Analisi numerica di architetture innovative per sensori di radiazione

Università degli Studi di Perugia
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea Specialistica
in Ingegneria elettronica
Analisi numerica di architetture
innovative per sensori di radiazione
Laureando
Relatore
Meroli Stefano
Prof. Daniele Passeri
Correlatore
Prof. Leonello Servoli
Anno Accademico 2007-2008
1
2
E pur si muove…….
Alla mia Famiglia
A Eleonora e Arianna
e a tutti quelli che non si stancano mai
di conoscere nuove cose
3
4
Indice
Capitolo 1. LHC e CMS ...................................................................................................................................9
1.1 LHC ..........................................................................................................................................................9
1.2 L’esperimento CMS ...............................................................................................................................11
1.2.1 Il sistema tracciante di CMS............................................................................................................12
1.2.2 Il sottorivelatore a Pixel...................................................................................................................13
1.2.3 Il sistema a Microstrisce di Silicio ..................................................................................................14
1.3 Super LHC..............................................................................................................................................15
Capitolo 2. Rivelatori di particelle ................................................................................................................17
2.1 Proprietà fisiche del silicio .....................................................................................................................17
2.2 Equazione del moto nel silicio ...............................................................................................................20
2.3 La giunzione p-n .....................................................................................................................................22
2.4 Interazione tra una particella carica e silicio ..........................................................................................24
2.4.1 Scattering multiplo ..........................................................................................................................27
2.5 Principio di funzionamento di una giunzione p-n come rivelatore.........................................................28
2.6 Il danno da irraggiamento.......................................................................................................................29
2.6.1 Corrente di fuga ...............................................................................................................................31
2.6.2 Concentrazione efficace di droganti ................................................................................................32
2.6.3 Variazione della capacità .................................................................................................................33
2.6.4 Raccolta di carica ............................................................................................................................33
Capitolo 3. Strumenti di simulazione............................................................................................................35
3.1 ISE-TCAD ..............................................................................................................................................35
3.1.1 MDRAW .........................................................................................................................................36
3.1.2 MESH ..............................................................................................................................................38
3.1.3 DESSIS ............................................................................................................................................38
3.1.4 INSPECT e PICASSO .....................................................................................................................40
3.2 Geant4 ....................................................................................................................................................41
3.2.1 Utilizzo di Geant4 nelle simulazioni di dispositivo.........................................................................42
3.3 Il cluster di calcolo INFN GRID ............................................................................................................43
3.3.1 Installazione del pacchetto ISE-TCAD sul cluster ..........................................................................44
5
Capitolo 4. Rivelatori a Microstrisce............................................................................................................ 47
4.1 Capacità e tensione di svuotamento ....................................................................................................... 49
4.2 Rumore................................................................................................................................................... 50
4.3 Rilevatori a microstrip simulati.............................................................................................................. 53
4.3.1 Segnale ............................................................................................................................................ 55
4.3.2 Tensione di svuotamento ................................................................................................................ 63
4.3.3 Capacità........................................................................................................................................... 64
4.3.4 Rumore ............................................................................................................................................ 68
4.3.5 Rapporto S/N .................................................................................................................................. 70
4.3.6 Risoluzione spaziale........................................................................................................................ 71
Capitolo 5. Rivelatori a Pixel ........................................................................................................................ 75
5.1 Il pixel APS ............................................................................................................................................ 75
5.2 Rivelatori a pixel simulati ...................................................................................................................... 77
5.2.1 Segnale 3D ...................................................................................................................................... 79
5.2.2 Segnale 2D ...................................................................................................................................... 83
5.2.3 S/N, efficienza e risoluzione spaziale ............................................................................................. 87
5.3 Analisi di rivelatori APS integrati in tecnologia 3D .............................................................................. 88
5.4 Sensori 3D simulati ............................................................................................................................... 88
5.4.1 Segnale dei rivelatori 3D................................................................................................................. 89
5.4.2 Risoluzione ..................................................................................................................................... 90
5.4.3 Sensibilità ........................................................................................................................................ 94
Conclusioni .................................................................................................................................................... 97
Bibliografia ................................................................................................................................................... 103
6
Introduzione
Questo lavoro di tesi si inserisce in un ampio progetto di ricerca, che da anni vede collaborare il
Dipartimento di Ingegneria Elettronica e dell’Informazione dell’Università degli Studi di Perugia
e la sezione di Perugia dell’Istituto Italiano di Fisica Nucleare, volto allo sviluppo e alla
realizzazione di rivelatori di radiazione del sistema di tracciatura dell’esperimento Compat Muon
Solenoid (CMS) in corso di svolgimento presso il Large Hadron Collider (LHC) del CERN di
Ginevra.
Da pochi mesi infatti il LHC è in funzione ma già si pensa alla progettazione del Super-LHC, un
esperimento ancora più complesso e con vincoli molto più stringenti. Per questa ragione saranno
necessari rivelatori di radiazione sempre più pressanti, caratterizzati da migliori risoluzioni
spaziali e tempi di acquisizione ancora più limitati saranno necessari per far fronte ad un elevato
flusso di particelle generate dallo scontro di protoni accelerati a velocità prossime a quelle delle
luce.
In questo lavoro saranno quindi presentate diverse architetture innovative di rivelatori, ognuna
delle quali sarà caratterizzata tramite analisi numerica per definirne le proprietà e delineando le
linee guida per migliorarne il suo funzionamento.
Per far ciò un attento lavoro di simulazione è stato necessario; questo permette di verificare in
tempi molto rapidi la concretezza di nuove idee e soluzioni, orientando la produzione e lo
sviluppo dei nuovi rivelatori nella giusta direzione con un notevole abbattimento di tempo e di
risorse necessarie.
Gli strumenti di simulazione utilizzati sono diversi e grazie ad una proficua interazione tra essi
sono state effettuate analisi complete e dettagliate. Infatti integrando le informazioni ottenute dal
Geant4, software sviluppato dal CERN che simula il passaggio di particelle attraverso la materia,
e dal software ISE-TCAD 6.1, simulatore termoelettrico per dispositivi e circuiti a
semiconduttore, si è riusciti a caratterizzare la risposta di rivelatori in maniera assolutamente
completa e accurata.
Fondamentale per tutto ciò è stato l’impiego del cluster di calcolo sito presso l’INFN di Perugia.
Grazie all’immense risorse di calcolo che esso offre, si sono riuscite a effettuate analisi
approfondite e accurate che altrimenti sarebbero state inimmaginabili.
Le architetture proposte e studiate sono diverse; si è partiti dall’analizzare i classici rivelatori a
microstriscia e a pixel sino ad arrivare allo studio di innovativi rivelatori 3D. Per ognuna di esse
sono stati definiti algoritmi in grado di identificare numericamente la loro efficacia nel rilevare il
passaggio di una particella ionizzante.
7
Il contenuto dei vari capitoli è il seguente:
•
Nel Capitolo 1 è data una descrizione generale della macchina acceleratrice LHC, del
rivelatore CMS e del futuro acceleratore SLHC.
•
Nel Capitolo 2 sono descritti i principi di funzionamento dei sensori al silicio, ponendo
particolare attenzione ai fenomeni fisici che governano l’interazione tra particelle
ionizzanti e materia.
•
Nel Capitolo 3 sono descritti il pacchetto di simulazione ISE-TCAD, il software Geant4, e
il cluster di calcolo su cui sono stati istallati.
•
Nel capitolo 4 sono descritti i rivelatori a microstriscia simulati e i risultati ottenuti.
Differenti geometrie e diversi parametri tecnologici sono stati studiati e per determinare la
soluzione più efficace nel rivelare particelle ionizzanti. Dove possibile i risultati ottenuti
dalle simulazioni sono stati confrontati con risultati sperimentali.
•
Nel Capitolo 5 sono descritti i rivelatori a pixel simulati. Nella prima parte si sono studiati
i classici rivelatori a pixel APS definendo come la loro risposta a una particella ionizzante
possa variare in funzione dei suoi parametri tecnologici e geometrici. Nella seconda parte
sono stati introdotti e caratterizzati innovativi sensori multi-layer, rivelatori formati da
sottili layer sovrapposti e precisamente allineati che permettono di stimare con estrema
precisione il momento e la traccia della particella incidente.
8
Capitolo 1. LHC e CMS
1.1 LHC
Il collisionatore adronico LHC (Large Hadron Collider), rappresentato in Figura 1 è stato
progettato per collisioni protone–protone con un’energia del centro di massa pari circa a14 TeV,
valore che supera di un ordine di grandezza quello raggiunto dal Tevatron al Fermilab.
Il sistema di acceleratori di LHC è mostrato in Figura 2: dalla sorgente viene creata una corrente
di protoni pari a 250 mA che vengono iniettati in un acceleratore lineare (LINAC) e accelerati
fino ad un’energia di 50 MeV. Il sistema di acceleratori circolari successivi è composto dal PSB
(Proton Synchroton Booster), PS (Proton Synchroton), SPS (Super Proton Synchroton), e
costituisce il sistema iniettore di LHC [1]. Dopo gli acceleratori circolari, raggiunta un’energia di
450 GeV, i due fasci di particelle vengono iniettati, con versi opposti, all’interno di tubi a vuoto in
una circonferenza di 27 km (il tunnel di LHC). I fasci di protoni avranno un’energia di 7 TeV
ciascuno, grazie all’accelerazione fornita da cavità superconduttrici a radio frequenza. La
curvatura della traiettoria sarà mantenuta da 8000 magneti superconduttori posti lungo la
circonferenza del tunnel e raffreddati con elio superfluido ad una temperatura di 1.9 K, che
forniscono campi magnetici di 8.33 Tesla. L’osservazione di eventi di grande interesse fisico a tali
energie, richiede un’elevata luminosità (definita come il numero di particelle che collidono per
unità di tempo ed unità di superficie). Per questo LHC è stato progettato per raggiungere una
luminosità di 1034 cm−2s−1, che corrisponde ad una frequenza di incrocio di 40 MHz; a tale
frequenza il numero atteso di particelle prodotte ad ogni interazione è di circa 109. Per
raggiungere una luminosità così elevata i due fasci consisteranno di 2835 pacchetti di 1011
particelle l’uno che si incroceranno ogni 25 ns.
Nei quattro punti di interazione, dove i fasci verranno fatti collidere o estratti, si collocano gli
esperimenti CMS (Compact Muon Solenoid), ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS), ALICE
(esperimento rivolto allo studio della fisica degli ioni pesanti) e LHCb (esperimento rivolto allo
studio della fisica dei mesoni B).
Per ottenere elevate energie ed elevata luminosità in un collisionatore protonico, occorre tenere
sotto controllo alcuni fenomeni fisici come:
9
-
la diminuzione della densità dei pacchetti di particelle, dovuta alla repulsione
coulombiana tra le particelle;
-
l’instabilità collettiva, che comporta la perdita di alcune particelle nel fascio ed è dovuta
alle oscillazioni generate dalle interazioni di tipo elettromagnetico fra pacchetti
consecutivi;
-
perdite di energia del fascio per emissione di radiazione di sincrotrone.
Lo sviluppo tecnologico raggiunto sia in fase di progettazione che in fase di costruzione è stato
rivolto alla massima riduzione di tali fenomeni ed alla massimizzazione del potenziale fisico
dell’apparato. Ci si aspetta che il funzionamento di LHC inizierà con una luminosità di
2 × 1033cm−2s−1 (bassa luminosità), che corrisponde a circa l’1% del valore di progettazione.
Per l’elevato flusso di particelle provenienti dalle interazioni fra protoni, l’ambiente di LHC
risulterà molto radioattivo: il flusso integrato su 10 anni di funzionamento, arriverà a valori
superiori a 1017 neutroni per cm2 e fino a 107 Gy (dove 1 Gy=1 Joule/Kg in unità di energia
assorbita).
Figura 1 Schema di LHC
10
Figura 2 Schema del sistema di acceleratori al CERN
1.2 L’esperimento CMS
CMS (Compact Muon Solenoid) è un grande rivelatore che opererà a LHC. CMS è stato
progettato per soddisfare molti requisiti [2]. Innanzi tutto deve avere una struttura a simmetria
cilindrica, in cui i sottorivelatori si alternano l’uno dentro l’altro per coprire un angolo solido di
quasi 4 π attorno al punto in cui si incrociano i fasci. I sottorivelatori che costituiscono CMS
sono considerati standard per gli esperimenti ai collisionatori; a partire dal più interno, si ha il
sistema tracciante, il sistema di calorimetri, ed il sistema di camere a µ. Complessivamente il
rivelatore è lungo 21.6 m, ha un diametro di 14.6 m e un peso totale di 14.500 tonnellate. La parte
centrale più interna, a forma di cilindro, è il barrel, che si estende coassialmente alla linea del
fascio; le estremità, poste perpendicolarmente alla direzione del fascio, che chiudono il cilindro,
sono gli end−cap. In Figura 3 è mostrato lo schema dell’esperimento.
Il cuore del rivelatore è costituito dal magnete solenoidale di materiale superconduttore. L’elevato
campo magnetico generato (4 Tesla) permette di avere un’alta risoluzione in impulso, misurato
dal sistema tracciante, anche con un piccolo braccio di leva; infatti la risoluzione in impulso,
ricavato dalla curvatura delle tracce delle particelle cariche in un campo magnetico, è
inversamente proporzionale all’intensità del campo:
σ ( p)
p
∝
p
qBL
(1.1)
11
dove p è l’impulso misurato, q è la carica delle particella, B l’intensità del campo magnetico e L il
braccio di leva.
Figura 3 Schema di CMS
1.2.1 Il sistema tracciante di CMS
Di elevato interesse per il lavoro qui presentato il funzionamento del sistema tracciante di CMS.
Questo è stato progettato per soddisfare le seguenti richieste:
-
Elevata efficienza nella ricostruzione di tracce cariche: il tracciatore di CMS ricostruisce
tracce a elevato impulso trasverso (pT) con efficienza maggiore del 90%.
-
Precisa determinazione dell’impulso delle particelle cariche.
-
Elevata capacità di identificazione di vertici primari e secondari: la risoluzione spaziale
richiesta per la determinazione del parametro d’impatto è di 20 µm nel piano trasverso al
fascio e 100 µm lungo l’asse z.
-
Resistenza alle radiazioni
-
Velocità nella risposta: in fase di alta luminosità di LHC si avranno 109 eventi al secondo,
ognuno dei quali sarà caratterizzato da un’elevata molteplicità di tracce cariche.
12
Per questo è stato considerato un rivelatore al silicio suddiviso in due sotto rivelatori: il sistema di
Pixel ed il sistema a Microstrisce (vedi Figura 4).
Figura 4 Struttura del sistema tracciante di CMS
La scelta di una diversa architettura per la regione più interna (Pixel) rispetto a quella più esterna
(Microstrisce), si riconduce alla richiesta di avere vicino alla regione dove si incrociano i fasci
un’ottima risoluzione spaziale e una massima granularità, per poter riconoscere anche le tracce a
basso impulso e per ricostruire con precisione i vertici.
1.2.2 Il sottorivelatore a Pixel
Il sistema di Pixel è la parte più vicina al punto di interazione data la sua elevata granularità (la
dimensione dei pixel è 150 µm × 150 µm). Questo sottorivelatore ricopre un raggio che va da 3.7
cm a 21 cm, intorno alla linea dei fasci, ed è lungo 1 m (±50 cm dal punto di interazione). È
suddiviso in barrel ed end-cap.
Il barrel è costituito da tre strati di pixel (layer), ognuno dei quali è diviso in due mezzi cilindri
formati da ladder, macrocomponenti costituiti da otto moduli di pixel. Il primo strato ha 18 ladder,
il secondo 30 ed il terzo 46, per un totale di 752 moduli. Durante la prima fase di funzionamento
di LHC (periodo di bassa luminosità) saranno inizialmente inseriti solo due strati di pixel nel
barrel collocati a ~ 4 cm e ~ 7 cm di raggio. In una seconda fase, sempre per bassa luminosità
sarà inserito anche il terzo strato ad un raggio di ~ 11 cm, per ottimizzare la ricostruzione delle
tracce e dei vertici. Per la fase di alta luminosità verranno lasciati solamente i due strati più esterni
(vedi Figura 5).
13
Figura 5 Schema del rivelatore a Pixel di CMS nella configurazione di alta luminosità
Con una tolleranza alla radiazione equivalente a 6 × 1014 neutroni di 1 MeV per cm2, il tempo di
funzionamento previsto ad alta luminosità è 2 anni per lo strato più interno, 5 per lo strato
intermedio e 10 per quello più esterno. Al fine di localizzare vertici, primari e secondari, è
richiesta una misura da parte del rivelatore a pixel di tutte e tre le coordinate spaziali, con buona
precisione. La risoluzione raggiunta è di 15 µm in tutte le coordinate.
1.2.3 Il sistema a Microstrisce di Silicio
Il rivelatore a microstriscia di silicio (SST) si estende per 5.6 m lungo la linea dei fasci. Nella
regione del barrel si hanno 10 strati concentrici, composti da moduli singoli e a doppia faccia, che
forniscono la misura nel piano rΦ delle tracce. Alcuni moduli inclinati provvedono anche alla
misura della coordinata z. I quattro strati più interni costituiscono l’inner barrel: questo si estende
per ±65 cm lungo la direzione dei fasci. Gli altri sei strati costituiscono l’outer barrel e
completano la copertura in | z | fino a 110 cm.
