
v0 2 = g L / (2 sin () cos () ) → v0 = √ {g L / [2 sin () cos () ])}
sostituendo i valori numerici si trova v0 = 31,1 m/s
(circa 110 Km/h)
Per calcolare l'angolo di lancio iniziale che dia valore massimo alla gittata bisogna considerare
quest'ultima come una funzione della sola variabile  :
L () = (2 v0 2 /g ) sin () cos ()
con v0 e g costanti. I teoremi fondamentali dell'Analisi ci dicono che se calcoliamo la derivata
prima di L rispetto ad  e la poniamo uguale a zero troveremo il punto (o i punti) di massimo e
di minimo di tale funzione:
L ' () = 0 → (2 v0 2 /g ) [ cos2() - sin2() ] = 0 →
→ cos2() - sin2() = 0 → cos2() = sin2() →
± 
Quindi l'angolo di 45° “massimizza” la funzione gittata.
Forza Elastica: molla fissata ad un tavolo
Una molla di costante elastica k è posta orizzontalmente su di un tavolo liscio, fissata da un lato.
All'altro lato della molla è attaccato un corpo di massa m. Il piano del tavolo è ad un'altezza h dal
pavimento (vedi figura). Inizialmente la molla è compressa di un tratto Δx e ad un certo istante
viene lasciata libera di espandersi. Calcolare la distanza dal tavolo di impatto sul pavimento.
Soluzione.
In questo problema possiamo trascurare l'attrito sul tavolo (liscio) e l'attrito dell'aria, per cui
possiamo in una prima fase di svolgimento utilizzare il teorema di conservazione dell'energia
meccanica per l'oggetto attaccato alla molla. Sono due gli "istanti" da tenere in considerazione:
punto A (figura) in cui la molla è compressa e l'oggetto vi è attaccato
punto B (figura) in cui la molla si è espansa e l'oggetto si è appena staccato.
Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + EP(B)
Nota: ricordo che l'energia meccanica (o totale) di un sistema qualsiasi in un punto dello spazio, è
data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale del sistema in quel punto.
L'energia cinetica dell'oggetto nel punto A è chiaramente nulla, essendo esso fermo. Viceversa la
molla darà un contributo "massimo" di energia potenziale in A, dato da
Ep (A) = ½ k (Δx)2
quindi Ep (A) = ½ k (Δx)2
,
Ec (A) = 0
(1)
L'energia potenziale dell'oggetto nel punto B sarà nulla (l'oggetto si è appena staccato dalla molla).
Viceversa l'energia cinetica dell'oggetto in B sarà "massima" e dobbiamo ricavarla utilizzando
comunque la formula generale
Ec = ½ m v 2
quindi Ec (B) = ½ m v2
,
Ep (B) = 0
(2)
Sommando rispettivamente i contributi in (1) ed in (2) e poi uguagliandoli si ottiene:
½ k (Δx)2 = ½ m v2
eliminando ½ da ambo i membri di questa equazione, dividendo per m ed estraendo radice troviamo
v = Δx √ (k/m)
(*)
v è la velocità dell'oggetto dopo aver abbandonato la molla. Questa velocità sarà mantenuta
dall'oggetto fino all'orlo del tavolo (liscio quindi senza attrito). v è in sostanza la velocità con la
quale l'oggetto affronta il moto di caduta dal tavolo.
All'istante in cui l'oggetto si trova sull'orlo del tavolo, la sua velocità è parallela al pavimento
(orizzontale). Possiamo studiare la traiettoria con le leggi del moto PARABOLICO.
Se fissiamo l'origine degli assi cartesiani ai piedi del tavolo (vedi figura), le quattro equazioni per le
coordinate e le componenti della velocità del corpo saranno:
x(t) = v t
vx(t) = v
y(t) = h - ½ g t2
vy(t) = - g t
Se vogliamo calcolare la distanza di impatto al suolo bisogna trovare prima il "tempo" necessario ad
arrivare al suolo, quindi sostituirlo in x(t).
