Esercitazione di riepilogo

Corso di Statistica
Prof.ssa Tiziana Laureti
A.A. 2014/2015
Esercitazione di riepilogo n.6
Teorema di Bayes, Variabili casuali
Esercizio n.1
Un test per un esame è composto da 10 domande, fra loro indipendenti,
ciascuna con 5 possibili risposte di cui una sola è quella corretta.
Sapendo che l’esame si considera superato se il numero di risposte
esatte è almeno 8, determinare la probabilità che un candidato,
scegliendo a caso la risposta a ciascuna domanda, superi l’esame.
Esercizio n.2
Se il 1,5% delle telefonate che giungono in una abitazione sono di
persone che sbagliano numero, determinare, supponendo che arrivano
150 telefonate la probabilità che cinque chiamate siano sbagliate.
Esercizio n.3
Si effettuano 1200 lanci di un dado ipotizzato perfetto. Calcolare la
probabilità che la faccia contrassegnata con il numero 2 si presenti meno
di 180 volte.
Esercizio n.4
Supponiamo che si verifichino delle imperfezioni in modo casuale in fogli
di legno compensato, con una media di una screpolatura ogni 60 metri
quadrati.
Determinare:
a) la probabilità che un foglio di 5metri x 9 metri non abbia difetti;
b) la probabilità che lo stesso foglio di compensato abbia al massimo un
difetto
1
Soluzione esercizio n.1
Sia X il numero di risposte esatte su 10 domande. Se il candidato sceglie
a caso la risposta ad ogni domanda, la probabilità di rispondere
correttamente è uguale ad 1/5 e, quindi, X ha una distribuzione
binomiale con n = 10 e π = 1 5 .
⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
p( X ≥ 8) = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 8 ⎠⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
8
10 −8
⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
9
10 −9
⎛10 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
+ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝10 ⎠⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
10
10 −10
= 0,0000779
Soluzione esercizio n.2
Il numero di chiamate sbagliate, indicato con X, segue una distribuzione
binomiale con n = 150 e π = 0, 015 . Quindi:
⎛150 ⎞
⎟⎟(0,015)5 (0,985)150−5 = 0,05020
P( X = 5) = ⎜⎜
⎝ 5 ⎠
Poiché λ = nπ = 2, 25 , utilizzando la distribuzione di Poisson, si ottiene:
e −2, 25 λ5
P( X = 5) =
= 0,0506
5!
Come si può notare, il valore trovato è molto vicino alla probabilità
esatta calcolata con la v.c. binomiale.
Soluzione esercizio n.3
Esattamente detta probabilità è data da:
179 ⎛1200 ⎞
x
⎛1⎞ ⎛5⎞
⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
P( X < 180 ) = ∑ ⎜⎜
x = 0 ⎝ x ⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
1200 − x
Poiché n è elevato la v. c. binomiale può essere approssimata dalla v. c.
normale. Si avrà quindi:
2
σ 2 = nπ (1 − π ) = 166, 6
μ = nπ = 200
⎛
180 − 200 − 0,5 ⎞⎟
P⎜ Z <
= P(Z < −1,5879) = 0,0562
⎜
⎟
166, 6
⎝
⎠
Soluzione esercizio n.4
Si può assumere che il numero di screpolature per unità di superficie
segua una distribuzione di Poisson. Quindi, si ha:
P(nessun difetto ) = e
⎛ 1 ⎞
−⎜ 45 ⎟
⎝ 60 ⎠
= e −(0,75 ) = 0,4734
P(al massimo un difetto ) = e − (0,75 ) + 0,75e − (0,75 ) = 0,8266
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