Gli end-cap consistono in 9 grandi dischi posti in 120 cm < | z | < 280 cm e di tre piccoli dischi
che ricoprono la regione lasciata scoperta dal barrel. Questi anelli forniscono la misura delle
coordinate zΦ della traiettoria. Ogni modulo consiste in un supporto in fibre di carbonio, in una
lastra di kapton su cui sono posti i sensori al silicio, collegato all’ibrido che costituisce
l’elettronica di lettura. Un singolo modulo è spesso circa 300 µm, mentre due moduli attaccati
nella configurazione a doppia faccia raggiungono uno spessore di 500 µm.
14
Figura 6 Sezione longitudinale del tracciatore al silicio di CMS
La risoluzione spaziale varia tra 20 µm nell’inner barrel a 40 µm nell’outer barrel. Questa
differenza è dovuta alla differente distanza fra strip e sensori nelle due zone (vedi Figura 6).
1.3 Super LHC
Il Super Large Hadron Collider (Super LHC o SLHC) è una proposta di aggiornamento per LHC
che dovrebbe realizzarsi per il 2020. L'aggiornamento ha lo scopo di aumentare la luminosità
della macchina di un fattore 10 portandola a 1035 cm-2 s-1, fornendo una migliore possibilità di
vedere processi rari e di migliorare la statisticamente di tutte quelle misurazioni marginali e poco
frequenti. Una raccolta di disegni e modelli sono ora allo studio presso il CERN per definire il
percorso più efficiente per l'aggiornamento del collisionatore . Un seminario si è svolto nel 2006
per stabilire quali sono le opzioni più promettenti. Aumentare la luminosità di LHC comporta la
riduzione della dimensione di fasci nel punto di collisione e l’aumento significativo della loro
popolazione. Il più alto tasso di eventi che ne deriva pone importanti sfide per il rivelatori di
particelle situate vicino le zone di collisione.
15
16
Capitolo 2. Rivelatori di particelle
Sviluppi nel campo dei rivelatori di particelle hanno sempre portato a grandi cambiamenti nella
comprensione della fisica moderna e nella qualità degli esperimenti. Esempio di ciò, fu la camera
a fili proporzionale , inventata da G.Charpak nel 1968 e premiata con un Nobel, che permise per
la prima volta la determinazione del moto di un elettrone con una precisione inferiore al
millimetro. Grazie a ulteriori progressi e all’utilizzo di “drift chamber” si ottennero risoluzioni
spaziali dell’ordine dei 100 µm. Con la realizzazione delle prime microstrip in silicio (inizi anni
80) si riuscì a scendere a risoluzioni inferiori ai 10 µm. Infine l’avvento dei rivelatori a pixel ha
aperto una nuova frontiera rivoluzionando completamente la qualità e le tecniche di misurazione.
A LHC, vicino al punto di interazione, nessun altro tipo di rivelatore sarebbe capace di far fronte
a un così alto flusso di particelle con una così elevata risoluzione. Il loro vero punto forte è la
possibilità di effettuare misure spaziali 3D con rate di acquisizione elevatissimi. In futuro si sta
già pensando allo sviluppo di nuovi sensori: rivelatori a pixel integrati multi-layer. Questi grazie
alla sovrapposizione di più layer, precisamente allineati e assottigliati ,permetteranno l’esatta
determinazione della traiettoria e del momento di una particella.
2.1 Proprietà fisiche del silicio
Il silicio è un elemento appartenente al IV gruppo della tavola periodica e con numero atomico
Z=14. Come il carbonio la sua struttura cristallina è cubica a facce centrate e ciascun atomo nel
reticolo forma un legame covalente con i quattro atomi adiacenti dando origine a un tetraedro [3].
In un solido gli elettroni legati a molecole o atomi occupano dei livelli energetici ben definiti tra
loro. Il principio di Pauli impedisce che più di due elettroni occupino lo stesso livello. A causa del
grande numero di elettroni i livelli energetici sono così vicini l’un all’altro che risultano arrangiati
in bande con valori continui di energia. Gli elettroni legati ai loro atomi giacciono nella banda di
valenza mentre gli elettroni liberi, che contribuiscono alla conducibilità elettrica del materiale,
sono nella banda di conduzione. Tra le due bande c’è una regione proibita, dove non sono
permessi livelli energetici, detta Energy gap (Eg). Per il silicio Eg è pari a 1.12 eV.
La probabilità che un elettrone possa saltare dalla banda di valenza a quella di conduzione è:
17
− Eg
Pe ∝ e
(2.1)
KT
dove K è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta.
È semplice vedere che per T=0 gli elettroni giacciono tutti nella banda di valenza. Aumentando la
temperatura gli elettroni acquisiscano energia termica e incrementano la loro probabilità di
passare nella banda di conduzione. Questo passaggio lascia libero nella banda di valenza uno stato
vuoto, detto buca o lacuna, che può essere occupato da un elettrone vicino generando un
apparente moto di cariche positive.
A temperatura ambiente la concentrazione totale di atomi è 5 x 1022 cm-3 e di questo il numero di
portatori liberi per unità di volume è 1.45 x 1010 cm-3.
Per aumentare il numero di portatori di carica liberi vengono iniettati nel silicio elementi del III e
V gruppo della tavola periodica, detti droganti. Questi atomi si stabiliscono nel reticolo cristallino
in sostituzione di un atomo di silicio e diventano elettricamente attivi.
Gli elementi del V gruppo (donori) presentano un elettrone aggiuntivo che risulta legato più
debolmente e quindi più facilmente eccitabile in banda di conduzione; il silicio così drogato è
detto di tipo n. Gli elementi del III gruppo (accettori) tendono a rubare al vicino atomo di silicio
un elettrone creando una lacuna, in questo caso il silicio si dice di tipo p.
L’introduzione dei droganti determina la nascita di nuovi livelli energetici consentiti tra banda di
valenza e banda di conduzione. A temperatura ambiente praticamente tutti gli atomi di drogante
sono ionizzati e la generazione termica porta un contributo trascurabile alla concentrazione di
portatori: il silicio è diventato un semiconduttore estrinseco. A temperature maggiori il silicio
torna a essere un semiconduttore intrinseco, dato che prevale nuovamente la generazione termica.
Matematicamente la distribuzione dei portatori nelle due bande è descritta dalla distribuzione di
Fermi-Dirac:
1
f (E) =
e
E − EF
KT
(2.2)
+1
dove EF rappresenta il livello di Fermi che per il silicio intrinseco giace approssimativamente al
centro dell’Eg.
Per conoscere la densità dei portatori nelle banda di conduzione occorre integrare la distribuzione
di Fermi-Dirac con g(E), funzione che descrive la densità degli stati ammessi al variare
dell’energia
∞
n=
∫ g ( E ) f ( E )dE
(2.3)
Ec
In un semiconduttore intrinseco la concentrazione di elettroni in banda di conduzione (n) è uguale
alla concentrazione in banda di valenza (p) e si può dimostrare come:
18
n ⋅ p = ni
2
3
2
− Eg
( 2 .4 )
∝ T e KT
dove ni è la concentrazione dei portatori intrinseci.
Questa equazione è detta legge dell’azione di massa e vale in condizioni di equilibrio
termodinamico sia per i semiconduttori intrinseci che per i semiconduttori drogati [4].
Nei semiconduttori drogati, dato che la conducibilità elettrica è dominata dalle impurità
introdotte, si può affermare che n ≈ ND, dove ND rappresenta la concentrazione degli atomi
donori. Analogamente quando il drogaggio è di tipo p si ha che p ≈ NA, dove NA è la
concentrazione degli atomi accettori. Si ha quindi che per un semiconduttore drogato con donori:
2
n = ND
n
p= i
ND
(2.5)
mentre se il si introducono accettori si ha:
2
p = NA n =
ni
NA
( 2 .6 )
Queste relazioni restano vere sino a drogaggi molto elevati, ma comunque inferiori 1019 atomi
droganti per cm3; a queste densità EF raggiunge una delle bande e il semiconduttore diventa
degenere, comportandosi come un conduttore. La variazione di EF in un semiconduttore drogato
permette di preservare la neutralità di carica [5].
Tabella 1 Principali proprietà del silicio a 300 K
Numero atomico Z
14
Peso Atomico
28.086 uma
Densità
2.33 g cm-3
Costante dielettrica relativa εr
11.9
Concentrazione di atomi nel reticolo
5 x 1022 cm-3
Energy Gap
1.12 eV
Concentrazione intrinseca
1.45 x 1010 cm-3
Mobilità degli elettroni µn
1450 cm2 (Vs)-1
Mobilità delle lacune µp
450 cm2 (Vs)-1
Resistività ρ
235 kΩ cm
Campo elettrico di rottura
30 V µm-1
Lunghezza di radiazione Xp
21.824 cm g -2
19
2.2 Equazione del moto nel silicio
Secondo il modello di Drude gli elettroni presenti in un metallo possono essere trattati come un
gas perfetto, il cui moto è dato dall’azione combinata dell’accelerazione imposta dal campo
r
elettrico esterno E e dagli urti con gli atomi del reticolo. Ne segue che:
r
qτ r
v n = −( e ) E
mn
( 2 .7 )
dove qe, mn indicano rispettivamente la carica e la massa dell’elettrone; τ è il tempo libero medio
r
trascorso tra due urti successivi e vn la velocità di trascinamento.
L’equazione stabilisce che la velocità di deriva dell’elettrone è proporzionale al campo elettrico
applicato. Il fattore di proporzionalità è chiamato “mobilità”:
µn =
qeτ
mn
(2.8)
pertanto il tutto può essere riscritto come:
r
r
vn = − µ n E
(2.9)
Un’analoga espressione si può scrivere per le lacune della banda di valenza:
r
r
vp = µ pE
(2.10)
Si nota come le lacune, al contrario degli elettroni, si muovono nello stesso verso del campo
elettrico.
La mobilità è un parametro che descrive con quale facilità i portatori di carica migrano, all’interno
del materiale in cui si trovano, sotto l’azione di un campo elettrico esterno.
La mobilità è strettamente legata ai diversi meccanismi di diffusione e scattering; i continui urti
con il reticolo e con le impurità droganti diminuiscono questa. Si può dimostrare come:
−
3
T 2
µ∝
NT
(2.11)
dove NT rappresenta la concentrazione totale di impurità (vedi Figura 7).
20
Figura 7 Andamento della mobilità in funzione della temperatura e del drogaggio
r
Un altro parametro molto importante è la conducibilità (σ). Questa lega il campo elettrico E
applicato alla densità di corrente totale che fluisce in un semiconduttore:
r
r
r
J = (qnµ n + qpµ p ) E = σE
(2.12)
Dalla equazione si nota come σ sia direttamente proporzionale a µ. La resistività di un
semiconduttore è il reciproco della conducibilità:
ρ=
1
σ
=
1
q(nµ n + pµ p )
(2.13)
Figura 8 Andamento della resistività in funzione della concentrazione del drogaggio
La resistività del silicio intrinseco a temperatura ambiente è di circa 235 KΩ·cm; dopo che ha
subito un processo di drogaggio, la resistività diminuisce raggiungendo valori variabili da qualche
Ω·cm a qualche KΩ·cm. Il substrato al silicio, usato nei rivelatori di particelle, presenta
generalmente una resistività di qualche KΩ·cm. In Figura 8 è mostrato la relazione tra drogaggio
e resistività del substrato.
21
2.3 La giunzione p-n
La struttura fondamentale della maggior parte dei rivelatori al silicio è la giunzione p-n. Essa si
ottiene mettendo a contatto un semiconduttore di tipo p e uno di tipo n. La discontinuità nella
concentrazione di carica nei due lati della giunzione causa la diffusione dei portatori maggioritari:
le lacune diffondono dal lato p al lato n e gli elettroni dal lato n al lato p. Questo moto di portatori
crea in prossimità della giunzione una regione priva di carica mobile e caratterizzata da una carica
fissa, negativa nel lato p, positiva nel lato n e localizzata nei siti ionizzati degli atomi droganti. La
carica non bilanciata produce un campo elettrico che si oppone all’ulteriore diffusione di portatori
maggioritari. Questa regione è detta “carica spaziale” o di ”svuotamento”. Scegliendo un sistema
di assi cartesiani con l’origine nel punto di contatto dei due tipi di silicio (vedi Figura 9) ed
utilizzando l’equazione di Poisson si può calcolare il campo elettrico e il potenziale in funzione
della coordinata trasversale alla giunzione:
d 2V ( x)
ρ ( x)
=−
2
ε si ε 0
dx
(2.14)
dove V(x) rappresenta il potenziale in x e ρ(x) la densità di carica.
Il campo elettrico nella regione di svuotamento è
E=−
dV
dx
(2.15)
Figura 9 Densità di carica, campo elettrico e potenziale in una giunzione p-n
La condizione di neutralità di carica nella giunzione ci impone che:
( 2.16)
N A x p = N D xn
La regione di svuotamento si estende quindi maggiormente nella regione a minore concentrazione
di impurità.
22
Conoscendo la ρ(x) si può arrivare a definire la differenza di potenziale ai capi della regione di
svuotamento, detta “potenziale di costruzione” (Vb):
Vb = V ( xn ) − V ( x p ) =
qe
2ε si ε 0
( N A x p + N D xn )
( 2.17)
dove Vb generalmente varia tra 0.6 e 0.8 V.
Quando si applica a una giunzione una tensione di polarizzazione dello stesso segno di Vb, la
regione di svuotamento cresce e la giunzione risulta polarizzata inversamente. Nel caso in cui il
potenziale applicato ha segno opposto a Vb, la regione di svuotamento si restringe e la giunzione si
dice polarizzata direttamente. Il segnale associato alla radiazione incidente è costituito da elettroni
e lacune, prodotte lungo la traccia della particella ionizzante nel volume occupato dalla regione
svuotata, pertanto esso risulta proporzionale all’estensione di tale regione. Per migliorare la
raccolta di carica e aumentare l’ampiezza del segnale generato sono impiegate giunzioni
polarizzate inversamente, in cui il lato p è posto a un potenziale minore rispetto a quello del lato
n. In questo modo la tensione esterna Vbias si somma a Vb, allontanando ulteriormente i portatori
maggioritari dalla giunzione ed estendendo la regione svuotata. L’estensione della regione di
svuotamento diventa:
w = x p + xn =
2ε siε 0 (Vb + Vbias ) 1
1
+
qe
ND N A
(2.18)
Si nota come la regione di carica spaziale cresce linearmente con la redice quadrata della tensione
applicata. Si definisce tensione di svuotamento (Vdepl) la tensione esterna per la quale w si estende
a tutto lo spessore d del lato del silicio meno drogato. Tensioni superiori a Vdepl non modificano
più la regione svuotata che occupa ormai tutto il volume disponibile; piuttosto esiste un limite
fisico all’aumento della Vbias che provocherebbe la rottura del sensore: parliamo della tensione di
rottura o di breakdown (Vbd).
La caratteristica statica (corrente in funzione della tensione di polarizzazione) per una giunzione
p-n ideale è:
I = I 0 (e
−
Vbias
kT
− 1)
(2.19)
dove I0 è detta corrente di saturazione. Tuttavia questa equazione fornisce un andamento solo
qualitativo a causa dei fenomeni di generazione e ricombinazione dei portatori nella regione di
svuotamento; inoltre se la tensione applicata supera quella di breakdown la corrente aumenta
repentinamente sino a rompere la rottura. La corrente dovuta alla generazione e ricombinazione
dei portatori nella regione di svuotamento è descritta dalla teoria SHR. Secondo essa la presenza
di livelli vicini alla metà della banda proibita, dovuti a impurità o difetti del cristallo, causa
processi di generazione e di ricombinazione di coppie elettroni-lacune. Il processo di generazione
produce portatori per la conduzione, mentre il processo di ricombinazione permette la
23
ricombinazione di un elettrone e di una lacuna rimuovendo portatori dalla conduzione. In
polarizzazione inversa domina il processo di generazione. Va notato che esiste un ulteriore
contributo alla corrente di leakage, dovuto alla natura della superficie della giunzione e alla
perdita di regolarità reticolare ai bordi del cristallo. Sperimentalmente si può osservare come la
Ileak rimane proporzionale a
Vbias fino al completo svuotamento e successivamente non aumenta
sino al breakdown.
2.4 Interazione tra una particella carica e silicio
Le particelle cariche perdono energia nella materia per lo più per processi di ionizzazione o
eccitazione atomica [6]. L’energia che mediamente una particella rilascia (detta anche stopping
power e indicata come − dE / dx ), è data dall’equazione di Bethe-Bloch:
−
dE
Z 1  1 2me c 2 β 2γ 2Tmax
δ ( βγ ) 
= Kz 2
ln
−β2 −
2 
2
2 
dx
A β 2
I
(2.20)
dove:
Tmax = energia cinetica massima che può essere ceduta a un elettrone libero in una singola
collisione;
z = carica della particella incidente;
Z, A = numero atomico e peso atomico del materiale attraversato;
me = massa dell’elettrone;
re = raggio classico dell’elettrone;
I = costante di ionizzazione caratteristica del materiale assorbitore;
δ = fattore di correzione dovuto alla schermatura degli elettroni più interni;
ρ = densità del materiale che viene attraversato;
24
Figura 10 Stopping power nel rame
In Figura 10 è mostrata lo stopping power per un muone in funzione di βγ (βγ = p/Mc); la curva
mostrata in verità è caratteristica del rame, ma non si discosta molto dall’andamento che avrebbe
per altri materiali, tra cui il silicio. La funzione di Bethe-Bloch, per materiali con numero atomico
che varia tra 7 e 100, presenta un minimo sempre compreso nell’intervallo di βγ che va da 3 a 3.5.
Particelle aventi energia compresa in questo intervallo sono dette MIP (minimum ionization
particle) e sono quelle che rilasciano una quantità minima di energia nel materiale. In casi pratici
la maggior parte della particelle relativistiche hanno un rilascio di energia molto vicino al minimo
e perciò possono essere considerate MIP.