L'unico modo di trovare questo tempo che chiameremo tf è di porre
y(tf)= 0
questa "condizione" è molto importante perchè ci dice che nell'istante in cui l'oggetto tocca il
pavimento la sua altezza da terra y(t) è uguale a zero, inoltre in questo momento l'oggetto ha
raggiunto anche la massima distanza dal tavolo x(tf) che è il valore da trovare.
y(tf)= 0 --->
h - ½ g tf 2 = 0 --->
tf = √ (2h/g)
Come detto prima la distanza dal tavolo (che chiameremo D) si trova inserendo tf nella prima equazione del moto
parabolico e utilizzando per la velocità v l'equazione (*)
D=
Δx
√ (2kh / mg )
Forza Elastica: molla attaccata al soffitto
PROBLEMA:Consideriamo una molla di costante elastica k appesa ad un soffitto.La lunghezza a
riposo della molla (cioè senza alcuna estensione ocompressione) sia X0. Questa situazione è
schematizzata in figura(vedi parte 1)Ad un certo istante attacchiamo un oggetto di massa M alla
molla.La FORZA PESO comincerà ad agire verso il basso, mentre la forzaelastica agirà verso l'alto
(FORZA DI RICHIAMO). Quanto sarà l'allungamento della molla?SOLUZIONE.IL peso M
scenderà verso il basso allungando la molla fin quandola forza elastica non avrà l'intensità
necessaria per bilanciare la forza peso (CONDIZIONE DI EQUILIBRIO) (vedi figura - parte 2)La
forza elastica ha espressione: Fe = - k ( X - X0 )NOTA: X è la posizione dell'oggetto al momento di
equilibrio. Dallafigura si vede quindi che X >X0 e quindi Fe è NEGATIVA, cioè èrivolta verso
l'alto! (forza di richiamo)Chiamiamo allora L = ( X - X0 ) l'allungamento della molla,allora la
condizione di equilibrio fa IMPORRE che la SOMMAVETTORIALE di forza Peso e forza Elastica
sia NULLA: Fe + Fp = 0 cioè - k L + M g = 0da cui si ottiene il risultato cercato: L = ( M g ) /
kNOTA: ci si accorgerà che i segni "meno" dei risultati qui esposti dipendono dalla scelta del verso
dell'ASSE X. Se si inverte il versodell'asse, si invertono anche i segni di Fe e Fp con identici
risultati.
PIANO INCLINATO CON ATTRITO
Consideriamo il moto di un oggetto che scivola, partendo da fermo
da un'altezza h, lungo un piano inclinato di un angolo θ "teta" rispetto al
suolo.
Tra il piano e l'oggetto è presente ATTRITO di coefficiente μ "mi".
Trovare la velocità con cui l'oggetto arriva al suolo.
SOLUZIONE.
L'unica forza responsabile del moto in questo problema è la FORZA PESO Fp = Mg.
Utilizzando il sistema di assi cartesiani indicato in figura, possiamo agevolmente
studiare il moto di quest'oggetto come un moto UNIFORMEMENTE ACCELERATO
lungo l'ASSE X.
Cominciamo scomponendo Fp nelle sue componenti CARTESIANE:
Fpx = M g sin (θ)
Fpy = - M g cos (θ)
E' chiaro che il moto avviene LUNGO L'ASSE X, in quanto Fpy viene completamente
annullata dalla REAZIONE VINCOLARE.
Tuttavia la Fpy ci serve per calcolare il modulo della FORZA D'ATTRITO:
Fa = - μ Fpy = - μ M g cos (θ)
NOTA: il segno meno deriva dal fatto che la forza d'attrito è opposta al verso del moto.
La forza totale (che agirà sull'oggetto) lungo l'asse X sarà allora:
Ftot = Fpx + Fa = M g [ sin (θ) - μ cos (θ) ] = M g A
NOTA: essendo tutti i numeri tra parentesi quadre costanti durante il moto, possiamo
per comodità sostituirli con la costante A ( costante adimensionale).
