CALCOLO DELLE PROBABILIT`A E STATISTICA MATEMATICA 2

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA 2
20 giugno 2008
1. Si vuole verificare se esista una dipendenza fra colore degli occhi e numero di diottrie totali
mancanti nei due occhi. Vengono effettuate le seguenti osservazioni su 152 persone miopi.
<2 diottrie
2-6 diottrie
6-10 diottrie
>10 diottrie
occhi azzurri occhi castani
10
7
8
12
7
15
9
11
occhi verdi occhi neri
7
13
9
14
5
10
8
7
Sulla base di tali dati si può affermare che esista dipendenza tra colore degli occhi e diottrie
mancanti? (usare un livello di significatività α = 0.05)
2. Siano X1 , . . . , Xn e Y1 . . . , Yn due campioni per le variabili X e Y , rispettivamente.
Si fornisca un metodo per verificare
H0 : E(X) = E(Y )
contro
H1 : E(X) 6= E(Y )
sia nel caso in cui X e Y hanno distribuzione normale, che nel caso in cui la distribuzione di
X e Y è incognita.
3. In 20 esperimenti chimici indipendenti e dello stesso tipo vengono misurate le quantitá aleatorie X1 =temperatura della reazione, X2 =pressione a cui avviene la reazione, X3 = peso del
composto finale. Dal campione congiunto cosı́ ottenuto si effettua un’analisi delle componenti
principali e si ricavano la matrice di covarianza campionaria di X = (X1 , X2 , X3 ) e le sue
matrici degli autovalori e autovettori. Esse sono, rispettivamente,




1.0510 3.6499 5.3729
46.6356
0
0
7.9351
0 
S = 3.6499 25.6416 18.9317
Λ= 0
5.3729 18.9317 27.8934
0
0
0.0155


−0.1394 0.1279
0.9819
B = −0.6764 −0.7365 −0.0001
−0.7232 0.6642 −0.1892
a) É possibile eliminare qualche componente principale, e, in caso affermativo, quali?
b) Si effettua un nuovo esperimento, indipendente dai precedenti, e si ottengono le seguenti
misurazioni per le 3 variabili sopra descritte X ∗ = (X1∗ , X2∗ , X3∗ ) = (0.45, 0.33, 2.8). I
risultati di questo esperimento sono significativamente diversi dai precedenti?
(Per i test utilizzare α = 0.05)
1
Riportiamo di seguito alcune formule utili per i test collegati alla PCA:
• Intervallo di fiducia per la statistica Q = (X − X̂)0 (X − X̂) è [0, Qα ], con
√
¸1/h0
cα 2θ2 h0 2 θ2 h0 (h0 − 1)
+
Qα = θ1
+1
θ1
θ1 2
P
P
P
1 θ3
, cα =oppurtuno valore critico
dove θ1 = pi=k+1 λi , θ2 = pi=k+1 λi 2, θ3 = pi=k+1 λi 3, h0 = 1 − 2θ
3θ2 2
di una N (0, 1).
·
• Test per individuare le k componenti principali che portano più informazioni: utilizza la statistica
Pp
p
X
j=k+1 λj
C = −(n − 1)
log(λj ) + (n − 1)(p − k) log(
)
p−k
j=k+1
che sotto l’ipotesi nulla ha distribuzione χ2(p−k−1)(p−k+2)/2 .
2