Per rilevatori con uno spessore x la distribuzione di probabilità che descrive il rilascio di energia è
adeguatamente descritta da una Landau (vedi Figura 11).
25
Figura 11 Distribuzione dell’energia rilasciata da un pione con energia di 500 MeV per rilevatori con diversi spessori di
silicio
Il picco della Landau (∆p/x) indica l’energia che con più probabilità sarà rilasciata nel silicio da
una particella; al contrario dell’energia media rilasciata, ∆p/x
dipende dallo spessore del
rilevatore come: a ln x + b .
Nel silicio − dE / dxmin è pari a 1.66 MeV/g-1cm-2, che data una densità di 2.33 g/cm3 equivale a
388 eV/um. Nel silicio per generare una coppia elettrone-lacuna sono necessari 3.6 eV; questo
valore è maggiore del salto di energia fra banda di valenza e banda di conduzione (1.115 eV) in
quanto il silicio è un semiconduttore a gap indiretto, cioè il minimo della banda di conduzione ed
il massimo della banda di valenza si trovano a diversi valori di momento k, e quindi le transizioni
interbanda devono essere accompagnate da emissione o assorbimento di fononi. Si deduce da
quanto detto, che al passaggio di una MIP sono prodotte in media 110 coppie per µm. In un
rilevatore dello spessore di 300 µm verranno prodotte pertanto 33000 coppie elettrone-lacune.
Sperimentalmente, si trova che la perdita di energia più probabile è di circa 80 coppie per µm (che
coincide con il picco della Landau per spessori pari a 300 µm), pari a un segnale di catodo di
24000 elettroni, contro i 33000 elettroni associati alla perdita di energia media. Questa asimmetria
è dovuta alle fluttuazioni presenti nella quantità totale di energia scambiata fra particella e il
cristallo di silicio. Per questa ragione per descrivere l’energia rilasciata da una particella nella
materia si preferisce utilizzare ∆p/x piuttosto che − dE / dxmin , che come spiegato risente dei rari
eventi in cui c’è un forte rilascio di energia e quindi porta a una sovrastima dell’energia rilasciata
26
da una particella. Le coppie elettrone-lacune prodotte sono confinate in un cilindro di diametro di
1 µm con asse la direzione di moto della particella [7].
Figura 12 Il picco della Landau (∆p/x) scalato di dE/dxmin per diversi spessori
2.4.1 Scattering multiplo
Una particella carica che attraversa un mezzo vede la sua traiettoria subire continue e piccole
deflessioni; molte di queste sono dovute alla scattering coulombiano causato dalla presenza dei
nuclei nel materiale.
Questo effetto è descritto dalla teoria di Moliere, in cui si ipotizza una situazione di isotropia del
materiale per cui le piccole deviazioni si distribuiscono simmetricamente intorno alla direzione di
incidenza che supponiamo essere x (vedi Figura 13). Il valore efficace dell’angolo di diffusione (o
scattering) viene fornito dall’equazione
θ0 =
13.6MeV
z x / X 0 [1 + 0.038 ln( x / X 0 )]
βcp
(2.21)
dove p, βc e z sono il momento, la velocità e il numero atomico della particella incidente, mentre
x/X0 lo spessore del mezzo attraversato normalizzato rispetto alla lunghezza di radiazione.
Si può notare come lo scattering è maggiore per particelle più lente o con carica maggiore. Il
teorema del limite centrale permette di approssimare la distribuzione di Moliere ad una gaussiana
avente valor medio nullo e deviazione standard θ0.
27
Per descrivere lo scattering dovuto alla sovrapposizione di più layer di materiale diverso si può in
prima approssimazione sommare quadraticamente i singoli θ0 calcolati per ogni layer. Questa
soluzione può però portare a una sottostima dello scattering totale, data la non assoluta gaussianità
della distribuzione degli angoli di scattering. Per questo è preferibile ricorrere ad appositi
programmi di simulazione (vedi Geant4) o calcolare una X0 che rappresenti globalmente tutta la
struttura sotto studio e inserirla poi nell’equazione 2.1.
Figura 13 Scattering multiplo di una particella carica all’interno di un materiale
2.5 Principio di funzionamento di una giunzione p-n come rivelatore
La particella carica che attraversa il rivelatore crea coppie elettroni-lacune lungo tutto il suo
percorso. Affinché esse generino corrente ai capi della giunzione è necessario che vengano divise
e trasportate secondo opportune direzioni.
28
Figura 14 Moto delle cariche in una giunzione p-n
Le coppie elettrone-lacuna generate nella regione di svuotamento vengono immediatamente
separate dal campo elettrico. Quando giungono nelle due regioni non svuotate (zone neutre)
possono anche ricombinarsi; le cariche di segno opposto con cui si ricombinano devono essere
fornite direttamente o indirettamente dal generatore, quindi si ha la corrente. Può succedere che le
coppie vengano generate nelle zone neutre, ma in prossimità della zona di svuotamento; queste
possono per diffusione giungere nella zona svuotata prima di ricombinarsi. Anche in questo caso
la separazione dà un contributo di corrente. Le coppie che vengono generate nelle zone neutre,
lontano dalla zona di svuotamento, si muovono randomicamente finché non si ricombinano. La
ricombinazione di elettroni e lacune avviene nella stessa zona neutra, quindi non dà un contributo
di corrente. Si ha solo un aumento dei portatori, quindi un incremento della conducibilità.
2.6 Il danno da irraggiamento
L’alta frequenza di iterazioni per le collisioni p-p a LHC (circa 109s-1) produrrà un elevato livello
di irraggiamento nei sensori che varierà in funzione della distanza dal punto di interazione. I
rivelatori al silicio occuperanno la regione centrale dell’apparato sperimentale di CMS, che è la
parte più esposta alle radiazioni e saranno disposti su supporti cilindrici coassiali alla linea di
fascio. Le principali sorgenti delle radiazioni sono le interazioni primarie e l’albedo del
calorimetro elettromagnetico, che circonda il sistema tracciante. Le interazioni p-p produrranno
mediamente ≈ 150 particelle per ogni collisione con una presenza dominante di pioni,
prevalentemente carichi, di energia cinetica di circa 300 MeV. La quantità con cui si è soliti
misurare l’irraggiamento è denominata fluenza. Essa rappresenta l’integrale sul tempo del flusso
ed è espressa in cm-2, mentre il flusso corrisponde al numero di particelle che attraversano l’unità
di superficie nell’unità di tempo ed è quindi espressa in cm-2s-1.
29
La fluenza totale ha un valore previsto di 1.6 x 1014 n/cm2 ad una distanza radiale dal fascio di
r = 21 cm, che corrisponde alla posizione occupata dal primo piano di rivelatori a microstrisce del
sistema tracciante. Per questa ragione è di fondamentale importanza capire e quantificare
matematicamente le conseguenze che un così alto flusso di particelle può avere sul sistema di
rivelazione [8].
Gli effetti dell’irraggiamento possono essere suddivisi in due classi: superficiali e di substrato.
Il danno superfiale si verifica quando la radiazione produce coppie elettroni-lacune nell’ossido
deposto sul lato giunzione del rivelatore. Qui, alcune delle coppie generate si ricombinano
all’interno dell’ossido, altre si muovono sia per effetto del campo elettrico sia per diffusione. Per
effetto del campo elettrico gli elettroni si dirigono verso l’interfaccia SiO2-Si e le lacune verso il
contatto metallico. Gli elettroni sfuggiti alla ricombinazione sono iniettati nel substrato; le lacune,
la cui mobilità è circa un terzo degli elettroni, rimangono intrappolate sull’interfaccia SiO2-Si.
Questo intrappolamento determina un aumento della carica positiva dell’ossido che si traduce in
una diminuzione dell’isolamento e in un aumento dell’accoppiamento capacitivo tra le strip.
Conseguenze dirette sono una maggior divisione tra più strip della carica raccolta e un aumento
del rumore dovuto all’innalzamento del carico capacitivo visto dall’elettronica di lettura.
Il danno di substrato avviene quando particelle incidenti trasferiscono al reticolo energia cinetica
sufficiente per dislocare un atomo di silicio dalla propria posizione reticolare. Questo danno
investe praticamente tutto il volume del rivelatore ed è essenzialmente dovuto a neutroni o
protoni. La soglia minima di energia necessaria è ≈ 15 eV. L’atomo colpito va ad occupare una
nuova posizione interstiziale lasciando così il sito reticolare vuoto (vacanza). L’atomo dislocato
perde energia lungo il suo cammino sia attraverso processi ionizzanti, che non producono danni al
materiale, sia attraverso ulteriori urti dislocanti, che producono altre coppie di difetti (cluster).
Il processo di danneggiamento dipende sia dall’energia che dalla massa della particella incidente.
Per esempio un neutrone da 1 MeV trasferisce dai 60 ai 70 KeV a un atomo di silicio, che, a sua
volta, produce uno spostamento di circa 1000 atomi dalla propria posizione reticolare in una
regione di dimensione di circa 0.1 µm. In media il 90% di vacanze si ricombinano con gli
interstiziali, recuperando parte del danno. Le rimanenti vacanze e gli interstiziali diffondono
attraverso il cristallo e reagiscono con gli altri difetti o con atomi d’impurità presenti nel reticolo
cristallino per formare complessi stabili.
Alla fluenza prevista il danno di superficie può essere controllato con un opportuno disegno del
rivelatore mentre il danno di substrato limita il tempo di vita del sensore in quanto comporta
notevoli cambiamenti nelle grandezze macroscopiche che lo caratterizzano [9].
Le variazione elettriche che si hanno in seguito a un elevato irraggiamento sono essenzialmente:
-
Un aumento della corrente di fuga delle strip;
-
Una variazione della concentrazione effettiva degli atomi droganti e di conseguenza della
tensione di svuotamento;
30
-
Un aumento della capacità totale delle strip;
-
Una diminuzione della carica raccolta.
Di seguito sono descritti più dettagliatamente questi quattro effetti.
2.6.1 Corrente di fuga
L’esposizione del rivelatore a un flusso di particelle crea centri attivi di generazione cosa che
implica la crescita della corrente inversa. Si osserva che dopo l’irraggiamento la corrente di fuga
aumenta linearmente con la fluenza. La dipendenza della corrente per unità di volume J = I / V
dalla fluenza assorbita può essere parametrizzata come:
∆J = J (Φ) − J (Φ = 0) = α Φ
(2.22)
dove α è chiamata fattore di danneggiamento della corrente inversa.
Dopo l’irraggiamento, la corrente di fuga evolve come una funzione del tempo e della
temperatura. In particolare essa diminuisce con il tempo secondo un processo detto “annealing
della corrente”, che porta alla cancellazione dei complessi di danneggiamento (vedi Figura 15).
L’annealing viene favorito con la crescita della temperatura; infatti dopo una lunga permanenza a
temperatura ambiente la corrente di fuga diminuisce di un fattore due o tre. Sfortunatamente la
corrente inversa cresce con la temperatura; è necessario quindi scegliere un compromesso tra una
bassa temperatura per limitare l’incremento della corrente di fuga e una temperatura ragionevole
per consentire un accettabile annealing.
Figura 15 Annealing della correnti di fuga a diverse temperature
31
2.6.2 Concentrazione efficace di droganti
Uno degli effetti predominanti che il danno da radiazione causa in un substrato di tipo n è la
rimozione di donori seguito da un aumento di difetti tipo accettori. Il cristallo progressivamente
subisce un inversione di tipo e gradualmente diventa di tipo p. Il comportamento di Neff di un
silicio di tipo n può essere descritto dalla seguente funzione empirica:
N eff = [ N D e − cΦ − N A − βΦ ]
(2.23)
dove ND è la concentrazione iniziale di donori, NA è la concentrazione iniziale di accettori, c
descrive il tasso di rimozione dei donori iniziali e β è il parametro che tiene conto
dell’introduzione di difetti che si comportano come accettori.
Figura 16 Tensione di svuotamento e Neff in funzione della fluenza equivalente ricevuta
Nella precedente figura sono riportati gli andamenti della concentrazione efficace e della tensione
di svuotamento in funzione della fluenza equivalente Φeq. Il valore minimo della concentrazione
efficace indica il punto di inversione, cioè la fluenza alla quale i donori sono bilanciati dai nuovi
accettori prodotti. In questa condizione il substrato è come se fosse intrinseco con tensione di
svuotamento nulla. Per fluenze maggiori, gli accettori sono dominanti e il materiale ha subito
inversione di tipo, da n a p. Da questo punto in poi, il numero di accettori aumenta, di
conseguenza la Neff e la Vdepl crescono proporzionalmente con la fluenza.
32
2.6.3 Variazione della capacità
Il valore della Cint può essere stimata, per un rivelatore non irraggiato, grazie alla conoscenza dei
parametri geometrici e tecnologici del rivelatore. Dopo l’irraggiamento la presenza di carica fissa
nell’ossido determina non solo un aumento di tale capacità, ma anche una dipendenza dalla
tensione esterna di polarizzazione. Per una tensione applicata dell’ordine di 500 V il valore della
Cint raggiunge un valore confrontabile con quello registrato prima dell’irraggiamento. Questo
andamento conferma la necessità di operare in condizioni di sovra svuotamento per limitare gli
effetti della carica intrappolata dell’ossido.
2.6.4 Raccolta di carica
I difetti indotti da radiazione introducono livelli energetici profondi nella banda interdetta, che
agiscono come trappole per elettroni e lacune create a loro volta da particelle ionizzanti. La carica
intrappolata in genere è rilasciata successivamente per eccitazione termica ma se il tempo di
emissione è maggiore del tempo di raccolta della carica si osserverà una carica raccolta. L’effetto
di intrappolamento si traduce in un decadimento esponenziale delle coppie inizialmente prodotte
(Qleft,0):
Qleft ,t (t ) = Qleft ,0 e
−
t
τ e ,l
(2.24)
dove τe,l rappresenta la vita media di elettroni e lacune prima di essere intrappolate, Qleft,t è il
numero di coppie presenti all’istante t. Sottoporre i rivelatori a ulteriori radiazioni comporterebbe
la crescita delle trappole e di conseguenza, la riduzione di τe,l. La diminuzione della raccolta di
carica insieme all’aumento del rumore porta a un peggioramento del S/N.
33
34
Capitolo 3. Strumenti di simulazione
Con l’avvento dell’informatica e soprattutto con l’aumento della capacità di elaborazione dei
calcolatori, è divenuto possibile simulare il comportamento dei dispositivi progettati in maniera
sempre più precisa ed in tempi sempre più brevi. Sono disponibili pacchetti CAD per l’elettronica
praticamente a livello di ogni attività di progetto e studio, i quali forniscono all’utente la
possibilità di studiare le differenti risposte di un sistema al variare di uno o più parametri
tecnologici, consentendo di definire gli obiettivi e le linee guida di una progettazione ottimale.
Per il presente lavoro si è utilizzato ISE TCAD Release 6.1, operante in ambiente GNU Linux, il
quale ha dato la possibilità, tramite i differenti strumenti software integrati nel pacchetto, di
eseguire lo studio di sensore di radiazione, dalla fase di disegno, fino a quella di verifica e
caratterizzazione. Oltre al pacchetto ISE-TCAD si farà riferimento anche al noto software Geant4
e come questo possa essere utilizzato in maniera proficua per lo studio dei sensori di radiazione.
Infine si illustrerà il cluster di calcolo, infrastruttura utilizzata per poter effettuare le simulazioni
presentate.
3.1 ISE-TCAD
ISE-TCAD è un simulatore termoelettrico per dispositivi e circuiti a semiconduttore, in grado di
valutare strutture da una a tre dimensioni [10]. Al suo interno si possono trovare numerosi modelli
fisici avanzati, insieme a diversi metodi numerici di risoluzione, che nel complesso consentono di
simulare un vasto campo di strutture, dalle tecnologie submicrometriche MOS fino a quelle
bipolari di potenza.
I punti chiave di questo strumento sono:
-
insieme di modelli dedicati alla fisica e al comportamento dei dispositivi a
semiconduttore;
-
supporto generale per l’analisi di strutture con diverse geometrie;
-
possibilità di analisi DC, AC, di rumore e tempo-varianti;
-
ampia scelta di algoritmi risolutivi non lineari;
-
supporto per simulazioni in modalità mista (dispositivo e circuito).
35
Di particolare interesse risulta essere il supporto per le simulazioni in modalità mista, poiché
permette l’analisi del dispositivo insieme al circuito che lo contiene. Il pacchetto è composto da
vari tools, quelli utilizzati per lo svolgimento del lavoro in esame sono: Mdraw, Mesh, Dessis,
Picasso e Inspect.
3.1.1 MDRAW
Lo strumento software MDRAW è un ambiente grafico per il progetto delle strutture oggetto di
simulazione. Esso è diviso in due sezioni: la zona di disegno, nella parte destra dello schermo,
nella quale si definisce graficamente il dispositivo, ed un pannello di controllo, sulla sinistra,
attraverso il quale si dispone degli strumenti di progetto.
Figura 17 Interfaccia grafica di Mdraw
È possibile lavorare in due modalità fondamentali:
-
BOUNDARY;
-
DOPING.
Nella prima si realizza la struttura, scegliendone le dimensioni, i materiali, e definendone i
contatti; nella seconda si provvede invece all’indicazione dei tipi di doping e alla creazione delle
griglie di discretizzazione spaziale.