L'ACCELERAZIONE dell' oggetto sarà:
a = Ftot / M = g A
Ora possiamo usare le leggi orarie del moto UNIFORM. ACCELERATO di un oggetto
che parte da fermo e percorre una traiettoria rettilinea di lunghezza L
dove L = h / sin (θ)
(VEDI FIGURA)
1) s (t) = ½ g A t ² --- > spazio percorso dall'oggetto in funzione del tempo trascorso
2) v(t) = g A t
----> velocità dell'oggetto in funzione del tempo trascorso
Dopo un certo tempo "t" l'oggetto sarà arrivato al suolo, avrà quindi percorso tutto il
tratto di lunghezza L, cioè:
s (t) = L = ½ g A t ²
da cui si ricava il tempo "t" trascorso
t=√[2L/gA]
= √ [ 2 h / g A sin (θ) ]
Se inseriamo questo tempo nell'equazione (2) troviamo la VELOCITA' di ARRIVO AL SUOLO:
v = √ [ 2 g L A ] = √ 2 g h [ 1 - cotg (θ) ]
NOTA: per trovare l'ultima espressione bisogna risostituire
il valore di A = sin (θ) - μ cos (θ) poi bisogna sostituire
il valore di L = h / sin (θ)
e infine bisogna ricordare che la cotangente di θ è
cotg (θ) = cos (θ) / sin (θ).
Forza d'attrito: spazio di frenata di un veicolo
Problema:Una macchina percorre una strada piana e dritta e ad un certo istante il conducente
comincia a frenare. Se nell'istante in cui il conducente frena la macchina viaggia ad una velocità v, e
si trova nel punto O, a che distanza da O si fermerà la macchina per effetto dell'attrito
dinamico?Soluzione:Chiamiamo h il coefficiente di attrito dinamico tra l'asfalto e le gomme, allora
la forza d'attrito dinamico diretta in senso OPPOSTO al moto sarà F = - h M gdove M = massa del
veicolo e g = accelerazione di gravità.Dalla SECONDA LEGGE DI NEWTON sappiamo che F =
M a , quindil'accelerazione (o meglio la decellerazione in questo caso) sarà a = F / M = - h gSi tratta
quindi ora di analizzare il moto di un oggetto UNIFORMEMENTE DECELERATO, con velocità
iniziale vLe leggi orarie per lo spazio percorso e per la velocità sono: 1) s (t) = v t - ½ h g t ² 2) v (t)
= v - h g tE' chiaro che ad un certo istante t la macchina si fermerà. Questo temposi ricava dalla
equazione 2) IMPONENDO v(t) = 0 e si ha t = v / ( h g )Per finire, sostituendo il valore di t appena
trovato nella equazione 1) otteniamo la distanza di arresto del veicolo che sarà s = v ² / (2 h g)Da
questa formula che abbiamo ricavato si vede la dipendenza dello spazio di arresto dal quadrato della
velocità del veicolo (riportata sui manuali per la PATENTE COMUNITARIA)
FLUIDI
fluidostatica: galleggiamento
Un cilindro di rame galleggia nel mercurio. Il cilindro è alto 8 cm e ha un
diametro di base di 8 cm. La densità del rame è r = 8.9 x 103 kg/m3, mentre quella del mercurio
è m = 13.6 x 103 kg/m3.
Calcolare il volume della parte immersa e della parte emersa del cilindro.
Soluzione.
Se il cilindro galleggia significa che si trova in condizione di equilibrio, cioè la
somma delle forze agenti sul cilindro è nulla. La somma della forza peso sul
cilindro e della relativa spinta di Archimede è quindi uguale a zero:
Fp + Far = 0
Se scomponiamo questa equazione lungo l'asse verticale del sistema troviamo
Fp - Far = 0 ------------->>> Fp = Far
dato che la forza peso e la forza di Archimede vanno in verso opposto.
Inoltre sappiamo che Fp = M g dove M è la massa del cilindro di rame, ma
siccome
r = M / V dove V è il volume del cilindro, allora M = r V e quindi Fp = r g V.
La forza di Archimede è invece pari al peso del fluido occupato dal volume
immerso cioè
Far = m g Vi
dove Vi è il volume immerso (vedi figura).