36
Figura 18 (a) Boundary editor
(b) Doping editor
Sono possibili due profili di doping: costante, quando si vuole drogare una certa zona in maniera
omogenea, ed analitico quando la diffusione del drogante deve seguire un andamento descrivibile
tramite una funzione analitica. La creazione delle griglie o mesh è una operazione molto
importante e richiede un minimo di dimestichezza con lo strumento CAD. Il calcolatore, infatti,
esegue le simulazioni risolvendo le equazioni nei punti definiti dalla griglia. Una griglia poco fitta
dà luogo a simulazioni poco precise, mentre una griglia troppo densa fa crescere eccessivamente
il carico computazionale dilatando i tempi di calcolo. Il compito più oneroso è trovare il giusto
equilibrio tra precisione e velocità di elaborazione, tramite la scelta di un numero di punti
sufficientemente alto, ma non eccessivo. La tecnica qui applicata, per risolvere questo problema, è
quella dell’infittimento del refinement nei punti della struttura di maggiore interesse, come ad
esempio le giunzioni o le regioni attraversate dalla particella.
MDRAW restituisce in output i seguenti file:
-
File *.bnd: contiene le informazioni definite in modalità boundary sulla composizione
della struttura (dimensioni, materiali, contatti).
-
File *.grd: racchiude i dati relativi alla griglia come il numero di punti totali e le loro
corrispondenti coordinate spaziali.
-
File *.dat: registra tutte le informazioni riguardo i profili di drogaggio utilizzati.
-
File *.cmd: è un file in modalità di testo, pertanto modificabile dall’utente, che riepiloga
tutte le informazioni sul progetto (layout, mesh, contatti, doping).
-
File *.log : un file di registro che tiene memoria degli eventi accaduti durante la creazione
della struttura.
37
3.1.2 MESH
Permette di realizzare strutture in 3D a differenza di MDRAW, ma non ha un’interfaccia grafica. I
files di drogaggio e di geometria, necessari al programma, devono essere editati manualmente.
In Figura 19 sono indicati i files di ingresso e di uscita utilizzati da MESH :
Figura 19 Files di ingresso e di uscita utilizzati da MESH
msh.bnd contiene le caratteristiche geometriche del dispositivo, le dimensioni dello strato
epitassiale, del substrato, i tipi di materiale che vengono utilizzati, la posizione dei contatti
elettrici come mostrato nel seguente file.bnd di un semplice diodo.
msh.cmd contiene le informazioni inerenti ai vari livelli di drogaggio, al tipo di diffusioni
utilizzate ed i diversi raffinamenti per la griglia (files presenti in appendice).
Tale file è diviso in due sezioni:
-
Definitions: dove vengono indicate le caratteristiche ed i nomi utilizzati per i vari
raffinamento e le diffusioni.
-
Placement: dove vengono indicate le posizioni e le loro regioni di validità all’interno della
struttura.
msh.grd contiene l’insieme dei punti che definiscono la struttura della griglia generata, tenendo
conto delle condizioni indicate nei file di ingresso.
msh.dat contiene le informazioni, per tutti i punti della griglia, dei livelli di drogaggio.
3.1.3 DESSIS
Dessis è lo strumento di maggiore importanza del pacchetto ISE-TCAD, in quanto permette di
riprodurre il comportamento elementare di un qualsiasi dispositivo fisico.
Per il calcolo delle grandezze fisiche di interesse, caratterizzanti il dispositivo simulato, bisogna
risolvere l’equazione di Poisson e le equazioni di continuità di carica per elettroni e lacune:
38
dove:
Nd : concentrazione di atomi donatori (cm-3).
Na concentrazione di atomi accettori (cm-3).
G e R : tasso di generazione e di ricombinazione dei portatori liberi.
Je e jh : densità di corrente di elettroni e lacune.
n e p : concentrazioni degli elettroni e delle lacune.
φ : potenziale elettrostatico [V].
Le simulazioni che possono essere svolte sono: quasi-stazionaria, AC e tempo-variante .
Dessis prende in ingresso un file con estensione “.cmd “, contenente tutte le impostazioni di
simulazione, i file di uscita di MDRAW, il file parameter_name.par, contenente tutti i coefficienti
dei modelli utilizzati durante la simulazione, i quali possono essere modificati per meglio adattarli
alle proprie esigenze, e il file di comando command_des.cmd.
Figura 20 schema che mostra la relazione tra MDraw e Dessis
39
In uscita restituisce tre tipi di file:
-
*.plt : contenente i risultati della simulazione riguardanti le grandezze elettriche
macroscopiche (come corrente e tensione);
-
*.dat: contenente le informazioni relative alle grandezze elettriche microscopiche, quali
densità di elettroni (e/o lacune) e densità di corrente di elettroni (e/o lacune);
-
*.log: che tiene traccia di tutti i messaggi mostrati nel terminale durante la simulazione.
3.1.4 INSPECT e PICASSO
I risultati delle possibili analisi DC, AC, di rumore, quasi-stazionarie e tempo-varianti effettuate
con Dessis possono essere analizzati sfruttando altri due strumenti di ISE-TCAD, ovvero Inspect
e Picasso.
Inspect permette di visualizzare gli andamenti di grandezze fisiche come correnti e tensioni;
quindi è utile per studiare i risultati macroscopici contenuti nel file di uscita di Dessis con
estensione *.plt. Tra le tante opzioni è possibile graficare le curve di diverse funzioni
matematiche, sovrapporre più grafici per un confronto diretto e visualizzare i valori
corrispondenti alle curve in formato numerico.
Figura 21 caratteristica V‐I del diodo e rispettiva visualizzazione numerica della curva
Con Picasso, invece, vengono analizzati i risultati microscopici, come andamento del campo
elettrico, potenziale, densità di carica di elettroni e lacune. Il file da fornire come input è il file
con estensione *.dat, fornito sempre da Dessis.
40
Figura 22 campo elettrico nei pressi della giunzione
3.2 Geant4
Geant4 (abbreviazione di GEometry ANd Tracking, geometria e tracciamento) è una piattaforma
per la "simulazione del passaggio di particelle attraverso la materia". È lo strumento più recente
della serie di software GEANT sviluppata da una Collaborazione internazionale di cui anche il
CERN fa parte [11]. Come dice il suo sito, "La sua area di applicazione include esperimenti in
fisica delle alte energie, studi nucleari, applicazione in campo medico, acceleratori e astrofisica".
All’interno di Geant4 sono presenti strumenti per la definizione e il trattamento della geometria,
tracciamento, risposta dei rivelatori, gestione delle run, visualizzazioni ed interfaccia utente. Per
molte applicazioni fisiche questo significa richiedere meno tempo per i dettagli a basso livello, e i
ricercatori possono così iniziare immediatamente su aspetti più importanti della simulazione.
Di seguito è riportata una lista degli strumenti:
-
Geometry (geometria) è un analizzatore della disposizione fisica dell'esperimento,
rivelatori inclusi, e considera come questa disposizione influenzerà il percorso delle
particelle nell'esperimento.
-
Tracking (tracciamento) è un simulatore del passaggio delle particelle attraverso la
materia. Questo coinvolge la considerazione di possibili interazioni e processi di
decadimento.
41
-
Detector response (risposta dei rivelatori) registra quando una particella passa attraverso i
volumi dei rivelatori ed, approssimativamente, come un rivelatore reale potrebbe
rispondere.
-
Run manegement registra i dettagli di ogni run (un insieme di eventi), così come è
impostato un esperimento in differenti configurazioni tra le run.
Il fulcro di Geant4 gira intorno ad un ampio set di modelli fisici per gestire le interazioni di
particelle con la materia in un range molto vasto di energie. Geant4 è uno strumento che si
differenzia nettamente da altri software ad esso analoghi, in quanto è stato concepito e prodotto
secondo metodologie molto avanzate di ingegneria del software. E’ uno strumento sviluppato
formalmente presso il CERN, ma di fatto evoluto da una collaborazione di oltre 140 persone in
tutto il mondo. Geant4 è un insieme di librerie C++ ed è quindi nativamente orientato agli oggetti
(OO, Object Oriented). Le versioni più datate, risalenti al 1994, non erano scalabili e quindi non
permettevano il semplice inserimento di nuove porzioni di codice o modifiche di quelle già
presenti, rendendo molto difficoltose le operazioni di mantenimento.
Un toolkit come Geant4 prevede anche la capacità di evoluzione e di mantenimento, in modo da
rimanere costantemente aggiornato con le nuove scoperte della fisica, che vengono
immediatamente riportate all’interno del software dal team di supporto attraverso il rilascio, di
solito semestrale, di nuove release del software. Attualmente è anche possibile trovare sul sito
ufficiale di Geant4 (all’indirizzo cern.ch/geant4/) una corposa community appassionata che
fornisce preziosi consigli utili a risolvere i più svariati casi.
3.2.1 Utilizzo di Geant4 nelle simulazioni di dispositivo
Attraverso l’utilizzo di Geant4 si è riusciti a studiare nei minimi dettagli l’interazione tra
particelle ionizzanti e materia. Si è potuto osservare come una particella nell’attraversare il
sensore rilasci energia e devi la sua traiettoria in seguito a interazioni con il reticolo cristallino. La
stima fatta con Geant4 dell’energia mediamente depositata da una MIP nello strato sensibile del
sensore è stata utilizzata in ISE-TCAD per modellare correttamente la distribuzione di coppie
elettroni-lacune generate nel silicio.
L’analisi delle scattering multiplo ci ha permesso di osservare come il sensore stesso possa
influenzare la traiettoria della particella e perciò inficiare la sua misura.
In particolare in sensori in cui si aspira a ricostruire con elevate precisioni la traiettoria di una
particella, lo scattering multiplo rappresenta un limite per le prestazioni globali del sistema.
42
Figura 23 Struttura simulata in Geant4
In Figura 23 è mostrato il risultato di una simulazione eseguita in Geant4. La struttura costruita è
formata da quattro sensori a pixel APS sovrapposti e spaziati ognuno di 2 cm d’aria. Su questa
sono stati fatti incidere migliaia di elettroni con energia di 50 MeV. Si può notare come lo
scattering multiplo introdotto dai vari sensori aumenti la divergenza del fascio rendendo
praticamente impossibile fare qualunque stima sulle effettive tracce delle particelle.
3.3 Il cluster di calcolo INFN GRID
Data l’enorme mole di simulazioni da svolgere si è pensato sin dall’inizio di questo lavoro di
sfruttare le elevate potenzialità che il cluster di calcolo dell’INFN di Perugia mette a disposizione.
Infatti sin dal 2004, con oltre 100 CPU, il cluster dell’INFN di Perugia offre una potenzialità di
calcolo molto elevata diventando uno dei siti INFN GRID più importanti a livello nazionale [12].
La struttura del cluster di Perugia presenta vari nodi che possono essere suddivisi nel seguente
modo (vedi Figura 24):
-
UI (User Inteface): ogni gruppo di utenti ha una UI, essa contiene gli account degli utenti
appartenenti al gruppo. Sono gli unici nodi a cui gli utenti possono accedere;
-
SE (Storage Element): gestisce lo scambio dei dati via GRID, unico per tutto il cluster;
-
CE (Computing Element): è l'interfaccia verso la grid e si occupa dello smistamento dei
job, anche questo nodo è unico;
-
WN (Worker Node): sono i nodi che eseguono i job;
-
FS (File Server): sono i nodi che contengono i dati degli esperimenti.
43
Figura 24 Schema logico del cluster dell'INFN di Perugia
L'utente può accedere alla UI tramite SSH (Secure Shell), da qui può sottomettere job via GRID o
in modo Locale; nel primo caso deve possedere un certificato ed essere iscritto ad una VO
riconosciuta. La sottomissione Locale prevede invece l'utilizzo dei comandi del batch-system
torque [13].
3.3.1 Installazione del pacchetto ISE-TCAD sul cluster
Come accennato, la possibilità di utilizzare il software ISE-TCAD sul cluster di calcolo, ha
contribuito nel diminuire di circa due ordini di grandezza la durata dei run di simulazione.
Mediamente 40 CPU, funzionanti 24 ore al giorno, hanno permesso di accelerare le simulazioni e
ridurre ogni tempo di attesa. Gli stessi algoritmi MATLAB sviluppati sono stati ottimizzati per
interagire al massimo con il cluster e sfruttare a pieno la sua potenza di calcolo. In pratica run che
in precedenza richiedevano diverse settimane, tra simulazione e analisi, con il cluster venivano
eseguiti nell’arco di un giornata. In Figura 25 è riportato una zoom sull’interfaccia da cui l’utente
può controllare lo stato di avanzamento delle simulazioni.
44
Figura 25 Interfaccia da cui l’utente controlla i suoi job
Affinché il pacchetto ISE funzionasse correttamente sono stati molti gli accorgimenti necessari. Si
è partiti creando una macchina virtuale, Debian-etch minimale, tramite tecnologia Xen, su cui è
stato installato il software ISE. Questa macchina virtuale è stata definita server della rete
permettendo ai vari nodi del cluster, autenticandosi su essa, di utilizzare il software ISE.
Figura 26 Schema di funzionamento del cluster di calcolo
45
46
Capitolo 4. Rivelatori a Microstrisce
Un rilevatore a microstrip, schematizzato in Figura 27, è composto da un substrato di silicio di
tipo n, ad alta resistività e con spessore di qualche centinaia di micron, su cui vengono impiantate
delle sottili strip di tipo p+, fortemente drogate e di larghezza (w) e passo (p) variabile.
Figura 27 Sezione trasversale di un rilevatore a microstrip
Polarizzando in inversa le giunzioni si viene a creare una zona completamente svuotata di
portatori. Il forte campo elettrico permette la rilevazione anche di pochi fC rilasciati da una
particella ionizzante e la determinazione della sua posizione di incidenza (xhit) lungo la direzione
trasversale alle strip. L'informazione è di natura unidimensionale e per avere stime bidimensionali
occorrono altri piani di rivelatori disposti secondo opportune geometrie. Dalla parte opposta alle
strip il substrato viene ricoperto da uno strato di silicio n+ che garantisce un buon contatto ohmico
e evita che la regione svuotata raggiunga l’elettrodo inferiore causando una forte iniezione di
corrente.
Ogni strip è connessa tramite minuscole saldature ad una circuiteria esterna che si occuperà di
amplificare, filtrare e discretizzare il segnale ricevuto. La Figura 28 mostra il principio di questa
tecnologia ibrida.
47
Figura 28 Rilevatore a microstrip collegato all'elettronica di front-end
Esistono due possibili tipologie di connessione tra il rilevatore ed elettronica di front-end:
-
Accoppiamento in DC, in cui gli impianti p+ sono ricoperti da un sottile strato di
metallizzazione di alluminio, con uno spessore di circa 1 µm, a cui è connessa
l’elettronica;
-
Accoppiamento in AC, in cui tra l’impianto e la metallizzazione di alluminio viene
depositato un sottilissimo layer di ossido si silicio (SiO2) che impedisce alla corrente di
leakage di entrare nell’elettronica di front-end. Per ridurre lo spessore di questo ossido
talvolta si utilizza come dielettrico il nitruro di silicio (Si3N4) caratterizzato da una
costante dielettrica maggiore. Tuttavia l’utilizzo del Si3N4 porta ad un leggero incremento
della corrente di leakage dato che la densità di centri di generazione nell’interfaccia
nitruro-semicondittore aumenta. Nei rilevatori accoppiati in AC le strip sono polarizzate
con una linea comune integrata, tramite l’utilizzo di resistori in polisilicio del valore di
circa 2 MΩ.
Generalmente per innalzare la tensione di breakdown (Vbd) la metallizzazione di alluminio
depositata ha una larghezza maggiore dell’impianto. Questo “overmetal” permette di diminuire
l’intensità del campo elettrico nelle prossimità della giunzione e abbassare la probabilità di un
eventuale rottura [14].
48
In Figura 29 è mostrato il layout di un rilevatore a microstrip connesso in AC impiegato in CMS.
In color nero si possono notare le metallizzazioni su cui sono presenti delle piazzole necessarie
alla connessione dell’elettronica di front-end (ac pad), mentre gli impianti p+ sono contattati alla
linea di polarizzazione tramite piazzole più piccole (dc pad), poste all’estremità dei resistori di
polisilicio (indicati con una serpentina).
Figura 29 Layout di un rilevatore a microstrip impiegato in CMS
4.1 Capacità e tensione di svuotamento
Nella più semplice approssimazione si potrebbe considerare una microstriscia come un diodo di
spessore d e w/p unitario. In questo caso lo spessore della zona svuotata sarebbe:
x=
ε 0 ε siVbias
q e N eff
[ µm]
(3.1)
con
Neff = drogaggio effettivo
qe = carica dell’elettrone
ε0 = costante dielettrica nel vuoto
εsi = costante dielettrica del silicio
Il completo svuotamento è raggiunto se il diodo è polarizzato alla tensioni di:
Vdep,diode =
qe N eff d 2
2ε 0ε si
[V ]
(3.2)
Quando il substrato è completamente svuotato la capacità di backplane è pari a:
Cback ,diode = ε 0ε si
p
[ pF / cm]
d
(3.3)
Poiché la larghezza w della strip normalmente è più piccola del pitch p le equazioni (3.2) e (3.3)
subiscono una modifica. Risolvendo l’equazione di Poisson si ottiene che:
49
Vdep =
qe N eff  2
 w 
d + 2 pdf   [V ]
2ε 0ε si 
 p 
Cback = ε 0ε si
p
 w
d + pf  
 p
(3.4)
[ pF / cm]
(3.5)
dove f è una funzione approssimabile numericamente come:
f ( x ) = −0.00111x −2 + 0.0586x −1 + 0.240 − 0.651x + 0.355x 2
(3.6)
Tutti i rivelatori analizzati in questo lavoro vedono w/p variare tra 0.1 e 0.6, intervallo in cui la
funzione f decresce da circa 0.65 a 0.10 in maniera monotona [15].
Comparato a un normale diodo ci aspettiamo per una strip una più alta tensione di svuotamento e
una più bassa capacità di backplane; questa correzione diventa tanto più piccola tanto più grande è
il valore di w/p.
La capacità di una strip verso le altre adiacenti è definita “capacità di interstrip”. Spesso questa
rappresenta il maggior contributo alla capacità totale. Nel caso semplificato in cui lo spessore d
fosse infinito una buona approssimazione è rappresentata da:

w
Cint , d →∞ =  0.8 + 1.9  [ pF / cm]
p

(3.7)
La distanza non infinta del backplane dalla strip ridurrà il valore ottenuto dalla precedente
formula.
La somma dei due contributi capacitivi Cback e Cint restituisce la capacità totale Ctot che
rappresenta la capacità che ogni strip vede verso il rilevatore tutto.
Minimizzare la Ctot permette al rilevatore di avere basse cifre di rumore e di aumentare il numero
di elettroni che dal substrato fluiranno all’elettronica di front-end. Infatti detta Qin la carica
raccolta dall’elettronica, Qleft la carica rilasciata dalla particella nel substrato e Ccoup la capacità di
disaccoppiamento dell’ossido, vale la seguente relazione:
C cou p
Q in
=
Qleft C cou p + Ctot
(3.8)
perciò è ben evidente che Ctot << Ccoup
4.2 Rumore
Per caratterizzare il rumore nel detector e nell’elettronica di front-end è necessario definire le
seguenti sorgenti di rumore:
-
shot noise, generato quando un portatore di carica attraversa una barriera di potenziale;
50
-
thermal noise, generato dal movimento caotico delle cariche dentro il canale del transistor
dell’amplificatore di front-end;
-
1/f noise, generato dalle cariche che continuamente cadono e escono dalla trappole site
sull’interfaccia Si-SiO2 del canale del transistor [16].
Nella figura seguente è mostrato come queste sorgenti di rumore influenzano il sistema e come
condizionano il segnale misurato dal rilevatore.
Figura 30 (a) Un semplice schema di un rilevatore connesso ad un amplificatore di carica, rappresentato qui da un
semplice FET, e tre sorgenti di rumore: shot noise dovuto alla corrente di leakage del rilevatore, rumore 1/f e termico
dovuto al canale del transistor.
(b) Le sorgenti di rumore 1/f e termico sono trattate come un generatore di tensione posto all’ingresso
dell’amplificatore.
Grazie alla relazione i2 =(gmVin)2 le sorgenti di rumore 1/f e termico, rappresentati dai due
generatori di corrente a valle del FET (vedi Figura 30 (a)), possono essere viste come un unico
generatore di tensione posto in serie dell’amplificatore (vedi Figura 30 (b)).
Le sorgenti di rumore quindi possono essere scritte come:
8kt
df
3g m
-
rumore termico
v 2 therm =
-
rumore 1/f
v 21 / f =
-
rumore shot
i 2 shot = 2q e I leak df
1
df
C oxWL f
Kf
con
f = frequenza
k = costante di Boltzmann
T = temperatura
gm = transconduttanza del transistor
Kf = 1/f noise coefficient = 3-4 · 10−32 C2/cm2 per n-channel MOSFETs
W, L = larghezza e lunghezza del gate del transistor
Cox = capacità dell’ossido di gate
51
(3.9)
(3.10)
(3.11)
qe = carica dell’elettrone
Ileak = corrente di leakage del rilevatore.
È abitudine per gli amplificatori a integrazione di carica esprimere il rumore di uscita non in
termini di tensione ma di ENC (equivalent noise charge), dove l’ENC rappresenta il numero di
cariche che dovremmo avere in ingresso all’amplificatore per osservare in uscita una tensione di
rumore pari a <Voutnoise>.
ENC =
tensione di rumore in uscita (rms)
tensione di rumore in uscita generata da una carica e − in ingresso
(3.12)
Definita Cf è la capacità di feedback del preamplificatore, Cload la capacità del carico, Ctot la
capacità del rilevatore e τ
shaping
la costante di tempo di feedback, le formule (3.9) (3.10) e (3.11)
possono essere riscritte come:
I τ
I leak
τ f = 56e − leak f
2qe
nA us
ENC shot =
ENC therm =
ENC1/ f ≈
Cf
qe
Ctot
qe
V 2 therm =
Kf
CoxWL
(3.13)
kT 2Ctot C f
= 104e −
qe 3qe Cload
ln(τ f
Ctot C f
100 fF Cload
gm C f
Ctot
) = 9e −
Cload Ctot
100 fF
(3.14)
(3.15)
con la relazione
ENC2tot= ENC2shot + ENC2therm + ENC21/f.
(3.16)
Considerando l’amplificatore utilizzato in CMS, l’APV25 [17], il valore totale dell’ENC può
calcolato con le seguenti formule:
(ENC)2 = (246 + 36Ctot ( pF ))2 + (107
I leakτ shaping (uA ns) ) 2 in peak mode
(ENC)2 = (396 + 59Ctot ( pF))2 + (48.15
I leakτ shaping (uA ns) ) 2 in deconvolution mode (3.18)
(3.17)
dove peak mode e deconvolution mode sono due modalità di funzionamento del APV25.
52
Si può notare come il rumore totale del sistema dipenda solamente da Ctot, Ileak e τ
shaping
(che per il
APV25 è uguale a 50 ns).
In ultimo va aggiunto in quadratura un contributo di rumore dovuto ai link ottici, utilizzati per il
trasferimento dati, di circa 600 e-.
4.3 Rilevatori a microstrip simulati
Per effettuare delle corrette simulazioni di dispositivo la prima cosa da definire è la griglia di
discretizzazione del sensore. Questa deve portare a un buon compromesso tra veridicità dei
risultati e tempo CPU medio impiegato. Per definire il miglior passo di discretizzazione si è
studiato il comportamento di un rilevatore con diverse griglie, via via sempre più fitte. Nella
seguente tabella è mostrato come varia l’errore relativo dovuto ad una cattiva discretizzazione e il
tempo CPU impiegato, all’aumentare dei punti della griglia.
Tabella 2 Parametri griglia
Griglia 1
Griglia 2
Griglia 3
Griglia 4
Griglia 5
Griglia 6
Griglia 7
Numero dei punti
Discretizzazione
Discretizzazione
Errore
Tempo
della griglia
Giunzione [µm]
Substrato [µm]
relativo
impiegato [s]
3500
Max 0.5
Max 8
1.48 %
545
Min 0.3
Min 5
Max 0.5
Max 8
1.48 %
828
Min 0.1
Min 5
Max 0.5
Max 6
0.72 %
2089
Min 0.3
Min 3
Max 0.5
Max 6
0.72 %
2396
Min 0.2
Min 3
Max 0.5
Max 6
0.72 %
2400
Min 0.1
Min 3
Max 0.5
Max 5
0.66 %
4163
Min 0.3
Min 2.5
Max 0.5
Max 4
Min 0.3
Min 2
5500
7000
8000
9000
11300
23000
0.28 %
CPU
166430
(46 ore)
Si nota come la discretizzazione ottima è quella associata alla griglia 6, dato che la griglia 7,
sebbene fornisce un errore relativo minore ha dei tempi CPU che rendono questa praticamente
inutilizzabile [18].
Altro aspetto fondamentale da definire è il numero di strip da utilizzare nel sensore implementato.
Questo deve essere tale da limitare il cosiddetto “effetto di bordo”. Infatti i sensori simulati
presentano una strip centrale, da cui sono estratti i parametri elettrici presentati in questo lavoro, e
quattro strip di contorno che hanno il compito di far lavorare nel miglior modo possibile la strip
centrale. Senza queste strip la discontinuità dovuta ai bordi avrebbe condizionato la grandezza di
53
interesse (vedi linee di forza del campo elettrico, movimento dei portatori, etc..) influenzando in
maniera artificiosa i risultati ottenuti.
Le strip implementate sono accoppiate con l’elettronica esterna in DC e le metallizzazioni
depositate sugli impianti presentano un overmetal di 8um. Tra una strip e l’altra è presente un
sottile strato di ossido di silicio dallo spessore di 0.6 µm (vedi Figura 31(b) ).
Figura 31
(a) Rivelatore di default utilizzato nelle simulazioni con relativa griglia di discretizzazione
(b) Zoom sulla strip centrale
Gli altri parametri caratterizzanti i rivelatori simulati e i rispettivi range in cui sono stati variati
sono schematizzati in Tabella 3. In grassetto sono evidenziati i parametri di default utilizzati.
Spessore [µm]
Tabella 3 Parametri del rilevatore utilizzati nelle simulazioni
240
300
320
120
Pitch [µm]
80
Witdh/Pitch
0.15
240
120
Drogaggio n
10
Drogaggio p+
1018
Profondità impianto [µm]
1
Overmetal [µm]
8
Spessore ossido di campo [µm]
0.6
Numero di strip
5
Accoppiamento
DC
Tensione bias [V]
80
12
0.20
2*10
2
0.25
12
3*10
3
0.30
12
4*10
0.60
12
4
200
Per ogni rivelatore simulato si è misurata la carica raccolta quando attraversata da una MIP, i vari
contributi di capacità e la corrente di leakage.
54
4.3.1 Segnale
Per caratterizzare la risposta di una strip si è studiato come varia la carica raccolta dalla strip in
funzione della posizione di incidenza (xhit) e dell’angolo di incidenza (αhit) di una particella. I dati
presentati di seguito sono estratti dal rivelatore visualizzato in Figura 31, i cui parametri sono
evidenziati in grassetto in Tabella 3.
Figura 32 Risposta della strip centrale ad una MIP
(a) al variare di xhit
(b) al variare di αhit
Dalla Figura 32 (a) si nota come la risposta della strip abbia un andamento “ON/OFF”. La strip
raccoglie tutta la carica se la particella incide tra -60 e 60 µm (-pitch/2 e pitch/2) mentre al di fuori
di questo intervallo l’unico contributo di carica misurato è dovuto alla corrente di leakage. In
Figura 32 (b) ai può osservare come la carica raccolta dalla strip dipenda dall’angolo di incidenza
αhit. Per angoli compresi tra 0 e 15° la carica raccolta tende a crescere con l’angolo; questo è
dovuto alla particella che attraversa una porzione di substrato maggiore e può creare più coppie
elettroni-lacune. Per angoli maggiori di 15° la risposta della strip centrale diminuisce dato che la
carica inizia a dividersi tra più strip. Tutto ciò può essere rivisto nella figura seguente, dove è
rappresentata la risposta della strip centrale e delle sue due strip adiacenti. In Figura 33(a) si nota
che l’intervallo spaziale in cui c’è divisione di carica tra due strip è molto limitato (qualche
micron nell’intorno di pitch/2). Si può dire che la risposta del sensore abbia un comportamento
“digitale”, ovvero quasi sempre risponde solo la strip più vicina all’xhit. In Figura 33 (b) si può
meglio osservare la divisione della carica tra strip all’aumentare di αhit.
55
Figura 33 Risposta della strip centrale e delle sue due strip adiacenti a una MIP
(a) al variare di xhit
(b) al variare di αhit
Per meglio definire come la carica si divida tra due strip si può utilizzare la “ETA function”.
Definito il baricentro di carica come:
numero strip
∑xQ
X bar =
i i
i =1
numero strip
(3.18)
∑x
i
i =1
dove Qi e xi sono rispettivamente la carica raccolta e la coordinata della i-esima strip, la ETA
function indica come xbar si distribuisca statisticamente tra una strip e la sua adiacente. Nel caso in
cui si avesse un’elevata divisione di carica xbar sarebbe stato legato linearmente a xhit e la ETA
function si sarebbe distribuita uniformemente tra 0 e 120 µm [19].
La limitata divisione di carica porta a un andamento fortemente non lineare del baricentro di
carica e ad avere una ETA function con due picchi in 0 e 120 µm e un valore bassissimo in tutti
gli altri punti (vedi Figura 34).
56
Figura 34 (a) Andamento del baricentro di carica in funzione della posizione di incidenza
(b) ETA function.
Fondamentale per i rivelatori di radiazione è determinare anche l’efficienza di raccolta carica,
ovvero quello che nell’Equazione (3.8) è definito come Qin/Qleft. Nella seguente figura è mostrato
come varia la carica totale raccolta dal rivelatore in funzione di xhit e αhit.
Figura 35 Carica raccolta da tutto il rivelatore quando incide una MIP
(a) al variare di xhit
(b) al variare di αhit
Dalla Figura 35 (a) si nota come la carica raccolta sia costantemente pari a 9500 elettroni. Dato
che la particella rilascia nel rivelatore 9600 coppie elettroni-lacune, si ha che l’efficienza di
57
raccolta è pari a circa il 99%. In Figura 35 (b) si nota come la carica totale raccolta dipenda da
αhit come 1/cos αhit.
Definite le proprietà generali di un rivelatore a microstriscia si sono variati alcuni parametri
geometrici e tecnologici per determinare come essi influenzino il segnale misurato.
Una prima modifica apportata è stata quella del w/p e nella seguente figura è mostrato come
questa variazione modifichi la risposta della strip.
Figura 36 Risposta della strip centrale per diversi valori del w/p
Come è visibile dalla Figura 36 la variazione del w/p non provoca alcuna modifica rilevante alla
risposta della strip. Altra variazione apportabile al rilevatore è la dimensione del pitch. Nella
seguente figura è mostrata la risposta di due strip appartenenti a due rilevatori di ugual profondità
e w/p ma con pitch rispettivamente di 120 e 240 µm.
58
Figura 37 Risposta della strip al variare del pitch
Il comportamento delle due strip è molto simile, entrambe raccolgono tutta la carica rilasciata
dalla particella (circa il 99%) se essa colpisce il rilevatore in un intervallo che va tra – pitch/2 e
pitch/2.
Ulteriore parametro geometrico modificabile è la profondità. Nella figura seguente è presentata la
risposta di due rivelatori aventi ugual pitch e w/p ma profondità diverse (120 e 300 µm). Come si
evince chiaramente dalla Figura 38 il rilevatore profondo 300 µm raccoglie molta più carica;
questo perché è maggiore la quantità di silicio che la particella attraversa e ionizza. Altra
differenza è che il rilevatore profondo 300 µm presenta una risposta della strip più larga; questo
perché la nuvola di carica generata nel substrato ha più tempo e spazio per espandersi e dividersi
tra le strip.
59
Figura 38 Risposta di due rivelatori aventi diverse profondità
Definita la dipendenza della risposta del sensore al variare dei parametri geometrici si è passato
allo studio dei parametri tecnologici.
In Figura 39 è mostrato come varia la risposta della strip centrale al variare della tensione con cui
è polarizzato il rilevatore. Le cinque tensioni scelte sono 0.75 Vdepl, 1 Vdepl, 1.5 Vdepl, 2 Vdepl,
4 Vdepl, dove la Vdepl per il rilevatore in questione è di circa 20 V. La prima variazione che si nota
è che per tensioni di polarizzazione inferiori a quella di svuotamento l’efficienza di raccolta carica
scende sensibilmente (5% in meno quando la strip è polarizzata con una tensione pari a 0.75
Vdepl). Questo è dovuto a un più elevato tasso di ricombinazione dei portatori nel substrato dato
che esso non è completamente svuotato. Altro aspetto rilevante è che per tensioni di
polarizzazione maggiori la risposta della strip tende ad avere fronti di salita e di discesa sempre
più ripidi; ciò coincide indirettamente con una minor divisione di carica tra strip. Ultimo effetto
causato dalle diverse tensioni utilizzate è il tempo impiegato dal rilevatore per raccogliere il 90%
della carica totale. Questo è brevemente sintetizzato in Tabella 4.
Tabella 4 Tempo impiegato dal rilevatore per raccogliere il 90% della carica generata da una MIP
Tempo [ns]
0.75 Vdepl
1 Vdepl
1.5 Vdepl
2 Vdepl
4 Vdepl
26,4
16,2
11,0
9,47
3,78
Come si può notare all’aumentare della tensione di polarizzazione diminuisce il tempo impiegato
dal rilevatore per raccogliere tutta la carica che la particella ha generato nei 120 µm di spessore.
60
Questo è dovuto al maggiore campo elettrico e quindi alla maggiore velocità di deriva delle
cariche.
Figura 39 Risposta della strip centrale al variare della tensione di polarizzazione
Con ulteriori simulazioni si è andati a vedere come il drogaggio del substrato possa influenzare il
funzionamento del sensore. La prima variazione notata, attraverso simulazioni AC, è stata il
proporzionale innalzamento della Vdepl in funzione della concentrazione di donori presenti nel
substrato, in completo accordo con quanto indicato nell’Equazione (3.4).
Figura 40 Risposta della strip al variare del drogaggio del substrato
61
In Figura 40 è mostrata la risposta del sensore per diversi drogaggi, polarizzati con tensione
doppia rispetto alla loro Vdepl. Si nota come la carica raccolta non cambi molto al variare del
drogaggio del substrato.
Un ulteriore parametro tecnologico variabile è la profondità dell’impianto. Nella figura seguente
si può notare come la variazione di questo parametro non influenzi la risposta della strip.
Figura 41 Risposta della strip centrale al variare della profondità dell’impianto
Infine si è visto come la variazione della temperatura influenzi il comportamento del rivelatore. In
Figura 42 è mostrata la risposta delle strip per diverse temperature. Si nota come per temperature
superioria 300 K le correnti di leakage diventano molto elevate abbassando la sensibilità del
rilevatore.
Nella tabella seguente è mostrato come questa corrente dipendi dalla temperatura.