All'equilibrio si ha
Fp = Far
-------->>
r g V = m g Vi
-------->>
r V = m Vi
quindi il volume immerso sarà
Vi = V r / m
mentre il volume emerso sarà
Ve = V - Vi
Ricordiamo inoltre che il volume totale del cilindro è dato dalla formula
V =  h D2 /4
Sostituendo i dati numerici si trova infine
V = 4 x 10-4 m3
Vi = 2.6 x 10-4 m3
Ve = 1.4 x 10-4 m3.
fluidostatica: spinta di Archimede
Un oggetto di forma cilindrica alto 20 cm pesa 140 N. Quando viene immerso completamente in
acqua pesa 100N. Calcolare il diametro del cilindro.
Soluzione.
Trascurando la spinta di Archimede nell'aria, possiamo pensare che la forza totale che agisce sul
cilindro fuori dall'acqua sia dovuta solo al contributo della forza peso P = 140 N.
Viceversa in acqua (r = 103 Kg/m3) abbiamo sul cilindro sia il peso P che la spinta di Archimede:
Far = r g V
dove V è il volume del cilindro, r è la densità dell'acqua, g è l'accelerazione di gravità.
Questa spinta è rivolta verso l'alto e "allegerisce" il peso del cilindro in acqua.
Il volume del cilindro di diametro D e altezza h è
V = p h D2/ 4
Quindi il peso del cilindro in acqua sarà:
P' = P - Far = P - r g p h D2/ 4
P' = P - r g p h D2/ 4
Tramite formula inversa troviamo quindi il diametro D del cilindro
D = √ 4(P - P' ) / r g p h = 0,16 m
fluidodinamica: secchio pieno d'acqua con foro sul fondo
Un secchio è riempito d'acqua fino ad un'altezza h dal fondo, in prossimità del quale viene praticato
un foro. Calcolare la velocità di fuoriuscita del getto d'aqua nei pressi del foro.
Soluzione
Si può risolvere questo esercizio utilizzando l'equazione di Bernoulli tra i punti 1 e 2 (vedi figura).
p1 + ½  v12 +  g h1 = p2 + ½  v22 +  g h2
Il punto 1 si trova a pelo d'acqua ad un'altezza h dal foro e risente quindi della pressione atmosferica
p0. Inoltre nel punto 1 si può assumere che la velocità delle particelle di fluido sia prossima a zero;
infatti dalla legge di conservazione della portata si ha
S1 v1 = S2 v2
dove S1 e S2 sono rispettivamente le superfici dell'acqua in alto e del foro
con S1 >> S2
e quindi v2 >> v1.
Nel punto 2 che approssimiamo ad un'altezza zero, il fluido esce all'esterno quindi anche li la
pressione è atmosferica p0.
In base a queste considerazioni riscriviamo l'equazione di Bernoulli così:
p0 +  g h = p0 + 1/2  v 2
da cui si ottiene
v=
√ 2gh.
TERMODINAMICA
Vasca piena d'acqua
In una vasca sono contenuti inizialmente 30 litri d'acqua alla temperatura di 70°C.
Calcolare quanti litri d'acqua alla temperatura di 18°C bisogna versare nella vasca per portare la
temperatura finale del sistema a 30°C.
Soluzione:
Chiamiamo TE = 30°C la temperatura di equilibrio del sistema
T1 = 70°C la temperatura iniziale della massa d'acqua M1
T2 = 18°C la temperatura iniziale della massa d'acqua M2
M1= 30 L
M2 = massa d'acqua da aggiungere (incognita)
La quantità di calore assorbito dalla massa d'acqua M2 (più fredda) deve essere uguale alla quantità
di calore ceduto dalla massa d'acqua M1(più calda) cioè
ΔQ2 = -ΔQ1
NOTA: il segno - indica che il calore è "ceduto", mentre il segno + indica che il calore è "assorbito".
Per trovare il calore abbiamo bisogno della massa M dell'acqua e del calore specifico dell'acqua cs
ΔQ = csM ΔT
ΔT è la variazione di temperatura dallo stato iniziale a quello di equilibrio.
cs M2 (TE - T2) = - cs M1 (TE - T1)
adesso eliminando cs da ambo i membri e risolvendo per M2 si ottiene:
M2 = - M1 (TE - T1) / (TE - T2)
M2 = - 30 Kg (30 - 70) °C / (30 - 18) °C = 100 Kg = 100 L