Tabella 5 Corrente di leakage di ogni strip al variare della temperatura
233 k
253 k
273 k
300 k
323 k
343 k
0 pA/um
0 pA/um
0 pA/um
44 pA/um
1,3 nA/um
16 nA/um
62
Figura 42 Risposta della strip al variare della temperatura
4.3.2 Tensione di svuotamento
Per svuotare completamente il substrato del rilevatore è necessario polarizzare le strip con
tensioni maggiori di Vdepl, stando attenti a non avvicinarsi troppo alla tensione di breakdown. Per
calcolare la Vdepl si può graficare la curva 1/Cback2 in funzione della Vbias. Il punto in cui la curva
smette di crescere e assume un comportamento asintotico ci indica quale sia la Vdepl. In Figura 43
è mostrato come praticamente si può calcolare la Vdepl di un rivelatore.
Figura 43 1/Cback2 in funzione della tensione di polarizzazione
63
Nella figura seguente sono riportati i valori delle Vdepl misurate nei vari rivelatori confrontate con i
relativi valori sperimentali (definiti dall’Equazione (3.4)).
Figura 44 (a) Andamento della Vdepl per due diversi valori di d in funzione del parametri geometrico (p/d)*f(w/p). La
linea tratteggiata indica i valori misurati sperimentalmente mentre la linea continua è un interpolazione lineare dei
valori ottenuti dalle simulazioni.
(b) Andamento della Vdepl per due diversi valori di d in funzione del parametri geometrico w/p.
In valori estratti dalle simulazioni sono molto simili a quelli attesi. Infatti le rette che interpolano i
risultati delle simulazioni coincidono fedelmente con le rette tratteggiate, che rappresentano i
valori misurati sperimentalmente.
Dalle figure si nota come la Vbias sia proporzionale allo spessore del rilevatore e inversamente al
rapporto w/p.
4.3.3 Capacità
In Figura 45 è mostrato l’andamento delle varie capacità per unità di lunghezza in funzione della
tensione di svuotamento. Si può osservare come la Cback diminuisca all’aumentare della Vbias, dato
che il substrato tende gradualmente a svuotarsi. La Cint al contrario tende ad aumentare con la
Vbias; questo perché un sottile strato di elettroni si forma vicino l’interfaccia Si-SiO2, indotti dalle
cariche positive intrappolate nell’ossido. Questo strato si comporta come un canale conduttivo ed
è responsabile dell’accoppiamento capacitivo tra strip. La Ctot per definizione ha un andamento
definito dalla somma di Cback e Cint. Si può notare come il valore delle capacità rimanga costante
una volta che la Vbias ha raggiunto la Vdepl, dato che la distribuzione di carica nel substrato non
subisce più variazioni [20].
64
Figura 45 Andamento delle varie capacità al variare
I valori delle capacità presentati di seguito sono stati calcolati con rilevatori completamente
svuotati e ad una frequenza di 1Mhz attraverso simulazioni AC.
In Figura 46(a) è mostrato come varia la Cback per unità di lunghezza in funzione del parametro
geometrico p/(d+p*f(w/p)). Ciò che si nota è una leggera differenza tra la pendenza della retta
attesa e la retta che interpola i risultati misurati. Questo errore è dovuto alla presenza
dell’overmetal che altera la larghezza reale della giunzione. Infatti se alle dimensioni effettive di
w sommiamo i 16 µm (u) di overmetal presenti i risultati attesi coincidono perfettamente con
quelli misurati (vedi Figura 46(b)).
65
Figura 46 (a) Cback in funzione del parametro geometrico p/(d+p*f(w/p))
(b) Cback in funzione del parametro geometrico p/(d+p*f((w + u)/p)) dove alla w sono stati aggiunti i 16 µm
di overmetal
Ciò che si nota dalle simulazioni è che la Cback è direttamente proporzionale al parametro
geometrico p/(d+p*f((w+u)/p)), cioè diminuisce all’aumentare dello spessore.
In Figura 47 è mostrato l’andamento della Cint per unità di lunghezza per diversi pitch in funzione
del parametro geometrico w/p.
Figura 47 Andamento della Cint in funzione di w/p per diversi pitch con una profondità di
(a) 120 µm
(b) 300 µm
66
Si può osservare come la Cint sia direttamente proporzionale a w/p e inversamente al pitch. Infatti
se il pitch cresce le strip si allontanano tra loro e di conseguenza Cint decresce fino ad annullarsi.
Infine si è caratterizzata la dipendenza della Ctot dai parametri geometrici del rilevatore. In Figura
48 è rappresentato il valore della varie capacità in rilevatori aventi lo stesso w/p (0.25) ma
differenti pitch (80 120 240 µm) e profondità (240 300 320 µm).
Figura 48 Ctot, Cback e Cint per rivelatori aventi stesso w/p
Quello che si nota è che la Ctot è costante per rilevatori aventi lo stesso w/p anche se il pitch e lo
spessore sono differenti. Il decremento della Cint è compensato quasi totalmente dall’incremento
della Cback. Per questo motivo la Ctot, parametro fondamentale per la determinazione del rumore
del rivelatore, dipende esclusivamente dal rapporto w/p.
Nella seguente figura è mostrato l’andamento della Ctot in funzione del parametro geometrico w/p.
Anche qui si nota come la Ctot dipenda solamente dal w/p secondo la relazione:
Ctot = 1.5
w
+ 0.8 [ pF / cm]
p
(3.19)
67
Figura 49 Andamento della Ctot in funzione della w/p.
4.3.4 Rumore
Per studiare al meglio le prestazioni dei rivelatori è importante definire il rumore ad esso
associato e grazie alle simulazioni si ha tutto il necessario per farlo. In verità, data la natura 2D
delle simulazioni, le capacità e le Ileak ottenute sono grandezze per unità di lunghezza. Per ottenere
valori reali e confrontabili con misure sperimentali è necessario moltiplicarli per la lunghezza
effettiva del rivelatore che nel nostro caso è pari a 1 cm.
Come dimostrato precedentemente il contributo di rumore dovuto al rilevatore e all’amplificatore
APV25 è determinato dalle seguenti formule:
(ENC )2 = (246 + 36Ctot ( pF ) )2 + (107
I leakτ shaping (uA ns ) ) 2
(ENC )2 = (396 + 59Ctot ( pF ) )2 + (48.15
I leakτ shaping (uA ns ) ) 2
in peak mode
in deconvolution mode
Generalmente il detector lavora in deconvolution mode e per questo da ora in avanti si utilizzerà
solo questa modalità.
Un parametro che non compare nelle due equazioni precedenti ma influenza fortemente il rumore
di un rivelatore è la temperatura.
68
Figura 50 Andamento dell'ENC in funzione della temperatura
Come si nota in Figura 50 l’ENC aumenta fortemente col crescere della temperatura. Questo è
dovuto all’incremento della Ileak che va da 15 pA per una T = 250 K fino a 162 uA per una
T = 343 K.
Di seguito è mostrato come varia l’ENC in funzione del w/p per due diverse profondità.
Figura 51 Andamento dell’ENC al variare di w/p per una strip lunga 1 cm e profonda rispettivamente
(a) 120 µm
(b) 300 µm
69
Quello che si nota dalla Figura 51 è che il rumore aumenta, anche se in maniera limitata,
proporzionatamente al w/p e al pitch mentre inversamente alla profondità.
4.3.5 Rapporto S/N
Il S/N è un parametro che ben sintetizza la bontà di un rilevatore. Il S/N è definito come il
rapporto tra la carica raccolta da una strip e il suo ENC. Un elevato S/N diminuisce la probabilità
che una fluttuazione del rumore pregiudichi il segnale letto e aiuta ad avere risoluzioni spaziali
migliori. Nella seguente figura è mostrato l’andamento del S/N in funzione del w/p per diversi
rilevatori.
Figura 52 Andamento del S/N al variare di w/p per una strip lunga 1 cm e profonda rispettivamente
(a) 120 µm
(b) 300 µm
Ciò che si nota è un miglioramento del S/N all’aumentare della profondità dei rilevatori dato che
la particella ionizzante crea nel substrato molte più coppie elettroni-lacune. Per sensori profondi
300 µm si riescono ad avere S/N superiori a 30 che rappresentano un ottimo valore. Altro aspetto
importante è che il S/N peggiora all’aumentare del w/p; ciò è dovuto al simultaneo incremento
della Ctot e della Ileak, quindi del rumore totale (vedi Figura 51).
Infine si è studiato come varia l’efficienza del sensore nel rivelare il passaggio di una MIP al
variare del S/N. Bassi S/N rendono più probabile la possibilità di confondere il segnale con il
rumore diminuendo la sensibilità del rivelatore e aumentando il numero di falsi positivi.
Numericamente si dirà che il rilevatore non ha rilevato la particella se tutte le tre microstrisce del
cluster presentano una risposta inferiore a 3*ENC.
70
Ciò che si nota dalla Figura 53 è che per valori di S/N maggiori di 5 l’efficienza è pressoché
unitaria.
Figura 53 Efficienza di un sensore al variare del S/N
4.3.6 Risoluzione spaziale
La risoluzione spaziale (σhit) indica con quale precisione è possibile determinare la posizione di
incidenza di una particella ionizzante. La σhit è fortemente legata al rapporto S/N e ai parametri
geometrici del rilevatore (principalmente la dimensione del pitch).
Per determinare σhit dei vari rivelatori implementati si è utilizzato il seguente algoritmo:
un numero elevato di particelle ionizzanti (MIP) sono state fatte incidere uniformemente su tutta
la superficie del rilevatore. Per ognuna di esse, in base alla carica raccolta dalle strip, si è fatta una
stima della xhit. La differenza tra questa stima e la reale posizione di incidenza (che è nota)
rappresenta l’errore di stima. La deviazione standard della distribuzione di questi errori coincide
proprio con la risoluzione spaziale (vedi Figura 54). Questo errore dipende essenzialmente dalla
geometria del rivelatore e dalle fluttuazioni del rumore.
71
Figura 54 Distribuzione dei residui con relativo fit gaussiano
Gli algoritmi utilizzati per ricostruire la posizione di incidenza sono tre:
-
Lettura digitale (LD); la posizione dell’hit coincide con la coordinata spaziale della strip
che raccoglie più carica;
-
Stima con divisione di carica (SDC); la posizione dell’hit coincide con il baricentro di
carica (definito dall’Equazione 3.18);
-
Stima con divisione di carica più ETA function (SDCE); la semplice stima fatta con il
baricentro di carica viene corretta con la ETA function (bibliografia a ETA function) [21].
Il primo metodo (LD) è il più semplice da implementare ma è quello che restituisce le stime meno
accurate. Il secondo metodo (SDC) sfrutta l’informazione proveniente dalla divisione di carica tra
le strip. Il terzo metodo (SDCE) oltre a sfruttare l’informazioni di come la carica si sia divisa tra
le varie strip utilizza l’ETA function per correggere le stime sulla posizione di incidenza. Il
secondo e terzo metodo lavorano tanto meglio quanto maggiore è la divisione di carica tra strip.
Di seguito sono mostrate le σhit per i metodi sopracitati in funzione del S/N calcolate sullo stesso
rivelatore avente pitch pari a 120 µm.
72
Figura 55 Risoluzione spaziale al variare del S/N per i tre metodi presentati
Si nota come in tutti e tre i metodi per S/N minori di 5 la σhit aumenti, peggiorando le prestazioni
del sensore. Per elevati valori di S/N la σhit tende asintoticamente ad un valore, definito come σx
intrinseca del sensore, che rappresenta la migliore risoluzione ottenibile con il rivelatore in
analisi.
Questo ci fa capire come anche l’algoritmo utilizzato per la stima di xhit influenzi le prestazioni
totale del sistema. Il valore a cui tende σhit ,stimata con il metodo LD, coincide perfettamente con
pitch/√12; questo risultato è noto in letteratura e può essere esteso a qualsiasi altro sensore letto in
maniera digitale e avente un elevato S/N.
Nella figura seguente è mostrata la σx stimata per i vari rivelatori simulati.
73
Figura 56 Risoluzione spaziale in funzione del S/N per rilevatori aventi profondità
(a) 120 µm
(b) 300 µm
Si può osservare come il rivelatore avente pitch 120 µm abbia una risoluzione molto migliore di
quelli con pitch di 240 µm. Anche la profondità contribuisce a migliorare la σhit . Questo perché
sia si riesce ad avere un S/N maggiore e sia perché c’è una maggior divisione di carica tra le strip.
Ultimo aspetto rilevato è che la σhit peggiora all’aumentare di w/p, questo è dovuto a un
incremento della Ctot e quindi del rumore totale del sensore.
74
Capitolo 5. Rivelatori a Pixel
Lo sviluppo di sensori di radiazione in silicio compatibile con i processi di fabbricazione CMOS
ha avuto un inizio assai difficile. L’elevato drogaggio del substrato su cui gli stessi venivano
realizzati non permetteva di avere elevati S/N data la bassa conversione in segnale della carica
generata da una particella ionizzante. Nonostante ciò l’idea di integrare su uno stesso chip sensori
ed elettronica d’elaborazione, ha fatto si che non si abbandonasse mai questa strada. Grazie alla
evoluzione della tecnologia di fabbricazione e alla conseguente contrazione delle geometrie dei
dispositivi microelettronici si è riuscito in breve tempo a ridurre le dimensioni dei MOS,
permettendo la realizzazione di efficienti sensori, detti “Active Pixel Sensors” o “APS”. Questa
tecnologia prevede la possibilità di realizzare sensori di tipo Sistem-On-Chip, permettendo
l’integrazione contemporanea della parte sensibile e della parte preposta per l’elaborazione dei
dati sullo stesso substrato, a tutto vantaggio del rapporto S/N. Il sensore presenta così una limitata
superficie occupata, una ridotta quantità di potenza dissipata e un elettronica di amplificazione
tale da compensare la bassa efficienza di raccolta; risulta perciò ideale per l’utilizzo in sistemi di
rivelazione di particelle ionizzanti ad alte prestazioni. Inoltre i sensori APS, possiedono altri
vantaggi: elevata velocità di lettura, notevole tolleranza alla radiazione (ridotte dimensioni dei
transistor, ossidi molto sottili, possibilità di utilizzare architetture dedicate di tipo
radiationresistant o enclosed gate) e possibilità di effettuare insieme il triggering (rilevamento del
passaggio di una particella) e il positioning (determinazione del punto d’impatto della particella)
[22].
5.1 Il pixel APS
La struttura di un pixel APS è riportato in Figura 57 insieme al relativo layout. Si possono notare
in particolare il diodo, che rappresenta l’elemento sensibile, e tre transistor che formano il circuito
di preamplificazione locale del segnale (reset, amplificazione/buffer dell’uscita, abilitazione alla
lettura) tutto all’interno di pochi µm2.
I pixel sono disposti in matrici con passo di qualche micron (vedi Figura 58). Essi sono facilmente
selezionabili tramite indirizzamento della relativa colonna e riga, come in una normale memoria.
75
Generalmente l’area di un pixel è occupata per lo più dal fotodiodo. Esso è una semplice
giunzione p-n (impianto n+ su substrato di tipo p) polarizzata inversamente con tensioni CMOS
compatibili; la sua regione svuotata è limitata a qualche micron di profondità e le coppie
elettroni-lacune generate da una particella sono raccolte essenzialmente per processi di diffusione
di carica.
Figura 57 Struttura elettrica e layout del pixel APS in un sensore in tecnologia CMOS
Figura 58 Architettura di base di un sensore a pixel CMOS
Il funzionamento del pixel APS si basa sul principio dell’integrazione di carica. Al transistor di
Mrst è applicato un segnale periodico di reset, con un duty cycle all’incirca del 10%, in modo che
quando esso è a un livello logico alto permette al diodo di polarizzarsi in inversa e alla tensione al
catodo del fotodiodo di raggiungere il valore di Vdd-Vth, con Vth la tensione di soglia del
transistore di reset. Quando il segnale di reset torna al livello logico basso, dapprima la tensione
del nodo scende di poche decine di mV, a causa degli accoppiamenti capacitivi con il gate del
76
MOS di reset e poi si mantiene praticamente costante, trascurando la piccola diminuzione dovuta
alla sola corrente al buio (dark current). Se invece passa radiazione ionizzante, la tensione del
fotodiodo diminuisce sensibilmente, tipicamente di parecchie decine di mV come mostrato nella
Figura 59 .La variazione ottenuta viene riportata al nodo OUT del source follower, dove viene
letta la tensione, prima dell’applicazione successiva del reset, ottenendo le informazioni sul
passaggio della particella o della radiazione ionizzante.
Figura 59 Andamento della tensione al catodo del fotodiodo al passaggio di una particella β
5.2 Rivelatori a pixel simulati
Data la natura bidimensionale delle matrici di pixel, per studiare in maniera più realistica la
diffusione della carica nel substrato sono state necessarie in un primo momento simulazioni 3D.
Una volta caratterizzata la risposta dei pixel e le capacità ad essi associate, si è passato a
simulazioni 2D, aventi un costo computazionale molto minore. Nella figura seguente si può
osservare un rivelatore APS implementato in 3D.
77
Figura 60 Rivelatore implementato e simulato in 3D
Sono nove i pixel presenti nei rivelatori implementati: dal pixel centrale sono estratti i parametri
elettrici presentati in questo lavoro, gli altri otto sono serviti solo per limitare l’effetto di bordo e
far lavorare correttamente il pixel centrale. Anche in questo caso un attenta analisi della griglia è
stata effettuata per meglio discretizzare la struttura. Si può notare come la discretizzazione della
griglia sia più fitta nell’angolo alto di sinistra del rivelatore, regione dove nelle simulazioni
incideranno le particelle ionizzanti. La risposta dei pixel quando la particella inciderà in altre
regioni del rivelatore verrà calcolata sfruttando la simmetria della struttura.
Per simulare, non solo il comportamento di un semplice fotodiodo, ma dell’intero pixel APS, ai
capi di ogni giunzione sono stati connessi i tre transistor tipici della tecnologia APS (vedi Figura
57).
Nella tabella seguente sono riportati i parametri geometrici e tecnologici dei rivelatori simulati. In
grassetto sono evidenziati i parametri di default utilizzati nelle simulazioni. Eventuali variazioni
saranno indicate.
78
Tabella 6 Parametri del rivelatore utilizzati nelle simulazioni
Spessore [µm]
10
20
Pitch [µm]
5
10
Witdh impianto [µm]
1
2
Drogaggio impianto n+
1019
Drogaggio substrato p
1014
Larghezza elettrodo [µm]
0.4
Accoppiamento
DC
Tensione bias [V]
1.8
1015
40
1016
5.2.1 Segnale 3D
Per caratterizzare la risposta di un pixel si è studiato come varia la sua caduta di potenziale in
funzione della posizione di incidenza (xhit e yhit) e dell’angolo di incidenza (αhit) di una particella. I
dati presentati di seguito sono estratti dal rivelatore i cui parametri sono evidenziati in grassetto in
Tabella 6.
Figura 61 Risposta del pixel centrale ad una MIP
In Figura 61 è mostrata la risposta del pixel centrale ottenuta mediante simulazioni 3D. Essa è
stata realizzata variando la posizione di incidenza della particella lungo il rilevatore e mantenendo
un angolo di incidenza costantemente pari a zero.
79
La risposta del pixel ha un andamento gaussiano. La caduta di potenziale massima si registra
quando la particella colpisce perfettamente il pixel; man mano che essa si allontana la risposta
decresce esponenzialmente, sino ad annullarsi quando la particella colpisce a distanze maggiori di
10 µm dal pixel (dimensione del pitch).
Nella figura seguente è mostrato la ETA function bidimensionale del rivelatore in studio. Essa,
come già spiegato precedentemente, riporta come il baricentro di carica si distribuisca sulla
superficie del rivelatore. Come si evince la ETA function presenta una massimo nell’origine
dovuto a tutti quegli eventi in cui solo un pixel raccoglie carica, mentre i rimanenti contributi
sono uniformemente distribuiti su tutto l’intervallo e rappresentano gli eventi in cui sono due o
più i pixel a rispondere. Da ciò si può affermare che la divisione di carica tra pixel è molto
accentuata a tutto vantaggio della risoluzione spaziale del sistema.
Figura 62 ETA function bidimensionale
Come per le strip, anche per i pixel, si sono variati alcuni parametri del rilevatore per vedere come
essi influenzino la sua risposta.
Il primo parametro variato è la profondità del sensore. Nella figura seguente è mostrata la risposta
di tre pixel aventi rispettivamente un substrato profondo 10, 20 e 40 µm.
80
Figura 63 Risposta del pixel al variare della profondità
Come si nota la caduta di potenziale aumenta con la profondità del substrato, dato che
banalmente è maggiore la carica rilasciata dalla particella. Si può osservare però come la caduta di
potenziale misurata non aumenti linearmente con la profondità del substrato. Questo è dovuto al
più alto tasso di ricombinazione che si riscontra allontanandosi dalla regione svuotata. La maggior
parte della carica generata perciò si ricombina non contribuendo alla formazione del segnale.
Nella seguente figura è mostrala la risposta di un pixel al variare della dimensione del pitch.
Figura 64 Risposta del pixel al variare della dimensione del pitch
81
Ciò che si nota è che per il pixel avente un pitch pari a 5 µm la carica si distribuisce su molti più
pixel facendo si che la massima caduta di potenziale misurata sia minore. Una troppo accentuata
divisione di carica tra pixel può diventare sconveniente; questo perché maggiore è il numero di
pixel che formano il cluster e più alto è il rumore ad esso associato. Generalmente si preferisce
che la carica si divida ,per ogni direzione, solamente tra 2 pixel. Questo perché un simile cluster
ha un numero di pixel tale da poter permette di ricostruire esattamente la posizione di impatto e
allo stessa tempo da minimizzare il rumore del cluster [23].
Nella seguente analisi si è visto come il drogaggio del substrato influenzi la risposta del pixel.
Figura 65 Risposta del pixel al variare del drogaggio del substrato
Come si può osservare in Figura 65 la caduta di potenziale aumenta con la resistività del
substrato. Questa figura è di fondamentale importanza perché ci mostra come lavorare con
substrati altamente drogati, come sono quelli CMOS compatibili su cui si realizzano i pixel APS,
ridimensioni notevolmente la grandezza del segnale misurato portandoci ad avere S/N non
elevatissimi.
Ultimo parametro tecnologico variato è la profondità dell’impianto. Come si nota dalla figura
seguente, la risposta del pixel non è fortemente influenzata dalla variazione di questo parametro,
anche se passando da una profondità di 2 µm a 1um si osserva una maggiore divisione di carica
tra pixel.
82
Figura 66 Risposta del pixel al variare della profondità dell'impianto
5.2.2 Segnale 2D
Per effettuare analisi con costi computazionali ridotti si è passato a simulazioni 2D. Per tener
conto del minor carico che la struttura 2D mostra rispetto a quella 3D, a ogni pixel è stato
collegato una capacità di 1.12 fF, valore calcolato mediante analisi AC. In Figura 67 è mostrata
l’implementazione 2D del rivelatore precedentemente illustrato.
Figura 67 Rivelatore implementato e simulato in 2D
(a) Intera struttura simulata
(b) Zoom su una giunzione p-n del rivelatore
83
Figura 68 Risposta del pixel centrale ad una MIP
(a) al variare di xhit per αhit pari a zero
(b) al variare di xhit all’aumentare di αhit
In Figura 68 (a) si può osservare la risposta del pixel in funzione della xhit. Questa presenta cadute
di tensioni leggermente maggiori di quelle osservate nelle simulazioni 3D; questo è dovuto a una
minore diffusione della carica nel substrato, dato l'effetto di "confinamento" bidimensionale della
diffusione di carica, intrinseco data la natura della simulazione (2D appunto). L’andamento
gaussiano della risposta rimane fedele a quanto visto nelle simulazioni 3D. Tutto ciò conferma
che l’approssimazione 2D è sensata e molto realistica. In Figura 68 (b) è mostrata la risposta del
pixel centrale al variare della xhit per αhit che va da 0° a 45° con passo di 5°. Ciò che si nota è che
la caduta di potenziale misurata aumenta con αhit, dato che cresce la porzione di substrato che la
particella attraversa.
In Figura 69 è mostrata in maniera compatta la risposta del pixel al variare di xhit e αhit.
84
Figura 69 Risposta del pixel ad una MIP al variare di xhit e αhit
Figura 70 Risposta del pixel centrale e delle sue due strip adiacenti a una MIP
(a) al variare di xhit per αhit pari a zero
(b) al variare di αhit per xhit pari a zero
In Figura 70 è mostrata la risposta di un pixel e dei suoi adiacenti. Nella maggior parte degli
eventi, sono sempre più di uno i pixel che presentano una caduta di potenziale maggiore di zero, a
tutto vantaggio della risoluzione spaziale. L’accentuata divisione di carica è evidenziata anche
nelle seguenti figure. Infatti il baricentro dipende quasi linearmente da xhit, mentre l’ETA function
è ben distribuita su tutto il pitch.
85
Figura 71 (a) Andamento del baricentro di carica in funzione della posizione di incidenza
(b) ETA function
Ultimo aspetto analizzato è come la carica totale raccolta vari in funzione di xhit e αhit.
Figura 72 (a) Caduta di potenziale totale al variare della posizione di incidenza di una MIP
(b) Caduta di potenziale totale al variare dell’angolo di incidenza di una MIP
Come aspettato la carica totale raccolta non varia molto in funzione di xhit. Si nota però che la
massima caduta di potenziale non si ha quando la particella colpisce in pieno il pixel ma quando
incide a pochi micron da essa; questo perché i pixel adiacenti possono contribuire raccogliendo la
carica generata nelle zone più profonde del substrato, cosa che non accadeva quando colpiva il
pixel in pieno. Al variare dell’angolo di incidenza si nota come la caduta di potenziale totale
86
aumenta perfettamente come 1/cos αhit. Questo ci indica che la carica rilasciata dalla particella è
raccolta nella sua totalità.
5.2.3 S/N, efficienza e risoluzione spaziale
Come per le microstrisce si è definita l’efficienza del rivelatore in funzione del suo S/N. Bassi
S/N rendono più probabile la possibilità di confondere il segnale con il rumore diminuendo la
sensibilità del rivelatore e aumentando il numero di falsi positivi.
Numericamente si dirà che il rilevatore non ha rilevato la particella se tutti i pixel che
compongono il cluster presentano una risposta inferiore a tre volte la deviazione standard del
rumore (1 mV).
Figura 73 Efficienza del sensore in funzione del S/N
Come si evince dalla Figura 73 con S/N di circa 25 (tipico valore per questa tecnologia di sensori)
l’efficienza attesa è unitaria, cioè nel cluster c’è sempre un pixel avente una risposta maggiore di
tre volte il rumore, garantendo con una bassissima probabilità di errore la misura del passaggio di
una particella . Nella figura seguente è mostrato la risoluzione spaziale, calcolata utilizzando la
ETA function, in funzione del S/N. Si nota come per S/N di circa 25 la risoluzione spaziale sia
prossima al mezzo micron. Questo valore, stimato attraverso simulazioni, è molto prossimo al
valore della risoluzione spaziale misurata sperimentalmente, con un appositi TEST BEAM, su
sensori APS simili a quelli simulati.
87
Figura 74 Risoluzione spaziale in funzione del S/N
5.3 Analisi di rivelatori APS integrati in tecnologia 3D
La futura generazione di esperimenti alle alte energie sta richiedendo rivelatori sempre più
performanti, soprattutto in termini di velocità di acquisizione, risoluzione e minor impiego di
materiali. Con i progressi delle tecnologie di fabbricazione microelettroniche una nuova
generazione di rivelatori può essere immaginata: sensori integrati formati da diversi layer di pixel
APS sovrapposti, perfettamente allineati, che permettono di avere rivelatori compatti, funzionali
ed con elevate prestazioni.
L’utilizzo di questi rivelatori abbatterà notevolmente la quantità di silicio utilizzata (e lo
scattering ad essa associata) e allo stesso tempo consente di stimare molto accuratamente la
traiettoria e il momento di una particella.
5.4 Sensori 3D simulati
Come detto i sensori 3D sono formati da più layer di pixel APS sovrapposti e perfettamente
allineati. Da un punto di vista elettrico, i diversi layer sovrapposti che compongono il rivelatore
3D possono essere considerati completamente isolati, dal momento che nelle tecnologie di
integrazione verticale è di fondamentale importanza garantire un comportamento autonomo dei
livelli. Partendo da ciò è possibile utilizzare il lavoro di simulazione di un layer di pixel APS,
illustrato precedentemente, per poi risalire al comportamento del sistema globale con semplici
osservazioni geometriche (vedi Figura 75).
88
Figura 75 Rivelatore 3D
L’angolo di incidenza della particella si conserva nel passaggio da un layer all’altro; i fenomeni di
scattering della particella e le deviazioni della sua traiettoria, possono essere considerati
trascurabili. La scelta di porre i sensori vicini serve proprio a minimizzare questi disturbi che
possono rendere le strutture tridimensionali poco efficienti nell’individuazione del vertice.
Per quanto riguarda la posizioni di incidenza xhit , i su un layer, essa è legata alla posizione di
incidenza sul layer superiore xhit , i −1 dalla seguente relazione
xhit , i = xhit , i −1 + α hit d
dove d rappresento la distanza tra layer α hit l’angolo di incidenza .
5.4.1 Segnale dei rivelatori 3D
Dato l’isolamento elettrico tra livelli, la risposta di ogni layer in un sensore 3D può essere
considerata identica a quella di un normale sensore a pixel APS precedentemente illustrato. Nella
figura seguente è mostrata la risposta dei pixel centrali di quattro layer sovrapposti in funzione di
xhit e αhit. Ciò che si nota è che per un αhit nullo la risposta dei quattro pixel è identica. Con
l’aumentare di αhit la risposta dei pixel inizia a differenziarsi, aumentando notevolmente la
sensibilità del sensore nel determinare il passaggio di una MIP.
89
Figura 76 Risposta di un pixel per diversi layer
5.4.2 Risoluzione
La presenza di più layer può essere utilizzata in maniera costruttiva per effettuare stime sulla
posizione e sull’angolo di incidenza più precise. In particolare, la stima di xhit, ottenuta per ogni
layer con il baricentro di carica, è influenzata dal rumore del sistema. Tanto maggiore è questo
rumore e tanto più sarà l’intervallo spaziale su cui può variare questa stima (xbar).
Se il numero di layer è pari a due, unendo questi due punti si otterrà una retta il cui coefficiente
angolare rappresenta αhit e l’intercetta sul primo layer xhit. È ovvio che eventuali fluttuazioni di xbar
influenzano le stime del coefficiente angolare e dell’intercetta della retta. Se il numero di layer
aumenta, passando da due a quattro, il numero di xbar utilizzabili per costruire una retta raddoppia.
Grazie a ciò, interpolando ai minimi quadrati i quattro xbar, si riuscirà ad avere una retta che
risenta meno delle fluttuazioni rumorose del sistema. In pratica maggiore sarà il numero di layer e
minore sarà il numero di possibili rette che possono interpolare gli xbar (vedi Figura 77).
Ovviamente anche l’intercetta a il coefficiente angolare della retta sono variabili aleatorie; il loro
valor medio rappresenta rispettivamente: la miglior stima effettuabile sulla posizione di incidenza
e sull’angolo della traccia della particella; la loro deviazione standard indica la dipendenza delle
stime dal rumore.
90
Figura 77 Possibili ricostruzioni di tracce con due e con quattro layer
Per determinare la distribuzione di probabilità di xbar su ogni layer e la sua dipendenza dal rumore
si è utilizzata una analisi di tipo Monte Carlo. Campioni gaussiani,estratti da una distribuzione
con deviazione standard pari al rumore dei layer (1 mV), sono stati aggiunti alla risposta di ogni
pixel; fatto ciò si è stimato il baricentro. Ripetendo il tutto per milioni di volte si è riusciti ad
avere precise distribuzioni di xbar. Tutto ciò permette di rendere più realistiche le simulazioni, che
per definizione sono perfettamente deterministiche.
Nelle due figure seguenti si può vedere numericamente come aumentando il numero di layer si
possano fare stime più accurate e meno sensibili alle fluttuazioni del rumore. In particolare con tre
layer, tracciando una retta ai minimi quadrati, si riescono ad avere stime molto vicine ai valori
reali della particella incidente.
91
Figura 78 (a) Stima della posizione di impatto ottenuta con due layer quando la particella ha xhit = 0 e αhit = 20°
(b) Stima dell’angolo di incidenza ottenuta con due layer quando la particella ha xhit = 0 e αhit = 20°
Figura 79 (a) Stima della posizione di impatto ottenuta con tre layer quando la particella ha xhit = 0 e αhit = 20°
(b) Stima dell’angolo di incidenza ottenuta con tre layer quando la particella ha xhit = 0 e αhit = 20°
Nella figura seguente è mostrata la deviazione standard della stima di xhit al variare di xhit e αhit.
Si nota come la deviazione standard diminuisca all’aumentare dell’angolo. Questo perché
maggiore è l’angolo e maggiore è la carica che il sensore raccoglie, rendendolo meno sensibile
alle fluttuazioni del rumore. Per la stessa ragione si notano anche variazioni della deviazione
standard al variare di xhit. Osservando la Figura 72 di può notare meglio la dipendenza che vi è tra
la deviazione standard delle stime e la carica raccolta
92
Figura 80 σ della stima della posizione di incidenza al variare di xhit e αhit per un sensore avente due layer
Nella figura seguente è mostrata la deviazione standard della stima di xhit e αhit fatta con sensori
aventi due, tre e quattro layer. Ciò che si nota è che la σ decresce all’aumentare del numero di
layer, fino a raggiungere valori inferiori a 0.4 µm per la stima di xhit e 1° per la stima di αhit.
Figura 81 σ della stima della posizione e dell’angolo di incidenza al variare di xhit e αhit per sensori aventi un differente
numero di layer
Sfruttando sempre opportune considerazioni geometriche è possibile complicare la struttura del
sensore in studio, per esempio ruotando di 180 ° i layer (portandolo da una disposizione di tipo
Front a una di tipo Back) oppure inserendo del silicio tra essi. Nei seguenti grafici è mostrato il
confronto tra 3 rivelatori:
93
-
Il classico rivelatore con quattro layer e con una topologia Front-Front-Front-Front
-
Un rivelatore in cui il primo e il terzo layer sono ruotati di 180°, quindi con topologia
Back-Front-Back-Front
-
Un rivelatore con topologia Back-FrontBack-Front, dove tra il secondo e il terzo layer
sono presenti 20 µm di silicio.
Si può notare come il terzo rivelatore è quello che offra le migliori prestazioni. Questo perché
combina la presenza di uno strato di silicio che aumenta il braccio di leva del sistema e una
topologia in grado di fare, su ogni layer, stime corrette e non polarizzate degli xhit. In particolare si
è potuto constatare come l’accoppiamento fra layer di tipo Back-Front sia più efficace del classico
accoppiamento Front-Front, perché meglio di tutti riesce a compensare gli errori nella stima della
posizione di impatto quando una traccia presenta angoli di incidenza diversi da zero.
Figura 82 (a) Errore sulla stima di αhit al variare di αhit
(b) Errore sulla stima di xhit al variare di αhit
5.4.3 Sensibilità
Di seguito è mostrata una seconda soluzione, utilizzata per evidenziare come le prestazioni di un
rivelatore dipendano dal suo numero di layer.
Come noto per ogni particella incidente, il sensore restituisce una n-upla di valori che
rappresentano le cadute di potenziale misurate sugli n pixel del layer. Ovviamente cambiando xhit
e αhit della traiettoria la n-upla subirà delle variazioni correlate alla nuova traccia.
È definita sensibilità spaziale ed angolare la minima variazione rispettivamente di xhit e αhit che il
sensore è in grado di apprezzare. Numericamente il sensore saprà distinguere due tracce diverse
se confrontando i pixel omologhi delle 2 n-uple in almeno un caso la differenza tra le cadute di
potenziale misurate sarà maggiore di 3σ (dove σ è la deviazione standard del rumore).
94
Nel caso contrario, in cui tutte le differenze tra i pixel omologhi delle 2 n-uple saranno
costantemente minori di 3σ, non si è in grado di discriminare tra due tracce e si ha una situazione
di “incertezza”.
Raddoppiando i layer, il numero di coppie di pixel da confrontare passa da n a 2n. E’ ovvio che la
probabilità di distinguere due tracce aumenta. In Figura 83 è mostrata l’incertezza per le tracce
incidenti in funzione delle variazioni spaziali ed angolari delle tracce con cui sono confrontate.
Ovvero il valore della funzione nel punto (2,5) mi indica la probabilità che una traccia venga
confusa con un'altra avente un xhit maggiore di 2 µm e un αhit maggiore di 5°.
Si nota come minore è la variazione angolare e spaziale della traccia con cui è confrontata e
maggiore è l’incertezza; questo perché più le variazioni sono piccole, più le tracce sono simili tra
loro e più è facile confonderle.
Figura 83 Incertezza calcolata per un rivelatore con un solo layer
Nel grafico seguente è mostrato come questa distribuzione vari all’aumentare del numero di layer.
Quando il numero di layer che compongono il rivelatore è pari a quattro si può osservare come
l’incertezza angolare diminuisca notevolmente, facendo si che il sensore sia sensibile anche alla
minima variazione di αhit.
95
Figura 84 Incertezza calcolata all’aumentare dei layer del rivelatore
Nel grafico seguente è mostrato l’incertezza considerando solo variazioni angolari. Ovvero le
tracce incidenti sono confrontate con altre tracce aventi sempre lo stesso xhit ma diversi αhit.
Figura 85 Incertezza calcolata al variare del solo αhit
È evidente come l’intervallo di incertezza si riduca con l’aumentare dei layer.
In rivelatori formati da due layer la possibilità di confondere tracce aventi αhit molto diversi
(anche 16 °) è elevata. Con quattro layer si riescono sempre a discriminare tracce la cui differenza
tra gli αhit è maggiore di 6°, a prescindere dalla posizione di incidenza.
96
Conclusioni
In questo lavoro si è mostrato come software di simulazione possano essere utilizzati per
caratterizzare completamente dei sensori di radiazione e come le informazioni ottenute possano
essere interpretate per migliorarne lo sviluppo. Ogni minimo parametro tecnologico e geometrico
è stato analizzato, mostrando come sue eventuali variazioni possano influenzare la risposta del
sensore e il rumore ad esso associato.
L’intero processo, che parte dall’implementazione della struttura del rivelatore e arriva sino
all’analisi dei risultati, è stato continuamente migliorato aumentando notevolmente la sua
efficienza.
Senza l’utilizzo del cluster di calcolo dell’INFN di Perugia, non sarebbe stato possibile eseguire
tutte queste analisi. L’accesso a questa potente rete di calcolo ha cambiato totalmente l’approccio
al lavoro di simulazione. Se prima, date le scarse risorse computazionali a disposizione, il numero
di simulazioni eseguibili per caratterizzare il sensore era limitato, ora ogni minimo parametro può
essere analizzato a fondo.
Per ogni architettura proposta è stato possibile determinare la sua bontà nel rivelare il passaggio di
una particella ionizzante attraverso la stima del S/N, della risoluzione spaziale e dell’efficienza.
Per le microstrisce, prima architettura studiata, si è analizzato attentamente come i vari parametri
progettuali influenzassero le prestazioni globali del sistema.
Sensori aventi substrati spessi 300 µm si fanno preferire a quelli aventi uno spessore di 120 µm
perché permettono di raccogliere più carica ed avere S/N più elevati. Le dimensioni del pitch
influenzano significativamente la risoluzione spaziale del sensore. Minore è il passo delle
microstrisce e migliore è la risoluzione spaziale ottenibile. Purtroppo il restringimento del passo
comporta un incremento dei canali di acquisizione e perciò un giusto compromesso va definito. Si
è visto come il parametro w/p, e la capacità totale della microstriscia che ad esso è linearmente
legato, influenzi il rumore totale del sistema. In particolare w/p elevati peggiorano il S/N
diminuendo l’efficienza e risoluzione spaziale. Ultimo aspetto notato è una debole dipendenza
delle prestazioni del sensore dai suo parametri tecnologici quali: drogaggio del substrato e
profondità dell’impianto. Ciò rende il progettista non troppo vincolato alla scelta di una
particolare fonderia. Diverse soluzioni per misurare la risoluzione spaziale sono state testate
dimostrando come le prestazioni del rivelatore dipendano anche dagli algoritmi utilizzati per la
stima della posizione di incidenza. Dove possibile i dati ottenuti dalle simulazioni sono stati
confrontati con dati sperimentali riscontrando sempre fortissime similitudini.
Anche per i sensori a pixel APS un attenta analisi dei parametri geometrici e tecnologici è stata
eseguita. Si è visto come il forte drogaggio del substrato limiti le prestazioni di questi sensori. La
carica raccolta, al contrario delle microstrisce, non dipende linearmente dallo spessore del
97
substrato, dato che la regione svuotata si estende solo per pochi micron al di sotto dell’impianto.
Nonostante ciò, con simili rivelatori si riescono ad ottenere prestazioni ottime; infatti la
risoluzione spaziale stimata è inferiore al micron mentre l’efficienza nel rivelare il passaggio di
una particella è pressoché unitaria.
Ultimo aspetto analizzato è stato l’analisi di nuovi sensori, in corso di realizzazione, formati da
diversi layer di pixel APS assottigliati e accuratamente sovrapposti. Il limitato spessore di silicio
impiegato (circa 10 µm) permette di abbattere lo scattering multiplo, provocato dagli urti della
particella con il reticolo cristallino, aumentando la precisione delle misure. Anche in questo caso
diverse strutture sono state implementate. Si è potuto constatare come l’accoppiamento fra layer
di tipo Back-Front sia più efficace del classico accoppiamento Front-Front, perché meglio di tutti
riesce a compensare gli errori nella stima della posizione di impatto quando una traccia presenta
angoli di incidenza diversi da zero. La bontà delle misurazioni può essere migliorata anche con
l’introduzione di sottili strati di silicio, elettricamente isolati, tra i layer. Lo spessore di tali strati
di silicio non deve essere troppo elevato per non introdurre nuovamente dello scattering multiplo
ma spesso al punto giusto da ottimizzare il braccio di leva del sensore. Con algoritmi ad hoc
implementati si è visto numericamente come questi sensori multi-layer siano in grado di effettuare
stime del momento e della traiettoria della particella con risoluzioni nettamente migliori rispetti ai
vecchi sensori.
98
Appendice A
Di seguito sono riportati i due files che MESH necessita come input per generare un rivelatore 3D
con 9 pixel.
diode_msh.bnd:
Silicon "Region.0" {cuboid [(0,-15,-15) (10,15,15)]} # silicon region
Contact "bulk" {rectangle [(10,-15,-15) (10,15,15)]} # Contact area
Contact "centrale" {rectangle [(0,-0.2,-0.2) (0,0.2,0.2)]} # Contact area
Contact "dx" {rectangle [(0,9.8,-0.2) (0,10.2,0.2)]} # Contact area
Contact "sx" {rectangle [(0,-9.8,-0.2) (0,-10.2,0.2)]} # Contact area
Contact "up" {rectangle [(0,-0.2,9.8) (0,0.2,10.2)]} # Contact area
Contact "down" {rectangle [(0,-0.2,-9.8) (0,0.2,-10.2)]} # Contact area
Contact "updx" {rectangle [(0,9.8,9.8) (0,10.2,10.2)]} # Contact area
Contact "upsx" {rectangle [(0,-9.8,9.8) (0,-10.2,10.2)]} # Contact area
Contact "downdx" {rectangle [(0,9.8,-9.8) (0,10.2,-10.2)]} # Contact area
Contact "downsx"{rectangle [(0,-9.8,-9.8) (0,-10.2,-10.2)]}# Contact area
diode_msh.cmd:
Definitions {
AnalyticalProfile "profilo_n_centrale" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_sx" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_dx" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_up" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_down" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
99
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_upsx" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_updx" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_downsx" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
AnalyticalProfile "profilo_n_downdx" {
Species = "PhosphorusActiveConcentration"
Function = Gauss(PeakPos = 0, PeakVal = 1e+19, ValueAtDepth = 1e+15, Depth = 2)
LateralFunction = Erf(Factor = 0.8)}
Constant "costante"
{
Species = "BoronActiveConcentration"
Value = 1e+15}
Refinement "entire device" {
MinElementSize = (1.5, 1.5, 1.5)
MaxElementSize = (2 2 2)
RefineFunction = MaxTransDiff(Variable = "DopingConcentration", Value = 1)}
Refinement "one corner" {
MinElementSize = (0.5, 0.5, 0.5)
MaxElementSize = (1 1 1)
RefineFunction = MaxTransDiff(Variable = "DopingConcentration", Value = 1)}}
Placements {
Constant "costante"
{
Reference = "costante"
EvaluateWindow {
Element = cuboid [(-30,-30,-30) , (30,30,30)]
DecayLength = 0}}
AnalyticalProfile "profilo_n_centrale" {
Reference = "profilo_n_centrale"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,-1,-1) (0,1,1)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_sx" {
Reference = "profilo_n_sx"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,-9,-1) (0,-11,1)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_dx" {
Reference = "profilo_n_dx"
ReferenceElement {
100
Element = rectangle [(0,9,-1) (0,11,1)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_up" {
Reference = "profilo_n_up"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,-1,9) (0,1,11)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_down" {
Reference = "profilo_n_down"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,-1,-9) (0,1,-11)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_upsx" {
Reference = "profilo_n_upsx"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,-9,9) (0,-11,11)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_updx" {
Reference = "profilo_n_updx"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,9,9) (0,11,11)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_downsx" {
Reference = "profilo_n_downsx"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,-9,-9) (0,-11,-11)]}}
AnalyticalProfile "profilo_n_downdx" {
Reference = "profilo_n_downdx"
ReferenceElement {
Element = rectangle [(0,9,-9) (0,11,-11)]}}
# Refinement regions
Refinement "entire device instance" {
Reference = "entire device"}
Refinement "one corner instance" {
Reference = "one corner"
RefineWindow = cuboid [(0 -2 -2), (2 12 12)]}}
Di seguito sono riportati i modelli fisici utilizzati per calcolare il moto delle cariche nel silicio e
gli algoritmi scelti per risolvere le equazioni non lineari del file “.cmd” di DESSIS, impiegato per
le simulazioni tempo-varianti:
ded_TV.cmd:
Physics{
Mobility(DopingDep HighFieldsat)
EffectiveIntrinsicDensity( OldSlotboom )
Recombination (SRH (DopingDep) )
Fermi
101
HeavyIon(
Let_f
=1.28e-005
Length
=0.0001
Wt_hi
=0.0001
Time
=8e-006
Location =(0,0,0 )
Direction =(1 ,0, 0 )
Picocoulomb)}
}
Math {
Extrapolate
Derivatives
RelErrControl
NewDiscretization
RecBoxIntegr
}
102
Appendice B
Di seguito è riportato lo script MATLAB per la stima della risoluzione spaziale dell’efficienze e
dell’ETA function di un sensore.
clear all
close all
%% inserire la risposta del pixel in funzione delle posizione di incidenza
tens=[0.1862,0.1885,0.1914,0.1956,0.2016,0.2101,0.2218,0.2372,0.2571,0.2819,0.3124,0.3491,0.3927,0.4437,0.5027,
0.5703,0.647,0.7336,0.8304,0.9382,1.0575,1.1887,1.3313,1.4846,1.6479,1.8206,2.0019,2.1913,2.3879,2.5912,2.8004,3
.0152,3.236,3.4637,3.6991,3.943,4.1963,4.4597,4.7341,5.0203,5.3192,5.6311,5.9551,6.29,6.6344,6.987,7.3467,7.7119,
8.0816,8.4542,8.8287,9.2039,9.5795,9.9556,10.3321,10.7091,11.0865,11.4643,11.8426,12.2213,12.6004,12.9798,13.3
587,13.7364,14.1121,14.4849,14.854,15.2186,15.5779,15.931,16.2772,16.6157,16.9462,17.2685,17.5824,17.8876,18.1
84,18.4713,18.7493,19.0178,19.2766,19.5253,19.763,19.9886,20.2012,20.3996,20.5828,20.7497,20.8994,21.0306,21.1
425,21.2345,21.308,21.3652,21.4081,21.4387,21.4592,21.4715,21.4778,21.4801,21.4804,21.4801,21.4778,21.4715,21.
4592,21.4387,21.4081,21.3652,21.308,21.2345,21.1425,21.0306,20.8994,20.7497,20.5828,20.3996,20.2012,19.9886,1
9.763,19.5253,19.2766,19.0178,18.7493,18.4713,18.184,17.8876,17.5824,17.2685,16.9462,16.6157,16.2772,15.931,15
.5779,15.2186,14.854,14.4849,14.1121,13.7364,13.3587,12.9798,12.6004,12.2213,11.8426,11.4643,11.0865,10.7091,1
0.3321,9.9556,9.5795,9.2039,8.8287,8.4542,8.0816,7.7119,7.3467,6.987,6.6344,6.29,5.9551,5.6311,5.3192,5.0203,4.7
341,4.4597,4.1963,3.943,3.6991,3.4637,3.236,3.0152,2.8004,2.5912,2.3879,2.1913,2.0019,1.8206,1.6479,1.4846,1.331
3,1.1887,1.0575,0.9382,0.8304,0.7336,0.647,0.5703,0.5027,0.4437,0.3927,0.3491,0.3124,0.2819,0.2571,0.2372,0.2218
,0.2101,0.2016,0.1956,0.1914,0.1885,0.1862;];
%% inserire punti in cui incide la particella
x=-10:0.1:10;
%% inserire pitch
pitch=10;
%% inserire rumore
noise_mV=1;
soglia=noise_mV.*3;
t=1;
v=tens;
fit1=fittype('gauss1');
gfit=fit(x',v',fit1);
bar=zeros(1,length(0:0.01:pitch));
i=1;
scala=1:2;
for imp=0:0.01:pitch
ele(1)=gfit(imp);
ele(2)=gfit(imp-pitch);
bar(i)=pitch.*((sum(scala.*ele)./sum(ele)) -1);
i=i+1;
end
figure
subplot(1,2,1)
plot(0:0.01:pitch,bar,'Color','black', 'LineWidth',2)
set(gca,'Fontsize',16)
xlabel('Xhit [um]','FontSize',16)
ylabel('Xbar [um]','FontSize',16)
title('Baricentro vs Xhit')
eta=hist(bar,0:pitch/(pitch.*10-1):(pitch));
eta=eta./sum(eta);
subplot(1,2,2)
103
hist_(bar,0.05,-1,11);
set(gca,'Fontsize',16)
xlabel('Xbar [um]','FontSize',16)
ylabel('Frequenza','FontSize',16)
title('ETA function')
inteta(1)=0;
for i=1:length(eta)
inteta(i+1)=sum(eta(1:i));
end
j=1;
for noise_mV=0.:0.2:10
i=1;
tot=3000;
scala=1:2;
scart=zeros(1,tot);
while(i<tot)
imp=rand.*(pitch);
ele(1)=gfit(imp)+randn.*noise_mV;
ele(2)=gfit(imp-pitch)+randn.*noise_mV;
ele=ele.*(ele>soglia);
if(sum(ele)>0)
bar=double(int32(pitch.*((sum(scala.*ele)./sum(ele)) -1).*10));
scart(i)=imp-(inteta(bar+1)).*pitch;
i=i+1;
end
end
ris(j)=std(scart)
j=j+1
end
figure
plot(25./(0.:0.2:10),ris,'Color','black', 'LineWidth',2)
set(gca,'Fontsize',12)
ylabel('Risoluzione spaziale [um]','FontSize',16)
xlabel('S/N','FontSize',16)
eff=zeros(length(0:0.2:10),1);
j=1;
for noise_mV=0:0.2:10;
tot=3000;
scala=1:2;
scart=zeros(1,tot);
for i = 1:tot
soglia=3.*noise_mV;
imp=rand.*(pitch);
ele(1)=gfit(imp)+randn.*noise_mV;
ele(2)=gfit(imp-pitch)+randn.*noise_mV;
ele=ele.*(ele>soglia);
if(sum(ele)>0)
eff(j)=eff(j)+1;
end
end
j=j+1
end
figure
plot(25./(0:0.2:10),eff./tot,'Color','black', 'LineWidth',2)
set(gca,'Fontsize',16)
ylabel('Efficienza','FontSize',16)
xlabel('S/N','FontSize',16)
104
Bibliografia
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C. Kitterl Introduction to Solid State Physics, J. Wiley
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